Trasformata di Fourier (1/7)

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1 1 rasormaa di Fourier (1/7 + De: Un segnale x( è impulsivo se x ( d < + F : + j X( x( e π d F{ x( }, < < + F -1 + jπ 1 : x( X( e d F { X( }, < < + X( è una rappresenazione di x( nel dominio della requenza (dominio sperale anziché del empo

2 rasormaa di Fourier (/7 X( R( + j I( M(e j ϕ( x( j ( π + ϕ ( M ( e d R( M( I( ϕ (

3 3 rasormaa di Fourier di segnali reali (3/7 x ( segnale reale: + X ( x( cos(π d j x( sin(π d Simmeria coniugaa: + R( R( I( I( M( M( ϕ( ϕ ( X ( X * (

4 4 rasormaa di Fourier di segnali reali (4/7 Conseguenza : Per segnali reali si può are rierimeno alle sole requenze posiive della X( M( M( ϕ( ϕ (

5 rasormaa di Fourier Banda di un segnale di banda base (4/7 Un segnale reale x( si dice limiao nella banda [-W,W] se la sua rasormaa di Fourier X( è idenicamene nulla per [-W,W] 5 X( -W W La quanià W si misura in Hz (o suoi mulipli e cosiuisce la Larghezza di Banda del segnale x( Poiché X( 0 in un inorno [-W,W] di 0, il segnale x( si dice segnale di banda base

6 rasormaa di Fourier Banda di un segnale di banda base (6/7 Un segnale reale x( si dice limiao in banda, con banda W cenraa inorno alla requenza 0 (Hz se: 1 0 >W; X( è idenicamene nulla per [- 0 -W,- 0 +W]U [ 0 -W, 0 +W] 6 X( - 0 -W - 0 W- 0 -W W La quanià W (Hz cosiuisce la larghezza di banda del segnale x( Poiché X( 0 in un inorno di ± 0 non adiacene all origine 0, il segnale x( si dice segnale in banda raslaa.

7 rasormaa di Fourier Unià di misura della larghezza di banda (7/7 7 La larghezza di banda W (W di un segnale x( di banda base (di banda raslaa si misura in o in suoi mulipli Hz 1 sec 1kHz 1MHz 1GHz 3 10 Hz 6 10 Hz 9 10 Hz

8 rasormaa di Fourier e eorema di Parseval 8 1. E possibile calcolare l energia di un segnale impulsivo o di energia x( mediane la sua rasormaa X(.. In paricolare, vale il seguene risulao noo come eorema di Parseval per segnali impulsivi e/o di energia : ε x + X( d

9 9 rasormaa di rasormaa di Fourier: Fourier: esempi esempi (1/4 (1/4 ( ( rec x ( sin sin( ( c j e e j e d e X j j j j π π π π π π π π π + essendo sin( z j e e jz jz 1 x( X ( 1 1

10 10 rasormaa di Fourier: esempi (/4 1 1 x( X( sinc( π 1 1 x( δ ( X( 1 X( 1

11 11 3 rasormaa di Fourier: esempi (3/4 x ( c X( cδ ( c x( c X ( 4 x( A cos ( π o + j π A A X ( A cos( π o e d δ ( o + δ ( + x ( A X ( A o o o

12 1 rasormaa di Fourier: esempi (4/4 5 x ( e τ u 1 ( X ( τ 1 + j π τ x( τ M ( 1 + 4π ϕ ( arcg ( π τ τ M ( X ( τ piccolo: x( M (

13 13 Relazioni empo/requenza Segnali brevi (in banda larga (in Segnali lunghi (e leni banda srea (in Segnali rapidamene variani in banda larga (in

14 14 Proprieà della rasormaa di Fourier 1 Linearià: x( X( y ( Y( F{ α x( +β y( } α X ( +βy ( (linearià Riardo: x ( X( 3 Modulazione: x ( X( 4 Derivazione: y( dx(/ d F x X e π τ j { ( τ } ( (sasaura F x e X Y( j π X( jπo { ( } ( 0 (modulazione

15 15 df di un segnale periodico x ( x( + g( n n (segnale periodico SdF: x + ( n X n e j π n X n n X ( df: X ( X δ ( n n n

16 16 Proprieà ondamenale della convoluzione La rasormaa di Fourier della convoluzione è pari al prodoo delle rasormae y( x(* h( Y ( X ( H ( dove Y ( F{ y(} X ( F{ x(} H( F{ h(}

17 17 Risposa in requenza di un sisema LP (ilro( ilro Convoluzione (nel empo: + y ( x( τ h( τ dτ τ x ( h( y( Prodoo (in requenza: Y( H( X( X ( H ( Y ( h (: risposa impulsiva del ilro H( : risposa in requenza del ilro y ( Y ( e d H ( X e j π j π o unzione di raserimeno del ilro ( d

18 18 Filraggio analogico (1/ Meccanismo di ilraggio: X ( Filro passa-basso: H ( (LP, low-pass Filro H ( 1 Filro passa-alo H ( (HP, high-pass Y ( Filro passa-banda H ( (BP, band-pass

19 19 Filraggio analogico (/ h( reale H ( H ( (simmeria coniugaa E suiciene conoscere H ( solo per le requenze posiive, perché le negaive si deducono dalla simmeria coniugaa H ( ϕ(

20 Risposa di un ilro al segnale sinusoidale Le sinusoidi sono largamene impiegae nelle rasmissioni (esempi: ax, asiera eleono, GSM, 0 x( H ( y( x( A cos( π + θ o y( A H ( o cos(π o + θ + ϕ( o 1 o A 1 o A H ( o

21 1 Proprieà duale della F Proprieà della F: alla convoluzione in corrisponde il prodoo in + y ( x( τ h( τ dτ τ Y( H( X( La convoluzione in aumena la duraa emporale del segnale Proprieà duale: al prodoo in corrisponde la convoluzione in y ( x( h( Y ( H ( σ X ( σ d σ X ( * H ( Il prodoo in aumena la banda (occupazione in requenza del segnale σ

22 Segnale aleaorio (Gaussiano Segnale aleaorio: x( p(x Densià di probabilià gaussiana: (media nulla, varianza x σ Funzione densià di probabilià di una variabile: p esprime la probabilià che la variabile x (x assume un valore nell inorno di x p x 1 σ x( x e πσ Sono più probabili i valori piccoli e meno probabili i valori grandi (posiivi e negaivi in ugual misura

23 3 Segnale aleaorio (Gaussiano: esempi Esempi di segnale con disribuzione Gaussiana: Voce umana Suoni rumore caoico (voci da sadio, radio uori sinonia, I segnali aleaori sono ipicamene segnali di poenza