Campionamento e quantizzazione

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1 Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Campionamento e quantizzazione A.A Alberto Perotti DELEN-DAUIN Conversione analogico-digitale L elaborazione e la trasmissione dei segnali possono avvenire sia in forma analogica che numerica. Spesso, è molto più conveniente, sotto vari aspetti, effettuare una trasmissione o elaborazione in forma numerica. A tal fine, è necessario convertire i segnali analogici in numerici e, dopo aver effettuato la trasmissione o l elaborazione, riconvertirli in segnali analogici. 2 1

2 Conversione analogico-digitale (cont.) La conversione di un segnale analogico in segnale numerico si divide in due fasi. Il campionamento: consiste nel leggere il valore del segnale ad istanti di tempo equispaziati x(kt c ). La quantizzazione: consiste nel codificare i valori x(kt c ) assegnando ad ognuno di essi un valore discreto. 3 Campionamento È dato un segnale x(t) con spettro di ampiezza X( f ). Si estrae da x(t) una sequenza di campioni x[n] = x(nt c ) È possibile, a partire da x[n], ricostruire x(t)? 4 2

3 Campionamento (cont.) Per ricostruitre il segnale originario x(t), si deve risolvere un problema di interpolazione, cioè si deve trovare una funzione K(t) con le seguenti caratteristiche: in modo da poter scrivere 5 Campionamento (cont.) Se non si fissano ulteriori vincoli su K(t), si ottiene un segnale x K (t) = x(t) per t = i T c. Per risolvere il problema di interpolazione è però necessario trovare una funzione K(t) tale che x K (t) = x(t) t R Esiste una funzione K(t) tale che x K (t) = x(t) t R? 6 3

4 Campionamento (cont.) Si definisce il segnale x(t) campionato come x(t) t 7 Campionamento (cont.) Ricordando che la trasformata di Fourier di un treno di δ vale si ottiene la trasformata del segnale campionato: 8 4

5 Campionamento (cont.) Quindi lo spettro di ampiezza del segnale campionato è la somma di infinite repliche dello spettro di x(t), traslate in frequenza di multipli interi di f c = 1/T c, la frequenza di campionamento. X δ ( f ) -f c 0 B f c f 9 Campionamento (cont.) La possibilità di ricostruire esattamente un segnale analogico a partire dai suoi campioni è legata alla relazione tra la banda del segnale B e la frequenza di campionamento f c = 1/ T c Se B < f c / 2, le repliche dello spettro di x(t) non si sovrappongono, rendendo possibile la ricostruzione X δ ( f ) -f c 0 B f c f 10 5

6 Campionamento (cont.) La ricostruzione avviene mediante filtro passa-basso ideale con frequenza di taglio pari alla banda del segnale B. Se invece B > f c / 2, le repliche dello spettro di x(t) si sovrappongono, rendendo impossibile la ricostruzione: X δ ( f ) -f c 0 B f c f 11 Teorema del campionamento Il primo criterio di Nyquist enuncia che un segnale tempo-continuo può essere campionato e perfettamente ricostruito se la frequenza di campionamento è maggiore del doppio della banda del segnale. 12 6

7 Ricostruzione del segnale analogico La ricostruzione del segnale avviene mediante moltiplicazione nel dominio della frequenza di X δ ( f ) per un segnale porta in frequenza p fc ( f ) X δ ( f ) p fc ( f ) -f c 0 B f c f 13 Ricostruzione del segnale analogico (cont.) Nel dominio del tempo, il prodotto diventa una convoluzione: 14 7

8 Ricostruzione del segnale analogico (cont.) Si è ottenuta una funzione K(t) che soddisfa le condizioni richieste e consente di ricostruire esattamente il segnale di partenza: x(t) 2T c -T c 0 T c t 15 Aliasing Se il segnale analogico x(t) non è limitato in banda, non è possibile campionarlo in modo da poterlo ricostruire esattamente. Tuttavia, in pratica, spesso la maggior parte dell energia è concentrata in un intervallo [-B e, B e ]. X( f ) -B e 0 B e f 16 8

9 Aliasing (cont.) Scegliendo f c = 2 B e, si ottiene una sequenza di campioni che non consente la esatta ricostruzione, poiché si ha sovrapposizione spettrale (aliasing). In tal caso, prima del campionamento, si applica un filtro passa-basso analogico con risposta in frequenza H( f ) = p 2Be ( f ) allo scopo di limitare tale fenomeno X( f ) H( f ) -B e 0 B e f c f 17 Campionamento reale Nella realtà, il campionamento è effettuato mediante un circuito che può essere esemplificato da un interruttore e un condensatore. Idealmente, l interruttore rimane chiuso per un tempo infinitesimo, durante il quale il condensatore viene caricato. x(t) it c x[n] 18 9

10 Campionamento reale (cont.) In realtà, l interruttore rimane chiuso per un tempo finito, chiamato aperture time. La non idealità dei dispositivi di campionamento provoca quindi una alterazione del segnale. È possibile compensare parzialmente tale alterazione mediante filtri di compensazione. 19 Quantizzazione Dopo il campionamento, la conversione analogicodigitale viene completata con la quantizzazione, che consiste nell associare ad ogni campione x[n] Run valore discreto. Le tecniche di quantizzazione più comunemente usate sono il troncamento e l arrotondamento

11 Quantizzazione (cont.) La caratteristica ingresso-uscita di un quantizzatore è la seguente: Arrotondamento x q [n] Troncamento x q [n] 3q 2q q 3q 2q q q/2 3q/2 5q/2 x[n] q 2q 3q x[n] 21 Quantizzazione (cont.) La quantizzazione introduce un errore nella sequenza di campioni. Dopo la quantizzazione non è più possibile effettuare l esatta ricostruzione del segnale analogico x(t). Si modella la quantizzazione nel seguente modo: dove e[n] è il segnale errore introdotto dal quantizzatore

12 Quantizzazione (cont.) Nel caso di quantizzazione per troncamento: Nel caso di quantizzazione per arrotondamento: 23 Rapporto segnale-rumore di quantizzazione Nel caso di arrotondamento, si modella e[n] come un processo casuale stazionario avente densità di probabilità uniforme in [-q/2, q/2]. La potenza di rumore vale [ e ] 2 2 q N q = E =

13 Rapporto segnale-rumore di quantizzazione (cont.) Il quantizzatore ha a disposizione B bit per codificare i campioni alla sua uscita. Per convenzione, si assume che l intervallo in cui opera il quantizzatore sia [-1, 1]. Ciò permette di determinare l ampiezza dell intervallo di quantizzazione q a partire dal numero di bit a disposizione: 25 Rapporto segnale-rumore di quantizzazione (cont.) Si definisce il rapporto segnale-rumore di quantizzazione come dove S è la potenza del segnale e N q è la potenza di e[n]. Nel caso di quantizzazione per arrotondamento: 26 13

14 Rapporto segnale-rumore di quantizzazione (cont.) Nel caso in cui il segnale analogico sia x ( t ) = sin(2 πf t 0 ) si ottiene S = ½ e quindi 27 Rapporto segnale-rumore di quantizzazione (cont.) Se il segnale analogico è un processo casuale con densità di probabilità Gaussiana con media nulla e varianza σ 2, si applica un guadagno opportuno in modo di avere σ = ¼ e quindi σ 2 = S = 1 / 16 : e quindi 1/16 12 SNRq = q B =

15 Degradazione Dato un segnale in ingresso al quantizzatore caratterizzato dal rapporto segnale-rumore si definisce il rapporto segnale-rumore d uscita del quantizzatore come dove N q è la potenza del errore di quantizzazione. 29 Degradazione (cont.) Si ottiene: La degradazione è definita come la differenza tra il rapporto segnale-rumore in ingresso al quantizzatore e il rapporto segnale-rumore in uscita: 30 15

16 Pulse-Coded Modulation (PCM) Si tratta di una tecnica di codifica e trasmissione per segnali analogici. Consiste nel campionamento del segnale analogico ad una frequenza opportuna, seguita dalla quantizzazione con codifica lineare o logaritmica. Viene usata nelle reti telefoniche numeriche (ad es., ISDN) 31 Pulse-Coded Modulation (cont.) Nelle reti telefoniche, la codifica vocale avviene mediante campionamento con f c = 8 khz e quantizzazione logaritmica Legge µ (Nord America) µ = 100 oppure µ = 255 Legge A (Europa) A =

17 Esercizio 1 È dato il seguente segnale analogico con f 0 = 10 khz. 1. Determinare lo spettro di ampiezza del segnale. 2. Determinare lo spettro di ampiezza del segnale x(t) campionato con frequenza di campionamento f c = 15 khz. 33 Esercizio 1 (cont.) 1. Lo spettro di ampiezza del segnale vale A/2 X( f ) -f 0 0 f 0 f 34 17

18 Esercizio 1 (cont.) 2. Lo spettro di ampiezza del segnale campionato vale A/2 X( f ) -f c -f 0 0 f 0 f c f 35 Esercizio 2 Un segnale passa-banda ha spettro di ampiezza non nullo per f [f 1, f 2 ]. Secondo il teorema del campionamento, f C > 2 f 2 Si tratta della minima frequenza di campionamento necessaria per evitare la sovrapposizione spettrale? X PB ( f ) -f 2 -f 1 f 1 f 2 f 36 18

19 Esercizio 2 - soluzione Per evitare la sovrapposizione spettrale, è necessario rispettare la seguente relazione: Per f 1 = 0, f 2 = B, la precedente relazione implica k = 0 e si riduce al teorema del campionamento: B f c / 2. X PB,δ ( f ) -f 2 -f 1 f c f 37 Esercizio 3 È dato un segnale Gaussiano (µ = 0, σ = 0.25) con spettro nullo al di fuori dell intervallo f [260 khz, 360 khz]. 1. Determinare la minima frequenza di campionamento necessaria per una corretta ricostruzione del segnale. 2. Se il segnale è quantizzato utilizzando 8 bit, determinare il rapporto segnale-rumore di quantizzazione e la velocità di trasmissione necessaria

20 Esercizio 3 (cont.) La minima frequenza di campionamento necessaria per una corretta ricostruzione del segnale è determinabile applicando la seguente relazione: che implica 39 Esercizio 3 (cont.) Si ottiene Si determina ora il rapporto segnale-rumore di quantizzazione: 40 20

21 Esercizio 4 Un segnale con densità di probabilità di ampiezza Gaussiana ha un rapporto segnale-rumore di 40 db. Determinare il numero di bit di quantizzazione in modo da avere una degradazione inferiore a 0.3 db. 41 Esercizio 4 (cont.) Si deve ottenere Applicando si ottiene 42 21

22 Esercizio 4 (cont.) Si ottiene Poiché il segnale è Gaussiano, applicando si ottiene B =10 43 Esercizio 5 In un sistema di comunicazione di tipo telefonico, la voce è filtrata mediante un filtro passa-banda con frequenze di taglio f 1 = 300 Hz e f 2 = 3400 Hz. Determinare la minima frequenza di campionamento necessaria per evitare l aliasing. Se il segnale viene campionato con f c = 8 khz e quantizzato mediante quantizzatore a 256 livelli, qual è il bit rate all uscita del quantizzatore? 44 22

23 Esercizio 6 Un sistema per la memorizzazione di segnali audio ad alta fedeltà stereofonico (compact disc) usa una frequenza di campionamento f c = 44.1 khz. Il quantizzatore codifica i livelli su 16 bit (2 16 livelli di quantizzazione). Determinare il rapporto segnale-rumore di quantizzazione, assumendo che il segnale sia un processo casuale Gaussiano stazionario con deviazione standard σ = 1/6. Determinare il bit rate totale all uscita del/i quantizzatore/i. Un CD audio può memorizzare fino a 80 minuti di musica stereofonica ad alta fedeltà. Determinare la capacità totale (in bit e in byte) di un CD. 45 Riferimenti bibliografici [1] G. Prati, Videocorso Teoria dei Segnali [2] L. Lo Presti, F. Neri, L Analisi dei Segnali, CLUT, Torino,