Modulazioni di ampiezza

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1 Modulazioni di ampiezza 1) Si consideri un segnale z(t) modulato in ampiezza con soppressione di portante dal segnale di informazione x(t): z(t) = Ax(t)cos(2πf 0 t) Il canale di comunicazione aggiunge rumore a banda stretta, per cui il segnale r(t) all ingresso del demodulatore vale: r(t) = Ax(t) cos(2πf 0 t) + n c (t) cos(2πf 0 t) + n s (t) sin(2πf 0 t) Il demodulatore è di tipo coerente e utilizza una portante locale isofrequenziale e in fase con la portante utilizzata per la modulazione. Si suponga che la portante locale v(t) sia accompagnata da rumore a banda stretta: v(t) = B cos(2πf 0 t) + m c (t) cos(2πf 0 t) + m s (t) sin(2πf 0 t) dove m c (t) e m s (t) sono le componenti in fase e in quadratura del rumore locale, aventi varianza σ 2 m e indipendenti da n c (t) e n s (t). Sia z m il rapporto segnale/rumore relativo alla portante locale: z m = B2 2σ 2 m Determinare l espressione del rapporto segnale/rumore all uscita in funzione del rapporto segnale/rumore all ingresso z in e a quello relativo alla portante locale z m. 2) Si consideri un segnale z(t) modulato in ampiezza con soppressione di portante dal segnale di informazione x(t): z(t) = Ax(t)cos(2πf 0 t) Il canale di comunicazione aggiunge rumore a banda stretta, per cui il segnale r(t) all ingresso del demodulatore vale: r(t) = Ax(t) cos(2πf 0 t) + n c (t) cos(2πf 0 t) + n s (t) sin(2πf 0 t) Il demodulatore è di tipo coerente e utilizza una portante locale isofrequenziale e in fase con la portante utilizzata per la modulazione. Si suponga che la portante locale v(t) sia affetta da fluttuazioni di fase: v(t) = B cos[2πf 0 t + φ(t)] dove φ(t) è un processo casuale con densità di probabilità uniforme tra φ 0 e φ 0. Determinare l espressione del rapporto segnale/rumore all uscita in funzione del rapporto segnale/rumore all ingresso z in e del parametro φ 0. Nota: si assume φ 0 piccolo, per cui vale l approssimazione cosφ 1 φ 2 /2. 3) Si consideri lo schema di modulazione di inviluppo indicato in figura 1. x(t) A cos(2πf 0 t) Figure 1: Il segnale x(t) ha densità di probabilità f(x) = cos 2 (πx/2) per x < 1 e nulla altrove. Ponendo A = 1, determinare l indice di modulazione efficace.

2 4) Si consideri un segnale modulato di ampiezza con soppressione di portante: r(t) = x(t)cos(2πf 0 t) con x(t) avente densità di probabilità uniforme tra x 0 e +x 0. Il segnale modulato viene applicato all ingresso di un dispositivo composto da un elemento quadratico che fornisce all uscita il segnale y(t) = r 2 (t) seguito da un filtro passabanda centrato in 2f 0. a - Si determini l espressione del segnale v(t) all uscita del filtro e si verifichi che si tratta di una portante a frequenza 2f 0 modulata di inviluppo. b - Determinare l indice di modulazione efficace. 5) Si verifichi che, se all ingresso di un canale lineare senza rumore si applica un segnale sinusoidale puro, esso non subisce distorsioni e il corrispondente rapporto segnale/disturbo tende ad infinito. Si dimostri pure che tale affermazione non è più vera se il segnale all ingresso è costituito dalla combinazione lineare di più segnali sinusoidali puri. 6) Si consideri un canale di comunicazione lineare con rumore. Il segnale all ingresso ha densità spettrale costante e pari a G 0 /2 per f < B x, e zero altrove. Il rumore è bianco con densità spettrale pari a N 0 /2. La funzione di trasferimento del canale è pari ad una costante per f < B c. Tracciare l andamento del rapporto segnale/disturbo all uscita al variare del rapporto B c /B x, e determinare il valore di tale rapporto che ottimizza il sistema. 7) Si consideri il dispositivo per la misura della cifra di rumore di un doppio bipolo indicato in figura 2. R g [T 1 ] R g [T 2 ] doppio bipolo Filtro passa banda Demodul. inviluppo V Figure 2: Il misuratore valuta il valore medio della tensione all uscita del demodulatore di inviluppo; dimostrare che, detti V 1 e V 2 i valori medi misurati nelle due posizioni del commutatore di ingresso, è possibile ricavare la cifra di rumore del doppio bipolo (o la sua temperatura equivalente di rumore) dalla sola conoscenza delle due tensioni e delle due temperature. 8) Si consideri il sistema indicato in figura 3: I due segnali x(t) e y(t) modulano due portanti isofrequenziali in quadratura fra di loro; il segnale x(t) ha densità spettrale di potenza uniforme nella banda ( f m, f m ) e valore medio nullo; y(t) ha le stesse caratteristiche di x(t) ed è da esso statisticamente indipendente. Il termine n(t) rappresenta un rumore Gaussiano bianco con densità spettrale di potenza pari a N 0. Il segnale di riferimento per la rivelazione coerente è affetto da un errore di fase costante pari a φ. a - dimostrare che, con φ = 0, le due porte di uscita contengono separatamente x(t) e y(t), senza interferenze reciproche.

3 x(t) cos2πf o t 4fm H(f) cos(2πf o t + ϕ) V x sin2πf o t y(t) n(t) f 0 sin(2πf o t + ϕ) H(f) V y Figure 3: b - Calcolare il rapporto segnale/disturbo all uscita della porta V x nel caso φ = 0. c - Nel caso φ 0, considerando come disturbo l eventuale componente di y(t) presente all uscita V x, calcolare l espressione del rapporto segnale/disturbo all uscita in funzione di φ. Nota: si assuma H(f) = 1 per f < f m e 0 altrove. Modulazioni angolari 9) Si consideri la situazione indicata in figura 4 z 2 (t) x(t) Passa-alto z 1 (t) Figure 4: dove z 1 (t) = cos[2πf 1 t + m 1 x 1 (t)] e z 2 (t) = cos[2πf 2 t + m 2 x 2 (t)]. I segnali x 1 (t) e x 2 (t), entrambi a valor medio nullo, non sono statisticamente indipendenti e sia ρ il loro coefficiente di correlazione. Il filtro passa alto ha banda B tale che (f 1 f 2 < B < f 1 + f 2 ). Dimostrare che il segnale x(t) è ancora modulato in fase, e determinare l indice di modulazione in funzione di m 1, m 2 e ρ. 10) Un segnale z(t) modulato di inviluppo da una modulante x(t) con densità spettrale di potenza indicata in figura 5 e densità di probabilità Gaussiana, è posto all ingresso di un derivatore. G x (f) G 0 F/2 F f Figure 5: a Dimostrare che il segnale all uscita del derivatore w(t) è modulato anche di fase.

4 b Calcolare l indice di modulazione di fase assumendo f 0 portante. >> F, essendo f 0 la frequenza della Si assumano valide le approssimazioni arctg(x) x, 1/(1 + x) 1 x 11) Si considerino due segnali modulati angolarmente: il primo, indicato con z 1, è una portante a frequenza f 1 modulata in fase dal segnale x 1 (t), con indice di modulazione efficace m 1 ; il secondo, indicato con z 2, è una portante a frequenza f 2 modulata in frequenza dal segnale x 2 (t), con indice di modulazione efficace m 2. I due segnali modulanti sono entrambi gaussiani con spettri di potenza, rispettivamente, G x1 = G per f < B 1 e zero altrove e G x2 = G per B a < f < B b con B 1 < B a. Si costruisce il segnale z(t) moltiplicando fra loro z 1 (t) e z 2 (t) e filtrando il risultato con un filtro che lascia passare la componente a frequenza somma f c = f 1 + f Scrivere l espressione del segnale z(t) e dimostrate che è ancora un segnale modulato angolarmente. 2. Determinare l indice di modulazione efficace complessivo. 3. Assumendo m 1 = m 2 = 0.1, tracciare lo spettro di potenza di z(t). 4. Assumendo m 1 = m 2 = 10, tracciare lo spettro di potenza di z(t). 12) La canalizzazione standard utilizzata per le trasmissioni radiofoniche in modulazione di frequenza è di 300 KHz; pertanto la banda occupata dai segnali modulati emessi dai trasmettitori non può superare tale limite. Si supponga, ora, di modulare una portante in frequenza con un segnale sinusoidale con frequenza f m = 15 KHz. 1. Determinare l indice di modulazione e la deviazione di frequenza per i quali la banda del segnale (valutata al 99.99% secondo la formula di Carson) rientra nel limite precedentemente definito. 2. Determinare quindi il valore di z in necessario per ottenere un rapporto segnale/rumore all uscita pari a 40 db. 13) Si consideri un segnale x(t) aleatorio gaussiano a valor medio nullo, avente spettro di potenza costante pari a G 0 per f m < f < +f m e nullo altrove. Tale segnale modula in fase una portante a frequenza f 0 con un indice di modulazione m e >> Determinare la deviazione efficace di frequenza f e. 2. Determinare la banda al 99.99% del segnale modulato. 14) Si consideri un segnale x(t) avente d.d.p. esponenziale bilatera, varianza unitaria e banda B. Tale segnale modula in frequenza una portante con una deviazione efficace f e >> B, cioè con elevato indice di modulazione. Determinare la larghezza di banda del segnale modulato al 99%. 15) Si consideri il segnale z(t) modulato sia di inviluppo sia di fase: z(t) = A[1 + m a x(t)] cos[2πf 0 t + m φ ψ(t)] nel quale [1 + m a x(t)] > 0. Tale segnale viene applicato all ingresso di un limitatore ideale costituito da un elemento non lineare sgn( ) seguito da un filtro passa banda centrato intorno alla frequenza f 0. Determinare l espressione del segnale v(t) in uscita al limitatore e verificare che esso è modulato solamente di fase con lo stesso segnale che modula in fase z(t).

5 16) Si considerino due segnali di informazione x 1 (t) e x 2 (t) i cui spettri di potenza sono rappresentati in figura 6. G x2 (f) G 0 G x1 (f) G 0 B 2B f B B f Figure 6: I due segnali vengono sommati e il segnale risultante modula in frequenza una portante con una deviazione di frequenza f e. In ricezione, a valle del demodulatore, i due segnali sono recuperati mediante due filtri H 1 e H 2 : H 1 (f) = { 1 f < B 0 f > B e H 2 (f) = { 1 B < f < 2B 0 altrove Determinare la differenza (in db) fra i rapporti segnale/rumore alle due uscite. 17) Si consideri la disposizione indicata in figura 7. x 1 (t) Mod. freq. x 2 (t) Mod. fase Passa banda Dem. freq. y(t) Figure 7: Il modulatore di frequenza ha frequenza centrale f 1 e deviazione efficace f; il modulatore di fase opera a frequenza centrale f 2 con indice di modulazione m. Il filtro passa-banda è centrato a frequenza f 0 = f 1 + f 2. Il demodulatore di frequenza ha frequenza centrale f 0 e sensibilità pari a K V/rad al secondo. Sapendo che x 1 (t) e x 2 (t) sono processi casuali Gaussiani, statisticamente indipendenti, a varianza unitaria, con densità spettrale di potenza proporzionale a f 2 nell intervallo ( F < f < F ), determinare l espressione di E[y 2 (t)]. 18) Si consideri un segnale z(t) costituito da una portante a frequenza f 0 modulata in frequenza con deviazione efficaca f e. Tale segnale viene moltiplicato per una sua versione ritardata di τ ottenendo il segnale y(t), che viene quindi filtrato con un filtro passa basso. Si dimostri che, imponendo f 0 τ = 1/4, tale sistema approssima un demodulatore di frequenza e che l approssimazione è tanto migliore quanto minore è il rapporto f e /f 0. 19)* Un processo casuale x(t) di banda 4 khz ha una densità di probabilità uniforme tra -3 e 3 V. Il segnale modula una portante con tecnica FM con sensibilità del modulatore di 30 khz/v. Qual è l occupazione di banda del segnale modulato FM?

6 20)* Un processo casuale x(t) con densità di probabilità uniforme tra 1 e 1 V e banda B x = 1 khz viene trasmesso in modulazione di frequenza, con una sensibilità del modulatore s f = 8 khz/v. Stabilire quanto vale il rapporto segnale/rumore all uscita del ricevitore, sapendo che P T /(N 0 B x ) = 27 db (P T è la potenza trasmessa dal modulatore FM e N 0 /2 è lo spettro di potenza del rumore gaussiano bianco additivo). 21)* Un processo casuale x 1 (t) (uniformemente distribuito tra -1 e 1) modula una portante con frequenza centrale f 0 con tecnica FM con una sensibilità del modulatore s f. All uscita del ricevitore si misura un rapporto segnale/rumore (S/N) 1. Qual è il rapporto segnale/rumore che si misura se all ingresso del modulatore FM si mette x 2 (t) = 2x 1 (t) al posto di x 1 (t)? (si supponga che il ricevitore sia sempre sopra soglia) Trasmissione in banda base 1) Una sorgente analogica produce un segnale x(t) con banda pari a B x = 10 KHz. Il canale di trasmissione ha risposta in frequenza costante, ma introduce rumore termico; pertanto il ricevitore contiene un filtro che limita la banda passante a B x, in modo da limitare al minimo il rumore senza introdurre distorsione sul segnale. In tali condizioni si osserva un rapporto segnale/disturbo η 1 pari a 40 db. Sullo stesso canale si voglia trasmettere con la stessa potenza un segnale telefonico che ha una banda B y = 4 KHz; ovviamente il ricevitore utilizzerà un filtro che limita la banda passante a B y. Determinare il nuovo valore del rapporto segnale/disturbo in db.