Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols

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1 Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols

2 Definizione (1/2) Il diagramma di Nichols (DdNic) di una fdt consiste nella rappresentazione grafica di G(s) s= jω = G(jω) = M( ω)e jϕ( ω), per ω (, ) sul piano cartesiano ϕ M gradi db 2

3 Definizione (2/2) Nel DdNic la variabile indipendente ω diventa la coordinata curvilinea (un punto sul piano ϕ M per ciascun valore di ω) Per ovvi motivi i valori dell ascissa possono essere limitati (ma non è obbligatorio) tra 18 e +18 oppure tra e +36 oppure tra 36 e ; nel prosieguo si opterà preferibilmente per l intervallo 36 3

4 Esempio 1 (1/2) Modulo (db) (s +.1) G(s) = 2 s(s +.2s + 1)(s + 1) A D B C ω + ω Fase ( ) 4

5 Esempio 1 in Matlab 5

6 1 1(s + 1) G(s) = 2 s (s + 2)(s + Esempio 2 (1/2) 4) 5 Modulo (db) Fase ( ) 6

7 Esempio 2 in Matlab 7

8 Lettura di m G sul DdNic Il margine di guadagno può essere letto anche sul diagramma di Nichols di G a (jω), osservando che il punto A corrisponde all intersezione del diagramma con l asse verticale a fase -18 o 4 2 Nichols Chart n i,a = m G,dB Open-Loop Gain (db) A R /m G Open-Loop Phase (deg) ω π 8

9 Lettura di m ϕ sul DdNic Il margine di fase può essere letto anche sul diagramma di Nichols di G a (jω), osservando che il punto C corrisponde all intersezione del diagramma con l asse orizzontale a db 4 2 Nichols Chart m ϕ n i,a = Open-Loop Gain (db) m ϕ R = 1-8 C R Open-Loop Phase (deg) ω c 9

10 Margini di stabilità

11 La carta di Nichols (1/2) I luoghi a M (modulo) costante e a N (fase) costante possono essere tracciati anche sul piano di Nichols: il loro insieme costituisce la carta di Nichols 4 Generata in Matlab con il comando: ngrid( new ) db.5 db 1 db 3 db 6 db db -1 db -3 db -6 db db -2-2 db

12 La carta di Nichols (2/2) Sovrapponendo alla carta di Nichols il diagramma di Nichols della funzione d anello G a (jω), è possibile ricavare il valore di modulo e fase di W y (jω) per ogni ω Sono di particolare interesse i luoghi a modulo costante, poiché permettono di trovare un legame fra M r e m ϕ e fra M r e m G 12

13 I luoghi a M costante sul piano di Nichols 2 M = -3dB M = 3dB M =

14 Legame fra M r e m ϕ (1/3) M r,lim M < M r,lim DdNic di G a esterno alla curva M r,lim 2 db 3 db 1 db G a 2 db < M r < 3 db

15 Legame fra M r e m ϕ (2/3) M < M r,lim 2 m ϕ > m ϕ,lim 15 M r,lim m ϕ,lim -2 G a m ϕ 15

16 Legame fra M r e m ϕ (3/3) La condizione che il diagramma di Nichols di G a (jω) risulti esterno alla curva M = M r,lim è necessaria e sufficiente a garantire M r < M r,lim La condizione m ϕ > m ϕ,lim (ove m ϕ,lim è il margine di fase letto in corrispondenza della curva M = M r,lim ) è necessaria ma non sufficiente per garantire M r < M r,lim Se il DdNic di G a (jω) interseca la curva M = M r,lim a pulsazioni inferiori alla ω c (alla quale viene letto m ϕ ), la W y (jω) presenta M r > M r,lim anche quando m ϕ > m ϕ,lim 16

17 Un esempio (1/3) 2 2(s + 5)(s + 12) (1 +.7s) F(s) = ; C(s) = 1 s(s + 4)(s + 7.2s + 16) ( s) 2 2 Si vorrebbe ottenere in catena chiusa: M r < 2 db Magnitude (db) DdB della fdt d anello: G a (s) = C(s)F(s) Phase (deg) -135 o m ϕ Frequency (rad/sec) 17

18 Un esempio (2/3) 2 2(s + 5)(s + 12) (1 +.7s) F(s) = ; C(s) = 1 s(s + 4)(s + 7.2s + 16) ( s) 2 2 m ϕ soddisfa la condizione necessaria per avere M r < 2 db: m ϕ > 48 o Nonostante ciò, il DdNic di Ga(jω) interseca la curva M = 2 db Open-Loop Gain (db) db Open-Loop Phase (deg) m ϕ m ϕ,lim = 48 o G a 18

19 Un esempio (3/3) 2 2(s + 5)(s + 12) (1 +.7s) F(s) = ; C(s) = 1 s(s + 4)(s + 7.2s + 16) ( s) 2 2 Il picco di risonanza della fdt in catena chiusa è superiore a 2 db Magnitude (db) M r = 2.23 db Bode Diagram -45 Phase (deg) Frequency (rad/sec) 19

20 Legame fra M r e m G (1/4) M < M r,lim 2 DdNic di G a esterno alla curva M r,lim 15 M r,lim G a

21 Legame fra M r e m G (2/4) M < M r,lim 2 m G > m G,lim 15 M r,lim 1 5 m G,lim -5 m G G a

22 Legame fra M r e m G (3/4) La condizione m G > m G,lim (ove m G,lim è il margine di guadagno letto in corrispondenza della curva M = M r,lim ) è necessaria ma non sufficiente per garantire M r < M r,lim Se il DdNic di G a (jω) interseca la curva M = M r,lim a pulsazioni inferiori alla ω π (alla quale viene letto m G ), la W y (jω) presenta M r > M r,lim anche quando m G > m G,lim 22

23 Legame fra M r e m G (4/4) Poiché m G,lim risulta contenuto anche per piccoli valori di M r,lim, il soddisfacimento di m G > m G,lim risulta spesso insufficiente a garantire M r < M r,lim Nell esempio precedente il margine di guadagno era infinito e quindi superiore a qualunque m G,lim considerato, indipendentemente dall effettivo picco di risonanza N.B.: Nella pratica dinamiche di alta frequenza trascurate nel modello e vincoli tecnologici impediscono al margine di guadagno di essere infinito 23

24 Relazioni numeriche fra margini e M r I legami fra picco di risonanza e margini di stabilità ricavati dalla carta di Nichols possono essere espressi numericamente come: 2 4Mr,lim 1 Mr,lim mϕ,lim = arctan, m 2 G,lim = 2Mr,lim 1 Mr,lim + 1 con m ϕ,lim in rad, M r,lim e m G,lim in unità naturali o ( mϕ ) 6 5 gradi ( M ) ( mg,lim ) 6.4 ( Mr,lim ),lim r,lim db db db Approssimazioni valide per db < M r,lim <6dB 24

25 Osservazioni conclusive La condizione M r < M r,lim, se rispettata, garantisce una buona robustezza della stabilità, con soddisfacenti margini di fase e di guadagno (rispettivamente pari almeno a m ϕ,lim e m G,lim ) Le condizioni m ϕ > m ϕ,lim e m G > m G,lim non garantiscono con assoluta certezza che il picco di risonanza risulti inferiore a M r,lim, anche se il suo valore è comunque contenuto in presenza di buoni margini di stabilità 25