Soluzione degli esercizi del Capitolo 1

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1 Soluzione degli esercizi del Capiolo Soluzione dell Esercizio. Il valore più opporuno ū di u è quello per cui, in condizioni nominali, la variabile conrollaa assume il valore desiderao; perciò si rova risolvendo l equazione w = kū + h d e risula w h d ū = k Di conseguenza, il sisema di conrollo (.9), (.) in condizioni perurbae è descrio dall equazione w h d y = k + hd = k k ( ) k h d w + hd k khd Quindi l errore del sisema di conrollo in anello apero è ( e a = w y = k k ) ( ) k h d w + khd hd che risula nullo solo in condizioni nominali. Invece, adoando il conrollore in anello chiuso (.), l errore è e c = w y = + µk w h + µk d Esso non è nullo nemmeno in condizioni nominali, ma il suo modulo può essere reso comunque piccolo a piacere, pur di scegliere valori di µ sufficienemene elevai. Infine, se il disurbo è misurabile, l errore diviene e c = w y = + µk w h + kβ + µk d e le conclusioni sono simili a quelle del caso prededene, salvo il fao che, se h e k sono in condizioni nominali, si può scegliere β = h / k e rendere l errore del uo indipendene dal disurbo d. Soluzione dell Esercizio. Il livello di invesimeno Ī soddisfa l equazione = ā C + bī e quindi vale Ī = ā C b Allora, il sisema di conrollo in anello apero è descrio dall equazione Ċ () = ac () + ā b b C Copyrigh c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.

2 che, inegraa con condizione iniziale C () = C, dà Quindi il valore finale di C () C () = e a C + āb a b C ( e a) āb lim C () = a b C coincide con C solo se a e b assumono il loro valori nominali. La duraa praica dei ransiori dipende dalla cosane a, in quano a parire dall isane = 5 /a il valore di e a si può considerare nullo. Passando a considerare il conrollore saico in anello chiuso proposo, il sisema di conrollo è reo dall equazione Ċ () = ac () + bµ ( C C () ) = (a + bµ) C () + bµ C che ha come soluzione da cui C () = e (a+bµ) C + bµ a + bµ C bµ lim C () = a + bµ C ( e (a+bµ)) Perano, il valore finale di C () non coincide mai con C, ma è ad esso ano più prossimo quano più µ è elevao. D alra pare, l aumeno di µ produce anche un incremeno della velocià con cui la variabile conrollaa ende al suo valore di regime. Quesi risulai sono sosanzialmene indipendeni dal fao che i parameri a e b assumano i valori nominali o no. La funzione C () è riporaa nella Figura S. per a = b =, C =., C = 5 e per diversi valori di µ. Infine, con il conrollore dinamico in anello chiuso il sisema complessivo è reo dalle due equazioni del primo ordine Ċ () = ac () + bi () I () = µ ( C C () ) che, derivando la prima equazione e sosiuendovi I () dalla seconda, possono essere riformulae come l unica equazione del secondo ordine C () + aċ () + bµc () = bµ C In condizioni saiche ( C () =, Ċ () = ) si ha C = C, cioè errore nullo per ui i valori dei parameri a, b e µ. Poi, per deerminare il comporameno dinamico, occorre innanziuo risolvere l equazione caraerisica λ + aλ + bµ = Copyrigh c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.

3 C µ=.5 µ=.5 µ=5.5 µ= µ=.5.5 Figura S.: Transiori della variabile consumo dell Esercizio.: conrollore saico in anello chiuso. e deerminare le due radici λ e λ che sono reali, negaive e disine se a 4bµ >, reali, negaive e coincideni se a 4bµ = e complesse coniugae con pare reale negaiva se a 4bµ <. Corrispondenemene, il consumo C (), assume una delle re forme segueni C () = αe λ + βe λ + C C () = αe λ + βe λ + C C () = αe Re(λ ) cos (Im (λ ) + ϕ) + C per opporuni valori dei parameri α, β e ϕ, dipendeni dai valori iniziali C e I. In ogni caso lim C () = C menre l andameno del ransiorio dipende da µ, olre che da a e b. Per valori bassi di µ, i ransiori possono essere monooni; al endere di µ all infinio sono ceramene oscillani, con ampiezza delle sovraelongazioni sempre maggiore. La funzione C () è riporaa nella Figura S. per a = b =, C =., I =., C = 5 e diversi valori di µ. Copyrigh c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 3

4 C 3 µ=.5 µ=.5 µ=.5 µ= µ= Figura S.: Transiori della variabile consumo dell Esercizio.: conrollore dinamico in anello chiuso. Soluzione dell Esercizio.3 Si supponga innanziuo F e = F e. L equazione caraerisica associaa all equazione differenziale (.) è ancora la (.), con soluzioni λ, = h ± h 4 M ( k ) + µ M Si verifica rapidamene che per µ = k si oiene λ = h / M e λ =, e in corrispondenza l Equazione (.) si riduce a M s () = hṡ (), indipendene da s. Per, il sisema di conrollo presena un errore saico dipendene dalle condizioni inziali s e v. Se poi µ < k, le radici λ e λ sono reali e una di esse è posiiva. Di conseguenza, per, il modulo della posizione s ende all infinio. Per un esempio, si veda la Figura S.3, riferia al caso in cui h = 3, k =, M =, s =, s () = ṡ () =.. Nel caso F e F e, le considerazioni sugli scalari λ e λ non variano, però in enrambi i casi considerai prima il modulo della posizione s ende all infinio per. Si veda la Figura S.4, dove, con i dai precedeni, F e F e =. Soluzione dell Esercizio.4 In corrispondenza dei valori indicai dei parameri M, h e k, l equazione caraerisica associaa all Equazione (.8) è λ 3 + 3λ + ( + µ) λ + ν = Copyrigh c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 4

5 s.5..5 µ= µ= Figura S.3: Transiori della posizione per il sisema dell Esercizio.3: F e = F e. s µ= µ= Figura S.4: Transiori della posizione per il sisema dell Esercizio.3: F e F e. Copyrigh c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 5

6 Per la prima coppia di valori di µ e ν, le sue radici sono λ = λ,3 =.5 ± j.87 e perciò la variabile errore ha l andameno e () = αe + βe.5 cos (.87 + ϕ) con valori di α, β e ϕ dipendeni da e (), ė () e ë (). In ogni caso, l errore si annulla al endere all infinio del empo. Per la seconda coppia di valori di µ e ν indicai, le radici dell equazione caraerisica sono λ = 4 λ,3 =.5 ± j.4 e perciò la variabile errore ha l andameno e () = αe 4 + βe.5 cos (.4 + ϕ) con valori di α, β e ϕ dipendeni da e (), ė () e ë (). È chiaro allora che l errore, escludendo la paricolare combinazione di condizioni iniziali per cui β =, non si annulla al endere all infinio del empo. Soluzione dell Esercizio.5 Il nuovo conrollore differisce da quello di Equazione (.6) solo per l aggiuna alla forza morice del ermine ηė, che dà un conribuo nullo in condizioni saiche, perché ė =. Perano, il comporameno saico non subisce alcuna modifica rispeo a quano già illusrao nell Esempio.4. Diverso è il caso per il comporameno dinamico. Infai, ora l equazione caraerisica del sisema di conrollo è Mλ + (h + η) λ + k + µ = che differisce dalla (.) per il coefficiene di λ, prima fisso al valore h, ora modificabile ramie η. Ciò significa che non solo si può assegnare con larga arbirarieà, ramie k, il prodoo (k + µ) /M delle radici, ma anche la loro somma (h + η) /M. Un esempio delle presazioni oenibili al variare di η è riporao in Figura S.5, per il processo in condizioni nominali con h = 3, k =, M =, s =, s () = ṡ () =. Soluzione dell Esercizio.6 La poraa generaa dal relè può assumere solo i valori ±ˆq, e quindi il ransiorio del livello per ceri inervalli di empo è reo dall equazione differenziale ḣ () = A ˆq Copyrigh c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 6

7 .4..8 s.6.4 µ=, η= µ=, η=. µ=, η= µ=, η=3 µ=, η= Figura S.5: Transiori della posizione per il sisema dell Esercizio.5. e per alri dall equazione ḣ () = A ˆq Perciò h () è una spezzaa cosiuia da segmeni di pendenza ±ˆq /A, proporzionale a ˆq e inversamene proporzionale ad A. Le commuazioni ra i due valori di poraa si hanno in corrispondenza di e = ±Ê. Viso che a ogni commuazione di poraa corrisponde un cambio di segno di ḣ, a pare un ransiorio dipendene dalle condizioni iniziali del sisema di conrollo, la poraa h oscilla ra h Ê e h + Ê. Si veda, in proposio, un esempio alle Figure S.6 e S.7, dove A =.5, ˆq =, Ê =, h = 3, h() =. L area di base A conribuisce a deerminare il periodo dell oscillazione di regime e perciò un incerezza sul suo valore si ripercuoe su di esso. Soluzione dell Esercizio.7 L equazione che regge il funzionameno del sisema di conrollo è y (k + ) = µ (w y (k)) e in condizioni saiche, cioè quando y (k + ) = y (k) = ȳ, risula ȳ = µ + µ w Copyrigh c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 7

8 h Figura S.6: Transiorio del livello per il sisema di conrollo dell Esercizio q Figura S.7: Transiorio della poraa per il sisema di conrollo dell Esercizio.6. Copyrigh c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 8

9 D alra pare, assumendo y () = y e uilizzando ripeuamene l equazione del sisema di conrollo, si oiene y () = µy () + µw = µy + µw y () = µy () + µw = µ y + µ ( µ) w y (3) = µy () + µw = µ 3 y + µ ( µ + µ ) w È facile allora concludere che, qualunque sia k inero posiivo, k y (k) = ( µ) k y + µ ( µ) i w Perché y (k) ammea un limie per k, occorre e basa che risuli µ <. Infai, in queso caso, e solo in queso caso, convergono sia il ermine esponenziale, sia la sommaoria, che diviene la serie geomerica di ragione µ. Soo l ipoesi µ < si rova in paricolare i= ( ) k lim y (k) = lim ( µ) k y + µ ( µ) i w = k k i= ( k ) = µ lim ( µ) i w = µ k + µ w = ȳ i= Si osservi che la condizione µ < impedisce che risuli ȳ w. La varieà delle forme dei ransiori oenibili modificando la scela di µ è illusraa nella Figura S.8 mediane un esempio in cui y = e w =. Soluzione dell Esercizio.8 La relazione ra y e w complessivamene sabilia dalle Equazioni (.), (.3) e dallo schema di Figura. è y = µu = µ (w v) = µ (w αy) da cui Nell ipoesi αµ si ha allora y = µ + µα w y µ µα = α w e, se < α, il guadagno dell amplificaore reroazionao è alo e sosanzialmene indipendene da µ. Copyrigh c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 9

10 y 3 4 µ=. µ=.5 5 µ=.5 µ= k Figura S.8: Transiori della variabile conrollaa del sisema di conrollo dell Esercizio.7 al variare di µ. Copyrigh c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.