Segnali per le Telecomunicazioni. Formulario

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1 Politecnico i Milano Segnali per le elecomunicazioni 04 Formulario 8680 Feerico Baini 8765 Stefano Boini Prof. Clauio Prati June 0, 04

2 Segnali a energia e potenza finita empo continuo Energia (.) E + x( ) t +/ Potenza(segnale non perio.) (.) lim / Potenza(segnale perio.) (.3) P 0/ 0 empo iscreto Energia (.4) E n 0/ x n Potenza(segnale non perio.) (.5) P lim n N + Potenza(segnale perio.) (.6) P N 0 x n N 0 Proprieta ell impulso iscreto Impulso centrato nell origine (.5) x n n x 0 (.4) x n n x 0 n n x(t) t x(t) t Impulso traslato (.6) x n n n0 x n0 (.7) x n n n0 x n0 n n0 n N n N x n Scomposizione sequenze Una qualsiasi sequenza puo essere scritta come somma i impulsi iscreti traslati e pesati Un generico segnale puo essere rappresentato come somma integrale i impulsi ritarati e pesati (.8) x n x m n m (.8) x(t) m + x(τ) δ(t τ)τ Prootto segnale-impulso ( t ) Impulso centrato nell origine (.4) x(t) δ(t) x(t) lim 0 rect lim x(0) ( t ) 0 rect x(0) δ(t) Impulso traslato (.7) x(t) δ(t t 0 ) x(t 0 ) δ(t t 0 ) Proprieta i scalatura ( at ) Per impulsi (.40) δ(at) lim 0 rect a δ(t)

3 Sistemi lineari tempo invarianti Uscita per sistemi iscreti [ ] Come conseguenza ell equazione (.8) (.3) y n Γ[x n ] Γ x k δ n k k x k Γ[δ n k ] x k h n k k k In forma compatta (.4) y n x n h n Uscita per sistemi continui Come conseguenza ell equazione (.8) (.6) y(t) Γ[x(t)] [ + ] Γ x(τ) δ(t τ)τ + x(τ)γ[δ(t τ)]τ + In forma compatta (.7) y(t) x(t) h(t) x(τ) h(t τ)τ Proprieta ell operatore convoluzione Sia per segnali continui che per segnali iscreti Commutativa Distributiva Associativa x(t) ( y(t) ) y(t) x(t) ( x(t) y(t) ) z(t) x(t) z(t) ( + y(t) ) z(t) x(t) y(t) z(t) x(t) y(t) z(t) Convoluzione con impulsi empo continuo (a par.3 pag 38) y(t) x(t) Aδ(t t 0 ) Ax(t t 0 ) empo iscreto (a par.3 pag 38) y n x n Aδ n n0 Ax n n0 rasformata i Fourier empo continuo rasformata (3.3) X(t) Antitrasformata (3.5) x(t) empo iscreto rasformata (3.) X(f) Antitrasformata (3.3) x n rasformata normalizzata (3.4) X(φ) Antitrasformata normalizzata (3.5) x n + + x(t) e jπft t X(f) e jπft f x n e jπfn n /( ) /( ) n / / X(f)e jπtn f x n e jπφn X(φ)e jπφn φ

4 Proprieta elle trasformate (tempo continuo) Par. Proprieta empo Frequenza (3.3.) Linearita ax(t) + by(t) ax(f) + by (f) (3.3.) Complesso coniugato x (t) X ( f) Simmetria Se x(t) e reale X( f) X (f) Re{X(f)} Re{X( f)} Im{X(f)} Im{X( f)} X(f) X( f) X(f) X( f) se x(t) e reale e pari se x(t) e reale e ispari (3.3.3) Scalatura x(at) con a reale (3.3.4) Valori nell origine x(0) x(t)t X(f) e reale e pari X(f) e immaginaria e ispari a X( f ) a X(0) (3.3.5) Dualita x(t) X(f) X(t) x( f) X(f)f (3.3.6) raslazione x(t t 0 ) X(f)e jπft0 x(t)e +jπf0t x(f f 0 ) (3.3.7) Convoluzione x(t) y(t) X(f)Y (f) (3.3.8) Moulazione x(t)y(t) X(f) Y (f) (3.3.9) Derivazione (3.3.0) Integrazione (3.3.) Relazione i Parseval Funzione i autocorrelazione rasformate notevoli (tempo continuo) x(t) t x(τ)τ x(t) t x (t)x(t + τ)t R x (τ) jπfx(f) jπf X(f) + X(0)δ(f) X(f) f X(f) f Segnale empo Frequenza Impulso x(t) δ(t) X(f) δ(τ) e jπfτ τ ( ) t sin π f Rettangolo x(t) rect X(f) sinc(f) πf ( ) sin πbt t Seno carinale x(t) X(f) rect πt B Seno x(t) sin πf 0 t X(f) j δ(f + f 0) j δ(f f 0) Coseno x(t) cos πf 0 t X(f) δ(f f 0) + δ(f + f 0) + Esponenziale (t > 0) x(t) e at u(t) X(f) (a + jπf) Gaussiano x(t) e πt /σ X(f) σ e πσ f 3

5 Proprieta elle trasformate (tempo iscreto) Par. Proprieta empo Frequenza Frequenza normalizzata (3.5) Simmetria Se x n e reale X( f) X (f) X( φ) X (φ) Re{X(f)} Re{X( f)} Re{X(φ)} Re{X( φ)} Im{X(f)} Im{X( f)} Im{X(φ)} Im{X( φ)} X(f) X( f) X(φ) X( φ) X(f) X( f) X(f) X( φ) Complesso coniugato x n X ( φ) X ( φ) Linearita ax n + by n ax(f) + by (f) ax(φ) + by (φ) (3.5.) Valori nell origine x 0 n /( ) /( ) X(f)f / / x n X(0) X(0) X(φ)φ (3.5.) raslazione x n n0 X(f)e jπf n0 jπφ n0 X(φ)e x n e jπf0 n x n e jπφ0 n X(f f 0 ) X(φ φ 0 ) (3.5.3) Convoluzione x n y n X(f)Y (f) X(φ)Y (φ) (3.5.4) Moulazione x n y n (3.5.5) Relazione i Parseval Autocorrelazione n n x n /( ) /( ) /( ) /( ) X(θ)Y (f θ)(θ) X(f) f / / / / x nx n+k R x [k] X(f) X(φ) X(θ)Y (φ θ)(θ) X(φ) φ rasformate notevoli (tempo iscreto) Segnale empo Frequenza Impulso x n n X(φ) x n e jπφn ) n Esponenziale (t > 0) x(t) a n u n X(φ) a n e jπφn (a e jπφ

6 Campionamento nei tempi Campionamento ieale (4.) x c (t) x(t) n n δ(t n ) rasformata el campionamento ieale (4.5) X c (f) X(f) ( X f k ) k x(n )δ(t n ) k ( δ f k ) Campionamento i segnali reali (4.7) f max < Se la conizione rispettata la trasformata i x(t) si ottiene a quella el segnale campionato x c (t) eliminano tutte le repliche spettrali tranne quella in bana base ( f s / f s /) r. Fourier normalizzata e segnale campionato (4.6) X(φ) X c (φ/ ) X c (φ f s ) Calcolo ell energia e ella potenza Segnali a energia finita Legame fra energia segnale-sequenza associata (4.0) E n Segnali a potenza finita Nel passaggio alla trasformata alla trasformata normalizzata, se sono presenti impulsi essi risultano scalati per l inverso ella frequenza i campionamento (se il passaggio fosse l opposto moltiplicherei) n x n Legame fra potenza segnale-sequenza i un perioo (par 4.5.) P t E t 0 E n Campionamento in frequenza Data trasf S(f) e passo F /t s N N x n P n rasformata campionata (par. 4.6) S c (f) S(f) k (f kts ) k Antitrasformata (par. 4.6) s c (t) t S Criterio i campionamento (4.) t m < F t S 0 k con t m urata el segnale / X(f) E n N S(kF )δ(f kf ) s(t kt s ) f E t 5

7 rasformata iscreta i Fourier rasformata iscreta i Fourier (5.) X k kn jπ x n e N calcolata per 0 k N rasformata iscreta i Fourier inversa (5.) x n N k0 kn jπ X k e N calcolata per 0 n N Proprieta ella trasformata iscreta i Fourier Par. Proprieta Sequenza DF (5.3.) Linearita ax n + by n ax n + by n (5.3.) Simmetria x n X k circolare x n circolare X k (5.3.3) Valori iniziali x 0 N x n X 0 (5.3.4) raslazione circolare x n m X k e jπmk/n (5.3.5) Convoluzione circolare x n e jπnp/n m0 k0 X n p x m y n m circolare X k Y k (5.3.6) Moulazione x n y n X m Y k m N (5.3.7) Relazione i Parseval m0 X k x n X k N k0 circolare Autocorrelazione circolare i una sequanza (par ) Cross-correlazione circolare i sequenze R x [m] X k e jπmk/n (par ) R xy [m] N N k0 k0 X k Y k e jπmk/n Segnale Sequenza DF Impulso x n δ n X k Impulso ritarato x n δ n p X k e jπpk/n Costante i N campioni x n X k Esponenziale complesso x n e jπφn X k δ n e jπnk/n e jπnk/nnδ k e jπn(k Nφ)/N 6

8 Parametri i processi casuali Valor meio (par. 6..) m x (t) E[x t ] / Valor meio temporale µ x lim x (t) t / ] Valore quaratico meio (par. 6..) E [ x t ap xt (a)a a p xt (a)a Valore atteso i una funzione (par. 6..) E [ g(x) ] g(a)x(a) a ] Varianza (par. 6..) σx(t) E [ x t m x (t) ] E [ x t m x (t) Funzione i autocorrelazione (par. 6.3.) R x (t, t ) E [ x (t ) x(t ) ] a b p x(t) x(t )(a, b)a b Autocorrelazione per x(t ) e x(t ) inipenenti (par. 6.3.) R x (t, t ) E[x(t )] E[x (t )] Autocorrelazione temporale R x (τ) lim / / x(t + τ)x (t) t Funzione i autocovarianza (par. 6.3.) C x (t, t ) R x (t, t ) m x(t )m x (t ) Autocovarianza per x(t ) e x(t ) inipenenti (par. 6.3.) C x (t, t ) 0 Coefficiente i correlazione (6.3) ρ x (t, t ) C x (t, t ) σ x(t ) σ x(t ) Parametri i processi casuali stazionari Parametri ora inipenenti al tempo σx, m x Funzione i autocorrelazione (6.7) R x (t, t + τ) R x (τ) E [ x (t) x(t + τ) ] a b p x(t) x(t+τ) (a, b)a b Simmetria compl. coniug. ell autocorrelazione (par. 6.4.) R x (τ) R x( τ) Picco i autocorrelazione (par. 6.4.) R x (0) R x (τ) Funzione i cross-correlazione (par ) R xy (τ) E [ y (t) x(t + τ) ] Funzione covarianza (par ) C xy (τ) R xy (τ) m x m y Funzione i autocovarianza (par. 6.4.) C x (τ) R x (τ) m x Autocovarianza in 0 (par. 6.4.) C x (τ) σx τ0 Coefficiente i correlazione (par. 6.4.) ρ x (τ) C x(τ) σ x Relazioni tra variabili temporali e i insieme (par. 6.5.) E[µ x ] m x (par. 6.5.) E[R x (τ)] R x (τ) Preizione Preizione lineare (ottima per processi gaussiani) (6.0) ˆx(t ) ρ(τ) x(t ), τ t t 7

9 Processi casuali gaussiani Densita i probabilita gaussiana (par ) p x(t) (a) e (a mx) σ x πσ x Densita i probabilita congiunta (par ) p x(t+τ)x(t) (a, b) a πσx ρ x (τ) e +b ρx(τ) ab σx ( ρ x (τ)) In caso i incorrelazione (par ) p x(t+τ),x(t) (a, b) p x(t+τ) (a) p x(t) (b) Densita i probabilita conizionata (par ) p x(t+τ) x(t) (b) p x(t+τ) x(t)(a, b) p x(t) (a) πσ x ( ρ x) e (b aρ) σ x ( ρ X ) Processi casuali ergoici Processi ergoici per la meia (par. 6.5.) m x µ x Processi ergoici per l autocorrelazione (par. 6.5.) R x (τ) R x (τ) Densita spettrale i potenza empo continuo Densita spettrale i potenza (6.7) S x (f) Autocorrelazione a ensita spettrale (6.8) R x (τ) Potenza i un processo casuale (par 6.6.) P R x (0) empo iscreto Densita spettrale i potenza (par 6.6.) S x (φ) R x (τ) e jπfτ τ S x (f) e jπfτ f m S x (f) f R x [m] e jπφm Densita spettrale tempo iscreto (par 6.6.) S x (f) R x (m ) e jπfm Autocorrelazione a ensita spettrale (par. 6.6.) R x [m] m Autocorrelazione a ensita spettrale D (par 6.6.) R x (m ) S x (φ) e jπφm φ 0 / Potenza meia i un processo casuale (par. 6.6.) E [ x n] Rx [0] Processi casuali bianchi empo continuo Autocovarianza impulsiva (par. 6.6.) C x (τ) kδ(τ) / Autocorrelazione (par. 6.6.) R x (τ) kδ(τ) + m x Densita spettrale (par. 6.6.) S x (f) k + m x δ(f) Potenza processo bianco ieale 0 S x (f) e jπfm f S x (φ) φ 8

10 empo iscreto Autocovarianza impulsiva (par. 6.6.) C x [m] kδ m Autocorrelazione (par. 6.6.) R x [m] kδ m + m x Densita spettrale (par. 6.6.) S x (φ) k + m x δ(φ) Potenza processo bianco ieale (par. 6.6.) P R x [0] Processi casuali bianchi in bana bilatera W empo continuo 0 S x (φ) φ k + m x sin πw τ Autocorrelazione (par. 6.6.) R x (τ) k + m x πτ Potenza (par. 6.6.) P R x (0) kw + m x Varianza (par. 6.6.) σ x C x (0) kw White gaussian noise (par. 6.6.) p x (a) e a πσx Densita spettrale White gaussian noise (par. 6.6.) S x (f) σ x W Autocovarianza White gaussian noise (par. 6.6.) C x (τ) R x (τ) σ x W Cross-spettro Cross-spettro (par 6.6.4) S xy (f) Cross-correlazione a cross-spettro (par ) R xy (τ) σ x sin πw τ πτ R xy (τ) e jπfτ τ S xy (f) e jπfτ f Relazione per processi reali (par ) S xy (f) S yx ( f) S yx(f) Processi casuali attraverso sistemi LI (par 6.7.3) Se la ensita i probabilita el processo in ingresso a un sistema LI e gaussiana, anche l uscita sara gaussiana, qualsiasi sia la risposta all impulso el sistema. (par 6.7.3) Se la urata ella risposta all impulso el sistema LI e molto maggiore el tempo i ecorrelazione el processo in ingresso, la ensita i probabilita ell uscita tenera a iventare gaussiana. empo continuo Valor meio ell uscita (par. 6.7.) m y m x h(t)t m x H(0) Autocorrelazione ell uscita (par. 6.7.) R y (τ) R x (τ) h(τ) h ( τ) Densita spettrale (par. 6.7.) S y (f) S x (f) H(f) Cross-correlazione uscita ingresso (par. 6.7.) R yx (τ) R x (τ) h(τ) (par. 6.7.) R xy (τ) R x (τ) h (τ) Cross-spettro (par. 6.7.) S yx (f) S x (f)h(f) (par. 6.7.) S xy (f) s x (f)h( f) 9

11 empo iscreto Valor meio ell uscita (par. 6.7.) E[y n ] m x H(0) Autocorrelazione ell uscita (6.3) R y [m] R x [m] h m h m Densita spettrale (par. 6.7.) S y (φ) S x (φ) H(φ) Cross-correlazione uscita ingresso (6.4) R yx [m] R x [m] h m Cross-correlazione con ingr. rumore bianco a valor meio nullo (par. 6.7.) R yx [m] Aδ m h m Ah m Coifica i segnali numerici Errore i quantizzazione elle ampiezze (par. 7.) e q [n] x[n] x q [n] Escursione massima el segnale a quantizzare Numero ei livelli i quantizzazione Intervallo i quantizzazione (par. 7.) V M Meia ell errore i quantizzazione (par. 7.) E [ e q [n] ] 0 Varianza ell errore i quantizzazione (par. 7.) σeq V 3M P eq Bit necessari per coifica binaria (par. 7.) K log M ( V ) Potenza ell errore i quantizzazione (7.) (P eq ) B 0 log 0 6K 3 Rapporto segnale-rumore (par. 7.) (S N R q ) B V M ( Px P eq )B K Bit rate meio (par. 7.) E [bit-rate] f s P i K i Entropia ella sorgente Sorgente senza memoria (7.3) H M P i log (P i ) Sorgente senza memoria con simboli equiprobabili (7.4) H log M bit/simbolo i i 6K bit/simbolo 0

12 Appenice i analisi rigonometria sin A + cos A cos(a ± B) cosacosb sinasinb sina sinacosa tana tana tan A sin(a ± B) sinacosb ± cosasinb tan(a ± B) tana±tanb tanatanb cosa cos A sin A sin A ± cosa cos A ± +cosa tan A sina +cosa sin A cosa cos A + cosa sina + sinb sin (A + B)cos (A B) sina sinb cos (A + B)sin (A B) cosa + cosb cos (A + B)cos (A B) cosa cosb sin (A + B)sin (B A) sina sinb {cos(a B) cos(a + B)} cosa cosb {cos(a B) + cos(a + B)} sina cosb {sin(a B) + sin(a + B)} Derivate x v (uv) u x + u x v y Chain rule: x y u u cos u sin u u x x x x sin u u u x tan u u +u x ln u u u x x, ( π < sin u < π ) x, ( π < tan u < π ) Integrali Integrazione per parti: u v uv v u u u ln u a u u au ln a, a > 0, a cos u u sin u sin u u u sin u 4 (u sin u cos u) cos u u u sin u + 4 (u + sin u cos u) u ( ) u a a ln u a u+a u u + a ln(u + u + a ) e ax sin bx x eax (a sin bx b cos bx) a +b sin ax x cos ax x sin ax x a a sin ax x x sin ax 4a x cos ax x x a cos ax + tan tan ax ax x a x ln x x x ln x x ( x a a 3 )sin ax Serie N a k an an+, a a kn k0 ka k a ( a), a < n k0 k0 n ka k a{ (n + )an + na n+ } ( a) k0 x ( u v ) v(u/x) u(v/x) v u x sin u cos u x x tan u sec u u x x cos u u u x eu e u u x x log au logae u e u u e u sin u u cos u x, (0 < cos u < π) u x, a 0, tan u u ln cos u tan u u tan u u u u + a a tan u a u a u sin u a u u a ln(u + u a ) e ax cos bx x eax (a cos bx b sin bx) a +b x sin ax x x a sin ax + ( a 3 cos ax x sin ax x cos ax x a + a cos ax x x + sin ax 4a xe ax x eax a (x a ) x ln x x x (ln x ) a k a, a < a k an+ a, a ) x a cos ax

13 Appenice i probabilita Frequenza i un evento a Probabilita frequentista F rel N a N P (a) lim N Probabilita ell unione P (a b) P (a) + P (b) P (a b) n Probabilita ell unione (eventi qualsiasi) P (a a... a n ) P (a i ) P (a i a i )... i i <i + ( ) r+ P (a i a i a ir ) +... i <i <i r Probabilita conizionata P (a b) N a N + ( ) n+ P (a a a n ) P (a b) P (b) Probabilita composta P (a b) P (a)p (b a) P (b)p (a b) eorema i Bayes Probabilita totali P (a b) P (a) i P (b a)p (a) P (b) P (a E i ) P (E i ) Densita i probabilita p x P (a < x a ) Densita i probabilita congiunta Legame tra p congiunta e conizionata Funzione i istribuzione F x (a) P (x a) Densita i probabilita Densita i probabilita congiunta ( var.) Distribuzioni marginali a partire alla ensita congiunta p x (a) a a p x (a) a p xy (a, b) P (a x a + a, b y b+ B) a B p xy (a, b) p y/xa (b) p x (a) lim p P (a < x < a + a) x(a) a 0 a p xy (a, b) P (a < x < a + a, b < y < b+ B) p y (b) Funzione i istribuzione, valori agli estremi F x () 0 F x (+ ) Non negativita ella ensita i probabilita p x (a) 0 Integrale unitario Relazione tra FDD e DDP Inipenenza nella probabilita congiunta p x (a) p xy (a, b) B p xy (a, b) a p x (a) F x(a) a p xy (a, b) p y (b) p x (a) a B Per un ripasso elle formule i probabilita si vea anche: