TRASMISSIONE NUMERICA IN BANDA BASE

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1 TRASMISSIONE NUMERICA IN BANDA BASE 1 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

2 Trasmissione numerica in banda base Per trasmettere una sequenza di cifre binarie su un canale di trasmissione passa basso (in banda base) la tecnica più comune consiste nell inviare una successione di forme d onda di tipo passa basso t-kt), repliche traslate di una forma d onda prefissata, ciascuna con ampiezza positiva o negativa in accordo con il flusso dei dati da trasmettere: livello positivo per l uno e negativo per lo zero, o viceversa. f s 1/T è la frequenza di simbolo (o frequenza di cifra), ed è uguale al bit rate nel caso di trasmissione binaria. La tecnica è indicata con la sigla PAM (Pulse Amplitude Modulation). Ricevuta la forma d onda Σ a k t-kt) + n(, dove n( è il rumore (che si suppone gaussiano), si vuol riottenere la sequenza dei dati a k con la minima probabilità di errore. Si esamineranno nell ordine i seguenti aspetti: come effettuare la decisione ottima, nel caso di trasmissione di un solo impulso da cosa dipende e come si calcola la probabilità di errore come si può trasmettere una sequenza di dati senza interferenza reciproca quali forme d onda si possono usare, e quale banda occupano come inviare più di un bit per ciascuna forma d onda (trasmissione multilivello) vantaggi e svantaggi della trasmissione multilivello 2 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

3 Riconoscimento di una forma d onda nota immersa in rumore (1) Ricevuta la forma d onda r(a 0 + n(, dove a 0 ± 1 e n( è rumore gaussiano bianco con densità spettrale di potenza (bilatera) N 0 /2, si vuol decidere sul segno di a 0 con la minima probabilità di errore. A tale scopo si considera il segno della variabile (casuale) y r( wt ( ) dt media pesata dei valori della forma d onda ricevuta. Il motivo della pesatura è evidente se si pensa che negli istanti (o intervalli) di tempo in cui il segnale è nullo con w( non nullo non si preleverebbe segnale utile ma solo rumore! In tali istanti sarà quindi w(0, e l effettivo intervallo di integrazione sarà limitato alla durata di. Non è difficile intuire che w( sarà piccolo dove il segnale utile ha piccola ampiezza, e che w( avrà valori negativi dove è minore di zero, per dare contributo positivo al segnale utile (il contributo di rumore non dipende dal segno di w(, come si vedrà tra breve). Queste considerazioni rendono verosimile che la pesatura ottima w( sia proporzionale a. La costante di proporzionalità non ha alcuna importanza: la decisione è infatti basata solo sul segno di y. 3 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

4 Riconoscimento di una forma d onda nota immersa in rumore (2) Il segnale utile alla decisione è ; il disturbo prodotto dal rumore è 0 con valor medio nullo e varianza. A parità di segnale utile si vuol rendere minima la varianza del disturbo: a 0 wt ( ) dt 2 N 2 n n( wt ( ) dt σn w ( dt 2 min 2 w ( dt con il vincolo wt ( ) dt La soluzione, con metodi elementari, è più semplice se si discretizza l integrale: min w 2 i con il vincolo Infatti se il vincolo è rispettato e se per una coppia di indici k e j si ha g k w j > g j w k basta variare w j di -εg k e w k di εg j per rispettare ugualmente il vincolo e ottenere una riduzione della varianza: si ha infatti (w j - εg k ) 2 + (w k + εg j ) 2 (w j2 + w k2 ) - 2 ε (g k w j - g j w k )+ ε 2 (g k2 + g j2 ) e basta scegliere ε > 0 (sufficientemente piccolo) per ottenere una riduzione. Non sono possibili miglioramenti solo se per ogni coppia di indici k e j si ha g k w j g j w k e cioè se w j è proporzionale a g j per ogni j. 4 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC gw i i 1(o altra costante) 1

5 Riconoscimento di una forma d onda nota immersa in rumore (3) 2 a0 g ( dt a0 Ponendo w( l ampiezza del segnale utile è dove E g è l energia di. 2 N0 2 N0 La varianza del disturbo è. σ n g ( dt 2 2 E g E importante osservare che tali risultati non dipendono dall effettiva forma d onda elementare, ma solo dall energia della forma d onda. La probabilità d errore dipende solo dall energia di e dalla densità spettrale del rumore N 0 /2. Se a 0 1 si ha errore se il disturbo è minore di E g ; se a 0 1 se il disturbo è maggiore di E g. In entrambi i casi si ha la stessa probabilità d errore: E g P( E) Q E N 2 0 g E g Q 2E N 0 g a 0 1 a 0 1 σ N 2 0 n E g -E g E g 5 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

6 Probabilità di errore La probabilità di errore viene solitamente data in funzione di E b /N 0 dove E b è l energia spesa per ciascun bit di informazione: nel caso in esame E b E g. La probabilità di errore è spesso indicata con la sigla BER (Bit Error Rate). E b /N 0 viene espresso in unità logaritmiche (db). Si può notare che la probabilità di errore decresce rapidamente all aumentare dell energia del segnale E b /N 0 [db] 6 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

7 Filtro adattato Soprattutto nel passato, la correlazione tra il segnale ricevuto r( e la forma d onda elementare veniva calcolata mediante il filtro adattato. a 0 + r( filtro ricezione y( y(t ) 0 h( campiona nell istante t 0 rumore bianco n( ( t0) r( τ ) h( t0 y τ ) dτ L uscita del filtro all istante t 0 è data da e coincide con l uscita desiderata r ( τ ) τ ) dτ se h( τ ) t0 τ ) cioè se h( t0. La risposta all impulso del filtro adattato è quindi data dalla forma d onda elementare - (ribaltata rispetto all asse dei tempi e ritardata del tempo t 0 ); il ritardo t 0 deve essere sufficiente a rendere causale, e quindi realizzabile, il filtro. E facile verificare che se si campiona l uscita del filtro adattato agli istanti t 0 + kt si ottengono le correlazioni tra il segnale ricevuto r( e le repliche traslate t-kt) della forma d onda elementare: con un solo filtro si ottengono quindi tutte le correlazioni che servono quando si trasmette una sequenza di cifre binarie. 7 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

8 Trasmissione di una sequenza di forme d onda Si trasmette la successione di forme d onda Σ a k t-kt) e si riceve la forma d onda r(σ a k t-kt) + n(. In ricezione si calcolano, come nel caso di un solo simbolo, le correlazioni di r( con t-kt). Si consideri ad esempio la correlazione corrispondente a k0 (per determinare il bit a 0 ). Si ottiene y a E r( dt g + ak k 0 a k t kt ) dt + t kt ) dt + cioè, oltre al segnale desiderato e all inevitabile rumore, la possibile interferenza di tutti gli altri simboli a k (k 0). Per eliminare questa interferenza intersimbolica basta progettare la forma d onda elementare in modo che risulti t kt ) dt 0 0 per ogni k 0. Si può ovviamente ottenere questo risultato con forme d onda di durata T (e quindi con repliche separate temporalmente). Tuttavia ridurre la durata di significa aumentarne la banda. Le forme d onda elementari che si usano in pratica si sovrappongono nel tempo (hanno durata molto maggiore di T) e occupano una banda molto minore. Questa soluzione è stata suggerita da Nyquist. 8 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC n( dt n( dt

9 Trasmissione senza interferenza intersimbolica (1) t kt ) dt 0 La condizione per ogni k 0 equivale a f(kt)0 per k 0, dove f( -. Si devono quindi trovare forme d onda f( che abbiano zeri equispaziati (forme d onda di Nyquis. Le forme d onda di Nyquist, campionate con passo T, hanno un solo campione diverso da zero. Se ne deduce che la ripetizione periodica, con passo in frequenza f c 1/T, della trasformata F(f) è una costante. Se ne deduce anche che la forma d onda di Nyquist con banda minima ha trasformata rettangolare, con banda 1/2T. -2/T -1/T 1/2T 1/T 2/T f( e sono seni cardinali (di durata infinita!): f ( La durata molto grande e le code che si esauriscono molto lentamente rendono questa forma d onda di interesse solo teorico. In pratica è inevitabile usare una banda un po maggiore del minimo teorico. 9 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC f sinπt / T πt / T

10 Trasmissione senza interferenza intersimbolica (2) In figura è mostrata una soluzione con banda maggiore della minima teorica. La ripetizione periodica, con passo 1/T, di F(f) dà una costante. Si noti che il modulo di G(f) è dato dalla radice quadrata di F(f). L argomento di G(f) è arbitrario (infatti F(f)G(f)G*(f) risulta comunque reale), ma solitamente si sceglie la soluzione con fase nulla. F(f) -1/T -1/2T 0 1/2T 1/T 10 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

11 Trasmissione senza interferenza intersimbolica (3) Esempi di forme d onda di Nyquist e a radice di Nyquist (N.B.: radice nelle frequenze, non nel tempo!). Si noti che in generale la forma d onda trasmessa non ha valore nullo in tkt per k 0 (non ne ha nessun motivo!) F(f) G(f) -1/T -1/2T 0 1/2T f -1/T -1/2T 0 1/2T f f( -3T -2T -T 0 T 2T t -3T -2T -T 0 T 2T 11 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC t

12 Trasmissione multilivello (1) Se l ampiezza a k può avere quattro valori (-3,-1,1,3) invece di due (-1,1) è possibile distinguere tra quattro alternative: ciò corrisponde a trasmettere due bit d informazione per ciascun simbolo trasmesso. Ai quattro livelli possono infatti essere associate coppie di bit: 00, 01, 10 e 11. In ricezione si dovrà confrontare la correlazione y di r( e t-kt) con opportune soglie per distinguere tra le quattro possibili ampiezze. Nota: nel caso multilivello occorre fare attenzione al guadagno del ricevitore, per posizionare esattamente le soglie. σ y -3E g -E g E g 3E g 12 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

13 Trasmissione multilivello (2) A pari energia E g la probabilità di errore è praticamente uguale a quella del caso binario (i due livelli interni hanno probabilità di errore doppia, perché si sbaglia con rumore sia positivo sia negativo). Si deve tuttavia osservare che: l energia media trasmessa, supponendo equiprobabili i quattro livelli, è data da (9E g +E g +E g +9E g )/45E g l energia spesa per ciascun bit d informazione è la metà dell energia media 5E g ; infatti con un simbolo si trasmettono due bit d informazione quindi per ottenere (circa) la stessa probabilità di errore del caso binario si deve moltiplicare l energia media per bit E b per 5/2 (cioè aumentare E b di 4 db) poiché si sbaglia pressoché sempre a favore di un livello adiacente, si associano le coppie di bit ai quattro livelli secondo la codifica di Gray: in caso di errore si sbaglia un solo bit della coppia: Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

14 Trasmissione multilivello (3) La trasmissione a quattro livelli richiede più energia per bit d informazione. Si ha però una riduzione della banda necessaria. Infatti ogni simbolo trasporta due bit d informazione: a pari ritmo di trasmissione dei dati si dimezza la frequenza di simbolo e si raddoppia l intervallo T tra i simboli, e quindi si dimezza la banda. Ad esempio per trasmettere 5 Mb/s con due livelli si ha T 1/ ns e la banda minima è B1/2T2.5 MHz (in pratica occorrono M Hz). Per trasmettere 5 Mb/s con quattro livelli si ha T 100 ns e la banda minima è B1/2T1.25 MHz (in pratica MHz). Con otto livelli (-7,-5,-3,-1,1,3,5,7) si trasmettono tre bit per simbolo e la banda viene ridotta a un terzo rispetto al caso binario. L energia media però diventa (49E g +25E g +9E g +E g +E g +9E g +25E g +49E g )/821E g e questa corrisponde a 3E b. Si ha dunque un incremento di energia, rispetto al caso binario, del fattore 21/37 (8.5 db in più rispetto alla trasmissione binaria; 4.5 db in più rispetto ai quattro livelli). In pratica molto raramente si superano 16 o 32 livelli. 14 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC