RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

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1 RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI 1 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

2 Introduzione Se il segnale d ingresso di un sistema Lineare Tempo-Invariante (LTI e un esponenziale complesso l uscita sara ancora un esponenziale complesso con la stessa requenza, ma con ampiezza e ase modiicate. Aexp { j( 2π t +ϑ } o Sistema LTI h( Bexp { j( 2π t + ϕ } o Risposta in requenza: E la unzione della requenza che descrive come vengono modiicate ampiezza e ase di un esponenziale complesso quando passa attraverso un sistema LTI. 2 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

3 Risposta in requenza { j2π t} x( = exp Sistema L T I x ( t τ h ( τ dτ { j2 t} H( y( = exp π = exp ( t τ { j2π } h( τ dτ = exp{ j2π t} h( τ exp{ j2π τ} y( = exp { j2π t} H( dτ = L uscita di un sistema LTI alimentato da un ingresso esponenziale complesso e ancora un esponenziale complesso con la stessa requenza dell ingresso. L ampiezza e la ase iniziale dell uscita dipendono dalla risposta in requenza H( del sistema LTI. 3 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

4 Risposta in requenza di sistemi reali (1 Se il sistema LTI ha risposta all impulso h( reale, la risposta in requenza H( e una unzione con simmetria complessa coniugata: H( = H*(- (come si veriica acilmente dalla deinizione di H(. Dunque il modulo di H( e pari (simmetrico rispetto all origine e la ase di H( e dispari (antisimmetrica rispetto all origine. H( = H(- ase H( = - ase H(- 4 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

5 Risposta in requenza e banda passante La risposta in requenza H( e una unzione complessa della requenza che dipende solo dalla risposta all impulso del sistema h(. H( ( t exp{ j2 t}dt = h π La risposta in requenza H( consente d introdurre il concetto di banda passante di un sistema LTI (tipicamente un canale di trasmissione. Il modulo della risposta in requenza avra valori piu elevati in una banda di requenze (detta banda passante e relativamente piu bassi alle altre requenze. All uscita del sistema LTI, gli esponenziali complessi con requenza compresa nella banda passante del sistema avranno ampiezza molto maggiore di quelli con requenza esterna a tale banda. Si usa dire che i primi passano attraverso il sistema, mentre i secondi no. 6 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

6 Trasormata di Fourier L operatore che consente di ottenere la risposta in requenza H( a partire dalla risposta all impulso del sistema h(, viene detto trasormata di Fourier. La trasormata di Fourier puo essere calcolata per un generico segnale x(, non solo per la risposta all impulso di un sistema LTI: X ( ( t exp{ j2 t}dt = x π L operatore che consente di riottenere il segnale x( a partire dalla sua trasormata di Fourier X( viene detto trasormata inversa di Fourier: x( = X ( exp{ j2π t}d Si noti che la trasormata di Fourier e la sua inversa sono uguali, a parte il segno dell esponente. 7 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

7 Segnali come somma di esponenziali complessi La trasormata inversa di Fourier x( = X ( exp{ j2π t}d ha la seguente interpretazione: un qualsiasi segnale x( puo essere scomposto nella somma (integrale di esponenziali complessi le cui ampiezze (ininitesime e asi iniziali in unzione della requenza sono date dalla trasormata di Fourier X( : Ampiezza : X ( d Fase iniziale : X ( 9 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

8 Sistemi LTI: legame ingresso-uscita in requenza 1 - Se l ingresso e un esponenziale complesso x( = A exp{ j 2π t }, l uscita e y(= H( A exp{ j 2π t } 2 - Un generico segnale x( puo essere scomposto nella somma di esponenziali complessi (di ampiezza ininitesima del tipo X( exp{ j 2π t } d 3 - L uscita di un sistema LTI per un generico segnale d ingresso x( e data dalla somma di esponenziali complessi y(= H( X( exp{ j 2π t } d 4 - L uscita y(, come tutti i segnali, puo essere scomposta nella somma di esponenziali complessi del tipo Y( exp{ j 2π t } d Quindi: Y ( = H( X ( Questo risultato corrisponde ad una importante proprieta della trasormata di Fourier, che verra ripresa nel seguito: la trasormata della convoluzione ( y( = h( x( e il prodotto delle trasormate ( Y ( = H ( X (. 10 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

9 Risposta in requenza di un iltro passa-basso Quando la risposta in requenza H( ha ampiezza diversa da zero solo in una banda di requenze simmetrica rispetto all origine, il sistema LTI viene detto iltro passa-basso. Un iltro passa-basso ideale con requenza di taglio c ha come risposta in requenza un rettangolo di ampiezza unitaria e base 2 c (viene detto ideale perche in pratica non e possibile realizzare una transizione netta da banda passante a banda attenuata. 1 H( - c c 11 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

10 Risposta in requenza di un iltro passa-alto Quando la risposta in requenza H( ha ampiezza diversa da zero solo a requenze superiori a c (requenza di taglio e, simmetricamente, ineriori a - c il sistema LTI viene detto iltro passa-alto. Un iltro passa-alto ideale con requenza di taglio c ha come risposta in requenza una costante unitaria meno un rettangolo di ampiezza unitaria e base 2 c (anche il iltro passa-alto ideale non e realizzabile in pratica. 1 H( - c c 12 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

11 Risposta in requenza di un iltro passa-banda Quando la risposta in requenza H( ha ampiezza diversa da zero solo in due bande di requenza centrate intorno alla requenza o (requenza centrale e, simmetricamente, intorno alla requenza - o il sistema LTI viene detto iltro passa-banda. Un iltro passa-banda ideale con requenza centrale o e banda passante 2 c ha come risposta in requenza due rettangoli di ampiezza unitaria e base 2 c centrati intorno alle requenze + o e - o (anche il iltro passa-banda ideale non e realizzabile. 1 H( - o - c -o - o + c o - c o o + c 13 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

12 Filtro passa-basso x( Y ( = H ( X ( Le componenti del segnale rapidamente variabili nel tempo (ad alta requenza vengono eliminate dalla risposta in requenza del iltro passa-basso H ( y( = x( h( 14 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC

13 Filtro passa-alto x( Y ( = H ( X ( Le componenti del segnale lentamente variabili nel tempo (a bassa requenza vengono eliminate dalla risposta in requenza del iltro passa-alto H ( y( = x( h( 15 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC