Integrali indefiniti, definiti e impropri - teoria

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1 Integrali indefiniti, definiti e impropri - teoria Primitiva Data una funzione si dice primitiva di tale f. la f. che ha per derivata, ovvero. Le primitive di una f. sono infinite e tutte uguali a meno di una costante additiva, ovvero. Significato geometrico: le infinite primitive sono la stessa f. ma traslata verso l'altro o verso il basso rispetto a. Integrale indefinito Si dice integrale indefinito di Proprietà dell integrale indefinito: E un operatore lineare, quindi l insieme di tutte le sue primitive. Integrale definito L'integrale definito di una funzione positiva in è l'area del trapezoide limitato dalle rette e dalla funzione. Simbolo: Per calcolare l'area del trapezoide bisogna costruire la successione dei plurirettangoli inscritti e la successione dei plurirettangoli circoscritti. Si ha che l'area del trapezoide è e si può dimostrare che: L'integrale definito non è sempre un'area, infatti se in si ha area negativa e se la funzione è dispari e l'intervallo di integrazione simmetrico rispetto all'origine si ha area pari a 0. La variabile di integrazione è muta, cioè non incide sul risultato, dato che nel risultato non compare (in breve, posso cambiare la con un'altra lettera e il risultato non cambia). Proprietà dell'integrale definito: Formula di Leibniz-Newton per il calcolo dell'integrale:...dove è una primitiva di... per convenzione prendo quella con Teorema della media integrale: data una funzione continua in esiste

2 Integrali impropri Integrali impropri del primo tipo almeno un punto tale che. Significato geometrico della media integrale: ci dice che se la funzione è continua l'area della regione di piano compresa tra la funzione e l'asse, data dall'integrale definito, è uguale all'area del rettangolo i cui lati misurano e. Ne esistono di due tipologie: primo tipo: intervallo di integrazione illimitato; funzione limitata Definizione: data una funzione definita e continua in l'integrale. secondo tipo: intervallo di integrazione limitato; funzione illimitata Definizione: l'integrale con definita in è il. Se la discontinuità fosse in, Ovvero, con mi sposto più a sinistra/destra della funzione per non avere più discontinuità. In ogni caso, risolvendo l'integrale e svolgendo il limite si possono avere tre casi: o l'integrale converge: limite esiste ed è finito o l'integrale diverge: il limite è (o ) o l'integrale è indeterminato: il limite non esiste In caso di convergenza si può affermare che la funzione è integrabile in senso improprio. Utilizzando gli integrali notevoli posso capire se un integrale improprio del primo tipo converge o diverge, senza calcolarlo. È integrale notevole:... e si hanno due casi: In breve, diverge sempre tranne se. Definito questo integrale notevole posso sfruttarlo in due metodi risolutivi (criteri di convergenza): 1 criterio di convergenza: Date ed definite e continue in non negative in un, se in : 1. quando diverge, allora diverge 2. quando converge, allora converge In realtà è un concetto abbastanza intuitivo: se la funzione che sta sopra l'altra è finita, quella che sta sotto sarà sicuramente finita. Se quella che sta sotto invece è sicuramente infinita, allora anche quella che sta sopra lo sarà. Questo metodo si applica raramente, poiché è difficile trovare funzioni facilmente confrontabili. 2 criterio di convergenza (confronto asintotico) Date due funzioni e definite e continue in e positive in, sia il con finito o infinito. Si hanno due casi: 1. se converge e il limite è finito, allora converge anche 2. se diverge e il limite è non nullo ( ), allora converge anche

3 Integrali impropri del secondo tipo Utilizzando gli integrali notevoli posso capire se un integrale improprio del secondo tipo converge o diverge, senza calcolarlo. È integrale notevole:... e si hanno due casi (inversi al 1 tipo): Definito questo integrale notevole posso sfruttarlo in due metodi risolutivi (criteri di convergenza): 1 criterio di convergenza: Date ed definite e continue in non negative in un, se in : 1. quando diverge, allora diverge 2. quando converge, allora converge In realtà è un concetto abbastanza intuitivo: se la funzione che sta sopra l'altra è finita, quella che sta sotto sarà sicuramente finita. Se quella che sta sotto invece è sicuramente infinita, allora anche quella che sta sopra lo sarà. Questo metodo si applica raramente, poiché è difficile trovare funzioni facilmente confrontabili. 2 criterio di convergenza (confronto asintotico) Date due funzioni e definite e continue in e positive in, sia il con finito o infinito. Si hanno due casi: 1. se converge e il limite è finito, allora converge anche 2. se diverge e il limite è non nullo ( ), allora converge anche

4 Integrale di funzioni razionali fratte Se il grado del polinomio al numeratore è calcolo l'integrale: di quello al denominatore, effettuo la divisione tra polinomi e Altrimenti, se il grado del polinomio numeratore è calcolo il e ho diversi casi: di quello al denominatore, considero il denominatore, 1) Calcolo le radici dell'equazione e ottengo 2) Scrivo: moltiplicando se necessario 3) Denominatore comune: 4) Devo fare in modo che sia uguale al coefficiente della nel numeratore, e che sia uguale al valore numerico nel numeratore, in modo da "ricostruire" il numeratore della funzione di partenza...faccio quindi un sistema 5) Trovati A e B, procedo integrando:... sicuramente il risultato conterrà 2 logaritmi 1) Calcolo la radice dell'equazione e ottengo 2) Scrivo: 3) Denominatore comune: 4) Devo fare in modo che sia uguale al coefficiente della nel numeratore, e che sia uguale al valore numerico nel numeratore, in modo da "ricostruire" il numeratore della funzione di partenza. 5) Trovati A e B, procedo integrando:.. sicuramente il primo integrale sarà un logaritmo e il secondo una Se l'integrale è nella forma: applico semplicemente la formula: Altrimenti, se l'integrale è nella forma...quindi mi riconduco al caso precedente...

5 Integrazione per parti Per applicare il metodo di integrazione per parti, necessito del prodotto di due funzioni: una qualunque, ed una che so integrare (es. derivata di qualcosa). Esempio: 1) Scrivo in una colonna la prima funzione e la sua derivata, in un'altra colonna la seconda funzione e il suo integrale 2) Moltiplico in diagonale la funzione da derivare con la funzione integrata 3) Metto il segno - e integro il prodotto della funzione integrata con la funzione derivata (linea retta) Integrazione per sostituzione 1) Scelgo una parte di esercizio da sostituire con, es. 2) Ricavo la x (vedi tabella funzioni inverse) e differenzio da tutti e due i lati 3) Riscrivo l integrale sostituendo tutto, compreso il, semplifico e integro 4) A integrale risolto, effettuo la sostituzione inversa della Funzioni inverse (ricavare )

6 Integrali impropri del primo tipo - esempi di calcolo Calcolo del valore Se mi è chiesto il calcolo del valore dell'integrale improprio: 1) Determino il CE e scrivo che "la funzione è definita e continua in con " 2) Calcolo l'integrale: procedendo come per il normale calcolo di un'area, ma con il limite. 3) Se il valore è finito l'integrale converge, se è infinito diverge, se è indeterminato l'integrale non esiste Esempio: CE: Integrale indefinito: Integrale improprio

7 Integrali impropri del secondo tipo - esempi di calcolo Calcolo del valore Se mi è chiesto il calcolo del valore dell'integrale improprio: 1) Determino il CE, valuto in quale estremo la funzione non esiste, quindi se non esiste in: a. scrivo che "la funzione è definita e continua in " b. scrivo che "la funzione è definita e continua in " 2) In base all'estremo in cui non esiste la funzione ( o ) calcolo l'integrale improprio: procedendo come per il normale calcolo di un'area, ma con il limite. 3) Se il valore è finito l'integrale converge, se è infinito diverge, se è indeterminato l'integrale non esiste Esempio: L'estremo problematico è "-1"... Integrale indefinito Integrale improprio Nota bene: se uno dei punti esclusi dal ricade all'interno di mi conviene spezzare l'integrale in, idem se il problema ricade su ambo gli estremi.

8 Esercizi: integrali impropri del primo tipo Esercizi: integrali impropri del secondo tipo