Teoria dei segnali. Unità 2 Sistemi lineari. Sistemi lineari: definizioni e concetti di base. Concetti avanzati Politecnico di Torino 1

Transcript

1 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Teoria dei segnali Unià 2 Sisemi lineari Sisemi lineari Deinizioni e concei di base Concei avanzai 2 25 Poliecnico di Torino

2 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Sisemi lineari Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Deinizione Risposa all impulso e unzione di raserimeno Fisica realizzabilià di un sisema LTI 4 25 Poliecnico di Torino 2

3 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Deinizioni Che cos è un sisema x sisema y Sx x { } y 6 25 Poliecnico di Torino 3

4 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Esempi di sisema Filri realizzai come circuii eleronici Equalizzaori nei sisemi audio Equalizzaori nei riceviori per elecomunicazioni Processori di segnale di varia naura 7 Sisemi lineari Deo x() il segnale di ingresso ad un sisema lineare ed y() la sua uscia, un sisema si dice lineare se il segnale di ingresso x()=a x ()+a 2 x 2 () ha come uscia y()=a y ()+a 2 y 2 () per ogni In queso caso vale il principio di sovrapposizione degli eei : l uscia del sisema somma linearmene i conribui delle varie componeni del segnale di ingresso 8 25 Poliecnico di Torino 4

5 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Sisemi empo-invariani Deo x() il segnale di ingresso ad un sisema ed y() la sua uscia, il sisema si dice empoinvariane se, issao un cero riardo T, il segnale di ingresso x(-t) ha come uscia y(-t) per ogni Ovvero, riardando di T l applicazione del segnale di ingresso si oiene la sessa uscia, riardaa anch essa di T I sisemi empo-invariani sono buoni modelli di sisemi i cui parameri non variano nel empo Esisono però anche sisemi per cui la empoinvarianza non è un buon modello 9 S Classiicazioni dei sisemi { x } LINEARE L { x } NON LINEARE 25 Poliecnico di Torino 5

6 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base S Classiicazioni dei sisemi { x } LINEARE L { x } NON LINEARE empo invariane LTI empo variane LTV Sisemi con memoria I sisemi, lineari o non lineari, possono essere senza memoria, se il valore dell uscia all isane dipende solo dal valore dell ingresso all isane con memoria in ui gli alri casi Esempi: y () = x () y () = xudu 2 25 Poliecnico di Torino 6

7 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Sisemi con memoria Un sisema senza memoria è generalmene più semplice da realizzare di uno con memoria Un sisema con memoria ha maggiore poenziale dal puno di visa dell elaborazione del segnale per esempio, il conceo di requenza di un segnale è legao al valore del segnale non in un solo isane, ma in un inervallo; quindi elaborare il conenuo armonico di un segnale generalmene richiede l uso di un sisema con memoria 3 Esempi di sisemi Esempi: y = ax( ) lineare, empo-invariane, senza memoria y( ) = x( ) non lineare, empo-invariane, senza memoria y( ) = x(τ ) dτ lineare, empo-invariane, con memoria 4 25 Poliecnico di Torino 7

8 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Sisemi LTI In queso corso ci occuperemo principalmene di sisemi lineari e empo-invariani (LTI) Per quesi sisemi è acile dare una precisa caraerizzazione maemaica Obieivo: rovare un modello dei sisemi LTI che permea dicalcolare il segnale di uscia dai il segnale di ingresso una descrizione maemaica del comporameno del sisema 5 Risposa nel empo LTI 6 25 Poliecnico di Torino 8

9 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Risposa nel empo i LTI 7 Risposa nel empo i u LTI 8 25 Poliecnico di Torino 9

10 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Risposa nel empo i u LTI ( T) 2i LTI T 9 Risposa nel empo i u LTI ( T) 2i ( T ) 2u LTI T T 2 25 Poliecnico di Torino

11 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Linearià e invarianza i ( T ).5i + LTI T 2 Linearià e invarianza i ( T ).5i + LTI y T Poliecnico di Torino

12 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Linearià e invarianza i ( T ).5i + i.5i T LTI y T 23 Linearià e invarianza i ( T ).5i + i.5i T LTI y y invarianza T Poliecnico di Torino 2

13 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Linearià e invarianza i ( T ).5i T + i.5i T LTI y y y invarianza linearià 25 Risposa a x() generico x α i( i) i y α u( i) i Poliecnico di Torino 3

14 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Risposa a x() generico 27 Risposa a x() generico Poliecnico di Torino 4

15 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Risposa all impulso e unzione di raserimeno Risposa all impulso i T area= i d = α = xit i αi ( ) x i it i α i ( ) y u it 3 25 Poliecnico di Torino 5

16 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Risposa all impulso i i 2 T area= i d = αi ( ) x i it i α i ( ) y u it α = xit i area= 3 Risposa all impulso i i 2 δ T area= i d = α i = x(it) area= δ d = αi ( ) x i it i α i ( ) y u it = ( ) x x ϑδ ϑ dϑ = ( ) y x ϑ h ϑ dϑ Poliecnico di Torino 6

17 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Risposa all impulso i i 2 δ T area= i d = α = xit i area= δ d = αi ( ) x i it i α i ( ) y u it δ h = ( ) x x ϑδ ϑ dϑ = ( ) y x ϑ h ϑ dϑ risposa all impulso 33 Risposa all impulso y()=s[x()] Scriviamo x() ramie le dela di Dirac: x = x( u) δ ( u) du Ora oeniamo l uscia del sisema applicando l operaore S: { x( u) ( u } y = S{ x( )} = S δ ) du Poliecnico di Torino 7

18 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Risposa all impulso Possiamo scambiare l ordine di due operaori lineari: y( ) = = S x( u) S Deiniamo quindi { x( u) δ ( u) } { δ ( u) } du { δ } h = S du = 35 Risposa all impulso Per la empo-invarianza del sisema { δ ( )} h( u) = S u e quindi y = x( u) h( u) du Deiniamo inine il prodoo di convoluzione: x * y( ) = x( u) y( u) du Poliecnico di Torino 8

19 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Risposa all impulso Queso ci pora a scrivere la relazione ingressouscia come y = x( )* h( ) { } La h = S δ è dea risposa all impulso del sisema LTI Quesa unzione descrive il sisema in modo univoco Può però essere diicile da calcolare per via della deinizione di ipo inegrale 37 Convoluzione Deinizione: = ()* () = ( ) y x h x u h u du Calcolo graico: x ( u ) h u u ( u ) h ( ) y 2 u Poliecnico di Torino 9

20 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Sisema causale Noa: supp{ y } = supp{ x( )} + supp{ h( )} con uno dei due che può essere ininio Un sisema LTI si dice causale se h()= per < Queso signiica che il sisema non produce uscia prima che vi sia un ingresso applicao 39 Causalià e riardo Un sisema causale è generalmene un sisema che poenzialmene non inroduce riardo, perché non c è bisogno di campioni uuri del segnale per generare l uscia in un dao isane Se il riardo non è un problema, si può riardare di T l emissione del campione di uscia all isane, così da poer uilizzare per l elaborazione del segnale anche i campioni compresi ra e +T 4 25 Poliecnico di Torino 2

21 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Alri esempi di calcolo Esempio h( ) = δ + y( ) = x( )* Esempio 2 x( ) = i= y( ) = x( )* h( ) = δ ( T ) [ δ + δ ( T )] a δ ( it) i 2 2 i= a h( it) i = x( ) + 2 x( T) 4 La unzione di raserimeno dominio del empo x y h y = x( u) h( u)du Poliecnico di Torino 2

22 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base La unzione di raserimeno dominio del empo x y h y = x( u) h( u)du dominio della requenza x y = x h h convoluzione F F F X ( ) Y ( ) = X( ) H( ) H( ) prodoo 43 La unzione di raserimeno La unzione di raserimeno lega le rasormae di Fourier dei segnali di ingresso e uscia Come si vedrà ra poco, quesa unzione ci permee di dare un inerpreazione del comporameno di un sisema LTI nel dominio della requenza Abbiamo a disposizione due relazioni ingressouscia ciascuna delle quali deinisce univocamene il sisema LTI Poliecnico di Torino 22

23 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base La unzione di raserimeno La relazione nel dominio del empo ornisce direamene la orma d onda di uscia del sisema il calcolo può essere complicao la risposa all impulso è misurabile in laboraorio La relazione nel dominio della requenza ornisce lo spero del segnale di uscia il calcolo non richiede la soluzione di un inegrale di convoluzione la risposa all impulso è misurabile in laboraorio la descrizione del sisema è più inuiiva, e può aciliare il progeo 45 Risposa in requenza j 2 π +φ j 2π + φ + ϕ( ) AM ( ) e Ae H ( ) j 2 j j2 j X = π φ π φ Ae e e d = Ae δ ( ) Poliecnico di Torino 23

24 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Risposa in requenza j 2 π +φ j 2π + φ + ϕ( ) AM ( ) e Ae H ( ) j 2 j j2 j X = π φ π φ Ae e e d = Ae δ ( ) j Y( ) = X ( ) H ( ) = Ae φ δ ( ) H( ) 47 Risposa in requenza j 2 π +φ j 2π + φ + ϕ( ) AM ( ) e Ae H ( ) j 2 j j2 j X = π φ π φ Ae e e d = Ae δ ( ) j Y( ) = X ( ) H ( ) = Ae φ δ ( ) H( ) j ( ) = M ( ) e ϕ H Poliecnico di Torino 24

25 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Risposa in requenza j 2 π +φ j 2π + φ + ϕ( ) AM ( ) e Ae H ( ) j 2 j j2 j X = π φ π φ Ae e e d = Ae δ ( ) j Y( ) = X ( ) H ( ) = Ae φ δ ( ) H( ) j ( ) = M ( ) e ϕ j ( φ + ϕ ( )) ( ) e δ ( j( 2π+ φ + ϕ ( )) ( ) e H Y( ) = AM y( ) = AM ) 49 Risposa in requenza H( ) j 2 π +φ j 2π + φ + ϕ ( ) AM ( ) e Ae Ae j ( 2π + φ ) j π + φ + ϕ ( ) 2 Acos2 AM cos 2π + ϕ π AM e 5 25 Poliecnico di Torino 25

26 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Inerpreazione della risposa in requenza Enra una sinusoide a requenza Esce una sinusoide a requenza la unzione di raserimeno modula ampiezza e ase della sinusoide La unzione di raserimeno modiica il segnale di ingresso requenza per requenza ϕ( ) e M e e j2π j2π 5 Inerpreazione della risposa in requenza La sinusoide complessa agisce come un auoveore del sisema LTI Ax = λx S{ x( )} = λx( ) x( ) = Ae λ = H ( j ( 2π + φ ) ) = M jϕ ( ) ( ) e Poliecnico di Torino 26

27 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Fisica realizzabilià di un sisema LTI Condizioni di realizzabilià sisema reale h() R La risposa all impulso è una unzione reale sisema causale h = < La risposa all impulso è nulla per < Poliecnico di Torino 27

28 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Il ilro ideale H id ( ) B B H id ()=p 2B () h id ()=2B sinc(2b) 55 Il ilro ideale H id ( ) X( ) B B Y( ) B B Poliecnico di Torino 28

29 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Il ilro ideale H id ( ) X( ) B B Y( ) h id B B Non causale Non isicamene realizzabile 57 Dal ilro ideale al ilro realizzabile H id ( ) B B non realizzabile Poliecnico di Torino 29

30 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Dal ilro ideale al ilro realizzabile H id ( ) h NC ( ) F B B H NC non realizzabile ancora non causale 59 Dal ilro ideale al ilro realizzabile h NC ( ) h C ( ) F F H id ( ) B B H NC H C modulo ase H non realizzabile ancora non causale C j2πt ( ) = H NC( ) e 6 25 Poliecnico di Torino 3

31 Sisemi lineari: deinizioni e concei di base Dal ilro ideale al ilro realizzabile H id ( ) B B h NC ( ) h F F H NC h C ( ) F H C H( ) modulo ase H non realizzabile ancora non causale C j2πt ( ) = H NC( ) e 6 Sisema sabile BIBO (Bounded Inpu Bounded Oupu): ad un ingresso x() di ampiezza limiaa corrisponde un uscia y() di ampiezza limiaa, ovvero x () < y () < Quesa deinizione equivale a veriicare la seguene condizione: h d < In alernaiva si può usare la condizione necessaria: H ( ) < Poliecnico di Torino 3