Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Esercizi Teoria dei segnali Prof. Giovanni Schembra

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1 Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Esercizi Teoria dei segnali Prof. Giovanni Schembra Sommario CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI.... ESERCIZIO.... ESERCIZIO ESERCIZIO 3 CONVOLUZIONE ESERCIZIO... 9 SPETTRI DI SEGNALI ESERCIZIO ESERCIZIO TEOREMA DI PARSEVAL FILTRAGGIO CON SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI ESERCIZIO ESERCIZIO... 8

2 Caratteristiche dei segnali determinati. Esercizio

3 3

4 4

5 . Esercizio 5

6 6

7 .3 Esercizio 3 Convoluzione 7

8 8

9 Sviluppo in serie di Fourier di segnali periodici.4 Esercizio 9

10 0

11

12

13 Spettri di segnali. Esercizio. Esercizio Teorema di Parseval 3

14 4

15 5

16 3 Filtraggio con sistemi lineari tempo invarianti 3. Esercizio Dato il segnale = + t 6k t 6k x( t) Π + Π, calcolare: k=. dire se il segnale è periodico ed eventualmente calcolarne il periodo. disegnare il grafico temporale del segnale 3. calcolare il valore del segnale agli istanti t = 0.5 e t = calcolare la densità spettrale di potenza del segnale; 5. calcolare il valore medio del segnale 6. calcolare l energia del segnale 7. calcolare la potenza del segnale 8. calcolare il guadagno in potenza in db di un filtro passa-basso con frequenza di taglio f = 0., se gli si mette in C ingresso il segnale x (t) 9. calcolare la funzione di autocorrelazione all uscita del filtro quando in ingresso si pone il segnale x (t) SOLUZIONE. dire se il segnale è periodico ed eventualmente calcolarne il periodo Il segnale è periodico di periodo T = 6. disegnare il grafico temporale del segnale 3. calcolare il valore del segnale agli istanti t = 0.5 e t = 0.75 x ( 0.5) = e x ( 0.75) = 4. calcolare la densità spettrale di potenza del segnale; A tale scopo dobbiamo calcolare i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier: c n = F H (nf), dove F = T = 0.67; t t ( t) = Π + Π h H ( f ) sinc( f ) + sinc( f ) Lo spettro delle ampiezze è X ( f ) = + cn δ ( f nf) : n= n n = c n = F H ( nf) = sinc + sinc

17 La DSP è: DSPX ( f ) = + cn δ ( f ), con = n c sinc + sinc n n n= calcolare il valore medio del segnale Il valore medio del segnale è: c = + = n 6. calcolare l energia del segnale L energia è infinita perché il segnale è periodico 7. calcolare la potenza del segnale La potenza si calcola come segue: = T P x( t) = ( ) 4 x t dt = + = 0 6 dt dt T T = 5 6. P = calcolare il guadagno in potenza in db di un filtro passa-basso con frequenza di taglio f C = 0., se gli si mette in ingresso il segnale x (t) Il filtro ha risposta in frequenza data dal grafico: n Dunque lo spettro dell uscita è Y ( f ) = + n cn δ ( f ). La DSP è DSPY ( f ) = + cn δ ( f ) n= 6 n= 6 = P X P Y = c 0 + c = 0.68 PY G = 0log =.77 db 0 P X 9. calcolare la funzione di autocorrelazione all uscita del filtro quando in ingresso si pone il segnale x (t) R YY ( τ ) = + n= c n e jn πf τ 7

18 3. Esercizio I segnali x ( ) e x ( ) vengono trattati con il sistema rappresentato in figura, dove il replicatore replica il segnale di t t ingresso con periodo Ts = 5, mentre il filtro H ( f ) è un filtro ideale passabasso con frequenza di taglio pari a FT = 0.3 e guadagno in tensione pari a G. Calcolare: ) L espressione del segnale x ( t ) ) L espressione del segnale x ( t ) 3) L espressione del segnale x (t) 4) L espressione del segnale y (t) 5) Lo spettro delle ampiezze del segnale y (t) 6) Lo spettro delle ampiezze del segnale z (t) 7) La potenza di y (t) 8) La media di y (t) 9) Il valore in db del guadagno G, affinchè la potenza di z (t) sia uguale a quella del segnale y (t). x ( t ) x ( t ) 0 + t t x ( t ) x ( t ) + - x(t) Replicator Periodo: T s y (t) z(t) Filtro H(f) SOLUZIONE ) ( t x t) = 0Π 4 t.5 t +.5 ) x ( t) = 5Π + 5Π t t 3) x ( t) = 5Π + 5Π 4 x(t) t + + t nt s t nts 4) ( t) = x( t nt ) = 5 Π + Π s y, dove T = 5 s n= n= 4 5) Lo spettro delle ampiezze del segnale (t) ( = +, dove: n s n= t t F = () 5 = s 0. Hz; c = F X ( nf ), dove ( ) ( ) n s s X ( f ) = 5I Π + Π = 0sinc 4 f + 0sinc f. Dunque, 4 otteniamo: c = F X ( nf ) = 0.[ 0sinc( 4 0.n) + 0sinc( 0.n) ] = 4sinc( 0.8n) + sinc( 0. 4n) n s s 6) Lo spettro delle ampiezze del segnale z (t) si ottiene considerando tutte le armoniche di y (t) appartenenti all intervallo [ F, ], cioè: Z( f ) G c δ ( f nf ) T F T y è a righe, e pari a: Y f ) c δ ( f nf ) = + n= n s 8

19 7) La potenza di y (t) è: = + Ts + = = + P x( t) dt x( t) dt 0. x( t) dt = y T T s 0 5 ( ) + 0.4( 5 ) 50 = = s 8) La media di y (t) è ( ) = + Ts + ( ) = ( ) = 0. ( ) = 0.4( ) = y t x t dt x t dt x t dt T T s s 9) Per calcolare il valore in db del guadagno G, affinchè la potenza di z (t) sia uguale a quella del segnale y (t), calcoliamo intanto la potenza del segnale z (t). Con il teorema di Parseval, abbiamo: P [ ] [ sinc( 0.8n) + sinc( 0.4n) ] = G 36 + ( 4sinc( 0.8) + sinc( 0.4) ) + + z = G cn = G = n= n= 4 G la potenza di z (t) sia uguale a quella del segnale y (t), dobbiamo imporre: G = 50 G = = Affinché. Dunque: 9