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1 Fondameni di Conrolli Auomaici Prova Parziale 8 Aprile 2 - A.A. 2/ Nome: Nr. Ma. Firma: a) Deerminare la rasformaa di Laplace X i (s) dei segueni segnali emporali x i (): x () = e +5 cos(3 6), x 2 () = 5e 2 sin(3), f() b) Calcolare la risposa impulsiva g i () delle segueni funzioni di rasferimeno G i (s): G (s) = s (s 4)(s+6) 2, G 2(s) = c) Si consideri il seguene schema a blocchi: 2 (s+3) 4, G 3(s) = (s+2) 2 (s 3)(s+3)(s+4) X(s) 8 s s 6 Y(s) c.) Uilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di rasferimeno G(s) che lega l ingresso X(s) all uscia Y(s): G(s) = Y(s) X(s) = c.2) Relaivamene alla funzione di rasferimeno G(s) calcolare:. la pare reale σ dei poli dominani del sisema; 2. la pare immaginaria ω dei poli dominani del sisema; 3. la pulsazione naurale ω n dei poli dominani del sisema; 4. il coefficiene di smorzameno δ dei poli dominani del sisema; 5. il guadagno saico K ; 6. il empo di assesameno T a del sisema G(s) alla risposa al gradino; 7. l isane di massima sovraelongazione; 8. la massima sovraelongazione percenuale; 9. il periodo delle oscillazioni. c.3) Disegnare l andameno qualiaivo della risposa y() della funzione di rasferimeno G(s) al gradino in ingesso x() = 2. Per quano è possibile, disegnare l andameno emporale in modo congruene con il valore dei parameri numerici deerminai al puno precedene.

2 . Scrivere la funzione di rasferimeno G(s) corrispondene alla seguene equazione differenziale: ÿ()+5ẏ()+4y() = 2ẍ()+3ẋ()+7x() G(s) = Y(s) X(s) = 2. Siano F (s) ed F 2 (s) le rasformae di Laplace delle funzioni f () e f 2 (). Il eorema della rasformaa del prodoo inegrale afferma che: f (τ)f 2 ( τ)dτ] = F (s)f 2 (s); f (τ)f (τ)dτ] = F (s)f 2 (s); f 2 ( τ)f ( τ)dτ] = F 2 (s)f (s). 3. Un sisema del secondo ordine che presena un coefficiene di smorzameno < δ < è caraerizzao da: due poli complessi coniugai a pare reale negaiva; due poli reali disini a pare reale negaiva; un polo nell origine. 4. Un sisema di ipo 2 ha uno zero nell origine; ha un errore a regime nullo nella risposa al gradino; ha un errore a regime nullo nella risposa alla rampa. 5. Il luogo dei puni del piano complesso deerminao da poli complessi coniugai di sisemi del secondo ordine sabili con pulsazione cosane è formao da: due semiree usceni dall origine; una rea parallela all asse immaginario; una semicirconferenza nel semipiano reale negaivo cenraa nell origine. 6. L equazione differenziale a 2 ()ÿ()+a ()ẏ()+a ()y()+b ()ẋ()+b ()x() = è: non-lineare; lineare empo-invariane; lineare empo-variane. 7. Sia L[f()] = F(s) la rasformaa di Laplace della funzione f(). Vale la relazione: L f(τ)dτ = F(s); s L f(τ)dτ = F(s); s [ 2 ] L f(τ)dτ = sf(s). 8. Un sisema lineare è asinoicamene sabile se la sua funzione di rasferimeno ha ui i poli: a pare reale negaiva ed evenuali poli a pare reale nulla hanno moleplicià uniaria; a pare reale sreamene negaiva; a pare reale sreamene posiiva. 9. Deerminare il empo di assesameno del sisema G(s) = s 2 +s+9 ; T a =. La risposa al gradino di un sisema del primo ordine raggiunge, dopo un inervallo pari a re cosani di empo dall applicazione dell ingresso: il 99.3% del valore finale; il 95% del valore finale; il 63.2% del valore finale.

3 Fondameni di Conrolli Auomaici Prova Parziale 8 Aprile 2 - A.A. 2/ Nome: Nr. Ma. Firma: a) Deerminare la rasformaa di Laplace X i (s) dei segueni segnali emporali x i (): x () = 2e 3 cos(5), x 2 () = e +4 sin(2 6), b) Calcolare la risposa impulsiva g i () delle segueni funzioni di rasferimeno G i (s): f() 4 G (s) = (s+5) 4, G 2(s) = c) Si consideri il seguene schema a blocchi: (s+2) 2 (s )(s+)(s+3), G 3(s) = s 2 (s 3)(s 4) 2 X(s) s+2 2 s Y(s) c.) Uilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di rasferimeno G(s) che lega l ingresso X(s) all uscia Y(s): G(s) = Y(s) X(s) = c.2) Relaivamene alla funzione di rasferimeno G(s) calcolare:. la pare reale σ dei poli dominani del sisema; 2. la pare immaginaria ω dei poli dominani del sisema; 3. la pulsazione naurale ω n dei poli dominani del sisema; 4. il coefficiene di smorzameno δ dei poli dominani del sisema; 5. il guadagno saico K ; 6. il empo di assesameno T a del sisema G(s) alla risposa al gradino; 7. l isane di massima sovraelongazione; 8. la massima sovraelongazione percenuale; 9. il periodo delle oscillazioni. c.3) Disegnare l andameno qualiaivo della risposa y() della funzione di rasferimeno G(s) al gradino in ingesso x() = 3. Per quano è possibile, disegnare l andameno emporale in modo congruene con il valore dei parameri numerici deerminai al puno precedene.

4 . Scrivere la funzione di rasferimeno G(s) corrispondene alla seguene equazione differenziale: 3ẍ()+4ẋ()+2x() = 2ü()+6 u()+9u() G(s) = X(s) U(s) = 2. Siano F (s) ed F 2 (s) le rasformae di Laplace delle funzioni f () e f 2 (). Il eorema della rasformaa del prodoo inegrale afferma che: f (τ)f (τ)dτ] = F (s)f 2 (s); f 2 ( τ)f ( τ)dτ] = F 2 (s)f (s); f 2 (τ)f ( τ)dτ] = F 2 (s)f (s). 3. Un sisema del secondo ordine che presena un coefficiene di smorzameno < δ < è caraerizzao da: un polo nell origine; due poli reali disini a pare reale negaiva; due poli complessi coniugai a pare reale negaiva. 4. Un sisema di ipo 2 ha uno zero nell origine; ha un errore a regime nullo nella risposa alla rampa; ha un errore a regime nullo nella risposa al gradino. 5. Il luogo dei puni del piano complesso deerminao da poli complessi coniugai di sisemi del secondo ordine sabili con pulsazione cosane è formao da: una rea parallela all asse immaginario; una semicirconferenza nel semipiano reale negaivo cenraa nell origine; due semiree usceni dall origine. 6. L equazione differenziale a 2 ()ÿ()+a ()ẏ()+a ()y()+b ()ẋ()+b ()x() = è: non-lineare; lineare empo-variane; lineare empo-invariane. 7. Sia L[f()] = F(s) la rasformaa di Laplace della funzione f(). Vale la relazione: L f(τ)dτ = F(s); s [ 2 ] L f(τ)dτ = F(s); s L f(τ)dτ = sf(s). 8. Un sisema lineare è asinoicamene sabile se la sua funzione di rasferimeno ha ui i poli: a pare reale negaiva ed evenuali poli a pare reale nulla hanno moleplicià uniaria; a pare reale sreamene posiiva; a pare reale sreamene negaiva. 9. Deerminare il empo di assesameno del sisema G(s) = s 2 +2s+36 ; T a =. La risposa al gradino di un sisema del primo ordine raggiunge, dopo un inervallo pari a re cosani di empo dall applicazione dell ingresso: il 63.2% del valore finale; il 95% del valore finale; il 99.3% del valore finale.

5 Fondameni di Conrolli Auomaici Prova Parziale A 8 Aprile 2 - A.A. 2/ Nome: Nr. Ma. Firma: a) Deerminare la rasformaa di Laplace X i (s) dei segueni segnali emporali x i (): x () = e +5 cos(3 6), Soluzione: X (s) = 24 s 5+ 2 (s+2) 4+5se 2s s 2 +9, X 2(s) = x 2 () = 5e 2 sin(3), 5 (s+2) 2 +9, f() 3 X 3(s) = s 4 7 [3e s e 4s s ] + e 7s s b) Calcolare la risposa impulsiva g i () delle segueni funzioni di rasferimeno G i (s): G (s) = Soluzione: s (s 4)(s+6) 2, G 2(s) = 2 (s+3) 4, G 3(s) = (s+2) 2 (s 3)(s+3)(s+4) g () = 3 e4 3 e e 6, g 2 () = 3 3 e 3, g 3 () = e3 6 e e 4 c) Si consideri il seguene schema a blocchi: X(s) 8 s s 6 Y(s) c.) Uilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di rasferimeno G(s) che lega l ingresso X(s) all uscia Y(s): G(s) = Y(s) X(s) = 768 s 2 +4s+64 c.2) Relaivamene alla funzione di rasferimeno G(s) calcolare:. la pare reale σ dei poli dominani del sisema; σ = 2 2. la pare immaginaria ω dei poli dominani del sisema; ω = la pulsazione naurale ω n dei poli dominani del sisema; ω n = 8 4. il coefficiene di smorzameno δ dei poli dominani del sisema; δ = il guadagno saico K ; K = 2 6. il empo di assesameno T a del sisema G(s) alla risposa al gradino; T a = l isane di massima sovraelongazione; T M =.4 8. la massima sovraelongazione percenuale; S = 44.4%

6 9. il periodo delle oscillazioni. T =.8 c.3) Disegnare l andameno qualiaivo della risposa y() della funzione di rasferimeno G(s) al gradino in ingesso x() = 2. Per quano è possibile, disegnare l andameno emporale in modo congruene con il valore dei parameri numerici deerminai al puno precedene. 35 risposa nel empo secondi

7 . Scrivere la funzione di rasferimeno G(s) corrispondene alla seguene equazione differenziale: ÿ()+5ẏ()+4y() = 2ẍ()+3ẋ()+7x() G(s) = Y(s) X(s) = 2s2 +3s+7 s 2 +5s+4 2. Siano F (s) ed F 2 (s) le rasformae di Laplace delle funzioni f () e f 2 (). Il eorema della rasformaa del prodoo inegrale afferma che: L[ f (τ)f 2 ( τ)dτ] = F (s)f 2 (s); f (τ)f (τ)dτ] = F (s)f 2 (s); f 2 ( τ)f ( τ)dτ] = F 2 (s)f (s). 3. Un sisema del secondo ordine che presena un coefficiene di smorzameno < δ < è caraerizzao da: due poli complessi coniugai a pare reale negaiva; due poli reali disini a pare reale negaiva; un polo nell origine. 4. Un sisema di ipo 2 ha uno zero nell origine; ha un errore a regime nullo nella risposa al gradino; ha un errore a regime nullo nella risposa alla rampa. 5. Il luogo dei puni del piano complesso deerminao da poli complessi coniugai di sisemi del secondo ordine sabili con pulsazione cosane è formao da: due semiree usceni dall origine; una rea parallela all asse immaginario; una semicirconferenza nel semipiano reale negaivo cenraa nell origine. 6. L equazione differenziale a 2 ()ÿ()+a ()ẏ()+a ()y()+b ()ẋ()+b ()x() = è: non-lineare; lineare empo-invariane; lineare empo-variane. 7. Sia L[f()] = F(s) la rasformaa di Laplace della funzione f(). Vale la relazione: L f(τ)dτ = F(s); s [ L L ] f(τ)dτ = F(s); s [ 2 ] f(τ)dτ = sf(s). 8. Un sisema lineare è asinoicamene sabile se la sua funzione di rasferimeno ha ui i poli: a pare reale negaiva ed evenuali poli a pare reale nulla hanno moleplicià uniaria; a pare reale sreamene negaiva; a pare reale sreamene posiiva. 9. Deerminare il empo di assesameno del sisema G(s) = s 2 +s+9 ; T a = 3. La risposa al gradino di un sisema del primo ordine raggiunge, dopo un inervallo pari a re cosani di empo dall applicazione dell ingresso: il 99.3% del valore finale; il 95% del valore finale; il 63.2% del valore finale.

8 Fondameni di Conrolli Auomaici Prova Parziale B 8 Aprile 2 - A.A. 2/ Nome: Nr. Ma. Firma: a) Deerminare la rasformaa di Laplace X i (s) dei segueni segnali emporali x i (): x () = 2e 3 cos(5), Soluzione: X (s) = 2(s+3) (s+3) 2 +25, X 2(s) = 24 2 s5+ x 2 () = e +4 sin(2 6), (s+) 4+8e 3s s 2 +4, X 3(s) = 2 s f() [ e 2s s e 4s s 2e 8s ] b) Calcolare la risposa impulsiva g i () delle segueni funzioni di rasferimeno G i (s): G (s) = (s+5) 4, G 2(s) = Soluzione: (s+2) 2 (s )(s+)(s+3), G 3(s) = s 2 (s 3)(s 4) 2 g () = 3 6 e 5, g 2 () = 9 8 e 4 e + 8 e 3, g 3 () = e 3 e 4 +2e 4 c) Si consideri il seguene schema a blocchi: X(s) s+2 2 s Y(s) c.) Uilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di rasferimeno G(s) che lega l ingresso X(s) all uscia Y(s): G(s) = Y(s) X(s) = 2 s 2 + s+4 c.2) Relaivamene alla funzione di rasferimeno G(s) calcolare:. la pare reale σ dei poli dominani del sisema; σ = /2 2. la pare immaginaria ω dei poli dominani del sisema; ω = la pulsazione naurale ω n dei poli dominani del sisema; ω n = 2 4. il coefficiene di smorzameno δ dei poli dominani del sisema; δ = il guadagno saico K ; K = 2 6. il empo di assesameno T a del sisema G(s) alla risposa al gradino; T a = 6 7. l isane di massima sovraelongazione; T M =.6 8. la massima sovraelongazione percenuale; S = 44.4%

9 9. il periodo delle oscillazioni. T = 3.25 c.3) Disegnare l andameno qualiaivo della risposa y() della funzione di rasferimeno G(s) al gradino in ingesso x() = 3. Per quano è possibile, disegnare l andameno emporale in modo congruene con il valore dei parameri numerici deerminai al puno precedene. 2.5 risposa nel empo secondi

10 . Scrivere la funzione di rasferimeno G(s) corrispondene alla seguene equazione differenziale: 3ẍ()+4ẋ()+2x() = 2ü()+6 u()+9u() G(s) = X(s) U(s) = 2s2 +6s+9 3s 2 +4s+2 2. Siano F (s) ed F 2 (s) le rasformae di Laplace delle funzioni f () e f 2 (). Il eorema della rasformaa del prodoo inegrale afferma che: f (τ)f (τ)dτ] = F (s)f 2 (s); f 2 ( τ)f ( τ)dτ] = F 2 (s)f (s); L[ f 2 (τ)f ( τ)dτ] = F 2 (s)f (s). 3. Un sisema del secondo ordine che presena un coefficiene di smorzameno < δ < è caraerizzao da: un polo nell origine; due poli reali disini a pare reale negaiva; due poli complessi coniugai a pare reale negaiva. 4. Un sisema di ipo 2 ha uno zero nell origine; ha un errore a regime nullo nella risposa alla rampa; ha un errore a regime nullo nella risposa al gradino. 5. Il luogo dei puni del piano complesso deerminao da poli complessi coniugai di sisemi del secondo ordine sabili con pulsazione cosane è formao da: una rea parallela all asse immaginario; una semicirconferenza nel semipiano reale negaivo cenraa nell origine; due semiree usceni dall origine. 6. L equazione differenziale a 2 ()ÿ()+a ()ẏ()+a ()y()+b ()ẋ()+b ()x() = è: non-lineare; lineare empo-variane; lineare empo-invariane. 7. Sia L[f()] = F(s) la rasformaa di Laplace della funzione f(). Vale la relazione: L f(τ)dτ = F(s); s 2 L f(τ)dτ = F(s); s L f(τ)dτ = sf(s). 8. Un sisema lineare è asinoicamene sabile se la sua funzione di rasferimeno ha ui i poli: a pare reale negaiva ed evenuali poli a pare reale nulla hanno moleplicià uniaria; a pare reale sreamene posiiva; a pare reale sreamene negaiva. 9. Deerminare il empo di assesameno del sisema G(s) = s 2 +2s+36 ; T a =.5. La risposa al gradino di un sisema del primo ordine raggiunge, dopo un inervallo pari a re cosani di empo dall applicazione dell ingresso: il 63.2% del valore finale; il 95% del valore finale; il 99.3% del valore finale.