Elettronica per le telecomunicazioni

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1 Elettronica per le telecomunicazioni Anno Accademico 2009/2010 Fiandrino Claudio 5 maggio 2010

2 II

3 Indice 1 Filtri Nozioni base Definizioni Esempi di filtri ideali Poli e zeri della funzione di trasferimento Progetto di filtri del 1 ordine Filtro passa basso Filtro passa alto Filtro passa banda Progetto di filtri del 2 ordine Analisi teorica Sensibilità Realizzazioni circuitali Tecnica di sintesi RLC Filtri con più amplificatori operazionali Filtri a variabili di stato Celle biquadratiche Filtri a capacità commutate Analisi per comportamento ideale Comportamenti con capacità parassite Realizzazione di resistori Integratore a capacità commutate Applicazioni di transistori bipolari Amplificatori accordabili a banda stretta Richiami sul modello di Ebers-Moll Modelli di piccolo segnale Polarizzazione Amplificatore ad emettitore comune Oscillatori Teoria degli oscillatori Oscillatore di Colpitts Mixer III

4 IV INDICE Mixer a Transconduttanza Mixer a Stadio differenziale PLL Introduzione Analisi Schema a blocchi e analisi teorica Funzione di trasferimento Analisi sul tipo di H LP (s) Condizioni di aggancio del PLL Realizzazioni circuitali dei componenti Demodulatori di fase VCO Applicazioni dei PLL Sintetizzatori di frequenza Convertitori Introduzione Campionamento Quantizzazione Realizzazioni circuitali Errori Convertitori D/A Convertitori A/D Sample & Hold

5 Capitolo 1 Filtri Per realizzare dei filtri i componenti induttivi a frequenze basse, vicino alla continua, non sono molto adatti. E possibile utilizzare gli amplificatori e, i filtri realizzati con amplificatori, prendono il nome di filtri attivi. Questa definizione deriva dal fatto che servono sia a filtrare il segnale sia ad amplificarlo in banda passante. 1.1 Nozioni base Definizioni Funzione di trasferimento La funzione di trasferimento di un sistema viene definita, nel dominio di Laplace, come: H(s) = N(s) D(s) dove:. il numeratore è un poliniomio di ordine m;. il denominatore è un poliniomio di ordine n. La condizione vincolante è: m n Trasmissività La trasmissività è una particolare funzione di trasferimento che lega le tensioni di ingresso e di uscita di un sistema; viene definita, sempre nel dominio 1

6 2 CAPITOLO 1. Filtri di Laplace, come: T(s) = V out(s) V in (s) In generale è un numero complesso che si può esprimere in termini di modulo e fase: T(jω) = T(jω) e jφω con s = jω. Guadagno Il guadagno di un filtro si definisce: G(ω) = T(jω) db = 20log 10 ( T(jω) ) Se:. è positivo si parla di guadagno;. è negativo si parla di attenuazione Esempi di filtri ideali Gli esempi di filtri ideali sono:. filtro passa basso;. filtro passa alto;. filtro passa banda. Filtro passa basso Grafico: T ω p ω La parte colorata rappresenta la banda passante; al di fuori il segnale viene attenuato e si parla di banda attenuata.

7 1.1. Nozioni base 3 Filtro passa alto Grafico: T ω p ω Come nel caso precedente la parte colorata indica la banda passante. Filtro passa banda Grafico: T ω p1 ω p2 ω Anche in questo caso la banda passante è colorata. I fronti di salita e di discesa sono verticali quindi non possono essere implementati fisicamente nella realtà. Di un filtro reale, nelle specifiche, si conosce la maschera. Ad esempio, per il filtro passa basso, la maschera è: T ω p ω s ω La zona bianca è quella zona in cui il segnale è trasmesso; all interno si distinguono ancora tre sezioni, a seconda della modalità con cui il segnale può passare:

8 4 CAPITOLO 1. Filtri T ω p ω s ω La parte tratteggiata in azzurro prende il nome di banda passante: in questa zona il segnale non subisce attenuazione. Nella parte tratteggiata in arancione, invece, il segnale è molto attenuato; per questo motivo prende il nome di banda attenuata. La zona di passaggio fra banda passante e banda attenuata prende il nome di selettività; nel grafico è la parte evidenziata in verde. La selettività è un indice di quanto è ripido un filtro: più ω p e ω s sono vicine più il filtro sarà ripido e quindi selettivo. L escursione verticale, invece, è il parametro che indica l attenuazione totale introdotta dal filtro Poli e zeri della funzione di trasferimento Il numero di poli della funzione di trasferimento definisce l ordine del filtro; denotando con:. p i i poli del denominatore;. z i gli zeri del numeratore; si può esprimere la trasmissività come: T(s) = k i (s z i) i (s p i) Sul piano complesso i poli devono essere presenti sulla parte colorata: jω σ Inoltre possono essere solo:

9 1.1. Nozioni base 5. reali;. a coppie complesse coniugate. Graficamente: jω α α σ dove:. in giallo sono colorati i poli reali;. in arancione sono colorate le coppie di poli complessi coniugati. Il denominatore della funzione di trasferimento si può esprimere:. D(s) = (s σ i ) nel caso di poli reali;. D(s) = s 2 + 2ξω 0 + ω 2 0 nel caso di poli a coppie complesse coniugate. I coefficienti:. ω 0 rappresenta la pulsazione di risonanza;. ξ rappresenta il coefficiente di smorzamento. Si definisce Q, fattore di qualità, l espressione: Q = 1 2ξ Le radici del polinomio s 2 + 2ξω 0 + ω0 2 sono: φ 1,2 = 2ω 0 Q ± jω Q 2 oppure in funzione del coefficiente di smorzamento: φ 1,2 = ξω 0 ± jω 0 1 ξ 2 Per ottenere poli a coppie complesse coniugate è necessario che il termine ± jω 0 1 ξ 2

10 6 CAPITOLO 1. Filtri sia immaginario e ciò accade se la radice è reale: 1 ξ 2 R = 1 ξ 2 > 0 = ξ < 1 In termini di Q, invece: Nel caso in cui: Q > ξ 2 I allora il termine: è puramente reale e i poli sono reali. ± jω 0 1 ξ 2 Riassumendo, dato un polinomio di secondo grado a denominatore della funzione di trasferimento, si hanno: Poli Condizioni su ξ Condizioni su Q a coppie complesse coniugate ξ < 1 Q > 0.5 Esempio a coppie reali ξ > 1 Q < 0.5 Considerando il sistema: x(t) h(t) y(t) e ipotizzando di realizzare una funzione di trasferimento di tipo passa basso come si esprime l uscita y(t) se in ingresso viene posto: Nel dominio di Laplace: x(t) = A i δ (t) Y (s) = X(s) H(s) Per realizzare un filtro passa basso è necessario che ci sia un solo polo e nessun zero nella H(s): i H(s) = (α i) i (s p i) con α i R. Quindi: Y (s) = A i i (α i) i (s p i)

11 1.1. Nozioni base 7 Antitrasformando si ottiene: y(t) i α i e p i t L uscita è la somma di tanti termini esponenziali dove: p i = σ i + jω i Graficamente: jω jω i σ i σ Se p i è reale allora: y(t) = e σ i t che rappresenta la risposta di un sistema del primo ordine stabile. Visualizziamo graficamente ingresso e uscita per questo tipo di sistemi: x(t) y(t) t t Se p i è complesso allora i poli sono due: p 1,2 = σ i ± jω i La risposta del sistema in questo caso cambia: y(t) e σ i t [e jω i t + e + jω i t ] e σ i t cos(ω i t) Graficamente: x(t) y(t) t t

12 8 CAPITOLO 1. Filtri L uscita presenta oscillazioni di pulsazione ω i ω 0 che si attenuano di σ i. Il termine σ i si esprime: σ i = ξω 0 = 1 2Q ω 0 Il fattore di qualità Q, quindi, rappresenta fisicamente la rapidità con cui le oscillazioni si smorazano nel tempo. Più è elevato il fattore di qualità più le oscillazioni si smorzano lentamente; al limite, per Q, i poli si trovano sull asse immaginario e le oscillazioni non si smorzano: si realizza un oscillatore. Al contrario, per Q bassi, le oscillazioni si smorzano molto velocemente. 1.2 Progetto di filtri del 1 ordine Filtro passa basso Il circuito è: R 2 C 2 R 1 V in + V out I parametri da considerare sono:. trasmissività;. amplificazione in banda;. frequenza del polo. La trasmissività si esprime con: T(s) = V out V in = Z 2 Z 1 = 1 sc 2 //R 2 = R 2 R 1 R sr 2 C 2 L amplificazione in banda (in continua per il filtro passa basso) è data da: T(0) = R 2 R 1

13 1.2. Progetto di filtri del 1 ordine 9 La frequenza del polo: mentre la pulsazione del polo: in quanto ω = 2πf. 1 f p = 2πR 2 C 2 ω p = 1 R 2 C 2 I diagrammi di Bode, modulo e fase, sono: db f p f f p f Le specifiche di progetto sono:. amplificazione in banda controllata attraverso R 1 e R 2 ;. frequenza del polo controllata attraverso C Filtro passa alto Lo schema circuitale è il seguente: R 2 R 1 C 1 V in + V out I parametri da considerare sono, come nel caso precedente:. trasmissività;. amplificazione in banda;

14 10 CAPITOLO 1. Filtri. frequenza del polo. La trasmissività si esprime con: T(s) = V out V in = Z 2 Z 1 = sr 2C sr 1 C 1 L amplificazione in banda (f per il filtro passa alto) è data da: T( ) = R 2 R 1 La frequenza del polo: 1 f p = 2πR 1 C 1 e la pulsazione del polo: ω p = 1 R 1 C 1 I diagrammi di Bode, modulo e fase, sono: db f p f f p f Filtro passa banda Il circuito è: R 2 C 2 R 1 C 1 V in + V out

15 1.3. Progetto di filtri del 2 ordine 11 La trasmissività è: T(s) = V out = Z 2 sr 2 C 1 = V in Z 1 (1 + sr 1 C 1 ) (1 + sr 2 C 2 ) L amplificazione in banda passante è data da: In questo caso i poli sono due: f p1 = quindi anche le pulsazioni sono due: R 2 R 1 1 2πR 1 C 1 f p2 = 1 2πR 2 C 2 ω p1 = 1 R 1 C 1 ω p2 = 1 R 2 C 2 I diagrammi di Bode, modulo e fase, sono: db f p1 f p2 f f p1 f p2 f 1.3 Progetto di filtri del 2 ordine Analisi teorica Per un filtro del secondo ordine la funzione di trasferimento sarà del tipo: H(s) = N(s) s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 dove, a denominatore, le radici saranno complesse coniugate (Q > 0.5). Analizziamo per i vari tipi di filtro la forma del numeratore N(s) e quale influenza ha sui diagrammi di Bode.

16 12 CAPITOLO 1. Filtri Filtro passa basso Il filtro passa basso ha la proprietà di avere: N(s) = costante Si esprime dunque la funzione di trasferimento come: κω 2 0 H(s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 Studiamo il comportamento sull asse delle frequenze, ponendo s = j2πf: f 0 = amplificazione in banda = κ f = banda attenuata 1 f 2 Il diagramma di Bode del modulo di H(s): db db/dec f Le risposte reali possono essere di due tipi, a seconda del valore di Q: db db f f 0.5 < Q < Q > Il secondo grafico evidenzia il picco di risonanza o sovraelongazione: più cresce Q più cresce il picco; nel dominio delle frequenze, inoltre, l altezza del picco è proprio data dal valore di Q. In dettaglio: H(s) db = κ db + Q db

17 1.3. Progetto di filtri del 2 ordine 13 Graficamente: κ db Q db ω max Diagramma di Bode della fase: ω 0 ω Il cambiamento di fase è tanto più veloce tanto più il Q è elevato; la pulsazione ω 0 è quella per cui il segnale di ingresso risulta sfasato di 90. Filtro passa alto La funzione di trasferimento per un filtro passa alto deve avere due zeri nell origine, quindi: N(s) = s 2 Si esprime H(s) come: H(s) = κs 2 s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 Il diagramma di Bode del modulo di H(s): db f

18 14 CAPITOLO 1. Filtri Come per il filtro passa basso, le risposte reali possono essere di due tipi: db db f f 0.5 < Q < Q > Filtro passa banda Per il filtro passa banda la funzione di trasferimento risulta essere: κsω 0 H(s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 Il diagramma di Bode del modulo: db f L f H f La risposta reale è: db f L f H -3dB f I punti a 3dB dal picco individuano le frequenze: [ f L = f Q 2 1 ] f H = f 0 2Q [ Q ] 2Q

19 1.3. Progetto di filtri del 2 ordine 15 Esiste una formula alternativa per il calcolo del fattore di qualità: Q = f 0 BW = f 0 f H f L Più è elevato il Q più il filtro sarà selettivo il frequenza e il picco sarà più stretto; ciò comporta anche un aumento dell amplificazione che può essere uno svantaggio in quanto le frequenze amplificate sono molto vicine alla frequenza f 0. Graficamente: db f Sensibilità La sensibilità è un coefficiente che quantifica le variazioni di parametri reali rispetto a quelli di progetto. La condizione ideale sarebbe avere una sensibilità nulla corrispondente al fatto di misurare gli stessi parametri di progetto, ma è pressochè impossibile. Si definisce sensibilità: S y x = y y 1 x x Realizzazioni circuitali Per realizzare un filtro del secondo ordine è possibile utilizzare due tipi di celle:. celle a guadagno finito;. celle a guadagno infinito (celle a reazioni multiple). Considerando il primo tipo si procede ad analizzare la cella Sallen-Key.

20 16 CAPITOLO 1. Filtri Cella Sallen-Key La realizzazione circuitale prevede inizialmente di utilizzare ammettenze generiche Y i che verranno sostituite con condensatori o resistenze a seconda del tipo di filtro che si vuole realizzare (passa basso, passa alto, passa banda). Circuito generico: Y 2 Y 1 i 1 i 2 i 3 Y 3 + V in V x V out Y 4 V out Per determinare la trasmissività occorre scrivere le equazioni della corrente sul nodo colorato in rosso e della tensione V out : T(s) = V (V in V x ) Y 1 = (V x V out ) Y 3 + (V x V out ) Y 2 out Y V in 3 V out = V x Y 3 + Y 4 dove:. (V in V x ) Y 1 = i 1 ;. (V x V out ) Y 2 = i 2 ;. (V x V out ) Y 3 = i 3. Risolvendo si ottiene: T(s) = V out V in = Y 1 Y 3 Y 4 (Y 1 + Y 2 + Y 3 ) + (Y 1 Y 3 ) Per realizzare un filtro passa basso è necessario che il numeratore non presenti zeri, quindi occorre scegliere: Y 1 = 1 R 1 Y 3 = 1 R 3

21 1.3. Progetto di filtri del 2 ordine 17 Poichè il denominatore deve essere un polinomio di secondo grado in s gli altri due componenti saranno: Y 4 = sc 4 Y 2 = sc 2 Ricapitolando, per il filtro passa basso Sallen-Key: Ammettenza Componente usato Y 1 1 R 1 Y 2 sc 2 Y 3 1 R 3 Y 4 sc 4 Sostituendo i componenti specifici nel circuito generico si ha: R 1 i 1 i 2 i 3 C 2 R 3 + V in V x V out C 4 V out Dati (m, n) N si preferisce utilizzare per i componenti le seguenti espressioni: Componente R 3 R 1 C 4 C 2 Espressione R mr C nc Le espressioni della pulsazione di risonanza, frequenza del polo e fattore di qualità sono riportate in tabella sia con la dicitura per componente, sia con le espressioni introdotte in precedenza:

22 18 CAPITOLO 1. Filtri Parametro Espressione etichette Espressione m, n ω 0 1 R1 R 3 C 2 C 4 1 mnrc 1 f 0 2π R 1 1 R 3 C 2 C 4 2π mnrc R1 R 3 C 2 C 4 mn Q (R 1 + R 3 )C 1 m + 1 Si osservi che, nelle espressioni con m,n, il fattore di qualità non dipende dai componenti scelti, ma solo dal loro rapporto; invece, la f 0, dipende sia dal rapporto fra i componenti sia dalla costante di tempo (τ = RC). Se Q = 1 2 si ha (m = 1,n = 2) è un caso particolare (Butterworth). Come si può notare dal circuito l amplificazione in banda di questa cella è unitaria ed è un limite. Per sopperire a questa mancanza si introducono le celle KRC, celle di tipo Sallen-Key con amplificazione in banda pari a κ. Celle KRC Le celle KRC, circuitalmente, si realizzano introducendo una rete di reazione sul morsetto invertente dell amplificatore: R B R 1 C 2 i 1 i 2 i 3 R 3 R A + V in V x V out C 4 V out La trasmissività cambia: T(s) = V out V in = κ Y 1 Y 3 Y 4 (Y 1 + Y 2 + Y 3 ) + (1 κ) (Y 2 Y 3 ) + (Y 1 Y 3 )

23 1.3. Progetto di filtri del 2 ordine 19 Per questo circuito l amplificazione in banda risulta essere: κ = 1 + R B R A La pulsazione di risonanza e la f 0 non cambiano espressione, mentre il fattore di qualità diventa: mn Q = m (1 κ) (mn) Ora Q oltre a dipendere dal rapporto fra i componenti usati dipende anche dall amplificazione in banda che si vuole ottenere. Per m = 1, n = 1, ponendo quindi uguali i valori delle due resistenze e uguali i valori dei due condensatori, si ha: f 0 = 1 2πRC Q = 1 3 κ Esempio Si vuole progettare una cella KRC con Q = 10. Determiniamo il valore di κ: κ = 3 1 Q = = 2.9 Come è noto κ rappresenta l amplificazione in banda, quindi: κ = 1 + R B R A = R B R A = 1.9 Se a causa delle tolleranze sui componenti il rapporto R B R A varia di ±1%: κ = 2.9 ± % = κ = [ ] Sostituendo nell espressione di Q si nota che: 8.3 < Q < 12.5 In conclusione: piccole variazioni su κ generano grandi variazioni su Q; il fattore di qualità delle celle KRC è molto sensibile al parametro dell amplificazione di banda. Il progetto risulta critico perchè occorre usare componenti molto precisi pur di ottenere Q abbastanza vicini al valore teorico desiderato.

24 20 CAPITOLO 1. Filtri Considerazioni sulla sensibilità In questa sezione si analizza come le tolleranze sui componenti influiscano sui parametri f 0 e Q per le celle Sallen-Key e KRC. Ricapitolando: Parametro Sallen-Key KRC f 0 1 2π R 1 R 3 C 2 C 4 1 2π R 1 R 3 C 2 C 4 Q R1 R 3 C 2 C 4 (R 1 + R 3 )C 1 R1 R 3 C 2 C 4 (R 1 + R 3 ) C 4 + (1 κ) (R 1 C 2 ) Per la cella Sallen-Key: S Q C 2 = Q C 2 C2 Q = 1 2 S Q C 4 = Q C 4 C4 Q = 1 2 S f 0 R 1,R 3,C 2,C 4 = 1 2 Questo tipo di cella ha quindi sensibilità molto basse: con tolleranze sui componenti del 20% i parametri Q e f 0 variando della metà (10%). Questo è indubbiamente un vantaggio, ma Q e f 0 dipendono dai valori di tutti i componenti quindi modificando il valore di uno automaticamente varia anche l altro. Sarebbe meglio poter agire indipendentemente su uno, ad esempio Q, senza variare f 0. Inoltre, per Q elevati, i valori dei componenti utilizzati devono necessariamente essere molto diversi fra loro: se R 1 = R 3 = R allora C 2 C 4 = 4Q 2 quindi C 2 e C 4 avranno capacità di ordini di grandezza diversi. Per la cella KRC: S Q R 3 = 1 2 Q R 3 C 4 R1 R 3 C 2 C 4 la sensibilità su Q cresce al crescere di Q; per valori alti del fattore di qualità il filtro progettato sarà poco preciso. Cella a reazioni multiple La cella a reazioni multiple, come descritto nella sezione a pagina 15, presentano guadagno infinito.

25 1.3. Progetto di filtri del 2 ordine 21 La loro realizzazione circuitale generale è la seguente: Y 2 Y 5 Y 1 i 2 i 1 i 3 i 4 Y 3 i 3 + V in V x Y 4 V out Per determinare la trasmissività occorre scrivere le equazioni della corrente sul nodo colorato in rosso e della tensione V out : T(s) = V (V in V x ) Y 1 = (V x V out ) Y 2 + V x (Y 3 + Y 4 ) out V in V out = Y 3 V x Y 5 dove:. (V in V x ) Y 1 = i 1 ;. (V x V out ) Y 2 = i 2 ;. V x Y 3 = V out Y 5 = i 3. Risolvendo si ottiene: T(s) = V out Y 1 Y 3 = V in Y 5 (Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 ) + (Y 2 Y 3 ) Per realizzare un filtro passa banda è necessario che il numeratore abbia uno zero, quindi occorre scegliere: Y 1 = 1 R 1 Y 3 = sc 3 Poichè il denominatore deve essere un polinomio di secondo grado in s gli altri componenti saranno: Y 5 = 1 R 5 Y 4 = 1 R 4 Y 2 = sc 2

26 22 CAPITOLO 1. Filtri La scelta non è univoca tuttavia è indispensabile che non sia presente un anello aperto sull amplificatore operazionale. Ricapitolando, per il filtro passa banda con cella a reazioni multiple: Ammettenza Componente usato Y 1 1 R 1 Y 2 sc 2 Y 3 sc 3 Y 4 1 R 4 Y 5 1 R 5 Sostituendo i componenti nel circuito generico si ottiene: C 2 R 5 R 1 i 1 i 2 i 4 i 3 C 3 i 3 + V in V x R 4 V out Per questo circuito: T(s) = sc 3 R 4 R 5 s 2 C 2 C 3 R 1 R 4 R 5 + sr 1 R 4 (C 2 + C 3 ) + (R 1 + R 4 ) f 0 = 1 2π C 2 C 3 R 5 (R 1 //R 4 ) Q = C2 C 3 R 5 (C 2 + C 3 ) R 1 //R 4 Rispetto alla cella Sallen-Key è presente, in più, l ammettenza Y 4. Se non fosse presente non si potrebbe fare un progetto con un fattore di qualità alto altrimenti l amplificatore operazionale saturerebbe.

27 1.4. Tecnica di sintesi RLC Tecnica di sintesi RLC Un filtro passivo del secondo ordine è rappresentato circuitalmente da: + L V in R C Con: ω 0 = 1 LC f 0 = 1 Q = R ω 0 L = Rω 0C 2π LC La realizzazione di filtri di ordini superiori al secondo avviene collegando in cascata tante celle di questo tipo. Tuttavia, per bande di frequenza basse è noto che l induttore non si può utilizzare. Occorre trovare un blocco sostitutivo che abbia lo stesso comportamento di un induttore, ma sia realizzato con resistenze, condensatori ed amplificatori operazionali. Questo tipo di circuiti prendono il nome di GIC, o convertitori di impedenza. La loro realizzazione circuitale è la seguente: A Z 1 Z 2 + Z 3 + Z 4 Z 5

28 24 CAPITOLO 1. Filtri Il circuito equivalente è: A Z Con: Per essere un induttore: Quindi: Z = Z 1Z 3 Z 5 Z 1 Z 4 Z = sl Z 2 = 1 sl 2 oppure Z 4 = 1 sl 4 Scegliendo Z 2 = 1 sl 2 gli altri componenti devono essere: Z 1 = R 1, Z 3 = R 3, Z 4 = R 4, Z 5 = R Filtri con più amplificatori operazionali Per le celle viste fin qui, con un solo amplificatore operazionale, si sono riscontrati problemi di taratura indipendente per f 0 e Q e sensibilità dipendenti da Q. Al fine di migliorare la precisione occorre introdurre nuove celle con più di un amplificatore operazionale Filtri a variabili di stato Analisi teorica La funzione di trasferimento di un filtro passa alto è: κs 2 H HP (s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 Dividendo per s si ottiene una funzione di trasferimento tipica del filtro passa banda: κs H BP (s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 Se si divide ulteriormente per s si nota che il risultato è la funzione di trasferimento del filtro passa basso: κ H LP (s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2

29 1.5. Filtri con più amplificatori operazionali 25 La divisione per s nel dominio di Laplace corrisponde ad un integrazione nel dominio temporale: H HP V in V HP V BP V LP Analiticamente: con A 1 e A 2 costanti. Poichè:. V BP = V HP s ;. V LP = V HP s 2 ; V HP = V in A 1 V BP A 2 V LP Si ha: ( ) ( ) V HP = V in A 1 VHP A 2 VHP s s 2 Con qualche passaggio algebrico: [ V HP 1 + A 1 s + A ] 2 s 2 = V in = V HP V in = s 2 s 2 + A 1 s + A 2 Realizzazione circuitale R 3 R 3 C C V in R 3 + V HP R + R + V LP R 1 R 2 V BP

30 26 CAPITOLO 1. Filtri Si determina con la sovrapposizione degli effetti la tensione V HP : V HP Vin = V in V HP VLP = V LP V HP VBP = V BP ( R1 R 1 + R 2 ) ( 1 + R ) 3 R 3 //R 3 dove: ( 1 + R ) 3 = 3 R 3 //R 3 Mettendo a sistema le equazioni: ( ) R1 V HP = V in V LP + V BP 3 R 1 + R 2 V BP = 1 src V HP V LP = 1 src V BP Si ottiene: V HP s 2 R 2 C = [ 2 V in s 2 R 2 C 2 + s 3RC R 1 R 1 + R 2 ] + 1 I parametri f 0 e Q valgono: f 0 = 1 2πRC Q = 1 ( R ) 2 R 1 Per questa cella l amplificazione in banda è controllata agendo sui blocchi integratori ed è indipendente dal fattore di qualità Celle biquadratiche Si sostituisce al blocco sommatore un blocco integratore-sommatore:

31 1.5. Filtri con più amplificatori operazionali 27 R 5 C 2 R 3 C 2 R 4 R 1 R 1 R 4 + V in + VBP V LP + V LP Come nel caso precedente si procede con la sovrapposizione degli effetti: V BP Vin V BP VLP = 1 sc = 1 //R 2 V in R 1 1 sc 1 //R 2 V LP R 5 Mettendo a sistema le equazioni: 1 V BP = Si ottiene: V LP = V BP sr 4 C 2 sc 1 //R 2 R 1 V in + 1 sc 1 //R 2 V LP R 5 V BP = R 2 sr 4 R 5 C 2 /R 2 V in R 1 s 2 R 4 R 5 C 1 C 2 + sr 4 R 5 C 2 /R I parametri f 0 e Q valgono: f 0 = 1 2π R 4 R 5 C 1 C 2 Q = R 2 C 1 R 4 R 5 C 2 Il fattore di qualità dipende da un parametro, R 2, che non influenza f 0. A differenza delle variabili di stato per le celle biquadratiche le uscite possibili sono solo due anziche tre; il motivo è dovuto alla sostituzione del blocco sommatore.

32 28 CAPITOLO 1. Filtri 1.6 Filtri a capacità commutate Analisi per comportamento ideale Per realizzare in forma integrata un interruttore è necessario utilizzare un transistore MOS: Elenco dei simboli usati: = Parametro V TH V GS V DS I DS Descrizione tensione di soglia tensione gate-source tensione drain-source corrente drain-source Si ricorda che in zona lineare: I DS = µ n C ox ω n L n (V GS V TH )V DS e si può approssimare: R on di valore pari a: 1 R on = ω µ n C n ox L n (V GS V TH ) Supponendo di pilotare con una tensione V φ il tasto dell interruttore:. se φ = 0 = = V φ 0 (stato basso);. se φ = 1 = = V φ V AL (stato alto). Il circuito che illustra questo comportamento è il seguente: V in V out V φ

33 1.6. Filtri a capacità commutate 29 Pass Transistor V in C V out La condizione iniziale prevede il condensatore scarico; impostando V φ allo stato alto anche V GS andrà allo stato alto quindi il canale permette il passaggio di cariche dall ingresso sul condensatore. Quando viene raggiunta la condizione per cui V out = V C = V in il condensatore è completamente carico. Durante la fase di passaggio la tensione V GS scende progressivamente come V DS che si annulla quando V out = V in. Il funzionamento descritto non è valido per ogni tensione di ingresso, ma solo per quelle che garantiscono: V GS > V TH Trasmission Gate V in C V out Inserire un pmos è molto utile perchè se entrambi conducono il comportamento non è più assimilabile ad una sola resistenza R on, ma al parallelo di due resistenze di valore R on. Con i grafici si intuisce bene il vantaggio; con un solo transistore la conduzione non può avvenire a tutte le tensioni, ma:

34 30 CAPITOLO 1. Filtri R on V in V DD V TH Con due transistori, uno n (in rosso) e uno p (in blu): R on V in V Tp V Tn si ha conduzione per tutte le tensioni in quanto se un transistore non conduce si è nella zona in cui conduce l altro Comportamenti con capacità parassite Introducendo capacità parassite che descrivono il comportamento reale dei circuiti elencati in precedenza si osservano due tipi di errori:. errore di piedistallo;. errore di feedtrought. Si procede ad un analisi separata dei due errori.

35 1.6. Filtri a capacità commutate 31 Errore di piedistallo C Go V in C DB C L V out La tensione su C L, quando il condensatore è completamente carico, non sarà più come prima V in : lo scostamento è l errore di piedistallo. Per tensioni di ingresso allo stato alto (t < 0) ad interruttore chiuso: Q TOT = (C L + C DB )V out + C Go (V out V DD ) Per tensioni di ingresso allo stato basso (t > 0) ad interruttore aperto: Q TOT = (C L + C DB + C Go )V out La quantità di carica nei due casi si deve conservare quindi: V out = C L + C DB C Go C Go V out V DD C L + C DB + C Go C L + C DB + C Go La quantità di variazione dell uscita rispetto al caso ideale è: C Go V DD C L + C DB + C Go Per il trasmission gate l errore di piedistallo è: V out = V DD C n G0 C n G0 + Cp G0 + C L V DD C p G0 CG0 n + Cp G0 + C L Errore di feedtrought C Go V in C DB C L V out C DS

36 32 CAPITOLO 1. Filtri Data una differenza di potenziale in ingresso V in si avrà: V out = C DS C DS + C L V in L interruttore non si comporta come un resistore ma come un condensatore di capacità C DS Realizzazione di resistori In forma integrata le fonti di imprecisione dei circuiti sono le resistenze mentre amplificatori e condensatori no (per i condensatori le capacità devono essere inferiori a 100pF ). Utilizzando dei condensatori e degli interruttori è possibile simulare il comportamento delle resistenze e poichè gli interruttori sono transistori non sono fonte di imprecisione V 1 C V 2 Chiudendo il tasto sulla posizione 1 il condensatore verrà caricato alla tensione V 1 e avrà una carica pari a: Q 1 = C V 1 Commutando il tasto sulla posizione 2 il condensatore si caricherà alla tensione V 2 con una carica: Q 2 = C V 2 La differenza: Q = Q 2 Q 1 (1.1) rappresenta la quantità di carica trasferita da 1 a 2. Il passaggio avviene ogni volta che si commuta l interruttore; definendo un periodo di clock t ck e una frequenza di clock f ck in modo tale per cui: f ck = 1 t ck

37 1.6. Filtri a capacità commutate 33 si può considerare la quantità di carica trasferita in un solo passaggio normalizzando l espressione (1.1) con t ck : Infatti dimensionalmente: Q t ck = Q 2 Q 1 t ck [ ] F s = A Si può esprimere la differenza di potenziale: quindi il termine: ha le dimensioni di una resistenza. Il circuito si comporta quindi come: = i eq 1 (V 2 V 1 ) = i eq C f ck 1 C f ck = R eq R eq + + V 1 V 2 Dove la resistenza R eq è una resistenza regolabile con la frequenza del segnale che pilota la commutazione degli interruttori. Sostituendo all interruttore il circuito equivalente con il pass transistor si ha: + + V 1 C V 2

38 34 CAPITOLO 1. Filtri Esiste una precisa configurazione di apertura e chiusura per gli interruttori: se il primo interruttore è aperto il secondo deve essere chiuso e quando il primo è chiuso il secondo è aperto. La frequenza di clock non può essere troppo grande o troppo piccola, ma deve poter garantire al condensatore il tempo necessario per caricarsi. Se la tensione del generatore è variabile è necessario che fra una commutazione e l altra dell interruttore cambi molto lentamente in modo tale da essere approssimata a costante; se ciò non accade non è possibile esplicitare la differenza di potenziale espressa in precedenza. Questa condizione richiede: f gen f ck Integratore a capacità commutate Analisi teorica C R V in + V out Sostituendo alla resistenza R il circuito pass transistor: C V in C 1 + V out La resistenza R diventa quindi: 1 R = C 1 f ck

39 1.6. Filtri a capacità commutate 35 La funzione di trasferimento è: H(s) = V out = 1 V in scr = 1 s f ck C1 C = ω 0 s dove: ω 0 = f ck C1 C Il termine ω 0 rappresenta la costante di integrazione e:. dipende da un rapporto di capacità e non dai singoli valori dei condensatori, ma un rapporto si può realizzare in modo molto preciso controllando le armature dei condensatori;. può essere programmata con la frequenza di clock f ck. I valori di capacità dei componenti possono avere una deriva nel corso degli anni, ma considerando il rapporto si riduce questo problema. Esempio numerico Realizzare un integratore a capacità commutate con: f 0 = ω 0 2π = 1kHz Se venisse progettato scegliendo come resistenza: R = 100kΩ occorrerebbe avere una capacità di 1.59nF, infatti: f 0 = 1 2πRC = 1kHz = C = 1 2π( ) ( ) = 1.59nF Questo valore di capacità è di gran lunga superiore alla soglia indicata in precedenza a pagina 32 (100pF), quindi questo progetto non può essere realizzato per un circuito integrato. Utilizzando la tecnica delle capacità commutate:. ipotizzando di avere la frequenza interna del generatore di 10 khz, poichè: f ck f gen = f ck = 10 f gen = f ck = 100kHz. dalla teoria si conosce che: f 0 = 1 2π f ck C1 C quindi si può ricavare il rapporto delle due capacità: C 1 C = f 0 f ck 2π = 1kHz 100kHz 2π = =

40 36 CAPITOLO 1. Filtri. scegliendo come capacità C = 10pF si ha C 1 = 0.628pF per rispettare il vincolo. Considerazioni:. i valori di capacità scelti sono inferiori alla soglia quindi accettabili;. la frequenza di clock massima: f ckmax f ck ; se si considera come un rapporto di 10 allora: f ckmax f ck = f ckmax 100kHz = f ckmax = 1MHz la frequenza massima deve tenere conto del tempo in cui l amplificatore riesce ad assestare la tensione di integrazione;. la frequenza di clock minima deve considerare la possibilità che i condensatori vengano scaricati dalle correnti di perdita e di polarizzazione quindi deve essere di almeno 100Hz. Effetto delle capacità parassite Introducendo le capacità parassite (colorate in rosso nel circuito) si vuole studiare il comportamento del circuito: C p5 C C p6 V in + V out C p1 C p2 C 1 C p3 C p4. la capacità C p1 è in parallelo al generatore di ingresso quindi non interviene;. le capacità C p2, C 1 e C p3 sono in parallelo;. la capacità C p4 è a massa virtuale come la capacità C p5 ;. la capacità C p6 non influenza la tensione di uscita V out. In questo caso si ha: f 0 = 1 2π Cp 2 + C 1 + C p3 C f ck

41 1.6. Filtri a capacità commutate 37 L errore rispetto al circuito privo di capacità parassite è dato proprio dai contributi C p2 e C p3. Se tale errore non può essere accettato è necessario cambiare configurazione scegliendo quella che minimizza il numero di capacità parassite inserite. Questa configurazione è: C C V 1 in + V out In questo caso gli interruttori vanno pilotati contemporaneamente sullo stato alto oppure sullo stato basso. Sostituendo agli interruttori, evidenziati in azzurro nel circuito seguente: C C V 1 in + V out con i transistori, evidenziati in arancione, si ottiene:

42 38 CAPITOLO 1. Filtri C V in C 1 + V out Per questa tipologia di circuito le capacità parassite, di cui non si mostra il circuito, non intervengono. La tensione di uscita all istante temporale n è data da: V 0 (n t ck ) = V 0 [(n + 1)t ck ] + Q C = V 0[(n + 1)t ck ] + C 1 C V i[(n + 1)t ck ] dove:. V 0 [(n + 1)t ck ] rappresenta la tensione misurata all istante temporale precedente;.. Q C rappresenta la quantità di carica trasferita da C 1 a C; C 1 C rappresenta la costante di integrazione;. V i [(n + 1)t ck ] rappresenta la tensione di ingresso al passo precedente. Nel dominio delle trasformate z: V 0 = V 0 z + C 1 C Vi z quindi la funzione di trasferimento può essere espressa come: H(z) = C 1 C z 1 1 z 1 con z = e j2πf/f ck: H(f) = 1 πf/f ck ( ) e j2πf/fck jf/f 0 sin πf f ck dove:. 1 jf/f 0 è la funzione dell integratore normale;. il termine fra parentesi quadre rappresenta il termine di correzione e tende a 1 per f f ck. Quindi il circuito realizzato ha un comportamento simile all integratore normale solo per f f ck ; la rotazione introdotta è lineare anzichè 90.

43 Capitolo 2 Applicazioni di transistori bipolari Lo schema di un rivitore FM prevede: RF AMP IF + FBP f 0 Il segnale ricevuto dall antenna viene filtrato da un amplificatore a radiofrequenza (frequenze di ( MHz) e larghezza di banda 225 khz per segnali FM); la particolarità di questo filtro è che deve essere accordato sulla frequenza del segnale ricevuto. Il segnale filtrato viene inviato ad un moltiplicatore (mixer) perchè ne faccia il battimento con un segnale a frequenza f 0 generata dall oscillatore locale (vco, voltage controlled oscillator); il risultato di questa operazione deve essere un segnale con una frequenza intermedia fissa (intermediary frequency) pari a 10.7MHz più bassa rispetto alle frequenze di ingresso. L oscillatore locale deve quindi modificare la sua frequenza in base a quella del segnale di ingresso per garantire la IF fissa; successivamente il segnale viene filtrato con un filtro passa banda. I componenti dello schema a blocchi visto sono: 39

44 40 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari. amplificatore a radiofrequenza accordabile;. moltiplicatore o mixer;. oscillatore locale. La realizzazione circuitale avviene utilizzando transistori bipolari. Nelle sezioni seguenti verranno analizzati gli schemi circuitali e le proprietà per ognuno. 2.1 Amplificatori accordabili a banda stretta Richiami sul modello di Ebers-Moll α R I R α F I F I E I C I F I B I R ( ) V BE V I F = I E0 e T 1 ( ) V BC V I R = I C0 e T 1 I C = α F I F I R In regione attiva diretta: I E = α R I R I F V BC < 0 V T = 26mV V BE = 0.6V ( ) V BE V I C = α F I E0 e T ( ) V BE V I E = I E0 e T Poichè α F 1 = I E I C.

45 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta Modelli di piccolo segnale Modello ibrido π B r µ C r π g m V BE r 0 E r π = β 0 V T I C r µ 0 g m = I C V T r 0 = V A I C Modello a parametri h B C h ie h fe I B h oe E h ie = V T I B h fe = β 0 r 0 = I C V A Il termine β 0 rappresenta il guadagno di corrente Polarizzazione Inizialmente si studia la polarizzazione; lo schema circuitale da considerare è il seguente:

46 42 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari V AL R 2 R C I 2 Ib I C V CE I 1 V BE I E R 1 R E Le specifiche di progetto sono: V AL = +15V V CEq = +5V I Cq = 750µA 100 < β < 200 Le prime equazioni che si possono scrivere riguardano le correnti: I b = I E /β I C = V AL /R C La maglia di ingresso può essere rappresentata con il modello equivalente di Thevenin: + R B V BB dove:. V BB =. R B = R 1 //R 2 R 1 R 1 + R 2 V AL Sostituendo nel circuito seguente la parte tratteggiata in verde con il modello di Thevenin visto sopra: tensione V CE nel punto di equilibrio corrente I C nel punto di equilibrio

47 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta 43 V AL R 2 R C I 2 Ib I C V CE I 1 V BE I E R 1 R E Si ottiene la configurazione: V AL R C R B I C + I b V BE I E V CE V BB R E Da questa configurazione si può osservare che: I E = V BB R B I b V BE R E Poichè I E = I cq = 750µA costante il punto di lavoro deve essere stabile, anche se il fattore β nelle specifiche è molto impreciso e la tensione V BE è molto sensibile alle variazioni di temperatura. L unico parametro stabile è V BB perchè dipende dalla tensione di alimentazione e dai valori di resistenza, quindi per ottenere un punto di lavoro stabile è necessario che: I E V BB R B

48 44 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari ossia occorre rendere trascurabili le tensioni R B I b e V BE rispetto a V BB : Poichè: V BB V BE = V BB 0.6V = V BB 6V I b piccola = I b = I 2 I 1 = I 2 I b I b = I E /β sostituendo i valori massimi e minimi di β: quindi: La condizione necessaria è: 750µA 100 < I b < 750µA 200 I bmax = 7.5µA I 2 I b = I 2 = 10 I bmax = I 2 = 75µA La corrente I 1 invece vale: L espressione per I 2 è: I 1 = 9I b = I 1 = 67.5µA I 2 = V AL R 1 I 1 R 2 Sostituendo i valori numerici si ottiene la prima equazione per poter dimensionare le resistenze R 1 ed R 2 : Elaborando l equazione: 75µA = 15V R µA R 2 V BB = R 1 R 1 + R 2 V AL si ottiene la seconda equazione da mettere a sistema con la precedente: 6V = R 1 R 1 + R 2 15 = R 1 R 1 + R 2 = 2 5 = R 2 R 1 = 3 2 Il sistema è quindi formato da: 75µA = 15V R µA R 2 = 3 R 1 2 R 2

49 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta 45 Ottenendo: { R 1 = 83.3kΩ R 2 = 124.9kΩ A questo punto è necessario verificare se i risultati sono corretti: R B I b = R 1 //R 2 I b = 50kΩ 7.5µA = 0.37V V BE è impostata a 0.6V I due contributi sommati sono circa 1V perciò sono accettabili. É importante precisare che la corrente I b non deve essere troppo bassa altrimenti il transistore non viene polarizzato. Ora è possibile dimensionare R E ed R C ; poichè: I E = V BB R B I b V BE R E = 750µA si ha: R E = V BB R B I b V BE V 0.6V = I E 750µA = 6.7kΩ Per determinare il valore di R C si scrive l equazione alla maglia evidenziata in viola nel circuito seguente: V AL R 2 R C I 2 I 1 Ib V BE I C I E V CE R 1 R E V CE = V AL R C I C R E I E dove I C = I E. Perciò: R C = V CE R E I E + V AL I C = 5V 6.7kΩ 750µA + 15V 750µA = 6.63kΩ

50 46 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari Amplificatore ad emettitore comune In questa sezione si studia l applicazione del circuito precedente per realizzare un amplificatore ad emettitore comune; lo schema circuitale da analizzare è il seguente: V AL R 2 R C C L V in + C B R 1 I 2 I 1 Ib I C V BE R E V CE C E R L V out I E Il condensatore C B posto in ingresso del sistema permette la polarizzazione del circuito indipendentemente dal segnale di ingresso; il condensatore C E, invece, forza la corrente I E ad essere costante, perchè, applicando il segnale, il valore di capacità è dimensionato in modo tale che Z E, il parallelo fra R E e C E, abbia un valore molto piccolo, approssimabile ad un cortocircuito verso massa. In questo modo, applicando la sovrapposizione degli effetti:. il contributo dato dalla polarizzazione a V E è V Eq ;. il contributo dato applicando un segnale di ingresso è nullo. Quindi, in ogni istante di tempo, sulla resistenza R E è applicata una tensione costante pari a V Eq. Comportamento in zona lineare Applicando tensioni basse al segnale di ingresso si può operare approssimando il comportamento del transistore con il modello di Ebers-Moll perchè si lavora in zona lineare (evidenziato in arancione nel circuito):

51 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta 47 V AL C B R 2 I 2 I b I C R C C L + I 1 h ie h fe I b V in R 1 R L V out R E I E C E Il circuito equivalente, inserendo un impedenza generica Z E come parallelo di C E e R E : R S I b + h ie V in V in R b h fe I b RL Vout I E Z E Che si dimostra essere equivalente a: R S I b + h ie V in V in R b h fe I b RL Vout Z E Z E Se il valore della resistenza interna del generatore R S è trascurabile, tutta la tensione applicata in ingresso cade su R B ; perciò si può esprimere la corrente

52 48 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari I b come: La tensione di uscita sarà: I b = V in h ie + Z E (1 + h fe ) V out = R L h fe I b E sostituendo a I b l espressione precedente: Il guadagno è quindi: V out = A V = R L h fe V in h ie + Z E (1 + h fe ) R L h fe h ie + Z E (1 + h fe ) In continua Z E = R E serve per la polarizzazione, ma appena si applica il segnale il valore di Z E deve essere basso per non limitare l amplificazione (il termine è infatti a denominatore). Trascurando Z E : A V = R L h fe h ie si può concludere che l amplificazione è poco precisa in quanto:. h fe dipende dal transistore scelto;. h ie = V T I Bq dove V T è la tensione termica pari a 26mV a temperatura ambiente, quindi il guadagno dipende dalla temperatura. Gli amplificatori realizzati con gli operazionali invece non hanno dipendenza da questi fattori: il guadagno dipende esclusivamente dalla rete di retroazione introdotta. Analisi per segnali di ingresso con ampiezze diverse In questa sezione si prenderanno in considerazione due ipotesi:. cosa succede all amplificatore ad emettitore comune quando in ingresso non è presente alcun segnale;. cosa accade, invece, se in ingresso è presente un segnale sinusoidale ad ampiezza variabile.

53 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta 49 Nel primo caso: VE I E = I S e VT V BE = V T log I E I S V EDC = V BEDC = V T log I E I S Nel secondo caso invece non si può più approssimare il comportamento del transistore con il modello di Ebers-Moll: VE V I E (t) = I S e T = I C V BE = V in + V E dove: Quindi:. V in dipende dal tempo;. V E no, in quanto si inserita Z E opportunamente per forzare una corrente costante su R E. V BE (t) = V in (t) + V E Sostituendo, la corrente sul collettore risulta essere: Se in ingresso è presente un segnale: VE Vin (t) I C (t) = I S e VT V e T V in (t) = V inp cos(ω i t) con V inp ampiezza di picco qualsiasi, si introduce il parametro: x = V inp V T che misura quanto l ampiezza del segnale di ingresso è grande o piccola rispetto alla tensione termica. Il termine: V in (t) V T = V inp V T cos(ω i t) = x cos(ω i t) Perciò: VE I C (t) = I S e VT e x cos(ω it) Lo sviluppo in serie di Fourier di e x cos(ω it) : + e x cos(ωit) = I 0 (x) + 2 I n (x)cos(n ω i t) n=1

54 50 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari dove I n (x) sono le funzioni di Bessel modificate di prima specie e ordine n. Sostituendo lo sviluppo: { [ ]} VE + I C (t) = I S e VT I n (x) I 0 (x) I 0 (x) cos(n ω it) La tensione di uscita è: quindi: VE V out = V AL R C I S e VT n=1 V out = V AL R C I C (t) { I 0 (x) [ n=1 ]} I n (x) I 0 (x) cos(n ω it) dove: VE V. I S e T I 0 (x) è il termine fissato dal generatore costante, la parte in continua; VE {. I S e VT I 0 (x) 2 } + I n (x) n=1 I 0 (x) cos(n ω it) è il termine che esprime la distrosione data dalle armoniche di ordine superiore. La componente in continua della corrente di collettore è, come scritto in precedenza: VE I CDC (t) = I S e VT I 0 (x) quindi si può ricavare: V BEDC = V T log I E I S V T log I 0 (x) Il primo dei due contributi è esattamente identico a quello ricavato quando in ingresso non è presente alcun segnale mentre il secondo rappresenta un termine correttivo. Funzioni di Bessel Le funzioni di Bessel, al variare del parametro x, seguono il comportamento descritto in figura (2.1). Considerando i contributi normalizzati rispetto a I 0 (x) il comportamento è quello mostrato in figura (2.2). Ad esempio, la funzione di Bessel di ordine 1 indica di quanto viene amplificata la componente della prima armonica del segnale di uscita.

55 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta 51 Figura 2.1: grafico funzioni di Bessel modificate di prima specie Se il rapporto V inp /V T è piccolo allora le funzioni di Bessel tendono a zero: significa che l uscita non è distorta dalle armoniche di ordine superiore. Quando, invece, il rapporto V inp /V T diventa significativo tali contributi influenzano in modo notevole l uscita. V outp n=1 V inp = R C I C V inp 2 I 1(x) I 0 (x) dove:. I 1 (x) rappresenta l ampiezza della prima armonica superiore;. I 0 (x) è l ampiezza del segnale di ingresso. Poichè: Rielaborando si ottiene: x = V inp V T V outp n=1 V inp = R C I C x V T 2 I 1(x) I 0 (x) = R C I C V T 2 I 1(x) x I 0 (x) Il rapporto: I C V T = gm transcoduttanza di piccolo segnale.

56 52 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari Figura 2.2: grafico funzioni di Bessel modificate di prima specie normalizzate Quindi: V outp n=1 V inp = (R C gm) 2 I 1(x) x I 0 (x) Il primo termine, (R C gm), caratterizza il contributo di piccolo segnale, mentre il secondo è un termine correttivo perchè le ipotesi di piccolo segnale non sono verificate. L espressione: gm 2 I 1(x) x I 0 (x) = Gm(x) prende il nome di transconduttanza di ampio segnale. Modello Piccolo segnale Ampio segnale Guadagno R C gm R C Gm(x) Si osservi che: x 0 = Gm(x) 1 quindi si ritorna alle condizioni di piccolo segnale. Graficamente:

57 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta 53 Gm(x) gm x Si osservi su un grafico come vengono distribuite le ampiezze delle componenti: V n=1 n=2 n=3 ω n Per selezionarle singolarmente è necessario filtrarle con un filtro passa banda e si realizza inserendo nel circuito solito la parte in azzurro: I C V AL R 2 L C R C C C V in + C B R 1 I 2 I 1 Ib V BE R E V CE C L C E R L V out I E

58 54 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari In questo modo se la capacità è variabile è possibile spostare la banda del filtro e selezionare l armonica desiderata. Indicando con Z RLC il parallelo di C C, R C e L C : Z RLC = 1 C s s s RC + 1 LC con: ω 0 = 1 C Q = R LC L Si indica: Z RLC (ω 0 ) Z RLC (n ω 0 ) = Q n 1 n un parametro che, a seconda dell armonica scelta, mostra quanto è larga la banda del filtro e come si attenua. Ipotizzando di selezionare la seconda armonica (n = 2): Z RLC (ω 0 ) Z RLC (2ω 0 ) = Q 1 2 Graficamente: V out n=1 n=2 n=3 ω n 2.2 Oscillatori Teoria degli oscillatori Lo schema a blocchi per un oscillatore è: V in A(s) V out B(s)

59 2.2. Oscillatori 55 La funzione di trasferimento è: e il guadagno ad anello è: Av(s) = A(s) 1 A(s)B(s) T(s) = A(s)B(s) La pulsazione ω k per cui: T(jω k ) = 1 è la pulsazione a cui il circuito oscilla perchè ogni disturbo viene amplificato. Le condizioni di Barkhausen per identificare un oscillatore sono: { T(jω k ) = 1 T(jω k ) = 0 L ampiezza non può crescere a dismisura, ma deve essere limitata quindi è necessario che: A(s) sia non lineare Questa condizione è verificata utilizzando un transistore bipolare come amplificatore: C R l C B(s) i

60 56 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari Oscillatore di Colpitts Nell oscillatore di Colpitts si sostituisce il blocco B(s) con: C 2 C 1 Verifica delle condizioni di Barkhausen Inserendo un generatore di test: C R l V f V out C 2 i V φ C 1 Si osserva che: e: V φ = C 1 C 1 + C 2 V f V φ = V BE la tensione fra base e collettore del bjt. Indicando con Z RLC il parallelo fra condensatore, resistenza ed induttore, si ha: C 1 V out = gm Z RLC V BE = gm Z RLC V f C 1 + C 2

61 2.3. Mixer 57 Il guadagno per piccolo segnale risulta essere: T ps = V out V f = gm Z RLC C 1 C 1 + C 2 e il guadagno di ampio segnale è lo stesso, a patto di sostituire la transconduttanza gm con Gm(ω): T as = V out V f = Gm(x) Z RLC (jω) C 1 C 1 + C 2 Applicando le condizioni di Barkhausen a T as : Gm(x) Z C 1 RLC(jω) C 1 + C 2 = 1 C 1 Gm(x) Z RLC (jω) = 0 C 1 + C 2. La fase è pari a 0 se: Z RLC (jω) = jω = 0 = ω 0 = 1 LC in quanto gli altri due fattori sono numeri reali;. per quanto riguarda il modulo, affinchè sia pari a 1, è necessario determinare per quale valore del parametro x l ampiezza diventa 1. L oscillatore è stabile se la fase non varia al variare del modulo; questa condizione si realizza per Q elevati. 2.3 Mixer Per realizzare un prodotto fra due segnali sinusodali è necessario usare un mixer o moltiplicatore: V x (t) V out (t) V y (t) Esprimendo gli ingressi come:. V x (t) = V xp cos(ω 1 t);. V y (t) = V yp cos(ω 2 t); Si ha: V out (t) = κ m V xp V yp cos(ω 1 t) cos(ω 2 t) dove κ m rappresenta una costante moltiplicativa del mixer. Graficamente sull asse ω si avranno due componenti:

62 58 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari V (ω 1 ω 2) (ω 1 + ω 2) ω A causa delle non linearità possono essere presenti anche altre componenti non desiderate; la prestazione di un moltiplicatore si definisce con la banda a ( 3dB) per segnale debole: l ampiezza del segnale di ingresso, infatti, deve essere piccola (a volte è confrontabile con la tensione termica pari a 26 mv) altrimenti le componenti spurie causerebbero troppi fastidi. A seconda di quali tensioni di ingresso accettano si definiscono:. mixer a 1 quadrante, se sia V x (t) che V y (t) sono positive;. mixer a 2 quadrante, se una tra V x (t) e V y (t) è negativa e l altra positiva;. mixer a 4 quadrante, se sia V x (t) che V y (t) possono essere positive o negative Mixer a Transconduttanza V CC R C V out V x I E V y R E

63 2.3. Mixer 59 Il contributo della tensione V x all uscita è: V out Vx = V CC R C gm V x dove gm = i cq V T. Poichè i cq è fissata dalla corrente I E : L espressione della corrente I E è: Quindi: La tensione di uscita perciò è: gm = I E V T I E = V y V BE R E gm = V y V BE R E 1 V T V out = V CC R C R E Vx V T (V y V BE ) La costante κ m vale: κ m = R C R E 1 V T Nota La tensione di uscita è proporzionale alle due tensioni di ingresso, ma è presente un errore dato dal prodotto di (V BE V x ). Questo tipo di mixer lavora bene in zona lineare, ossia: V x, V y < V T La dinamica delle tensioni di uscita è molto piccola; questo mixer è un mixer ad 1 quadrante Mixer a Stadio differenziale Per ovviare al problema fondamentale dei mixer a transconduttanza si introducono i mixer a stadio differenziale; a differenza della tipologia introdotta in precedenza, questo tipo di moltiplicatori è a 2 quadranti. Lo schema circuitale è il seguente: V T è la tensione termica

64 60 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari V CC R C R C V out T 1 T 2 V x I E1 I E2 I E Mediante le seguenti equazioni è possibile analizzare il circuito: V BE1 V I E1 = I S e T V BE2 V I E2 = I S e T Il rapporto fra le correnti I E1 e I E2 : I E1 = I S e I E2 I S e V BE2 V BE1 = V x I E = I E1 + I E2 V BE1 V T V BE2 V T = e V BE1 V BE2 V T = e Vx V T Il segnale di ingresso, quindi, determina lo sfasamento: se V x = 0 il circuito è perfettamente simmetrico e la corrente si divide in modo eguale nei due rami; in caso contrario, a seconda del segno di V x, un ramo è privilegiato rispetto all altro. Si può scrivere un equazione per ricavare la corrente I E1 in funzione di I E2 : I E1 = I E2 e Vx V T Sostituendo il termine trovato nell equazione che lega le due correnti con I E si ha: I E = I E2 e Vx I V E T + I E2 = I E2 = 1 + e Vx V T

65 2.3. Mixer 61 Mentre: Graficamente si ottiene: I E2 I E1 = I E e Vx V T I E 1 + e Vx V T I E1 I E /2 V x Nota Si osservi che per V x = 0 si ha I E /2, il comportamento descritto in precedenza. Il moltiplicatore può lavorare solo in zona lineare; sul grafico: I E2 I E I E1 I E /2 4V T 4V T V x In zona lineare si può sviluppare con Taylor (sviluppo al primo ordine) la corrente I E1 : I E1 = I E 2 + I E 2 V x = I E V x 2 + I E V x 4V T Vx=0 Poichè: Si ha: gm = I E V T I E1 = I E 2 + gm 4 V x

66 62 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari Mentre per la corrente I E2 : I E2 = I E 2 gm 4 V x Si è realizzato un mixer a 2 quadranti perchè, è evidente sul grafico, la tensione di ingresso V x può assumere sia valori positivi che negativi. Il moltiplicatore a 4 quadranti, di cui non si fa alcun tipo di analisi, prende il nome di cella di Gilbert. L espressione della tensione di uscita è: [( IE V out = (R C I E2 ) (R C I E1 ) = R C 2 gm ) ( 4 V IE x 2 + gm )] 4 V x = R C gm 2 V x Sostituendo al blocco: V CC R C R C V out T 1 T 2 V x I E1 I E2 I E Con il blocco:

67 2.3. Mixer 63 V y R E Si ottiene la configurazione: V CC R C R C V out T 1 T 2 V x I E1 I E2 V y R E I E In questo caso la corrente I E vale: Perciò il termine: Quindi: I E = V y V BE R E gm = V y V BE V T R E V out = R C 2R E (V y V BE ) V T V x Il termine dovuto all errore è dato dal prodotto (V BE V x ).

68 64 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari

69 Capitolo 3 PLL 3.1 Introduzione Si consideri un sistema di trasmissione modulato AM; al lato trasmettitore lo schema a blocchi è: f 0 V m (t) V x (t) Con: A lato ricevitore: V x (t) = V otx cos(ω otx ) V m (t) DEMOD La demodulazione può avvenire in due modi:. demodulazione non coerente, realizzata con rilevatori di picco (si vedano gli appunti di misure elettroniche scaricabili dal mio sito internet alla voce works, il riferimento al sito è nella prefazione);. demodulazione coerente o syncronous detection. 65

70 66 CAPITOLO 3. PLL La demodulazione coerente avviene secondo il seguente schema: V RX (t) κ a V a (t) LP π/2 ω orx L espressione della tensione in uscita dal mixer è: V a (t) = κ a V RX (t) V orx sin(ω orx + θ E ) Poichè il segnale trasmesso deve essere uguale a quello ricevuto: Si ha: dove: V RX (t) = V x (t) V a (t) = κ a [V otx cos(ω otx ) V m (t)] V orx sin(ω orx + θ E ) = κ a V otx V orx cos [(ω otx ω orx ) + θ E ] V m (t). ω otx è la pulsazione dell oscillatore locale del trasmettitore;. ω orx è la pulsazione dell oscillatore locale del ricevitore. Le due pulsazioni devono essere uguali per poter riportare il segnale in banda base; infatti se: ω otx = ω orx il segnale V a (t) è proporzionale al segnale modulante V m (t). Per ottenere le due pulsazioni perfettamente uguali vengono usati dei PLL (Phaze lock loop), anelli ad aggancio di fase: il loro comportamento è simile ad un filtro passa banda molto stretto e accordabile. 3.2 Analisi Schema a blocchi e analisi teorica Il funzionamento del PLL si riconduce al seguente schema a blocchi:

71 3.2. Analisi 67 V in D.F. V d (t) H LP (s) V out V CO V c (t) La tensione V d (t) è generata dal demodulatore di fase in modo tale che la sua parte continua sia proporzionale alla differenza di fase dei due segnali di ingresso: V ddc = κ d (θ i θ o ) La tensione V c (t) è la tensione pilota del V CO: V out (t) oscilla ad una pulsazione che dipende proprio da V c (t); se non è presente l oscillatore locale oscilla a ω orx di riposo. Quando V c (t) 0 allora la pulsazione cambia, diventando: ω = ω orx + ω = κ o V c Il circuito è stabile se V c (t) è una costante (V cdc ) perchè in questo caso V out e V in hanno la stessa pulsazione: come conseguenza il demodulatore di fase genererà solo una tensione V d (t) continua V ddc quindi lo sfasamento (θ i θ o ) non sarà più una funzione del tempo, ma un numero costante. Solo per queste condizioni: ω o = ω i Funzione di trasferimento In ingresso si definisce: dove:. V inp rappresenta l ampiezza; V in (t) = V inp cos [ω i (t) + θ i (t)]. ω i (t) è la pulsazione, in generale dipende dal tempo;. θ i (t) è la fase, come la pulsazione, dipende dal tempo.

72 68 CAPITOLO 3. PLL La pulsazione istantanea si caratterizza con: ω i = dθ i dt Si definisce la tensione di uscita come: dove:. V outp rappresenta l ampiezza; V out (t) = V outp cos [ω o (t) + θ o (t)]. ω o (t) è la pulsazione dipendente dal tempo;. θ o (t) è la fase dipendente dal tempo. La pulsazione istantanea è caratterizza, come per l ingresso, con: La funzione di trasferimento è: ω o = dθ o dt H(s) = θ o(s) θ i (s) Si introduce un errore di fase dato da: θ e (s) = θ i (s) θ o (s) La funzione di trasferimento per l errore di fase: H θe (s) = θ e(s) θ i (s) = θ i(s) θ o (s) θ i (s) Da cui si evince che: H θe (s) = 1 H(s) Calcolo della funzione di trasferimento ω o (s) = s θ o (s) Poichè: ω o (s) = κ o V c (s) La tensione V c (s) si esprime come: V c (s) = V d (s) H LP (s) Mentre: V d (s) = κ d [θ i (s) θ o (s)]

73 3.2. Analisi 69 Pertanto: V c (s) H LP (s) = κ d [θ i (s) θ o (s)] Sostituendo a V c (s) con la sua espressione equivalente: ω o (s) κ o H LP (s) = κ d [θ i (s) θ o (s)] Quindi: Da cui si ottiene: s θ o (s) κ o H LP (s) = κ d [θ i (s) θ o (s)] θ o (s) = κ d κ o H LP (s) s [θ i (s) θ o (s)] = θ o(s) θ i (s) = La funzione di trasferimento dell errore di fase: H θe (s) = Analisi sul tipo di H LP (s) s s + κ d κ o H LP (s) κ d κ o H LP (s) s + κ d κ o H LP (s) Se H LP (s) = 1 è presente un cortocircuito: il PLL è del primo ordine. H(s) = κ d κ o s + κ d κ o Il diagramma di Bode è quello tipico per un filtro del primo ordine, dove: ω 0 = κ o κ d Se H LP (s) è un filtro del primo ordine il PLL sarà del secondo ordine: H(s) = κ d κ o 1 s + κ d κ o src + 1 = H(s) = κ d κ o s 2 RC + s + (κ d κ o ) Il diagramma di Bode è identico a quello per un filtro del secondo ordine, con: κo κ d ω 0 = RC Se H LP (s) è un filtro del secondo ordine il PLL sarà del terzo ordine. Si possono inserire dei filtri attivi, come un filtro integratore o un filtro passa basso attivo.

74 70 CAPITOLO 3. PLL Condizioni di aggancio del PLL Per capire quando il PLL riesce ad agganciarsi è necessario osservare la risposta a transitorio esaurito: { lim θ costante = il PLL è agganciato E(t) = t + funzione del tempo = il PLL non è agganciato Con il teorema del valore finale calcolare il limite precedente è equivalente al: lim s θ E(s) (3.1) s 0 Pertanto: Questo limite dipende:. dal segnale di ingresso; lim s s s 0 s + κ d κ o H LP (s) θ i(s). dalla risposta in banda del filtro H LP (s): H(jω = 0) = 1 per il filtro passa basso; H(jω = 0) > 1 per il filtro passa basso attivo; H(jω = 0) + per il filtro integratore. Modulazione PSK Se il segnale di ingresso è modulato di tipo PSK il cambiamento di fase temporale viene rappresentato dalla funzione gradino: θ θ i La trasformata di Fourier di un gradino è: θ i (s) = θ i s Valutando la condizione 3.1 in questo caso: lim s θ E(s) = lim s s (s) θ i s 0 s 0 s + κ d κ o H LP s Pertanto il PLL riesce sempre ad agganciarsi se il segnale di ingresso è modulato PSK. t = 0

75 3.2. Analisi 71 Modulazione FSK Se il segnale di ingresso è modulato di tipo FSK il cambiamento di frequenza è modellato dalla funzione gradino: ω ω i Trasformando con Fourier si ottiene: ω i (s) = ω i s La funzione θ i è rappresentata graficamente da una rampa: θ t Poichè: ω i (t) = dθ i dt La trasformazione con Fourier risulta essere: Quindi: θ i (s) = ω(s) s ω i (s) = s θ i (s) = ω i s Valutando la condizione 3.1 in questo caso: Se: lim s θ E(s) = lim s s 0 s 0. H LP (0) = 1 allora θ E = ω i κ o κ d ;. H LP (0) + allora θ E 0. t 1 s = ω i s 2 s s + κ d κ o H LP (s) ω i s 2 = ω i κ o κ d H LP (0)

76 72 CAPITOLO 3. PLL Segnale in presenza di effetto Doppler In queste particolari condizioni la frequenza varia linearmente: ω i (t) ω i (t) = ω io + ω i (t) t La trasformata di Fourier è: θ i (s) = θ i s 2 La funzione θ i è rappresentata graficamente da una parabola: θ Siccome: ω i (t) = dθ i dt La trasformazione con Fourier, allo stesso modo dei casi precedenti, è: Pertanto: θ i (s) = ω(s) s ω i (s) = s θ i (s) = ω i s 2 1 s = ω i s 3 Valutando anche per questo caso la condizione 3.1: Se: lim s θe(s) = lim s s 0 s 0 s s + κ d κ o H LP(s) ωi s 3 =. H LP (0) = costante allora θ E + ;. H LP (0) + allora θ E = costante. t ω i s [s + κ d κ o H LP(0)] Il PLL si aggancia solo se viene usato come filtro un integratore che garantisce H LP (0) +.

77 3.3. Realizzazioni circuitali dei componenti Realizzazioni circuitali dei componenti Demodulatori di fase Analogici Il demodulatore di fase analogico è un moltiplicatore a 4 quadranti (cella di Gilbert) V in (t) κ m V d (t) V out (t) Esprimendo gli ingressi come:. V in (t) = V inp sin(ω i t + θ i );. V out (t) = V outp cos(ω o t + θ o ); La tensione in uscita dal demodulatore di fase che è anche l ingresso del filtro passa basso, risulta avere la seguente espressione nel caso generale in cui il PLL è sganciato: La componente: V d (t) = κ m V in (t) V out (t) = = κ m V inp V outp {sin[(ω i ω o )(t) + (θ i θ o ) sin[(ω i + ω o )(t) + (θ i + θ o )]} viene eliminata dal filtro passa basso. Nel caso in cui il PLL sia agganciato: V d (t) = κ m V inp V outp 2 sin[(ω i + ω o )(t) + (θ i + θ o ) sin(θ i θ o ) = κ m V inp V outp 2 dove V d (t) dipende solo dalla differenza di fase dei due segnali. In zona lineare si può approssimare: pertanto: sin(θ e ) θ e sin(θ e ) V d (t) = κ m V inp V outp θ e 2 La costante κ d esprime il coefficiente di proporzionalità fra V ddc e θ e, quindi risulta essere: κ d = κ m V inp V outp 2

78 74 CAPITOLO 3. PLL Caratteristica a farfalla Ad anello aperto il PLL: V in D.F. V d (t) H LP (s) V out V CO V c (t) In condizioni iniziali il PLL è sganciato quindi il VCO pulsa alla pulsazione di riposo; in ingresso del demodulatore di fase sono presenti:. V in (t) = V inp sin(ω i t + θ i );. V out (t) = V outp cos(ω orx t + θ o ); L uscita del demodulatore è quella già vista in condizioni di PLL unlocked: V d (t) = κ d sin[(ω i ω orx )(t) + (θ e )] Questo segnale viene filtrato dal filtro passa basso; quindi: V c (t) = κ d H LP (jω i jω orx ) sin[(ω i ω orx )(t) + (θ e )] dove H LP (jω i jω orx ) rappresenta l ampiezza data dal filtro. Graficamente la risposta segue l inviluppo: V c (t) ω orx ω Questo grafico prende il nome di caratteristica a farfalla ad anello aperto.

79 3.3. Realizzazioni circuitali dei componenti 75 Ad anello chiuso: V in D.F. V d (t) H LP (s) V out V CO V c (t) Nell istante dopo in cui l anello si chiude il V CO pulsa ancora a ω orx ; se ω i ω orx l uscita dal demodulatore di fase viene tagliata dal filtro quindi V c (t) = 0. Con il passare del tempo ω i cresce e il filtro attenua sempre meno il segnale che riceve in ingresso perciò la tensione V c (t) cambia facendo sì che anche la pulsazione ω orx si modifichi. La ripetizione di queste operazioni genera un fenomeno per cui la pulsazione del V CO è variabile sinuoidalmente: la conseguenza è che il valor medio di V c (t) non è nullo come nelle condizioni inziali, ma diminuisce. Sul grafico si evidenziano i primi due passi delle operazioni descritte: V c (t) caratt. anello aperto valor medio primo step ω orx ω Il valor medio deve diminuire finchè per una certa ω i di ingresso l uscita del V CO è uguale a quella di ingresso:

80 76 CAPITOLO 3. PLL V c (t) ω i ω orx ω V cm La pulsazione ω i è tale per cui: ω i = ω orx + (κ o V cm ) Dall istante in cui il PLL si aggancia la retroazione permette di mantenere costante la tensione che controlla il V CO: V cm = ω o RX ω i κ o Continuando ad aumentare la pulsazione di ingresso si verifica un istante per cui, con ω i ω orx il PLL si sgancerà perchè il valor medio sarà aumentato troppo: V c (t) V cm ω orx ω i ω La caratteristica complessiva è: V c (t) ω campo di cattura campo di mantenimento

81 3.3. Realizzazioni circuitali dei componenti 77 Nel campo di cattura il PLL è sicuramente agganciato: l ampiezza del campo dipende sia dalla caratteristica del filtro che dalla caratteristica del V CO. Nel campo di mantenimento il PLL è agganciato se prima lo era; la sua ampiezza dipende solo dai parametri in continua. Digitali Porta XOR Per segnali digitali la fase si può demodulare mediante la porta: Si riporta per completezza la tabella di verità della porta XOR: A B XOR(A,B) Ipotizzando di avere sia per il segnale di ingresso che per il segnale di uscita un duty cycle del 50 %, il risultato dell operazione or esclusivo è: V in T V out t XOR τ t t

82 78 CAPITOLO 3. PLL Lo sfasamento di τ permette di determinare θ e : θ e = τ T 2π (3.2) Se T = 8 e τ = 1, come nel grafico precedente: Definendo come: θ e = π 4. V OH lo stato alto della tensione;. V OL lo stato basso della tensione. Si può determinare il valore di V ddc : V ddc = 2 (V OH V OL ) T Sostituendo l espressione di τ ottenuta invertendo l equazione 3.2 si ha: V ddc = 2 (V OH V OL ) T θe T 2π τ = (V OH V OL ) θ e π Poichè κ d è il coefficiente che esprime la relazione fra V ddc e θ e per questo caso vale: κ d = (V OH V OL ) π Graficamente: V d π 0 π 2π 3π θ e Questa caratteristica è valida solo se il duty cycle dei due segnali è uguale. In caso contrario il grafico della caratteristica è il seguente: V d π 0 π 2π 3π θ e

83 3.3. Realizzazioni circuitali dei componenti 79 Flip flop SR Con un flip flop SR: V in S Q V d (t) V out R e in ingresso segnali di tipo impulsivo: V in θ e V out τ θ e V d (t) θ e In questo caso: V ddc = (V OH V OL ) τ T Quindi il coefficiente κ d vale: κ d = (V OH V OL ) 2π = (V OH V OL ) θ e 2π Con un flip flop non si ha la limitazione nella dinamica dovuta a duty cycle differenti perchè i flip flop, a differenza della porta xor, sentono i fronti di salita o discesa. Demodulatore PFD Il demodulatore PFD, phaze frequency detection, è un demodulatore sensibile sia alle differenze di frequenza che di fase. Circuitalmente viene realizzato nel seguente modo:

84 80 CAPITOLO 3. PLL V DD D Q A V in R V DD D Q B V in R Dati come segnali: V in θ e V out τ θ e A θ e B θ e Il segnale A è proporzionale allo sfasamento mentre B è proporzionale alla frequenza ed èun impulso che dura solo l istante necessario affinchè la porta and progaghi il comando di reset. I segnali A e B pilotano:

85 3.3. Realizzazioni circuitali dei componenti 81 V AL A B C V c Quando A è allo stato alto lo switch è chiuso quindi il condensatore si carica; quando su A è presente lo stato basso la tensione caricata sul condensatore viene mantenuta costante: V c A stato alto A stato basso t L unica condizione possibile che renda stabile il circuito è: θ e = 0 In questo modo tutti i segnali hanno la stessa frequenza e sfasamento, di conseguenza le dimensioni del campo di cattura sono identiche a quelle del campo di mantenimento VCO Nell analisi dei circuiti che implementano un V CO si considerano solo i casi per cui l uscita del V CO è un onda quadra. Le tecnologie possibili prese in esame sono:. utilizzo di transistori bipolari;. tipologica CMOS.

86 82 CAPITOLO 3. PLL VCO con transistori bipolari La sintesi di un onda quadra avviene controllando le fasi di carica e scarica di un condensatore con corrente costante. La realizzazione circuitale è: V AL R E I E V c T 4 V b C 1 V c1 T 2 T 3 T 1 R V out La fase di carica e scarica del condensatore è governata secondo: V c1 V cmax carica scarica carica scarica t Attraverso un comparatore di soglia con isteresi è possibile cambiare la caratteristica vista nel grafico precedente:

87 3.3. Realizzazioni circuitali dei componenti 83 V c1 V s2 V s1 t Vs2 t Vs1 t Il comparatore di soglia con isteresi ha infatti la seguente caratteristica: V s1 V s2 Analisi Supponendo che in condizioni iniziali il condensatore sia scarico si ha: V c1 = 0 L uscita del comparatore di fase sarà quindi un livello logico basso: attraverso R non scorrerà corrente pertanto il transistore T 1 sarà interdetto. Se T 1 è interdetto non scorre corrente su T 2 e T 3 ; il condensatore può essere caricato solo dalla corrente che scorre in T 4. Questo transistore (di tipo pnp a differenza degli altri) è sempre in conduzione perchè la resistenza R E viene dimensianata in modo opportuno; la corrente I E vale: I E = V AL V c V b R E (3.3) Tale corrente polarizza il diodo e permette la carica del condensatore fino alla tensione di soglia V s2. A questo punto l uscita V out passa allo stato alto e il transistore T 1 conduce; R è dimensionata in modo che T 1 lavori in zona di saturazione. Con questa condizione: I 2 I 3 T 2 T V I 1 0.2V T 1

88 84 CAPITOLO 3. PLL Il circuito viene chiamato specchio di corrente perchè: I 2 = I 3 Poichè su T 1 è presente una tensione di 0.2V e su T 2 di 0.7V risulta che: V b = = 0.9V Con V b = 0.9V il diodo viene interdetto e la corrente che scorre in T 4 non può caricare il condensatore, ma diventa I 2 ; poichè I 3 deve avere lo stesso valore di I 2 l unico elemento che può fornire corrente è il condensatore: questa è la fase di scarica. Infatti, non appena V out commuta nello stato logico basso viene ripristinata la condizione per cui T 1 è interdetto e il condensatore si carica nuovamente. Graficamente: V out t Vs2 t Vs1 t Vs2 t Vs1 t Si osservi sul grafico seguente il periodo di carica-scarica e la pendenza della retta: V c1 T V s2 V s1 I E /C t Vs2 t Vs1 t Vs2 t Vs1 t Poichè in un semiperiodo la tensione passa da V s1 a V s2 : Si può determinare: T 2 IE C = V s 2 V s1 T = 2 (V s 2 V s1 ) C I E Sostituendo l espressione di I E data dall equazione 3.3 si ha: T = 2 (V s 2 V s1 ) C R E V AL V c V BE

89 3.3. Realizzazioni circuitali dei componenti 85 La frequenza con cui viene generata l onda quadra in uscita è quindi: f = 1 T = V AL V c V BE 2 (V s2 V s1 ) 1 C R E Il coefficiente κ o che esprime quanto la frequenza di uscita varia rispetto all ingresso è funzione di R E e C, i parametri di progetto che caratterizzano la pendenza della retta nell onda triangolare. VCO con tecnologia CMOS In questa sezione si riporta solo lo schema circuitale: V AL V c I 2 I I R 2 C I 1 R 1 FLIP FLOP Il principio di carica e scarica del condensatore è mantenuto anche in questo caso: sono gli interruttori, asincroni, che a seconda di quale è chiuso permettono la carica/scarica. Si evidenzia che lo specchio di corrente in tecnologia mos è: V AL I I I parametri di progetto sono R 1, R 2 e C.

90 86 CAPITOLO 3. PLL 3.4 Applicazioni dei PLL Le applicazioni più comuni in cui i PLL trovano utilizzo sono:. demodulatore AM coerente a singolo ramo (ampiezza dipendente dallo sfasamento θ e );. demodulatore AM coerente a due rami (ampiezza sempre dipendente dallo sfasamento θ e );. decodificatore di tono;. demodulatore di frequenza FM: data in ingresso f i (t) = f io +f m (t) la tensione V c (t) è tale da mantenere l aggancio, quindi è proporzionale alla frequenza di ingresso. La sua espressione è:. modulazione FSK/PSK;. sintetizzatori di frequenza. V c (t) = 2π κ o (f io f or ) + 2π κ o f m (t) Sintetizzatori di frequenza I sintetizzatori di frequenza permettono di generare, partendo da una frequenza di ingresso, un certo range di frequenze. Lo schema a blocchi è: f in M D.F. V d (t) N H LP (s) V c (t) f out V CO É una parte costante. É la parte che varia in base alla frequenza modulante

91 3.4. Applicazioni dei PLL 87 I blocchi M ed N sono dei divisori che permettono di ottenere, a PLL agganciato, la seguente condizione: f in M = f out N Da qui si determina l equazione che caratterizza la sintesi di frequenza: f out = N M f in Progetto Si vuole progettare un sintetizzatore che generi: con f in = 1kHz. f out = 1MHz : 1kHz : 2MHz Rispetto alla frequenza più bassa da generare 1MHz, la frequenza di ingresso ha un rapporto di Il passo 1kHz determina quante frequenze possono essere generate fra 1 2MHz: sono ancora Pertanto: con κ = 0,1, Si desume quindi che:. M = 1; f out = 1000 f in + κ f in f out = f in ( κ). N = ( κ). Lo schema a blocchi è: f in D.F. V d (t) N H LP (s) f out V CO V c (t)

92 88 CAPITOLO 3. PLL

93 Capitolo 4 Convertitori 4.1 Introduzione Lo schema a blocchi di un ricevitore ad eterodina digitale può essere rappresentato mediante: RF AM A/D sin cos DLP DSP D/A AU AM SP Dig Loc Osc Elenco in ordine da sinistra verso destra:. antenna;. amplificatore a radiofrequenza;. convertitore analogico/digitale;. blocco per determinare parte in fase e parte in quadratura, le sinusoidi vengono generate con un oscillatore locale digitale;. filtro passa basso digitale;. blocco di digital signal processing;. convertitore digitale/analogico;. amplificatore audio;. speaker. Si può evidenziare, sullo schema a blocchi, una parte esclusivamente formata da componenti che operano in digitale: 89

94 90 CAPITOLO 4. Convertitori RF AM A/D sin cos DLP DSP D/A A AM SP Dig Loc Osc In questo capitolo si prenderà in esame esclusivamente la conversione del segnale da analogico in digitale e viceversa. Per convertire un segnale analogico in digitale: A(t) A/D Conv seq. digitale sono necessari due passi fondamentali:. campionamento: ad istanti temporali prefissati si valuta l ampiezza del segnale analogico;. quantizzazione: i campioni ottenuti possono avere qualisiasi valore di ampiezza, mentre occorre che abbiano ampiezze discrete. Sostanzialmente un segnale analogico presenta:. ampiezza continua;. durata temporale continua. Un segnale digitale invece:. ampiezza discreta;. durata temporale discreta. Graficamente: A(t) t

95 4.2. Campionamento Campionamento Generare una sequenza di campioni A s (t) partendo da un segnale analogico A(t) si realizza mediante: A s (t) = A(t) + n= dove T s è il periodo di campionamento. Nel dominio spettrale: A s (ω) = F{A(t)} F Graficamente: { + n= δ (t nt s ) A s (ω) δ (t nt s ) } = A(ω) + n= ( δ ω 2π n ) T s 2π T s B B 2π T s ω Si è ipotizzato A(ω) a banda limitata compresa fra [ B,B]. Data questa sequenza digitale per ricostruire A(t) è necessario filtrare la sequenza con il filtro ricostruttore: A s (ω) 2π T s B B 2π T s ω Per evitare aliasing: Poichè: B < 2π T s 1 2 T s = 1 f c

96 92 CAPITOLO 4. Convertitori dove f c è la frequenza di campionamento, si determina: f c > 2B 2π Questa è la minima frequenza di campionamento nel caso ideale; in condizioni reali, invece, lo spettro di A(ω) non può avere banda limitata: A(ω) ω E il filtro non è ideale: A(ω) ω Se la frequenza di campionamento scelta è alta allora le repliche fornite dal treno di delta sono molto distanziate: le condizioni per realizzare il filtro sono molto elastiche. Al contrario, quando la frequenza di campionamento non è alta le repliche sono vicine perciò il filtro deve essere molto selettivo per non selezionare anche parte delle repliche che non sono in banda base; la selettività del filtro implica un elevata complessità in quanto dovrà avere molti poli. Il campionamento visto in precedenza in cui gli istanti temporali erano delle delta di Dirac non è possibile da realizzare in quanto ogni campione non può essere convertito in cifra istantaneamente. Tale operazione prevede di manterere il campione alla stessa ampiezza per un certo tempo: A(t) t

97 4.3. Quantizzazione 93 L elemento che realizza tutto ciò prende il nome di sample & hold. Lo schema a blocchi per descrivere i passi enunciati è: A(t) A s (t) P + n= δ ω 2π n «T s h 1(t) = p Ts t T «2 Nel dominio spettrale: A s (ω) = [ A(ω) + n= ( δ ω 2π n ) ] H 1 (ω) T s In questo caso il filtro ricostruttore deve anche elminare il contributo dato da H 1 (ω) che contribuisce a sporcare la sequenza A s (t). 4.3 Quantizzazione Dopo il processo di campionamento i valori ottenuti sono discreti dal punto di vista temporale, ma non in ampiezza: S D = 0 0 L insieme D è composto dall insieme delle cifre N codificate nel codice B, solitamente è il codice usato è il codice binario. Con questa ipotesi si partiziona D in 2 N soglie; se N = 2: S 0 = La dimensione dell intervallo più piccolo è: A d = S 2 N

98 94 CAPITOLO 4. Convertitori La regola di conversione specifica come avviene la trasformazione da intervallo continuo in cifra. Dopo questa operazione l informazione sull ampiezza effettiva del campione viene persa: si commette quindi un errore. A d A s A m A s è il valore campionato A m è il valore medio dell intervallo L errore commesso non è altro che: ε q = A s A m Inoltre: A d 2 < ε q < A d 2 Se la probabilità di campionamento di un simbolo è uniformemente distribuita su A d, la distribuzione dell errore di quantizzazione è: ρ(ε q ) 1 A d A d 2 A d 2 A d L errore di quantizzazione ha le stesse proprietà statistiche del rumore bianco quindi è possibile associare all errore una potenza e valutare il rapporto segnale-rumore: SNR q = P s P εq Poichè di ε q si conoscono solo le proprietà statistiche: P εq = σ 2 ε q = = Ad /2 A d /2 ε 2 q ρ(ε q)dε q = Ad /2 A d /2 ε 2 q 1 dε q = A2 d A d 12 Più si riduce la dinamica più la potenza diventa piccola e quindi la stima è precisa; poichè: A d = S 2 N Si ha: P εq = S N Perciò più bit vengono usati più l errore di quantizzazione si riduce perchè la potenza associata all errore sarà bassa.

99 4.3. Quantizzazione 95 Esempi Onda triangolare A(t) S/2 S/2 t Poichè tutti i punti hanno la stessa probabilità di essere campionati: ρ(a s ) 1 S S 2 S 2 A s La potenza del segnale risulta essere: P s = σ 2 A s = = S/2 S/2 A 2 s ρ(a s )dε q = S/2 S/2 A 2 s 1 S dε q = S2 12 Il rapporto segnale-rumore: SNR q = P s P εq = S 2 12 S N = 2 2N Esprimendo in decibel tale risultato si ottiene: SNR q db = log 10 ( 2 2N ) = 6N db

100 96 CAPITOLO 4. Convertitori Onda sinusoidale S/2 A(t) S/2 t In questo caso non tutti i punti hanno la stessa probabilità di essere campionati in quanto la sinusoide è quasi piatta nei cambi di fronte quindi quelle ampiezze hanno più probabilità di essere campionate: ρ(a s ) S 2 S 2 A s La potenza del segnale risulta essere: P s = σ 2 A s = S2 8 Il rapporto segnale-rumore: SNR q = P s P εq = S 2 8 S N = N Esprimendo in decibel tale risultato si ottiene: SNR q db = log 10 ( N ) = 6N db Termine dato dal contributo di 2 2N Termine dato dal contributo 3 espresso in decibel 2

101 4.3. Quantizzazione 97 Onda quadra S/2 A(t) S/2 t In questo caso invece i soli punti ad avere probabilità di essere campionati sono i punti agli estremi dell onda quadra: ρ(a s ) S 2 La potenza del segnale risulta essere: S 2 A s Il rapporto segnale-rumore: P s = σ 2 A s = S2 4 SNR q = P s P εq = S 2 4 S N = 3 2 2N Esprimendo in decibel tale risultato si ottiene: Segnale vocale SNR q db = log 10 ( 3 2 2N ) = 6N db Per il segnale vocale la distribuzione di probabilità è di tipo gaussiano: ρ(a s ) S 2 S 2 A s Termine dato dal contributo di 2 2N Termine dato dal contributo 3 espresso in decibel

102 98 CAPITOLO 4. Convertitori La potenza del segnale risulta essere: Il rapporto segnale-rumore: SNR q = P s P εq = P s = σ 2 A s = S2 36 S 2 36 S N = N Esprimendo in decibel tale risultato si ottiene: SNR q db = log 10 ( N ) = 6N 4.77 db Questo rapporto è basso perchè la quantizzazione ad intervalli costanti di un segnale che ha una distribuzione non uniforme è errata: sarebbe necessario dare a campioni più probabili intervalli di ampiezza maggiore e a campioni meno probabili intervalli con ampiezza minore. Conclusioni Il grafico seguente mostra al variare di N il rapporto SNR q db : SNR q db N onda quadra onda sinusoidale onda triangolare segnale vocale Se i campioni non coprono completamente la dinamica si commette un errore di sovraccarico. Termine dato dal contributo di 2 2N Termine dato dal contributo 1 espresso in decibel 3

103 4.3. Quantizzazione 99 S/2 A pp A(t) t S/2 La potenza del segnale risulta essere: Il rapporto segnale-rumore: P s = A pp 8 SNR q = P s P εq = A 2 pp 8 = 3 S 2 2 A 2 pp S 2 22N N Esprimendo in decibel tale risultato si ottiene: ( ) 3 SNR q db = log 10 2 A2 pp S 2 22N = 6N log 10 (A pp ) 20 log 10 (S) db L errore è dato dal termine: +20log 10 (A pp ) 20log 10 (S) db in quanto l intervallo utilizzato non è appropriato: infatti occorre adattare la dinamica del segnale alla dinamica del convertitore. Termine dato dal contributo di 2 2N Termine dato dal contributo 3 espresso in decibel 2 Termine dato dal contributo A 2 pp espresso in decibel Termine dato dal contributo 1 S 2 espresso in decibel

104 100 CAPITOLO 4. Convertitori 4.4 Realizzazioni circuitali Errori In generale gli errori di un si dividono in:. errori statici;. errori dinamici. Gli errori statici sono:. di offset;. di guadagno;. di non linearità assoluta o integrale;. di non lineartià differenziale. Gli errori dinamici sono:. tempo di assetto;. glitch Convertitori D/A Convertitore potenziometrico Il convertitore potenziometrico prevede tante resistenze quante sono le cifre binarie 2 N ; lo schema circuitale con cui viene realizzato è il seguente:

105 4.4. Realizzazioni circuitali 101 V R R R R R V LSB La tensione pari ad 1 LSB (least significant bit) vale: V LSB = V R 2 N R R = V R 2 N Mediante un cursore è possibile posizionarsi su resistenze diverse e quindi su cifre diverse; in generale alla m esima resistenza: V outm = V R 2 N R mr = m V R 2 N La tensione in uscita prima di essere misurata viene amplificata con un voltage follower per evitare distorsioni date da un carico. L inconveniente di questo dispositivo è l elevato numero di resistenze. Convertitore a resistenze pesate Con N bit: N 1 v a = A d b i 2 i i=0 dove b i = {0,1}. Lo schema circuitale è:

106 102 CAPITOLO 4. Convertitori Blocco Sommatore R V R 2R 4R I tot + R F V a 2 N 1 R Sulla resistenza 2 N 1 R scorre la corrente più piccola quindi corrisponde all LSB (Least significant bit); viceversa sulla resistenza R scorre la corrente più grande perciò corrisponde al MSB (Most significant bit). La tensione in uscita è: N 1 V a = R F i=0 b i N 1 V R 2 i R = R F R V R b i 1 2 i Il problema di questo circuito è dato dalla resistenza interna del generatore R g : i=0 R g R V R 2R 4R I tot + R F V a 2 N 1 R In queste condizioni la corrente che scorre in ogni ramo dipende da quali interruttori sono aperti e quali chiusi in quanto la tensione verrà ripartita fra R g e il numero di resistenze che presentano lo switch chiuso. Deviatore di corrente Il problema illustrato precedentemente può essere risolto in questo modo:

107 4.4. Realizzazioni circuitali 103 R g V R R 2R I tot 4R 2 N 1 R Le resistenze inserite sono meno numerose rispetto al convertitore potenziometrico, ma c è molta dispersione fra i componenti. Converitore con rete a scala Un converitore con rete a scala evita la dispersione dei componenti; ad esempio un convertitore a 3 bit presenta il seguente schema circuitale: I R I/2 R I/4 V R 2R 2R 2R 2R I/2 I/4 I/8 I/8 R F + V out Partendo infatti da un circuito base (a sinistra) è possibile inserire un parallelo per simulare la resistenza R (a destra):

108 104 CAPITOLO 4. Convertitori I V R R = V R 2R 2R I I/2 I/2 Si sostituisce alla resistenza 2R una serie di due resistenze di valore R: I R V R 2R R I/2 I/2 Iterando il procedimento: I R I R I/2 V R 2R R = V R 2R 2R 2R I/2 I/2 I/2 I/4 I/4 Fonti di errore Le fonti di errore per i convertitori D/A sono:. il valore delle resistenze (sarà diverso da quello nominale);. il valore della resistenza interna del generatore;. in corrispondenza della cifra binaria con tutti 0 la tensione in uscita non sarà V out = 0: la diversità è causata dalle correnti di bias dell operazionale;. il valore della resistenza di retroazione R F : causerà un errore di gaudagno;. la rapidità di commutazione dell uscita dipende dalla velocità con cui l operazionale cambia l uscita: è un errore di assetto che dipende dallo slew rate dell amplificatore.

109 4.4. Realizzazioni circuitali Convertitori A/D Convertitore Flash Per un converitore flash occorre generare i valori delle tensioni di soglie; lo schema è: V in V R R R LOGICA D R R Il tempo di conversione è molto basso: T c = T comp + T L Lo svantaggio di questi convertitori è l elevata complessità. Convertitori con D/A in retroazione Questo tipo di convertitori confrontano l ingresso con soglie generate dal D/A in retroazione. Lo schema generale è: LOGICA D/A Tempo di comparazione dei comparatori di soglia Tempo della logica di decodifica

110 106 CAPITOLO 4. Convertitori Convertitore a inseguimento Nel convertitore a inseguimento la logica di controllo è un contatore up/down: LOGICA = U/D COUNT Le caratteristiche di questo convertitore sono:. l uscita viene determinata a meno di un LSB;. il tempo di conversione è molto lungo: T c = 2 N T ck ;. la complessità logica è bassa;. il fattore T ck va scelto in modo tale che in uno spostamento (in alto o in basso) di un LSB si riesca a percorrere tutto l anello di retroazione dello schema a blocchi generale: T ck > T comp + T L + T ass. se il converitore non riesce ad inseguire il segnale di ingresso si ha la condizione di sovraccarico o overload; valutando in un periodo di clock la variazione del segnale per non avere overload occorre che: V i (t) t T ck < 1LSB max Convertitore ad approssimazioni successive sequenziale Ipotizzando la dinamica del convertitore fra [0 S]: S S S S CAMPIONE = = = Approx 0 2 Approx 0 3 Approx Il primo step di confronto avviene con l MSB: la soglia infatti è posta a metà della dinamica S. Il numero di confronti da effettuare è al più N anzichè 2 N quindi: T c = N T ck La complessità del circuito non varia rispetto al caso precedente. Questo tempo di conversione è pari al passaggio da 0 alla dinamica S Tempo di comparazione dei comparatori di soglia Tempo della logica di decodifica Tempo di assetto

111 4.4. Realizzazioni circuitali 107 Convertitore ad approssimazioni successive parallelo Nel convertitore parallelo sono presenti più comparatori di soglia e i D/A in retroazione presentano un numero di bit via via crescenti quindi la complessità del circuito aumenta. Convertitore a residui Utilizzando la tecnica: ( A MSB S ) 2 confronto con S 2 2 ( A MSB S ) 2 A confronto con confronto con S 4 ( S 4 + MSB S ) 2 In questo modo tutti i comparatori hanno in ingresso la stessa soglia e i convertitori tutti ad 1 bit tuttavia il tempo di conversione è identico al comparatore di tipo sequenziale. Convertitore pipeline Per velocizzare il tempo di conversione è necessario utilizzare questo tipo di convertitore: introducendo un modulo Sample & Hold si possono convertire diversi campioni nello stesso intervallo di tempo. Aumenta la complessità del convertitore perchè sono necessari, oltre ai Sample & Hold, anche dei registri per avere traccia dei campioni convertiti. Tabella riassuntiva Nella seguente tabella si riportano i tempi di conversione e la complessità introdotta per ogni tipo di convertitore. Convertitore Tempo Conversione Complessità Circuito Flash 1 2 N Pipeline 1 N A residui N N Appross. succ. N 1 A inseguimento 2 N 1

112 108 CAPITOLO 4. Convertitori Sample & Hold Il metodo più semplice per realizzare un circuito di questo tipo è: V in C M V out Idealmente, ad interruttore chiuso, il condensatore viene caricato alla tensione di ingresso V in (fase di sample) mentre quando lo switch viene aperto la tensione caricata viene mantenuta (fase di hold). Nella pratica invece:. durante il passaggio dalla fase di hold alla fase di sample si assiste ad un transitorio temporale prima che il condensatore inizi a caricarsi; questo transitorio prende il nome di setting time e la conversione non può avvenire prima che si sia esaurito;. durante il passaggio dalla fase di sample alla fase di hold si assiste a:. jitter di apertura dell interruttore (è quantificabile solo in modo statistico);. correnti di perdita che fanno scaricare il condensatore in modo lento;. errore di feedtrought dell interruttore. L errore di feedtrought può essere minimizzato dimensionando in modo oppurtuno il condensatore C M. Un esempio di realizzazione circuitale è: EVITA LA SATURAZIONE DELL AO C M V in + + V out Se l interruttore è aperto le correnti di perdita sono formate dal contributo del condensatore e dalla corrente di polarizzazione dell operazionale.