QUANTIZZAZIONE Conversione analogico/digitale

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1 QUANTIZZAZIONE Conversione analogico/digitale 1 QUANTIZZAZIONE Campionamento e uantizzazione Campione del segnale Segnale originale (continuo nel tempo e nelle ampiezze) QUANTIZZAZIONE

2 Conversione analogico/digitale (A/D) Per rappresentare numericamente un segnale continuo nel tempo e nelle ampiezze è necessario: Campionare il segnale nel tempo; Quantizzare le ampiezze dei campioni (rappresentare l ampiezza di ogni campione utilizzando un numero finito di livelli); Codificare i valori uantizzati dei campioni (associare ad ogni livello un numero finito di cifre; solitamente si usano cifre binarie, cioe bit ). Questo processo di conversione A/D, che trasforma il segnale originario in una seuenza di bit {0,1}, e noto come tecnica PCM (Pulse Code Modulation o Modulazione impulsiva codificata). 3 QUANTIZZAZIONE Schema a blocchi del convertitore A/D x(t) x n] = x( nt) R T Campionatore Quantizzatore Codificatore f c =1/T [ x [ n] = Q( x[ n]) { V L } t V 4 V 3 V V 1 T 1 V M t c[n] M=4= V 1 ->00 V ->01 V 3 ->10 V 4 ->11 c[ n] { 0,1 } t T b t R b [bit/s]= 1/T b =f c log M T b =T/log M 4 QUANTIZZAZIONE

3 Quantizzazione (1) Ogni campione x[n]=x(nt) e un numero reale che puo assumere con continuita ualsiasi valore compreso in un certo intervallo di ampiezze [V min, V max ]. Per rappresentare il segnale in forma numerica si approssima il numero reale continuo x[n] con un numero finito M di livelli compresi nell intervallo di ampiezze. Questa operazione e detta QUANTIZZAZIONE. x[ n] = x( nt) R x [ n] { V L } 1 V M V max V 4 V 3 V V 1 T n V min 5 QUANTIZZAZIONE Quantizzazione () Il uantizzatore e un sistema non lineare che riceve in ingresso il numero reale continuo x[n] e restituisce in uscita il valore piu vicino a x[n] fra gli M possibi lilivelli di uantizzazione V 1...V M. La caratteristica ingresso-uscita del uantizzatore e una scalinata a M livelli. x x[n] Quantizzatore x [n] livello di restituzione x Intervallo di uantizzazione -V V 6 QUANTIZZAZIONE

4 Quantizzazione (3) x[n] Quantizzatore x [n] Quantizzatore uniforme passo di di uantizzazione datim livelli, se se v compreso in in (-V,+V) ==> =V/M 7 QUANTIZZAZIONE Quantizzatore come sorgente di rumore x[n] Quantizzatore x [n] x[n] x [n] e [n] segnale originale x La uantizzazione introduce un errore segnale uantizzato x Segnale di ingresso x e rumore di uantizzione e sono fra loro incorrelati (per M grande) e + / / x [n]- x [n]= e [n] = rumore di uantizzazione 8 QUANTIZZAZIONE

5 Potenza del rumore di uantizzazione Se il segnale x[n] ha una distribuzione delle ampiezze circa uniforme, l errore di uantizzazione e [n] puo ritenersi uniformemente distribuito tra / e + /. L errore di uantizzazione puo uindi essere visto come un processo casuale stazionario bianco a valore medio nullo e varianza (o potenza) uguale a: p e (a) / / 1/ a µ P e e = E[ e = E[( e ] = 0 µ ) ] = E[ e ] = σ e = 1 9 QUANTIZZAZIONE Codificazione (1) Per codificazioni basate su rappresentazione binaria i uantizzatori utilizzano un numero M = N livelli di restituzione, dove N e il numero di bit con cui il codificatore rappresenta ogni livello. Codifica naturale Codifica Gray Codifica complemento V 8 V 7 V 6 V 5 V 4 V 3 V V QUANTIZZAZIONE

6 Codificazione () Solitamente il numero M e una potenza di, M= N dove N e il numero di cifre binarie necessario per codificare gli M livelli di restituzione. L esempio di codifica illustrato si riferisce a N=3 bit, ma in pratica, N e piu elevato (solitamente compreso tra 8 e 16). La codifica, essendo una corrispondenza biunivoca tra gli M livelli di restituzione e le seuenze di N bit (parole di codice), non da luogo ad alcuna degradazione delle prestazioni. L esempio riporta tre delle possibili (molte) tabelle di codifica in binario. Il codice naturale assegna al generico livello di restituzione la rappresentazione binaria corrispondente all ordine crescente dal piu basso al piu alto, con il piu basso associato al numero zero. Il codice complemento a due si puo pensare ottenuto dalla codifica naturale complementando il bit di sinistra (il bit piu significativo). Bit piu significativo uguale ad 1 indica un livello negativo, bit piu significativo uguale a 0 indica il livello positivo. Nella codifica di Gray, invece, le parole di codice sono assegnate in modo tale che a livelli di restituzione adiacenti corrispondano parole di codice che differiscono tra loro per un solo bit. Ancora, al livello piu basso viene associato il numero zero. 11 QUANTIZZAZIONE Rapporto potenza segnale / potenza rumore (uantizz.) Assumiamo: 1/(V) Segnale di ingresso x con ampiezze -V +V -V +V a Densità di prob. ampiezze segnale ingresso uniforme p x (a) =1/(V) Quantizzatore ad N bit (M= N valori di restituzione) => =V/M P x (V ) = 1 Pe = = 1 Px SNR = P e V = 3 ( V / M ) = M 1 = 4V = 1 M N ; SNR V = 3 db 1 M = 10 log 10 N ( ) = 10 log ( 4) N 6 N N=8 bit SNR db =48 db; N=10 bit SNR db =60 db; N=16 bit SNR db =96 db; 10 p x (a) 1 QUANTIZZAZIONE

7 BIT-RATE di un segnale numerico A valle della codifica binaria il segnale numerico diventa una seuenza di bit che si presentano con una certa cadenza (bit-rate) misurata in bit al secondo (bit/s). Per un segnale tempo continuo x(t) con freuenza massima di 3.6KHz (un segnale telefonico p.e.), il teorema del campionamento impone una freuenza di campionamento f c maggiore di 7.KHz. Utilizziamo uindi f c =8KHz, 8000 campioni al secondo T=1/f c =1/8000 s Se uantizziamo il segnale con N=56 livelli servono N=8 bit. T b =T/N=T/log (M) Il segnale telefonico numerico avra, dunue, una bit rate di: R b [bit/s]= 1/T b =f c log M=Nf c = 64 Kbit/s 13 QUANTIZZAZIONE Quantizzatori non uniformi x V i x i x i+1 x Sono Sono utilizzati uando la la statistica del del segnale in in ingresso non nonè uniforme 14 QUANTIZZAZIONE

8 Quantizzatore non uniforme: implementazione x x c x N.L. Q. unif. La non-linearità espande gli intervalli più vicini all origine e comprime uelli verso il valor massimo. La cascata dei due blocchi emula un uantizzatore non lineare. x c x i-1 x i x 15 QUANTIZZAZIONE Applicazione Quantizzatore non uniforme (1) Segnale Telefonico Microfono x(t) Banda Hz Freuenza Campionamento f c =8kHz Utilizziamo N=8 bit per campione (8 Kcamp/s.*8 bit/camp=64kbit/sec) Nell ipotesi di di segnale con con distribuzione d ampiezza uniforme nell intervallo [-V,+V], che che sfrutta tutta tutta la la dinamica (parlatore forte), la la potenza di di segnale P 1 =V 1 =V /3 /3 Se Se si si utilizza una una uantizzazione uniforme ( =V/ N N ), ), P e = e = /1, /1, dunue (P (P 1 / 1 / P e ) e ) db =SNR db db =6N=6*8=48 db db db Sufficiente per per buona ualità segnale (>30dB). Potenza del del segnale fortemente dipendente dal dal parlatore Fissato il il passo di di uantizzazione,, se se la la potenza del del segnale P x diminuisce x di di un un fattore (P (P x =P x =P [dB]), cosa cosa normalissima, SNR db db 8dB < 30dB. 16 QUANTIZZAZIONE

9 Applicazione Quantizzatore. non uniforme () Per migliorare le prestazioni in presenza di segnali che possono cambiare significativamente la dinamica: Aumentare numero di bit per campione (sono necessari almeno 1 bit per tener conto delle situazioni reali nel caso telefonico) Utilizzare uantizzatori non uniformi. Segnali con piccola dinamica vedono piccoli intervalli di uantizzazione, segnali con grande dinamica vedono intervalli di uantizzazione grandi. Il uantizzatore non lineare è ottenuto con un blocco nonlineare (compressore) posto a monte di un uantizzatore uniforme. Un blocco inverso al compressore (espansore) è utilizzato dal lato ricostruzione. 17 QUANTIZZAZIONE Companding [Compression-Expanding] (1) x(nt) v c v x c (nt) Quantizzatore Uniforme e codificatore (8 bit/camp.) c(n) R=64 kbit/s 8 bit/camp. c 1 (n) 1 bit/campione D/A (che rappresentano, con uantizzazione uniforme, 1 livelli euidistanti) x c Am x 1 per m = ; m < = sign( x) ( 1+ ln A) xmax A A = 87,6 ( 1+ ln Am ) 1 per m 1 1+ ln A A Nel box a fianco è riportata la curva di compressione A, utilizzata in Europa per la digitalizzazione del segnale telefonico. 18 QUANTIZZAZIONE

10 Companding [Compression-Expanding] () SNR [db] Con Companding 10dB soglia minima ualita Senza Companding (Quantizz. Uniforme 8bit) P v /P 1 [db] La potenza di segnale P 1 corrisponde ad un segnale che copre tutta la dinamica del uantizz. 19 QUANTIZZAZIONE