Regime permanente e transitorio

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1 Regime permanente e transitorio Analisi del comportamento in regime permanente e verifica in simulazione Analisi del comportamento nel dominio della frequenza e in transitorio 2 27 Politecnico di Torino 1

2 Esempio 1 (1/2) Si consideri il seguente schema di controllo r K r y des e K c d u F(s) d y y con s 1 F(s) =, K =.2 2 s(s 2.5s 4)(s.2) c 4 27 Politecnico di Torino 2

3 Esempio 1 (1/2) Si consideri il seguente schema di controllo r K r y des e K c d u F(s) d y y con s 1 F(s) =, K =.2 2 s(s 2.5s 4)(s.2) c N.B.: L asintotica stabilità del sistema in catena chiusa è già stata verificata nella lezione dedicata ad alcuni Casi di studio nell unità precedente 5 Esempio 1 (2/2) Calcolare l errore di inseguimento in regime permanente nei seguenti casi: r(t) = t con K r =.4 (quindi y des (t) =.4t), in presenza dei disturbi d u (t) = D u =.1 e d y (t) = D y =.5 r(t) = ε(t) con K r = 2 (quindi y des (t) = 2), in presenza dei disturbi d u (t) = D u =.1 e d y (t) = α dy t =.1t Verificare la correttezza dei risultati ottenuti, simulando il comportamento del sistema nei casi in oggetto utilizzando Simulink 6 27 Politecnico di Torino 3

4 Calcolo dell errore (1/7) Per calcolare l errore in regime permanente, tenendo conto del riferimento applicato e dei disturbi presenti lungo l anello, è opportuno determinare tipo e guadagno stazionario di ogni blocco 7 Calcolo dell errore (1/7) Per calcolare l errore in regime permanente, tenendo conto del riferimento applicato e dei disturbi presenti lungo l anello, è opportuno determinare tipo e guadagno stazionario di ogni blocco r K r y des e K c d u F(s) d y y Tipo Tipo Politecnico di Torino 4

5 Calcolo dell errore (2/7) Il guadagno stazionario di F(s) risulta pari a F s { } K = lim s F(s) = Il guadagno stazionario di F(s) risulta pari a { } K = lim s F(s) = 1.25 F s Calcolo dell errore (2/7) In Matlab è possibile utilizzare il comando dcgain per calcolare il guadagno stazionario, una volta definita la funzione F(s) 1 27 Politecnico di Torino 5

6 Calcolo dell errore (2/7) Il guadagno stazionario di F(s) risulta pari a F s { } K = lim s F(s) = 1.25 In Matlab è possibile utilizzare il comando dcgain per calcolare il guadagno stazionario, una volta definita la funzione F(s) Kf = dcgain(s*f) dcgain calcola il valore in s = della funzione messa come argomento 11 Calcolo dell errore (3/7) L errore di inseguimento in regime permanente è calcolabile come: e = e e e r, du, dy, Politecnico di Torino 6

7 Calcolo dell errore (3/7) L errore di inseguimento in regime permanente è calcolabile come: e = e e e Errore intrinseco di inseguimento al riferimento r, du, dy, 13 Calcolo dell errore (3/7) L errore di inseguimento in regime permanente è calcolabile come: e = e e e Errore intrinseco di inseguimento al riferimento r, du, dy, Errore dovuto alla presenza del disturbo d u Politecnico di Torino 7

8 Calcolo dell errore (3/7) L errore di inseguimento in regime permanente è calcolabile come: e = e e e r, du, dy, Errore intrinseco di inseguimento al riferimento Errore dovuto alla presenza del disturbo d y Errore dovuto alla presenza del disturbo d u 15 Nel primo caso: Calcolo dell errore (4/7) Poiché il riferimento è di grado uno e G a (s) = K c F(s) è di tipo uno, risulta un errore intrinseco in regime permanente finito pari a = K = r er, 1.6 Kc KF Politecnico di Torino 8

9 Calcolo dell errore (4/7) Nel primo caso: Poiché il riferimento è di grado uno e G a (s) = K c F(s) è di tipo uno, risulta un errore intrinseco in regime permanente finito pari a = K = r er, 1.6 Kc KF Poiché d u (t) è di grado zero, il blocco che lo precede è di tipo zero, mentre il blocco che lo segue è di tipo uno, l errore è finito, pari a = D = u edu,.5 K c 17 Calcolo dell errore (5/7) Poiché d y (t) è di grado zero e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo uno, l errore è nullo e = dy, Politecnico di Torino 9

10 Calcolo dell errore (5/7) Poiché d y (t) è di grado zero e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo uno, l errore è nullo e = dy, L errore totale in regime permanente è pertanto pari a e = Calcolo dell errore (5/7) Poiché d y (t) è di grado zero e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo uno, l errore è nullo e = dy, L errore totale in regime permanente è pertanto pari a e =2.1 Data l entità dell errore risultante, la soluzione di controllo costituita da C(s) = K c = -.2 risulta non idonea all esecuzione di compiti aventi le caratteristiche del caso considerato 2 27 Politecnico di Torino 1

11 Nel secondo caso: Calcolo dell errore (6/7) Poiché il riferimento è di grado zero e G a (s) = K c F(s) è di tipo uno, risulta un errore intrinseco nullo in regime permanente e = r, 21 Nel secondo caso: Calcolo dell errore (6/7) Poiché il riferimento è di grado zero e G a (s) = K c F(s) è di tipo uno, risulta un errore intrinseco nullo in regime permanente e = r, Poiché d u (t) è di grado zero, il blocco che lo precede è di tipo zero, mentre il blocco che lo segue è di tipo uno, l errore è finito, pari a N.B.: È uguale al caso precedente! = D = u edu,.5 K c Politecnico di Torino 11

12 Calcolo dell errore (7/7) Poiché d y (t) è di grado uno e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo uno, l errore è finito, pari a α dy edy, = =.4 Kc KF 23 Calcolo dell errore (7/7) Poiché d y (t) è di grado uno e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo uno, l errore è finito, pari a α dy edy, = =.4 Kc KF L errore totale in regime permanente è pertanto pari a e = Politecnico di Torino 12

13 Il file U3L5_es1.m realizza in Matlab i calcoli precedentemente illustrati ed apre i modelli Simulink per la simulazione del comportamento del sistema nei due casi analizzati: U3L5_model_11.mdl U3L5_model_12.mdl Utilizzo di Matlab 25 Simulazione con Simulink (1/4) Modello per la simulazione del primo caso: U3L5_es1_1.mat To File.1 Constant.5 Constant1 ydes errore du dy Kc F Ramp (slope=.4) Gain LTI System uscita Politecnico di Torino 13

14 Simulazione con Simulink (2/4) Andamento dell errore nel primo caso: e(t) e come =2.1 calcolato prima tempo (s) 27 Simulazione con Simulink (3/4) Modello per la simulazione del secondo caso:.1 U3L5_es1_2.mat To File Constant Ramp (slope=.1) ydes errore du dy Kc F Step (amplitude=2) Gain LTI System uscita Politecnico di Torino 14

15 Simulazione con Simulink (4/4) Andamento dell errore nel secondo caso: e(t) e come =.46 calcolato prima tempo (s) 29 Esempio 2 (1/2) Si consideri il seguente schema di controllo r K r y des e K c d u F(s) d y y con 2.1s 1.1s 1 F(s) =, K c = 1 s 4s 8s 3 27 Politecnico di Torino 15

16 Esempio 2 (1/2) Si consideri il seguente schema di controllo r K r y des e K c d u F(s) d y y con 2.1s 1.1s 1 F(s) =, K c = 1 s 4s 8s Esercizio proposto: Verificare l asintotica stabilità del sistema in catena chiusa mediante applicazione del criterio di Nyquist 31 Esempio 2 (2/2) Calcolare l errore di inseguimento in regime permanente nei seguenti casi: r(t) = t con K r = 1, in presenza dei disturbi d u (t) = D u =.1 e d y (t) = D y =.5 r(t) = t con K r = 2, in presenza del solo disturbo d y (t) = α dy t =.1t (d u (t) = ) r(t) = t 2 /2 con K r = 1, in presenza dei disturbi d u (t) = D u =.1 e d y (t) = D y =.2 Verificare la correttezza dei risultati ottenuti, simulando il comportamento del sistema nei casi in oggetto utilizzando Simulink Politecnico di Torino 16

17 Calcolo dell errore (1/7) Si rileva la seguente tipologia dei blocchi r K r y des e K c d u F(s) d y y Tipo Tipo 2 33 Calcolo dell errore (1/7) Si rileva la seguente tipologia dei blocchi r K r y des e K c d u F(s) d y y Tipo Tipo 2 Il guadagno stazionario di F(s) risulta pari a F s 2 { } K = lim s F(s) = Politecnico di Torino 17

18 Calcolo dell errore (2/7) Come nell esempio precedente, l errore di inseguimento in regime permanente è calcolabile come: e = e e e r, du, dy, Errore intrinseco di inseguimento al riferimento Errore dovuto alla presenza del disturbo d y Errore dovuto alla presenza del disturbo d u 35 Calcolo dell errore (3/7) Nel primo caso: Poiché il riferimento è di grado uno e G a (s) = K c F(s) è di tipo due, risulta un errore intrinseco nullo in regime permanente e = r, Politecnico di Torino 18

19 Nel primo caso: Calcolo dell errore (3/7) Poiché il riferimento è di grado uno e G a (s) = K c F(s) è di tipo due, risulta un errore intrinseco nullo in regime permanente e = r, Poiché d u (t) è di grado zero, il blocco che lo precede è di tipo zero, mentre il blocco che lo segue è di tipo due, l errore è finito, pari a D = = u edu,.1 K c 37 Calcolo dell errore (4/7) Poiché d y (t) è di grado zero e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo due, l errore è nullo e = dy, Politecnico di Torino 19

20 Calcolo dell errore (4/7) Poiché d y (t) è di grado zero e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo due, l errore è nullo e = dy, L errore totale in regime permanente è pertanto pari a e = Nel secondo caso: Calcolo dell errore (5/7) Poiché il riferimento è di grado uno e G a (s) = K c F(s) è di tipo due, risulta un errore intrinseco nullo in regime permanente e = r, 4 27 Politecnico di Torino 2

21 Nel secondo caso: Calcolo dell errore (5/7) Poiché il riferimento è di grado uno e G a (s) = K c F(s) è di tipo due, risulta un errore intrinseco nullo in regime permanente e = r, Poiché d y (t) è di grado uno e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo due, l errore è nullo e = dy, N.B.: d u (t) = 41 Nel secondo caso: Calcolo dell errore (5/7) Poiché il riferimento è di grado uno e G a (s) = K c F(s) è di tipo due, risulta un errore intrinseco nullo in regime permanente e = r, Poiché d y (t) è di grado uno e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo due, l errore è nullo e = dy, N.B.: d u (t) = L errore totale in regime permanente è pertanto nullo Politecnico di Torino 21

22 Nel terzo caso: Calcolo dell errore (6/7) Poiché il riferimento è di grado due e G a (s) = K c F(s) è di tipo due, risulta un errore intrinseco in regime permanente finito pari a = K = r er,.8 Kc KF 43 Calcolo dell errore (6/7) Nel terzo caso: Poiché il riferimento è di grado due e G a (s) = K c F(s) è di tipo due, risulta un errore intrinseco in regime permanente finito pari a = K = r er,.8 Kc KF Poiché d u (t) è di grado zero, il blocco che lo precede è di tipo zero, mentre il blocco che lo segue è di tipo due, l errore è finito, pari a N.B.: Èuguale al primo caso! D = = u edu,.1 K c Politecnico di Torino 22

23 Poiché d y (t) è di grado zero e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo due, l errore è nullo L errore totale in regime permanente è pertanto pari a e =.79 Calcolo dell errore (7/7) e = dy, 45 Il file U3L5_es2.m realizza in Matlab i calcoli precedentemente illustrati ed apre i modelli Simulink per la simulazione del comportamento del sistema nei tre casi analizzati: U3L5_model_21.mdl U3L5_model_22.mdl U3L5_model_23.mdl Utilizzo di Matlab Politecnico di Torino 23

24 Simulazione con Simulink (1/6) Modello per la simulazione del primo caso: U3L5_es2_1.mat To File.1 Constant.5 Constant1 ydes errore du dy Kc F Ramp (slope=1) Gain LTI System uscita 47 Simulazione con Simulink (2/6) Andamento dell errore nel primo caso: e(t) 1.5 e come =-.1 calcolato prima tempo (s) Politecnico di Torino 24

25 Simulazione con Simulink (3/6) Modello per la simulazione del secondo caso: U3L5_es2_2.mat To File Constant Ramp (slope=.1) ydes errore du dy Kc F Ramp (slope=2) Gain LTI System uscita 49 Simulazione con Simulink (4/6) Andamento dell errore nel secondo caso: e(t) e come = calcolato prima tempo (s) 5 27 Politecnico di Torino 25

26 Simulazione con Simulink (5/6) Modello per la simulazione del terzo caso: U3L5_es2_3.mat To File.1 Constant.2 Constant1 Ramp (slope=1) 1 s Integrator ydes errore Kc Gain du F LTI System dy uscita 51 Simulazione con Simulink (6/6) Andamento dell errore nel terzo caso: 1.4 e(t) e come =.79 calcolato prima tempo (s) Politecnico di Torino 26

27 Esempio 3 (1/2) Il sistema di controllo in esame è rappresentato dal seguente schema a blocchi r e C(s) d cost u y F(s) d AF y d cost è un disturbo costante (BF) di ampiezza.5 d AF è un disturbo in AF (ω 2) di ampiezza Politecnico di Torino 27

28 Esempio 3 (2/2) 2 (s 2) (s) = s (s 1)(s 1s 1) F 2 (modello del sistema) C(s) = 4s 6 s 6 (fdt del compensatore) La catena è di tipo 1, per cui L errore stazionario di inseguimento al gradino, e g, è nullo L errore stazionario di inseguimento alla rampa, e r, è finito e vale 1/K Ga = 1/(C() K F ) = 1/(1 4) = Analisi degli errori (1/4) Per ridurre e r sarebbe necessario aumentare il guadagno stazionario C() del compensatore (ma, a pari specifiche, sarebbe certamente da riprogettare la restante parte dinamica) Per azzerare e r sarebbe necessario introdurre un integratore nel compensatore (ma, a pari specifiche, anche in questo caso sarebbe certamente da riprogettare la restante parte dinamica) L errore stazionario di inseguimento alla parabola cresce indefinitamente ( ) Politecnico di Torino 28

29 Analisi degli errori (2/4) L errore stazionario e dcost, indotto dal disturbo d cost, è dato dalla seguente espressione e dcost F(s).5 lim s = s 1 C(s)F(s) s =.5 C() =.5 NB: e dcost dipende solo da C() Per ridurre e dcost sarebbe necessario aumentare il guadagno stazionario del compensatore (ma, a pari specifiche, sarebbe certamente da riprogettare la restante parte dinamica) 57 Analisi degli errori (3/4) Per azzerare e dcost sarebbe necessario introdurre un integratore nel compensatore (ma, a pari specifiche, anche in questo caso sarebbe certamente da riprogettare la restante parte dinamica) Ipotesi di lavoro: modificare solo il guadagno stazionario del compensatore originario, ovvero inserirvi un integratore, senza riprogettare la parte dinamica C 1 =C C 2 =2C C 3 =3C C 4 =C/s Politecnico di Torino 29

30 Analisi degli errori (4/4) È facile verificare che il sistema in catena chiusa diventa instabile nei seguenti casi Fattore moltiplicativo 3.37 u n (1.6 db) Aggiunta del fattore 1/s (integratore) 59 Errore di inseguimento alla rampa.4 Errore di inseguimento per r(t)=rampa C 1.25 Ampiezza C C Tempo (sec) 6 27 Politecnico di Torino 3

31 Errore indotto dal disturbo di BF Errore di inseguimento per d cos t (t)=.5 Ampiezza C 3 C 2 C Tempo (sec) 61 Risposta al gradino con C 1 2 y(t) per r(t)=gradino C 1 Ampiezza Tempo (sec) Politecnico di Torino 31

32 Risposta al gradino con C 2 2 y(t) per r(t)=gradino C 2 Ampiezza Tempo (sec) 63 Risposta al gradino con C 3 2 y(t) per r(t)=gradino C 3 Ampiezza Tempo (sec) Politecnico di Torino 32

33 Risposta al gradino 2 y(t) per r(t)=gradino C 1 C 2 C 3 Ampiezza Tempo (sec) 65 Margini di stabilità (1/2) 1 Margini di stabilità Modulo (db) 5-5 C 4 ωc 3 7 rad/s C 1 C 2 C 3 Fase (deg) ω (rad/sec) Politecnico di Torino 33

34 Margini di stabilità (2/2) Modulo catena aperta (db) C 4 C 3 C 2 C 1 DdNic di G ai.25 db.5 db 1 db 3 db 6 db db Fase catena aperta (deg) 67 Effetti dell aumento del guadagno d anello Dai DdB e dai DdNic è facile osservare che all aumentare del guadagno del compensatore (e quindi d anello) si riducono sia il margine di fase che il margine di guadagno Politecnico di Torino 34

35 Effetti dell aumento del guadagno d anello Dai DdB e dai DdNic è facile osservare che all aumentare del guadagno del compensatore (e quindi d anello) si riducono sia il margine di fase che il margine di guadagno Nel dominio del tempo: minore smorzamento nella dinamica della catena chiusa 69 Effetti dell aumento del guadagno d anello Dai DdB e dai DdNic è facile osservare che all aumentare del guadagno del compensatore (e quindi d anello) si riducono sia il margine di fase che il margine di guadagno Nel dominio della frequenza: maggiore picco di risonanza della catena chiusa 7 27 Politecnico di Torino 35

36 Effetti dell aumento del guadagno d anello Dai DdB e dai DdNic è facile osservare che all aumentare del guadagno del compensatore (e quindi d anello) si riducono sia il margine di fase che il margine di guadagno Nel dominio del tempo: minore smorzamento nella dinamica della catena chiusa Nel dominio della frequenza: maggiore picco di risonanza della catena chiusa 71 Risposta in frequenza della fdt W Modulo (db) Fase (deg) 5-5 C 2 C 3 C 1-1 C ω (rad/sec) Politecnico di Torino 36

37 Esempio 3 con nuovo progetto (1/2) È stato progettato un nuovo compensatore (C 5 ) con l obiettivo di azzerare l errore di inseguimento alla rampa e l errore indotto dal disturbo d cont Come già detto tale compensatore deve avere un integratore La restante parte dinamica del compensatore è tale da rispettare le altre specifiche già soddisfatte dal compensatore C 1 (stabilità della catena chiusa, tempo di salita, ecc.) 73 Esempio 3 con nuovo progetto (2/2) La fdt del nuovo compensatore è la seguente: 2 (s.68) C5(s) = s (s 13.6) Nelle diapositive successive sono messe a confronto le risposte in catena chiusa con i compensatori C 1 e C Politecnico di Torino 37

38 Errore di inseguimento alla rampa.45 Errore di inseguimento per r(t)=rampa 1 Ampiezza C 1.5 C Tempo (sec) 75 Errore indotto dal disturbo di BF.1 Errore di inseguimento per d cont (t)=.5 C Ampiezza C Tempo (sec) Politecnico di Torino 38

39 Risposta al gradino di y in catena chiusa 1.4 y(t) per r(t)=gradino C 5 Ampiezza C Tempo (sec) 77 Risposta al gradino di u in catena chiusa 4 u(t) per r(t)=gradino Ampiezza C C Tempo (sec) Politecnico di Torino 39

40 Margini di stabilità (1/2) Modulo (db) C 5 C 1 Fase (deg) ω (rad/sec) 79 Margini di stabilità (2/2) DdNic di G a1 e di G a5 Modulo catena aperta (db) db.5 db 1 db 3 db 6 db -1 db -3 db -6 db -12 db -2 db C 5 C Fase catena aperta (deg) 8 27 Politecnico di Torino 4

41 DdB di W 1 e di W 5 2 Modulo (db) -5-1 C C 1-15 Fase (deg) ω (rad/sec) 81 Effetto del disturbo di AF su y (1/3) Analisi degli effetti di d AF sull uscita y W y,af = y d AF 1 ω = 2 = 1 CF ω W W y,af y,af 1 = Politecnico di Torino 41

42 Effetto del disturbo di AF su y (2/3) C 3 C 2 C 1 Modulo (db) -1 C 5 1 u n ω (rad/sec) 83 Effetto del disturbo di AF su y (3/3) 2 2 Con compensatore C 1 Con compensatore C y 1 y t = 1 ( ±.1) t 2 2 Con compensatore C 2 Con compensatore C y 1 y t t Politecnico di Torino 42

43 Effetto del disturbo di AF su u (1/3) Analisi degli effetti di d AF sul controllo u W u,af = u d AF ω = 2 C = 1 CF ω W 4 con C1 8 con C2 Wu,AF 12 con C3.57 con C5 4 con C1 8 con C2 = C( ) = 12 con C3 con C5 u,af 85 Effetto del disturbo di AF su u (2/3) 5 4 Modulo (db) C 3 C 2 C 1 C 5 12 u n 8 u n 4 u n.57 u n ω (rad/sec) Politecnico di Torino 43

44 Effetto del disturbo di AF su u (3/3) Con compensatore C 1 1 Con compensatore C u t t Con compensatore C 2 1 Con compensatore C u u u = 4 ( ±.1) =.57 ( ±.1) t -5 = 8 ( ±.1) = 12 ( ±.1) t 87 Strumenti di analisi (1/2) I grafici relativi all esempio trattato sono stati ottenuti con l ausilio dello script Matlab Sim_dist_AF.m che a sua volta apre il modello Simulink Dist_AF.mdl Politecnico di Torino 44

45 Strumenti di analisi (2/2) u U_AF1.1*sin(2t) Clock 1 r e C1 u F ys y Y_AF1 Controllore Processo y Modello Simulink Dist_AF.mdl Politecnico di Torino 45