Sistemi di Telecomunicazione

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1 Sistemi di Telecomunicazione Doppi bipoli rumorosi: esercizi ed esempi numerici Universita Politecnica delle Marche A.A A.A Sistemi di Telecomunicazione 1/15

2 Esempio 1 Il segnale all uscita dell antenna di un ricevitore ha queste caratteristiche: 1) frequenza portante f c = 150 MHz, 2) banda a radiofrequenza B = 10 MHz, 3) potenza P R = 40 db m. Tale segnale viene amplificato dall ARF (Amplificatore a RF) e inviato tramite cavo coassiale al ricevitore. Le caratteristiche del sistema ricevente sono le seguenti: temperatura di rumore d antenna: T A = 500 K guadagno dell ARF: G RF = 10 db frequenza centrale dell ARF: f c banda passante dell ARF: B, e risposta in frequenza di tipo passa-basso ideale cifra di rumore dell ARF: F (T 0) RF = 6 db (riferita a T 0) attenuazione specifica del cavo usato per la discesa d antenna: α = 6 db/100m lunghezza del cavo per discesa d antenna: D c = 50 m temperatura del cavo: T 0 A.A Sistemi di Telecomunicazione 2/15

3 Esempio 1 Trovare: 1) l attenuazione della discesa d antenna L in db, cifra di rumore del cavo F T 0 c riferita alla temperatura ambiente (T 0 = 290 K) e cifra di rumore complessiva F T 0 TOT del ricevitore, comprendente sia l ARF che il cavo (sempre riferita a T 0); 2) calcolare il rapporto segnale-rumore C/N all uscita dell ARF. A.A Sistemi di Telecomunicazione 3/15

4 Svolgimento 1) L = α D c; α e dato per una lunghezza di 100 m quindi, essendo D c = 50 m, avro L = 6dB 50m = 3 db. Per il calcolo della cifra di rumore del 100m cavo, riferita a T 0, considero che esso si trova a temperatura T 0 per cui, essendo F = 1 + Teq trovo F = 2 (in effetti, nel caso in cui T eq = T 0, si T 0 ha F = L = 3 db = 2). La cifra di rumore complessiva del ricevitore, comprendente ARF e cavo, e data da: F T 0 TOT = F ARF + Fcavo 1 = = 4.1 = 6.13 db. Questo risultato A ARF 10 si ottiene riportando le grandezze a valori in scala lineare, cioe : F ARF = 4, F cavo = 2, e AARF = 10 (quest ultima calcolata da G ARF ). A.A Sistemi di Telecomunicazione 4/15

5 Svolgimento 2) Rapporto segnale/rumore all uscita dall ARF (C/N db ): SNRin ARF SNRout ARF = F (T A) ARF, poiche la sorgente di rumore e l antenna che si trova a temperatura T A. Quindi: C/N db = SNR ARF out = SNRARF in F (T A) ARF [F (T0) ARF 1]T0 = P R ; risulta che: KT A BF (T A) ARF (4 1)290 = 2.74 = 4.38 F (T A) ARF = 1 + Teq = 1 + = 1 + T A T A 500 db. Otteniamo quindi: C/N db = P R,dBm (kt A B) dbm F (T A) ARF db = 40dB m ( 101.6dB m) 4.38dB = db, essendo: kt A B dbw = ( ) = db W (la B e la banda a RF che non devo moltiplicare per 2). A.A Sistemi di Telecomunicazione 5/15

6 Esempio 2: ottimizzazione di sistemi multi-tratta Calcoliamo il numero di tratte N da utilizzare in un sistema multi-tratta affinche sia minimizzata la cifra di rumore complessiva, con le ipotesi seguenti: distanza da coprire D TOT attenuazione complessiva in db: L TOT = α D TOT db lunghezza di ogni tratta: D = D TOT /N attenuazione di ogni tratta in cavo (unita lineari): L = L 1/N TOT A.A Sistemi di Telecomunicazione 6/15

7 Svolgimento Dalla formula che ci da la cifra di rumore in sistemi multi-tratta otteniamo: F (N) = NLF a (N 1), essendo F a la cifra di rumore dell amplificatore. Da cui si ricava: F (N) = NL 1/N TOT Fa (N 1). Se grafichiamo F (N) in funzione di N otteniamo: Esiste un valore di N che minimizza la F (N)! A.A Sistemi di Telecomunicazione 7/15

8 Svolgimento Per trovare il valore di N che minimizza la F (N), cioe N min devo imporre: d(f (N)) d(f (N)) = 0. Risulta quindi: = d dn N=N min dn dn [NL1/N TOT Fa (N 1)] = F al 1/N TOT + NFa( 1 N 2 )L1/N TOT (lnl TOT ) 1 = F al 1/N TOT [1 lnl TOT ], avendo N trascurato il termine -1. Imponendo l annullamento della derivata otteniamo: N = lnl TOT = 0.23 LTOT db. Il valore numerico trovato (reale) va arrotondato all intero piu vicino, dato che rappresenta il numero di tratte N. Possiamo trovare la cifra di rumore complessiva minima (ovvero ottima): F (N) ottima = [NL 1/N TOT Fa (N 1)] N=N min = 1 lnl TOT lnl TOT LTOT F a (lnl TOT 1) = e F alnl TOT, avendo trascurato il termine (lnl TOT 1). Supponendo di coprire la stessa distanza complessiva con un sistema a singola tratta, otterremmo: F = F a L TOT ovvero F L TOT quindi F e distanza, mentre nel caso multi-tratta appena visto, essendo F lnl TOT abbiamo F distanza. Nel sistema multi-tratta, quindi, la cifra di rumore complessiva varia linearmente con la distanza, quindi ottengo migliori prestazioni, a fronte, pero, di un maggior costo realizzativo. A.A Sistemi di Telecomunicazione 8/15

9 Esempio 3.1: cascata di doppi bipoli Calcolare la temeperatura equivalente di rumore del sistema mostrato in figura. Si ha: T in = 500 K, G 1 = 8 db, F 1 = 4 db (fattore di rumore); il cavo di antenna, che ha una lunghezza D = 10 m, attenua il segnale di α l = 0.1 db/m, valore misurato a 300 K; G 3 = 20 db, ed F 3 = 8 db. A.A Sistemi di Telecomunicazione 9/15

10 Svolgimento 1) per l amplificatore si assume T 1 = T 0 = 290 K, non essendo diversamente specificato. Otteniamo: T eq (1) = T 0(F 1 1) dove F 1 va espresso in scala lineare. Ovvero: T eq (1) = 290 (10 4/10 1) = 290(2.51 1) = 438 K. 2) per il cavo, la cifra di rumore equivale alla attenuazione complessiva e vale: F 2 = α l D = = 1 db, ovvero F 2 = 10 1/10 = 1.26, da cui T eq (2) = T 2(F 2 1) = 300(1.26 1) = 77 K. 3) per l ultimo amplificatore risulta: T eq (3) = 290 (F 3 1) = 290 (10 8/10 1) = 1540 K. Da questi valori otteniamo: Teq sistema = T in + T eq (1) + T eq (2) 1 A 1 + T eq (3) A 1 A 2 = = 1260 K, dove il valore 0.79 equivale a A 2 = 10 1/10 = 0.79, essendo G 2 = 10 db. Tale valore equivale anche a 1/L con L = 1.26 che e il valore di F 2 in scala lineare. A.A Sistemi di Telecomunicazione 10/15

11 Esempio 3.2: cascata di doppi bipoli Si assuma ora di ricevere un segnale utile di potenza P S (in mw) e banda B. Determinare il rapporto segnale-rumore in uscita e in ingresso al circuito. A.A Sistemi di Telecomunicazione 11/15

12 Svolgimento Il SNR in ingresso al circuito, calcolato a valle dell antenna ricevente, e dato da: SNR in = P S, essendo kt in B N1 = kt inb. All uscita dal primo stadio avremo: SNR 1st (1) =, dove A1(N1 + kt eq B) = N 2. N 2 e il A 1 P S A 1 (N 1 +kt (1) eq B) rumore in ingresso amplificato (A 1N 1) e sommato al contributo di rumore del primo stadio. All uscita del secondo stadio che agisce come attenuatore avremo: SNR 2st A = 1 P S A 2 (2), dove A 2 (N 2 +kt eq (2) A2(N2 + kt eq B) = N B) 3. All uscita avremo: SNR out = A 1P S A 2 A 3 = A 3 (N 3 +kt eq (3) B) [ 1 kt A 1 A eq (3) B+A 2 kt (2) 2 [ essendo: N 3 = A 2 A 1kB(T in + T eq (1) ) + kbt eq (2) P S eq B+A 2 A 1 kt eq (1) ], B+A 2 A 1 T in kb ]. Quindi SNR out e funzione delle temperature di rumore di ogni componente nella catena di ricezione. A.A Sistemi di Telecomunicazione 12/15

13 Svolgimento Possiamo anche scrivere: SNR out = P S A 1 A 2 (N 3 +kt (3) ( kt eqb = (N 3+kT eq (3) B) A 1 A 2 = k T in + T eq (1) + T eq (2) = P S = PS eq B) (N 3 +kt eq (3) B) kt eqb A 1 A ) 2 G 1 + T eq (3) G 1 G 2 parentesi rappresenta la temperatura equivalente di sistema. dove B e il termine tra Quindi la temperatura equivalente di rumore dell intero sistema permette di valutare la densita spettrale di potenza equivalente generata dall intera catena di ricezione, ai fini del calcolo del SNR di uscita al ricevitore. La densita spettrale monolatera di potenza del rumore (equivalente) in uscita, N 0, si esprime in db m/hz, ed e data da: N 0(dB m/hz) = 10log 10(kT eq) = 10log 10(k Teq T 0 T 0) = 10log 10(kT 0) + 10log 10( Teq T 0 ) = 174dB m/hz + 10log 10(1260/290) = 167.6dB m/hz. A.A Sistemi di Telecomunicazione 13/15

14 Esempio 3.3: cascata di doppi bipoli Si assuma ora di ricevere un segnale utile con potenza P S = 80 db m e banda B W = B = 7 MHz. Dimensionare il primo amplificatore per avere un SNR = P S /P N > 20 db. Calcolo P N = N 0(dB m/hz) + B(dB Hz ) = N log 10( ) = 99 db m. Quindi, con l attuale dimensionamento, si avrebbe: SNR = P S /P N = = 19 db, che non soddisfa il requisito richiesto. Infatti, come richiesto, deve risultare: P S P N > 20 db, ovvero P N < 100 db m (non posso variare P S quindi posso solo cercare di ridurre P N ). Per ridurre P N, non potendo variare B, devo ridurre N 0, ovvero posso solo tentare di ridurre T eq, aumentando A 1, dato che: Teq sistema = T in + T eq (1) + T eq (2) 1 A 1 + T eq (3) A 1 A 2. ( ) Teq(F P N = B N 0; P N (db m) = log 1,A 1 ) 10 < 100(dB m) ( Teq(F da cui ricavo: 10log 1,A 1 ) T eq(f 1, A 1) < 1160 K. ) < 6, ovvero: 290 T eq(f 1,A 1 ) 290 < 4, T eq(f 1, A 1) = (10 F 1/10 1) + 77/ /( ) < 1160 K. Dato che A 1 = 6.3, la somma degli ultimi due termini frazionari la posso vedere come 2026/A 1. A.A Sistemi di Telecomunicazione 14/15

15 Esempio 3.3: cascata di doppi bipoli Ho due possibilita : Posso aumentare A 1 cioe il guadagno dell amplificatore: lascio invariato F 1, e aumento A 1 in modo che /A 1 < 1160 da cui 2026/A 1 < 222, ottenendo A 1 > 9.12, che approssimo con A 1 > 10 ovvero G 1 > 10 db, quindi G 1 deve aumentare di almeno 2 db rispetto al valore originariamente dato; se lascio invariato A 1 (ovvero G 1) devo ridurre F 1: 290(10 F 1/10 1) < = 339, da cui F 1 < 3.3 db, rispetto ai 4 db originali. A.A Sistemi di Telecomunicazione 15/15