Filtri attivi. Lezione 15 1

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1 Filtri attivi Per realizzare filtri si può evitare l utilizzazione di induttori con schemi circuitali utilizzanti amplificatori operazionali (filtri attivi) Lezione 15 1

2 Realizzazione di un filtro passa banda 1/2 In generale un filtro passa banda può realizzarsi con lo schema in figura Lezione 15 2

3 Realizzazione di filtro passa banda 2/2 Funzione di trasferimento H() s V R u f src e e = = V R (1 + src )(1 + sr C ) i e e e f f Lezione 15 3

4 Introduzione Lezione 15 4

5 Rappresentazione grafica di H(s) È molto importante tracciare i diagrammi che riportano, in funzione della pulsazione o della frequenza, gli spettri di ampiezza (in ) e di fase delle funzioni di trasferimento Tali diagrammi si chiamano diagrammi di Bode Lezione 15 5

6 Scala logaritmica delle pulsazioni 1/3 Il campo di variabilità delle pulsazioni, può essere molto ampio Anzichè riportare le pulsazioni, sull ascissa si riporta un segmento proporzionale a u = log 10( ω) riportare u anziche omega semplificherà notevolmente il disegno dei diagrammi di Bode con la scala logaritmica non è possibile rappresentare la pulsazione nulla. Lezione 15 6

7 Scala logaritmica delle pulsazioni 2/3 Sulla scala logaritmica si riportano segmenti proporzionali a u = log ( ω) 10 I numeri sulle tacche sono relative alla pulsazione e non ad u ω ottava decade ( u = log ω ) Lezione 15 7

8 Scala logaritmica delle pulsazioni 3/3 La decade è l intervallo costante tra una pulsazione e la pulsazione che risulta 10 volte più grande (1 decade= log(10p)-log(p)=log(10)=1) L ottava è l intervallo costante tra una pulsazione e la pulsazione doppia (1 ottava= log (2p)-log(p)=log(2))=0.3 decadi) ottava decade ( u = log ω ) Lezione 15 8

9 Scala logaritmica delle ordinate Nei diagrammi di Bode lo spettro di ampiezza viene riportato in unità logaritmiche () riportare i anzichè le unità lineari semplificherà notevolmente il disegno dei diagrammi di Bode molte parti degli spettri di ampiezza sono approssimabili con porzioni di rette con pendenze multiple di ± 20 /decade Lezione 15 9

10 Retta con pendenza di 20 /decade Calcolare l ordinata in ω = 16 e ω = 5 = (log 16 log 10) 20 / decade = (log 5 log 10) 20 / decade 6 Lezione

11 Funzioni di trasferimento Lezione 15 11

12 Diagrammi di Bode Lezione 15 12

13 Generalità 1/4 Nelle reti a parametri concentrate le funzioni di trasferimento sono funzioni razionali fratte. la fattorizzazione dei polinomi numeratore e denominatore porta a: ( s z )( s z )..( s z ) 1 2 m H() s = K s p 1 s p 2 s p n ( )( )..( ) K non dipende dalla pulsazione z 1, z 2,., z m sono gli zeri di H(s) p 1, p 2,., p n sono i poli di H(s) Lezione 15 13

14 Generalità 2/4 gli zeri e i poli possono essere reali o complessi (in coppie coniugate) gli zeri e i poli possono essere semplici o multipli nelle reti stabili i poli hanno parti reali non positive Lo spettro di ampiezza è definito da: H( jω) = 20log H( jω), 0 ω < 10 Lezione 15 14

15 Generalità 3/4 Proprietà importante dei logaritmi: H( jω) = K + jω z + jω z jω z m jω p jω p... jω p 1 2 n Decibel relativi allo zero z i : jω z i Decibel relativi al polo p i : jω p i Lezione 15 15

16 Generalità 4/4 H( jω) = K + jω z + jω z jω z m jω p jω p... jω p 1 2 n A meno della costante K lo spettro di ampiezza di una funzione di trasferimento è dato dalla somma dei decibel degli zeri diminuiti dalla somma dei decibel dei poli Lezione 15 16

17 Zeri e/o poli reali Punti critici 1/2 Per ogni zero o polo reale a, sull ascissa delle pulsazioni viene introdotto un punto critico definito da ω = a Determinare i punti critici della funzione di trasferimento: s 3 s 3 H() s I punti critici sono: = = ( + 1)( + 2) 2 s s s s ω = 1, ω = 2, 1 2 punti critici di polo ω = 3, punto critico d i zero Lezione

18 Zeri o poli complessi Punti critici 2/2 Gli zeri o i poli complessi coniugati semplici implicano la presenza nella funzione di trasferimento del trinomio: 2 2 s1,2 = σ ± jω s + ξ ω s+ ω 2 o 0 σ = ξω 2 ω = 1 ξ ωo dove il fattore di smorzamento ξ ξ < 1 Il punto critico per la coppia di zeri o poli complessi è dato dalla pulsazione ω o Lezione o

19 Assunzioni Anche se è possibile tracciare i diagrammi di Bode per zeri o poli con parti reali positive, per semplicità saranno considerate solo reti strettamente stabili a fase minima: Zeri e Poli hanno parti reali negative Lezione 15 19

20 Maschera degli spettri di ampiezza Usare i per le ordinate e la scala logaritmica per le ascisse, consentirà di approssimare gli spettri di ampiezza con delle spezzate. La maschera di un diagramma di Bode è costitituita dalla spezzata che l approssima La maschera si traccia molto velocemente e si possono stimare i valori massimi degli errori che si commettono nell approssimazione In pratica la maschera fornisce tutte le informazioni che bisogna conoscere su una funzione di trasferimento. Lezione 15 20

21 Decibel di uno zero reale Maschera di s z = jω z i i semplice 1/5 Punto critico a=-z i Caso a=0. Zero nell origine. Risulta: jω = 20 log10 ω = 20u La maschera coincide con il diagramma esatto ed è costituita da una retta con pendenza 20 /decade Lezione 15 21

22 Decibel di uno zero reale semplice 2/5 Maschera di s z = jω z i i Punto critico a=-z i Caso a non nullo. Risulta: 2 2 jω+ a = 20 log jω+ a = 10 log( ω + a ) Per valori della pulsazione piccoli: jω + a = 20log( a) = a Per valori della pulsazione grandi: jω + a = 20log( ω) = 20u Lezione 15 22

23 Decibel di uno zero reale Maschera di semplice 3/5 s z = jω z i i Punto critico a=-z i Lezione 15 23

24 Decibel di uno zero reale semplice 4/5 Diagramma esatto di s zi = jω z i Punto critico a=-z i Lezione 15 24

25 Decibel di uno zero reale semplice 5/5 Maschera e diagramma esatto di Punto critico a=-z i s z = jω z i i Errore massimo nel punto critico ω = a jω + a a = 20 log ja+ a a = 10 log 2 = 3 Lezione

26 Decibel di un polo reale semplice 1/5 Maschera di 1/( s p ) = 1/( jω p ) i i Punto critico a=-p i Caso a=0. Polo nell origine. Risulta: 1/ jω = 20log10 ω = 20u La maschera coincide con il diagramma esatto ed è costituita da una retta con pendenza -20 /decade Lezione 15 26

27 Decibel di un polo reale semplice 2/5 Maschera di 1/( s p ) = 1/( jω p ) i i Punto critico a=-p i Caso a non nullo. Risulta: 2 2 1/( jω+ a) = 20 log jω+ a = 10 log( ω + a ) Per valori della pulsazione piccoli: 1/( jω + a) = 20 log( a) = a Per valori della pulsazione grandi: 1/( jω + a) = 20 log( ω) = 20u Lezione 15 27

28 Decibel di un polo reale semplice Maschera di 3/5 1/( s p ) = 1/( jω p ) i i Punto critico a=-p i Lezione 15 28

29 Decibel di uno polo reale semplice 4/5 Diagramma esatto di 1/( s p ) = 1/( jω p ) i i Punto critico a=-p i Lezione 15 29

30 Decibel di uno polo reale semplice 5/5 Maschera e diagramma esatto di 1/( s p ) = 1/( jω p ) i Punto critico a=-p i i Errore massimo nel punto critico: a/( jω + a) = 10log 2 = 3 Lezione ω = a

31 Diagrammi di Bode Lezione 15 31

32 Funzione di trasferimento da considerare Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento: s+ 2 jω + 2 H( s) = 27 = 27 s+ 9 jω + 9 Punti critici: ω = 1 ω = 9 2 punto critico di zero punto critico di polo Lezione

33 Punti critici 1/2 s+ 2 jω + 2 H( s) = 27 = 27 s+ 9 jω + 9 Punti critici: ω = ω = 9 punto critico di zero punto critico di polo Lezione 15 33

34 Punti critici 2/2 La maschera si ottiene combinando la maschera relativa al punto critico 2 (punto critico di zero) e quella relativa al punto critico 9 (punto critico di polo) Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al primo punto critico 2 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione Lezione 15 34

35 Maschera a sinistra del secondo Risulta: punto critico Lezione 15 35

36 Maschera a destra del secondo punto critico A sinistra del secondo punto critico 9 la pendenza della maschera è +20/dec a destra di 9, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 /dec e pertanto è orizzontale risulta: Lezione 15 36

37 Quotatura della maschera 1/4 Per quotare la maschera si considera il valore che si ha su di essa per valori di pulsazione omega molto piccoli: s + 2 Hm() s = 27 = s + 9 s 0 ( valore esatto ) Lezione 15 37

38 Quotatura della maschera 2/4 Questo valore quota la retta orizzontale per omega minore di 2. Per quotare la retta orizzontale per omega maggiore di 9, bisogna calcolare la quantità Lezione 15 38

39 Quotatura della maschera 3/4 Tenendo conto che la retta tra il punto critico 2 e il punto critico 9 ha pendenza di + 20 per decade si ha: = 20( u u ) = 20(log 9 log 2) = 9 2 = = = = 14 Lezione 15 39

40 Quotatura della maschera 4/4 La retta orizzontale per valori di omega maggiori del secondo punto critico 9 ha la quota di =+30 Lezione 15 40

41 Spettro di ampiezza L andamento esatto dello spettro di ampiezza è indicato con tratto in nero H m ( jω) H( jω) H( jω) H ( jω) m Lezione 15 41

42 Stima errore massimo maschera 1/2 Il punto critico 2 è relativo ad uno zero. L errore si stima in 3: H ( j2) H ( j2) + 3 = 16+ 3= 19 m (valore esat to ) Lezione 15 42

43 Stima errore massimo maschera 2/2 Il punto critico 9 è relativo ad uno polo. L errore si stima in -3: H( j9) H ( j9) 3= 30 3 = 27 ( valore esatt o ) m Lezione 15 43