RISPOSTA NEL DOMINIO DEL TEMPO

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1 RISPOSTA NEL DOMINIO DEL TEMPO Nel dominio del empo le variabili sono esaminae secondo la loro evoluzione emporale. Normalmene si esamina la risposa del sisema a un segnale di prova canonico, cioè si sollecia il sisema con un: ingresso a gradino ingresso a impulso NB: non sempre è possibile ricavare sperimenalmene la risposa del sisema all impulso, in quano l impulso deve fornire l energia sufficiene al sisema per provocarne la risposa.

2 Transiorio e Regime La risposa di un sisema può essere scomposa in componene ransioria yt() e componene di regime yr() : y() = yt() + yr() La componene ransioria è formaa da ui quei ermini che si annullano per il empo che ende a infinio. La componene di regime è formaa da ui quei ermini che invece non si annullano, cioè: y R ( ) lim y( ) NB: nei sisemi lineari la componene di regime assume la sessa forma d onda dell ingresso. Esempio Risposa di un circuio RL ad un gradino di ensione: E i( ) e i(0) e R Componene ransioria: E i T ( ) e i(0) e R Componene ransioria: i R () E R

3 SISTEMI DEL ORDINE Un sisema del ordine è un sisema con un solo accumulaore di energia. Ossia un sisema il cui comporameno è descrivibile con una sola variabile di sao. x() Sisema ordine NB: si assume come uscia del y() sisema la variabile di sao y() y() Risposa al gradino: Risposa all impulso: y() 3

4 Tempi caraerisici Le presazioni di un sisema (non solo del ordine) nel dominio del empo sono spesso fornie con l indicazione di alcuni empi caraerisici definii nella risposa al gradino. 00% Δ% y() D : empo di riardo (delay ime) 90% Fornisce l indicazione della pronezza di risposa del sisema 50% R : empo di salia (rise ime) Fornisce l indicazione della accelerazione di y() S : empo di assesameno (seing ime) 0% D R Fornisce l indicazione della duraa del ransiorio. Corrisponde al empo impiegao dalla risposa y() a porarsi enro la fascia Δ% S 4

5 Modello Nel dominio del empo il modello maemaico di un sisema coninuo è spesso fornio mediane la rappresenazione ingresso/uscia, cioè dalle sue equazioni differenziali. Per un sisema del ordine: x() dy( ) y( ) k x ( ) d y() NB: con y() variabile di sao E comodo sudiare la risposa nel empo ricorrendo anche alla rappresenazione ingresso/uscia nel dominio di Laplace, cioè alla schemaizzazione del sisema con blocchi e relaive funzioni di rasferimeno: X(s) k s X0 Y (s) k X (s) s y() ymax = k X0 NB: Esaminando la risposa nel empo, è possibile simare i parameri della funzione di rasferimeno: k y( ) k X 0 e 63.% y MAX X0 : la si sima individuando il 63.% del valore finale di y() e leggendo il empo corrispondene. 5

6 SISTEMI DEL ORDINE Un sisema del è un sisema il cui comporameno è descrio da due variabili di sao, sono cioè sisemi con due accumulaori di energia: NB: sisema del ordine senza zeri. X(s) Y(s) k s a s a 0 La risposa nel empo dipende dai poli della funzione di rasferimeno. Per meglio descriverle si inroducono due parameri: δ = coefficiene di smorzameno ωn = pulsazione naurale [rad/s] E si eseguono le segueni sosiuzioni: X(s) X0 k s n s n a = δ ωn a0 = ωn Y(s) Y (s) Polo inrodoo dall ingresso X0 k s s n s n Poli propri del sisema 6

7 La risposa al gradino presena un ransiorio che dipende solo dai poli della funzione di rasferimeno. I re poli di Y(s) risulano: s0 0 NB: s e s sono i poli della funzione di s n n rasferimeno; possono essere reali o complessi s n n Ipoesi: in funzione di. y() Im I poli della fd sono reali disini y( ) K 0 K e s K e s > s s Re s0 y() Ipoesi: Im I poli sono reali coincideni y ( ) K 0 K e s = s = s s0 Re 7

8 Ipoesi: s, n j n I poli sono complessi coniugai NB: ωn rappresena la pulsazione alla quale oscillerebbe la risposa del sisema nel caso y( ) K 0 K e cos( ) di assenza di smorzameno ( = 0). y() Im s Ipoesi: Sisema sovrasmorzao 45 s Re s0 y() Im s Ipoesi: 0 45 s s0 Re Sisema soosmorzao 0 8

9 Relazioni ra i poli della funzione di rasferimeno e i parameri e ωn Dall espressione dei poli della funzione di rasferimeno: s, n j n risulano le segueni corrispondenze: n Im n s = + j ω ω ωn s n α Re Da cui: (prescindendo dal segno di ) n, n n : a l u s i r i l o c l a c i n u c l a o p o d, o d n e u i o s n cos 9

10 Relazione ra massima sovraelongazione e Nei sisemi del ordine senza zeri, con poli complessi coniugai ( < ), la massima sovraelongazione SMAX dipende solo dal coefficiene di smorzameno : SMAX% y() ymax SMAX yr SMAX % y MAX y R 00 yr 0

11 Esercizio: Circuio RLC serie, calcolo e ωn in funzione dei parameri del circuio La ensione e() rappresena l ingresso. Come uscia è assuna la ensione sul condensaore. Si deve manipolare la funzione di rasferimeno in modo da porre uguale a il coefficiene del ermine con s: Osservando la funzione di raferimeno, risula: Da cui: R C L n LC R n L LC Vc (s) E(s) R s s L LC n LC NB: un aumeno di R compora un aumeno di, menre non influisce su ωn.

12 Eserciazione : Esaminare il diverso ruolo eserciao dal resisore nei segueni circuii: Dai: ensione di ingresso e(): gradino di 0 V parameri: Circuio a) C = F, L=H uscia: ensione sul condensaore vc() Circuio b) ) Compilare, mediane simulazione, per enrambi i circuii, la seguene abella: R [Ohm] Poli SMAX (%) ωn [rad/s] TD TR TS ) Esaminare le due abelle e svolgere le proprie considerazioni 3) Verificare alcuni risulai mediane il calcolo di e ωn in funzione dei parameri.

13 Eserciazione : File da uilizzare nella simulazione (SCILAB) xbasc(); // cancellazione di ui i grafici precedeni clear; // cancellazione di ue le variabili cosruie in precedenza s = poly(0,"s"); R = ; L = ; C = ; // creazione della variabile di Laplace 's' // Ohm Paramero da variare nella compilazione della abella // Henry // Farad H = syslin("c",, L*C*s^ + R*C*s + ); // cosruzione della funzione di rasferimeno // "c": sisema coninuo // : numeraore della fd // L*C*s + R*J*s + : denominaore della fd = 0:0.00:0; // 0:... :0 isani iniziale e finale del calcolo // 0.00 passo di inegrazione u = 0 + 0*; // u, ensione di alimenazione del circuio vc = csim(u,, H); // calcolo della ensine sul condensaore plod(, vc); xgrid(3); // grafico della correne i // inserimeno della griglia poli = roos([denom(h)]) // roos, funzione che calcola le radici del polinomio // "denom", funzione che esrae il denominaore di H 3

14 Sisema del ordine, la cui funzione di rasferimeno possiede uno zero La presenza di uno zero: alera la pendenza con cui la risposa si avvia: non più con angene orizzonale. alera SMAX, che non dipende più solo da non alera la pulsazione di oscillazione ω X(s) k b s s a s a 0 Y(s) y() Con zero negaivo Nel sisema è presene uno zero: s b yr Senza zero NB: con zero posiivo il sisema presena una risposa che si avvia in direzione opposa. Con zero posiivo 4

15 e funzione di rasferimeno Esaminando la risposa nel empo, è possibile simare i parameri della funzione di rasferimeno. Esempio: sisema del senza zeri (ricavare k,, ωn) X0 X(s) k s n s n NB: Per il calcolo del valore di regime yr è conveniene ricorrere al eorema del valore finale: Y(s) y R lim y( ) lim s Y (s) s 0 y() Calcolo : Dal grafico della risposa si legge ymax e yr, con essi si calcola SMAX e per via grafica si ricava. ymax SMAX Calcolo ωn: Dal grafico della risposa si legge il periodo T, con esso si calcola la pulsazione di oscillazione ω = / T, e quindi: n Calcolo k: Applicando il eorema del valore finale si oiene: y R lim s Y (s) lim s s 0 Da cui: s 0 y R n k X0 yr T X0 X0 k k s s n s n n 5

16 Poli dominani In un sisema possono essere preseni più accumulaori di energia, quindi più variabili di sao, ossia più poli nelle funzioni di rasferimeno. Ad ogni polo corrisponde una cosane di empo. Le cosani di empo più grandi deerminano la duraa complessiva del ransiorio. Quando sono molo più grandi, il ransiorio è di fao deerminao da esse. Alle cosani di empo più grandi corrispondono i poli più piccoli (in valore assoluo). Quesi poli sono chiamai dominani. Se nel sisema sono preseni poli dominani, gli alri poli si possono rascurare. 6

17 Eserciazione : Idenificare la funzione di rasferimeno di un sisema mediane l esame della sua risposa al gradino. Confronare poi la risposa del modello con quella effeiva. Il sisema è solleciao mediane un gradino di ampiezza X 0 = 5 e presena la seguene risposa: y() X(s) Y(s) (s) 7

18 Esercizio Idenificare il sisema (funzione di rasferimeno) la cui risposa al gradino di ampiezza 5 è la seguene: Tempo ( s ) 8

19 Esercizio Idenificare il sisema (funzione di rasferimeno) la cui risposa al gradino di ampiezza 5 è la seguene: Tempo ( s ) 9

20 Esercizio 3 Idenificare il sisema (funzione di rasferimeno) la cui risposa al gradino di ampiezza 8 è la seguene: Tempo ( s ) 0

21 SOLUZIONE : Circuio a): Eserciazione R SMAX 0 (00%) Poli [Ohm] Circuio b): / (%) ωn [rad/s] 0 0 j j (3%) j (4.3%) , , 0. SMAX ωn R [Ohm] Poli (%) [rad/s] j (4.3%) j (3%) j (47%) j (57%) j (64%) 0.4

22 SOLUZIONE : Eserciazione / Le variazioni delle variabili di sao descrivono l accumulo di energia nei due accumulaori (induore, condensaore). L accumulo avviene mediane il flusso della carica elerica (correne). Nel circuio a) quesa correne elerica araversa anche il resisore, per cui valori ali di R la frenano. Dalla abella si osserva che valori bassi di R comporano uno scambio ripeuo di energia ra L e C (soluzioni complesse coniugae), con frequenza (pulsazione) in diminuzione all aumenare di R. L aumeno di R, riduce la correne e così ridimensiona il ira e molla dell energia, come rilevao dalla diminuzione di SMAX e, fino ad annullarlo (soluzioni reali). Nel circuio b) la correne che araversa il resisore rappresena una sorazione a quella che raspora l energia in L e C. Quano minore è R, ano maggiore è quesa sorazione e più osacolao risula lo scambio energeico ra L e C. All aumenare di R, si riduce la correne soraa e si riduce quindi l effeo frenane sullo scambio energeico, che quindi si amplifica in ermini di frequenza e ampiezza, come rilevao dalla pare immaginaria dei poli e da SMAX.

23 SOLUZIONE : Eserciazione /3 La risposa del sisema presena: una dinamica oscillane, si è quindi in presenza di almeno due poli complessi coniugai una fase di avvio con angene orizzonale, cioè il sisema non presena zeri In definiiva si è nella condizione di poer pensare a un modello maemaico ipo funzione di rasferimeno senza zeri e con due poli complessi coniugai. X(s) k s n s n Y(s) 3

24 SOLUZIONE : Eserciazione /3 Il calcolo dei parameri della funzione di rasferimeno richiede la leura dei segueni dai dal grafico della risposa: SMAX % y() y MAX y R % yr 7.9 Da grafico: = rad/s T n.4 rad/s T s y R n k. X0 5 (s)

25 SOLUZIONE : Eserciazione La reale funzione di rasferimeno, di cui il profilo Dai calcoli risula la seguene funzione di esaminao è la sua risposa al gradino, è invece: rasferimeno: X(s) y(). s s.538 Poli = 3/3 Y(s) 0.36 j.99 X(s) Y(s) 30 s 3 s 8 s 6 Poli = 0.3 j Modello semplificao Sisema reale Osservazioni: Il modello semplificao fornisce una risposa più prona per via del minor numero di poli I poli del modello semplificao sono circa uguali a quelli complessi coniugai del sisema reale, i quali, dao il valore del polo reale, assumono il significao di poli dominani. 5

26 SOLUZIONE : Esercizi Esercizio X(s) 6 s s 0 Y(s) Poli = 6.0 j 9. Poli = 5.0 j 4.5 Poli =.0 j 4.9 Esercizio X(s) 0 s 0. 5 s 5 Y(s) 430 s 0. 5 s 5 Y(s) Esercizio 3 X(s) 6