del materiale sul carico critico

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1 se compresse: ffei della non linearià RIF: LC III pag 39 del maeriale sul carico criico Il carico criico per unià di superficie corrispondene alla perdia di unicià della risposa in caso di comporameno puramene elasico (formula di ulero) π Risula ano più elevao quano meno l asa è snella. Tuavia, nessun maeriale da cosruzione si maniene indefiniamene elasico Che succede se si iene cono della non linearià del maeriale?

2 se compresse: ffei della non linearià del maeriale sul carico criico Che succede se si iene cono della non linearià del maeriale? Sappiamo che il legame cosiuivo di un maeriale meallico prevede, olre una soglia limie di proporzionalià p, un rao non lineare crescene fino al picco 0, che è il limie di plasicizzazione, seguio da un plaeau lineare

3 se compresse: ffei della non linearià del maeriale sul carico criico Il modulo angene varia con il valore della deformazione d d 3

4 se compresse: ffei della non linearià del maeriale sul carico criico (s) s Supponiamo che l asa compressa sia caraerizzaa dalla ensione s > p corrispondene alla deformazione s llora il modulo angene correne corrispondene sarà quello corrispondene alla s, cioè (s) 4

5 ffei della non linearià sul carico criico llora la formula di ulero nel regime in cui l asa sperimena una ensione maggiore di p sarà daa da ) ( ) ( π s s S Formula di Shanley < per π Dove È dea snellezza di ransizione < p S p cr per per π p p π 5

6 ffei della non linearià sul carico criico Possiamo anche scrivere la ensione criica come funzione della snellezza > p S p cr per per π π La curva in Figura si chiama Curva di Sabilià 6

7 sa di Shanley LC lll p35 Un asa rigida lunga L poggia su un ronco deformabile Il ronco deformabile ha una sezione ad I ideale (anima rascurabile, resisono solo le ali assimilabili a delle flange) ed alezza h L alezza h è supposa abbasanza piccola da poer rascurare le variazioni di sforzo e deformazione lungo di essa 7

8 sa di Shanley L sezione rasversale delle flange sia / Le flange hanno il comporameno bilineare elaso-plasico incrudene in figura con pendenza allo scarico pari ad e modulo angene 8

9 sa di Shanley Se l asa è in equilibrio in configurazione invariaa soo il carico P con roazione θ0 quilibrio alla raslazione ed alla roazione ( ) P P La purella si abbassa ma non ruoa 9 0

10 sa di Shanley Consideriamo ora la configurazione variaa quilibrio alla raslazione ed alla roazione ( ) L P c P θ Congruenza ( ) ) ( ϑ c h c h h Poniamo,, Congruenza 0

11 sa di Shanley P P P P ) ( ) (,, ( ) c L P L P c θ ϑ ) ( ϑ c h Congruenza

12 sa di Shanley Il problema della deerminazione del carico criico può essere affronao seguendo diversi approcci h ϑ ( c ( P P) PϑL c ) -pproccio uleriano: il sisema si maniene lineare fino alla perdia dell unicià della soluzione -pproccio alla Von Karman: la perdia di unicià dell equilibrio si verifica a carico cosane P -pproccio di Shanley: la perdia di unicià si verifica per carico P > di P andando a mobiliare la rigidezza angene

13 sa di Shanley: carico criico uleriano -pproccio uleriano: il sisema si maniene lineare fino alla perdia dell unicià della soluzione che avviene per p llora il legame cosiuivo è elasico, ( P P) PθL c h h ϑ ( ) ( c c h PϑL c c hpl c ( ) ϑ 0 P, c hl ) c hl 3

14 sa di Shanley: carico criico di Von Karman -pproccio di Von Karman: Supponiamo che > p e si vuole deerminare le condizioni in cui a parià di carico P P l equilibrio sussise anche in configurazione inflessa ( P P) 0 ( P P) PϑL c PϑL c 4

15 sa di Shanley: carico criico di Von Karman PϑL c La flangia di desra si comprime uleriormene PϑL c Menre quella di sinisra vede diminuire la sua deformazione PϑL c 5

16 sa di Shanley: carico criico di Von Karman PϑL c PϑL c h ϑ ( ) c h PϑL PϑL ϑ ( ) c c c h PϑL hpl ϑ ( ) ϑ c c c P VK c hl( ) c hl r Dove r 0 È il modulo ridoo di VK 6

17 sa di Shanley: carico criico di Shanley -pproccio di Shanley: Supponiamo che >p e che esisano dei valori del carico P> P per cui l equilibrio può sussisere anche in configurazione inflessa La flangia di desra subirà ancora un incremeno di compressione >0 ma la flangia di sinisra subisce anch essa un incremeno di compressione >0 Rispeo al caso di VK avremo che compare il modulo angene anche nella deformazione 0, 0 7

18 sa di Shanley: carico criico di Shanley -La siuazione è indicaa nella figura dove si vede che gli incremeni di deformazione sulle flange ora sono enrambi >0 8

19 sa di Shanley: carico criico di Shanley Il calcolo è analogo a quello del caso elasico ranne per il fao che al poso di si considera c PS, S hl c hl 9

20 sa di Shanley Dunque il carico criico di Shanley è il più piccolo valore del carico criico in corrispondenza del quale l asa può essere in equilibrio soo un carico P P in configurazione ruoaa avendo che il ronco deformabile è compresso abbasanza da dare un incremeno di deformazione posiivo su enrambe le flange in modo che ue le fibre rispondono con il modulo angene 0

21 sa di Shanley Da ogni puno dell inervallo s<< sull asse delle ordinae diparono possibili configurazioni inflesse in equilibrio soo deerminai incremeni di carico Raggiuno il carico s l asa può manenersi reilinea come seguire la configurazione ruoaa Per K sono possibili inflessioni a carico cosane Per K< < le diramazioni hanno pendenza negaiva e l equilibrio richiede che il carico diminuisca

22 Caso elaso-plasico perfeo Nella maggior pare dei casi si suppone che il maeriale segua un legame cosiuivo elasoplasico perfeo dove il modulo angene si annulla e la ensione non cresce olre p0 Perano si lavora supponendo che la dipendenza del carico criico dalla snellezza sia come quella indicaa in figura

23 Caso elaso-plasico perfeo cr S π 0 per per > 0 0 Curva di sabilià per il caso elasoplasico perfeo ideale 0 π 0 3

24 Validià delle formule rovae Le considerazioni fae precedenemene sull asa di Shanley e le curve di sabilià hanno una validià prevalenemene eorica in quano valgono per ase elaso-plasiche perfee ovvero senza imperfezioni Tuavia nella praica le imperfezioni sono molo frequeni e devono essere considerae perché influenzano la curva di sabilià ed i carichi criici Perano nel seguio si considera l effeo di evenuali imperfezioni sulla sabilià 4