Formulario di Teoria dei Segnali 1

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1 Formulario di eoria dei Segnali Parte : Segnali determinati his documentation was prepared with L A EX by Massimo Barbagallo

2 formulario di teoria dei segnali Proprietà dei segnali determinati Energia, potenza e valor medio di un segnale Segnali tempo continui E x lim P x lim x m lim x (t) d t Segnali tempo discreti E x lim N N n = N P x lim N N + x m lim N N + x (t) d t x (t) d t x [n] N n = N N n = N x [n] x [n] Sviluppo in serie di Fourier Denizione Un segnale x(t) periodico, di periodo 0 = 0 espressioni per la serie di Fourier sono: è sviluppabile in serie di Fourier. Le possibili Forma reale polare x(t) = A 0 + k = A k cos (πkf 0 t + ϑ k ) Forma esponenziale o complessa x(t) = X k e jπkf 0t con X k = x(t) e jπkf0t d t 0 k = [ 0 ] ale sviluppo vale anche se il segnale x(t) è complesso

3 formulario di teoria dei segnali Forma reale rettangolare x(t) = a 0 + k = [a k cos (πkf 0 t) b k sin (πkf 0 t)] Relazioni tra i coecenti di Fourier a 0 = A 0 = X 0 X k = A k e jϑ k valor medio del segnale X k = A k e jϑ k a k = A k cos ϑ k = A k e jϑ k + e jϑ k b k = A k sin ϑ k = A k e jϑ k e jϑ k j = X k + X k = X k X k j a k + jb k = X k + X k + j X k X k = X k j ( ) A k = a k + bk b k ϑ k = arctan Proprietà Linearità a k = R {X k } = I {X k } x(t) e y(t) sono due segnali periodici di periodo 0 aventi coecenti di Fourier rispettivamente X k e Y k, allora si ha: z(t) = a x(t) + b y(t) Z k = a X k + b Y k Simmetrie degli spettri X k = X k { Xk = X k X k = X k con x(t) reale Segnali pari e dispari x(t) reale e pari X k = x (t) cos (πkf 0 t) d t x(t) reale e dispari X k = j 0 x (t) sin (πkf 0 t) d t 0 0 Si nota immediatamente che nel caso in cui x(t) sia reale e pari allora risulta X k = X k, inoltre tali coecenti sono reali. Se x(t) è reale e dispari allora si ha X k = X k e tali coecenti risultano immaginari puri. raslazione nel tempo x(t t 0 ) F X k e jπf 0t 0

4 ... formulario di teoria dei segnali 3 Derivazione d x(t) d t F jπkf 0 X k Segnale alternativo ( x(t) periodico, di periodo 0, è alternativo se risulta x t + ) 0 = x(t). Per tale segnale il coecente X k della serie di Fourier è nullo per tutti i valori pari dell'indice k. Infatti vale la formula semplicata: X k = ( )k x(t) e jπkf 0t dt Sviluppi in serie di Fourier notevoli coseno { a k = ± x(t) = a cos (πf 0 t) X k = 0 k ± onda quadra 0 0 x(t) a t Nel caso in cui x(t) è l'onda quadra (dispari) rappresentata in gura allora i coecenti X k del suo sviluppo in serie di Fourier sono dati da: a X k = jπk k dispari 0 k pari onda triangolare 0 0 x(t) a a t Per l'onda triangolare rappresentata in gura, i coecenti dello sviluppo in serie di Fourier risultano pari a: 4a X k = (kπ) k dispari 0 k pari

5 formulario di teoria dei segnali 4 treno di impulsi 3 x(t) a t Nel caso in cui x(t) è il treno di impulsi rappresentato in gura allora i coecenti X k sono dati da: X k = a ) sinc (k 0 0 Il rapporto 0 viene detto dutycycle o duty-factor. rasformata continua di Fourier Denizione Un segnale x(t) può essere visto come la sovrapposizione di componenti sinusoidali di ampiezza innitesima e di frequenza variabile con continuità su tutto l'asse reale. Le due equazioni relative alla rappresentazione del segnale aperiodico sono: x(t) = Proprietà X(f) e jπft d f X(f) = Simmetrie degli spettri x(t) e jπft d t X(f) = X ( f) { R {X(f)} = R {X( f)} I{X(f)} = I{X( f)} con x(t) reale Segnali pari e dispari x (t) reale e pari X (f) = x (t) reale e dispari X (f) = j 0 x (t) cos (πft) dt 0 x (t) sin (πft) dt Nel caso in cui x(t) sia reale e pari allora X(f) è anch'essa reale e pari; mentre, se x(t) è reale e dispari allora X(f) è immaginaria pura e dispari. 3 La funzione sinc( ) è denita nel modo seguente: sinc(t) sin(πt) πt t 0 t = 0

6 formulario di teoria dei segnali 5 Linearità x(t) = a x (t) + b x (t) X(f) = a X (f) + b X (f) Dualità x(t) F X(f) X(t) F x( f) raslazione nel tempo F {x (t t 0 )} = X (f) e jπft 0 con X (f) = F{x(t)} raslazione in frequenza F { x (t) e } jπf 0t = X (f f 0 ) con X (f) = F {x (t)} Cambiamento di scala F{x(α t)} = ( ) f α X α (α 0) con X(f) = F{x(t)} rasformata di un segnale coniugato F{x(t)} = X( f) con X(f) = F{x(t)} eorema della modulazione F {x(t) cos (πf 0 t)} = X(f f 0) + X(f + f 0 ) con X(f) = F {x(t)} eoremi di derivazione e integrazione { } d x(t) F = jπf X(f) con X(f) = F {x(t)} d t { } d X(f) F = jπt x(t) con X(f) = F {x(t)} d f { t } F x(τ) d τ = X(f) jπf + δ(f) X(0) con X(f) = F {x(t)} il secondo termine aggiuntivo ci vuole quando il segnale x(t) non sottende area nulla, cioè quando X(0) 0. eorema del prodotto 4 F{x(t) y(t)} = X(f) Y (f) eorema della convoluzione F{x(t) y(t)} = X(f) Y (f) 4 L'asterisco indica l'operazione di convoluzione, denita nel modo seguente: ϕ(t) ψ(t) = ϕ(τ) ψ(t τ) d τ tale operazione gode della proprietà commutativa.

7 formulario di teoria dei segnali 6 rasformate di Fourier generalizzate Proprietà della δ di Dirac x(t) δ(t) d t = x(0) x(t) δ(t t 0 ) d t = x(t 0 ) x(t) δ(t) = x(t) δ(t t 0 ) = x(τ) δ(t τ) d τ = x(t) x(t) δ(t t 0 ) = x(t 0 ) δ(t t 0 ) δ(a t) = a δ(t) altre proprietà x(τ) δ(t t 0 τ) d τ = x(t t 0 ) F{δ(t)} = F{} = δ(f) U(f) = F{u(t)} = jπf + δ(f) F{δ(t t 0 )} = e jπft 0 F { e jπf 0t } = δ(f f 0 ) rasformata continua di un segnale periodico F{cos(πf 0 t)} = δ(f f 0) + δ(f + f 0 ) F{sin(πf 0 t)} = δ(f f 0) δ(f f 0 ) j F{cos(πf 0 t + ϕ)} = δ(f f 0) e jϕ + δ(f + f 0) e jϕ x (t) = k= X k e jπkf 0t X k = f 0 F{x 0 (t)} f=kf0 X (f) = k δ (f kf 0 ) con f 0 = k=x 0 Quest'ultima formula consente di calcolare i coecenti dello sviluppo in serie di Fourier di un segnale x(t) periodico a partire dalla trasformata di Fourier del segnale x 0 (t) ottenuto troncando x(t) in un periodo 0.

8 formulario di teoria dei segnali 7 rasformate di Fourier notevoli impulso rettangolare 5 ( ) t x(t) = rect X(f) = sinc(f ) seno circolare ( ) t x(t) = sinc ( ) t x(t) = sinc X(f) = rect(f ) ( ) f X(f) = ( f ) rect impulso triangolare ( x(t) = t ) ( t rect ) X(f) = sinc (f ) impulso cosinusoidale ( x(t) = cos π t ) ( ) t rect X(f) = π cos(πf ) (f ) impulso cosinusoidale quadrato ( x(t) = cos π t ) ( ) t rect X(f) = sinc(f ) (f ) pettine (treno di impulsi di Dirac) x(t) = n= funzione segno δ(t n 0 ) X(f) = k= ) δ (f k0 0 sign(t) = { se t>0 se t<0 F {sign(t)} = jπf gradino unitario u(t) = { se t 0 0 se t<0 U(f) = jπf + δ(f) 5 La funzione impulso rettangolare rect(t) è denita nella maniera seguente: t < / rect(t) = / ± / 0 altrove

9 formulario di teoria dei segnali 8 esponenziale unilatero segnale x(t) = e t/ u(t) X(f) = + jπf x(t) = t e t/ u(t) X(f) = ( + jπf ) sinusoide smorzata ( x(t) = e t/ sin π t ) u(t) X(f) = segnale gaussiano x(t) = e t /( ) X(f) = (πf ) πe π ( π ) + ( + jπf ) esponenziale bilatero x(t) = a e t / X(f) = a coseno retticato ( ) + (πf) Il segnale coseno retticato y(t)= cos (πf 0 t) é periodico di periodo 0, con 0 = ; tale segnale puó essere visto come la ripetizione del segnale base f 0 ( ) t x(t)=cos (πf 0 t) rect, allora, per la prima formula di Poisson, si ha: 0 / Y k = ( ) k sinc(k + /) + sinc(k /) X = 0 0 ripetizione 6 ( )} ( ) F {rept y(t) = F comb F Y (f) con F = e Y (f) = F {y(t)} 6 L'operatore ripetizione è denito nella seguente maniera : ) rept 0 (x(t) n = x(t n 0 )

10 formulario di teoria dei segnali 9 e avendo posto: ) comb F (Y (f) k = Y (kf ) δ(f kf ) Vale anche la formula duale: ( )} ( ) F {comb y(t) = F rept F Y (f) Periodicizzazione e formule di somma di Poisson Dato il segnale aperiodico x(t), costruiamo il segnale y(t) periodico di periodo 0 : y (t) = n = x (t n 0 ) ale segnale é sviluppabile in serie di Fourier, cioé si ha: y (t) = k = Y k e jπkf 0t La prima formula di somma di Poisson ci dá il legame tra Y k e la trasformata X(f) del segnale aperiodico x(t) n = x (t n 0 ) = k = ( ) k X e jπk t La seconda formula di somma di Poisson é: n = x (n ) e jπnf = k = ( X f k ) Alcuni integrali notevoli t e αt d t = t e αt e αt t ( α) ( α) + e αt ( α) 3 + C te αt d t = t e αt ( α) e αt ( α) + C t cos(αt) d t = t sin(αt) + cos(αt) + C α α t sin(αt) d t = t cos(αt) α e αt cos(βt) d t = + sin(αt) + C α β β + ( α) e αt [ ] ( α) sin(βt) + cos(βt) + C β β

11 formulario di teoria dei segnali 0 [ e αt β sin(βt) d t = β + ( α) e αt ] ( α) cos(βt) + sin(βt) + C β β cos(αt) cos(βt) d t = [ ] sin(α + β)t + sin(α β)t + C α + β α β cos (αt) cos(βt) d t = sin(βt) + [ ] β 4 α + β sin(α + β)t + sin(α β)t + C α β Energia e potenza di segnali notevoli x(t) = a cos (πf 0 t + ϕ) P x = a x(t) = a sin (πf 0 t + ϕ) P x = a x(t) = v 0 P x = v 0 x(t) = a e t/ u(t) E x = a x(t) = a e t / E x = a Sistemi monodimensionali a tempo continuo Denizione Un sistema viene visto come funzionale dell'ingresso, cioè y(t) = τ [x(α) ; t] oppure, se non ci sono ambiguità y(t) = τ [x(t)] Proprietà Stazionarietà Se y(t) = τ [x(t)] τ [x(t t 0 )] = y(t t 0 ) causalità y(t) = τ [x(α), α t; t] oppure y(t) = τ [x(α) u(t α) ; t] memoria Un sistema è senza memoria se y(t) = τ [x(α), α = t; t] stabilità x(t) M y(t) K con M, K < + linearità τ [α x (t) + β x (t)] = α y (t) + β y (t) con y (t) = τ [x (t)] e y (t) = τ [x (t)]

12 formulario di teoria dei segnali Caratterizzazione e analisi dei sistemi LI Risposta impulsiva h(t) τ [δ(t)] y(t) = τ [x(t)] = x(t) h(t) = SLS causale h(t) h(t) u(t) SLS stabile h(t) d t < + x(α) h(t α) d α con x(t) arbitrario Risposta in frequenza La risposta in frequenza la possiamo calcolare così: y(t) x(t) x(t)= e jπft H(f) = Y (f) X(f) F {h(t)} Si ha H(f) = H(f) e j H(f) dove H(f) é la risposta in ampiezza e H(f) é la risposta in fase. Il decibel H(f) db 0 log 0 H(f) H(f 0 ) dove f 0 é una frequenza di riferimento, di solito quella per cui si ha: H(f 0 ) = max H(f) f Sistemi in cascata e in parallelo cascata h(t) = h (t) h (t) H(f) = H (f) H (f) parallelo h(t) = h (t) + h (t) H(f) = H (f) + H (f)

13 formulario di teoria dei segnali Filtri Filtri ideali ltro passa basso (low-pass) ( ) f H LP (f) = rect h LP (t) = B sinc(b t) B ltro passa alto (hi-pass) ( ) f H HP (f) = rect B h HP (t) = δ(t) B sinc(b t) ltro passa banda (band-pass) ( ) ( ) f f0 f + f0 H BP (f) = rect + rect B B con h BP (t) = B sinc(b t) cos (πf 0 t) f 0 = f H + f L B = f H f L frequenza centrale banda Q f 0 B fattore di qualitá ltro elimina banda (band-reject) H BR (f) = H BP (f) h BR (t) = δ(t) B sinc(b t) cos (πf 0 t) Bande convenzionali Banda a -3 db X (B 3 ) = max X(f) f X (B 3) X (f 0 ) = eoremi banda-durata x(t) durata limitata X(f) banda illimitata X(f) banda limitata x(t) durata illimitata Densità spettrale di energia e potenza Segnali di energia eorema di Parseval Sia x(t) un segnale ad energia nita, allora si ha: E x = x(t) d t = X(f) d f

14 formulario di teoria dei segnali 3 Correlazione Dati due segnali di energia x(t) e y(t), la loro correlazione è denita nel modo seguente: R xy (τ) = x(τ) y(τ) = x(t + τ) y(t) d t se x(t) y(t) si parla di autocorrelazione, altrimenti di crosscorrelazione. È importante osservare che la correlazione non gode della proprietà commutativa Proprietà della correlazione x(t) y(t) = x(t) y( t) F{x(t) y(t)} = X(f) Y (f) x(t) x(t) = R xx (0) = E x t=0 R xx (τ) E x R xx (τ) = R xx ( τ) R xx ( τ) = R xx (τ) simmetria coniugata con x(t) reale Densità spettrale di energia Denizione S xx (f) X(f) Proprietà E x = S xx (f) d f R xx (τ) = F {S xx (f)} S yy (f) = H(f) S xx (f) S xx (f) 0 S xx (f) = S xx ( f) eorema di Wiener cioé H(f) é la f.d.t. dell'energia se x(t) é reale Densitá spettrale di energia mutua S xy (f) X(f) Y (f) = F{x(t) y(t)} Vale la seguente uguaglianza di Parseval generalizzata: E yx = S xy (f) d f = Y (f) X(f) d f Se i segnali sono ortogonali 7 allora si ha S xy (f)=0, cioè la densità spettrale di energia mutua è nulla e non c'è interazione tra i due segnali. 7 Due segnali x(t) e y(t) si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare (x, y) è uguale a zero. x(t) y (t) d t

15 formulario di teoria dei segnali 4 Segnali di potenza aperiodici Correlazione Dato un segnale aperiodico di potenza x(t), deniamo la correlazione nel modo seguente: R xx (τ) lim x(t + τ) x(t) d t Se i segnali sono distinti, allora si parla di mutua correlazione: R xy (τ) lim Proprietà x(t + τ) y(t) d t R xx (0) = P x R xx (τ) R xx (0) = P x R xx (τ) = R xx ( τ) Densità spettrale di potenza con Denizione S xx (f) lim X (f) simmetria coniugata X (f) = F{x (t)} e x (t) = Si prova che vale la relazione: S xx (f) = F {R xx (τ)} x(t) per t < 0 altrove la quale viene utilizzata per il calcolo della S xx (f). Proprietà S xx (f) 0 S xx (f) = S xx ( f) con x(t) reale S xx (f) d f = P x S yy (f) = H(f) S xx (f)

16 formulario di teoria dei segnali 5 Densitá spettrale di potenza mutua S xy (f) lim P xy lim X (f) Y (f) x(t) y(t) d t potenza scambiata tra x(t) e y(t) Segnali di potenza periodici con periodo 0 eorema di Parseval P x = E x 0 0 = Autocorrelazione k = X k R xx (τ) 0 x(t + τ) x(t) d t 0 0 La funzione di autocorrelazione é anch'essa periodica di periodo 0. Densitá spettrale di potenza S xx (f) Proprietá k = X k δ (f kf 0 ) con f 0 = 0 F {R xx (τ)} = S xx (f) eorema di Wiener Khintchine S yy (f) = H(f) S xx (f) il segnale in uscita dal sls é anch'esso periodico di periodo 0. eorema del campionamento Consideriamo un segnale x(t) strettamente limitato in banda, cioè X(f) = 0 x(t) è completamente noto quando lo sono i valori f >B, allora x(n ) con n Z e con B Le quantità x(n ) sono i campioni del segnale, mentre è il periodo di campionamento. L'espressione del segnale x(t) ricostruito mediante i suoi campioni é: x(t) = B k = ( ) x(k ) sinc B (t k ) questo è lo sviluppo in serie del segnale mediante le funzioni campionatrici. La frequenza di campionamento limite F = B è la frequenza di Nyquist. Per segnali passabanda con banda

17 formulario di teoria dei segnali 6 B, f L = f m ed f H = f M, allora il segnale è completamente individuato dai campioni x(n ) se la frequenza di campionamento è: F = f M n dove n è il massimo intero non superiore a f M B.