VERSO LA SECONDA PROVA DI MATEMATICA 2017

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1 erso la seconda prova di maemaica 07 - Esercizi ERS L SEN PR I MTEMTI 07 ESERIZI Limii RELTÀ E MELLI Quesione di concenrazione Un farmaco somminisrao per via inramuscolare prima viene inieao nel muscolo e poi passa nel sangue. La sua concenrazione aumena inizialmene fino a raggiungere il valore massimo, pari a mg/l, poi decresce riducendosi progressivamene a zero. La legge che la descrive, in funzione del empo misurao in ore, è del ipo -k - k + c^h = ^ - h, conk! R. a. erifica che ale legge descrive bene il modello: la concenrazione è inizialmene nulla, assume solo valori posiivi per 0 e ende ad annullarsi al passare del empo. b. eermina il valore del paramero k in modo che la concenrazione massima si raggiunga dopo ore. : b) uo gas Un azienda che produce acqua minerale frizzane conserva l anidride carbonica in un recipiene in cui la pressione P e il volume del gas, espressi in unià arbirarie, sono legai dalla legge: ap + k^ - h =. a. Esprimi P in funzione di. b. Sudia la funzione P^h indipendenemene dalla siuazione fisica. lassifica le disconinuià e deermina gli evenuali asinoi. c. Traccia un grafico probabile della funzione P^h. d. Quale pare del grafico rappresena la siuazione reale? - + : a) P ( ) = ; b) a.v.: = 0, = ( disconinuià di seconda specie); a.o.: P = 0; ; LEGGI IL GRFI b al grafico di f^h = a^ -e h deduci i valori di a e b e dei limii lim f^h; lim " 0 + " + f ^ h. Quindi calcola: lim sin 6f^h@ ln6 + f^h@ ; lim. 0 f h 0 f h " + ^ " + ^ f() a = ; b =- + : ln ; 0 ; ; ; RELTÀ E MELLI Un casello da salvare I membri del comiao urbano di una ciadina medievale lanciano sul Web una campagna di raccola fondi per resaurare il casello ciadino di grande valore archieonico. La quoa di parecipazione è di e ogni parecipane si impegna a coinvolgere persone per il giorno seguene; ciascuna di quese ne coinvolge alre il giorno successivo e così via. opo quani giorni si arriverà a raccogliere ? Quane sono le persone coinvole? [; 7 ] oprigh 07 Zanichelli ediore S.p.., ologna pagina /

2 erso la seconda prova di maemaica 07 - Esercizi RELTÀ E MELLI aeri in crescia Una paricolare popolazione di baeri cona inizialmene 0 individui. Secondo la legge di Malhus il numero di baeri della colonia al empo, N (), è dao dalla legge N () = 0e 0, dove il empo è misurao in minui. Quesa legge non iene in considerazione i faori ambienali: secondo ale modello la popolazione cresce senza limie. Il modello di erhuls elimina queso difeo: il numero N () di individui al empo è dao da 00 N() =. + e - 0 a. eermina il dominio e il segno di N (). b. alcola lim N (). he significao ha la cosane 00 presene nella legge? " + c. isegna il grafico di N ( ) e confronalo con quello di N ( ). opo quano empo la popolazione raggiunge i 00 individui secondo ciascuno dei due modelli? 7a) : 60; + 6; N( ) 0: 6! ; b) lim N( ) = 00; f; c) Malhus: 6 min; erhuls: 0 min " + erivae 6 RELTÀ E MELLI urva della memoria Nessuno riesce a ricordare uo quello che apprende. Secondo la curva della memoria di Ebbinghaus, la percenuale di conoscenze che rimangono impresse dopo seimane dall apprendimeno segue una curva descria dalla funzione: -k P () = M+ ^00 -Me h. Sosiuisci nella funzione i parameri di Riccardo indicai in figura, quindi: a. calcola il limie di P() per che ende a + e sabilisci il significao di M; b. deermina la velocià con cui varia P() nel empo; c. sabilisci per quale valore di il valore assoluo della velocià di variazione di P() risula uguale a 0; ciò equivale a dire che da quell isane in poi Riccardo dimenica, ogni seimana, meno del 0% delle informazioni apprese inizialmene. - 7a) 0; b) Pl( ) =-0e M = 0 k = 0, 7 eermina l espressione analiica della funzione = f^h il cui grafico è composo da due rami di parabola, con asse coincidene con l asse e direrice l asse, e da una semicirconferenza. a. Sudia la derivabilià della funzione e classifica gli evenuali puni di non derivabilià. b. erifica che la angene al grafico in P passa per Q. c. i sono alri puni del grafico con angene parallela alla angene in P? Q = f() P R Z S - -- se #- ] = se # ; c ; ; ; W S [- - - h ^- - h a - kw S ] - se W T \ X oprigh 07 Zanichelli ediore S.p.., ologna pagina /

3 erso la seconda prova di maemaica 07 - Esercizi ae le funzioni f ( ) = a + a e g ( ) = + a a, con a! R : a. verifica che, per ogni a! R, i grafici delle due funzioni si inconrano in re e solo re puni disini; b. deermina i valori di a per i quali i grafici di f^h e g^h si inersecano perpendicolarmene in almeno uno dei re puni comuni; c. in ciascuno dei casi definii nel puno precedene, ricava le equazioni delle ree angeni alle due curve nel puno di inersezione. 6 ah^0; -ah, ^-; - h, ^; h; bha =, a =- ; ch =--, = ; =- + ; a. Nella figura è rappresenaa la funzione f^h = ae b il cui grafico è angene alla rea. Trova a e b. b. eermina l espressione di = g^h, il cui grafico è una parabola. c. Sia h^h= f^g^hh. eermina le normali al grafico di h nei puni di ascissa 0 e. aha =, b = ; bh =- + ; ch+ - = 0; - + = 0 = f() = g() 0 RELTÀ E MELLI Parco acquaico Lo scivolo di una piscina ha un profilo come quello rappresenao dal grafico della funzione in figura, composo dall arco di % parabola di verice, avene come asse di simmeria l asse, e dall arco che ha equazione del ipo ( = a- b a. Scrivi l espressione analiica della funzione che esprime il profilo dello scivolo. b. Se un ragazzo scivola giù dal puno, con quale direzione lascia il puno? c. Sabilisci se la funzione è derivabile nel puno. TEST e L Hospial, nel suo libro sul calcolo infiniesimale del 66, illusrava la sua regola uilizzando il limie della funzione a - -a a f^h = a- a per che ende ad a, con a 0. Trova il limie. a 6a a E Nessuno dei precedeni. (US Universi of Norh Georgia Mahemaics Tournamen) LEGGI IL GRFI onsidera la funzione f(), definia nell inervallo 6 il cui grafico è cosiuio da un arco di parabola di verice e da un arco di cerchio di cenro. a. eermina l espressione analiica della funzione. b. erifica che la funzione daa soddisfa le ipoesi del eorema di Lagrange nell inervallo 6 e deermina il puno la cui esisenza è garania da ale eorema. Esise un inervallo in cui la funzione soddisfa anche le ipoesi del eorema di Rolle? f se # > ah ^ h= * ; bhc = H se # oprigh 07 Zanichelli ediore S.p.., ologna pagina /

4 erso la seconda prova di maemaica 07 - Esercizi LEGGI IL GRFI Il grafico della figura rappresena una funzione del ipo = a + b + c+ d. Trova a, b, c, d sapendo che F è un puno di flesso e che la rea di equazione = 0 è angene in F al grafico. eermina le coordinae del massimo e del minimo. a =, b =-, c =, d =-; ^; h, ^; -h F Un angolo di una pagina di larghezza a = pollici viene piegao in modo da occare il lao opposo, come mosrao in figura. opo aver espresso la lunghezza della piega L in funzione dell angolo i, rova la larghezza della pare ripiegaa che rende minimo L. (US Universi of incinnai alculus ones) [6] Forniure eleriche Una cenrale elerica sulla sponda di un fiume deve essere collegaa a un grande complesso residenziale sull alra sponda, a km di disanza. La posa del cavo elerico cosa 00 al mero lungo la riva, menre cosa 00 so acqua. a L θ θ 0 m km a. Scrivi la lunghezza L del cavo so acqua e la lunghezza L del cavo lungo la riva in funzione dell angolo in figura. b. Trova la funzione che esprime il coso oale necessario per posare il cavo in funzione dell angolo. c. Individua la configurazione che consene il coso minimo. Funzioni 6 7 TEST Quale ra le funzioni riporae soo ha ue le caraerisiche segueni? a. È pari. b. È limiaa sia superiormene sia inferiormene. c. Ha due minimi relaivi e un massimo relaivo. f^h = f^h =- E f^h + + = + f^h = f^h = + + RELTÀ E MELLI roccanini per Maggie al momeno in cui è saa lanciaa sul mercao una nuova marca di croccanini, il prezzo di una confezione ha avuo il seguene andameno: 0 P^h = 0 - ^ + h, dove il empo è espresso in mesi, con $ 0, e il prezzo P in euro. Sudia e rappresena la funzione P^h. Qual è il prezzo iniziale della confezione di croccanini? Su quale valore si asseserà il prezzo al passare del empo? [ 0; 0] oprigh 07 Zanichelli ediore S.p.., ologna pagina /

5 erso la seconda prova di maemaica 07 - Esercizi LEGGI IL GRFI Il grafico della funzione in figura ha equazione e a+ b+ = e M è un puno di massimo. a. eermina i valori di a e b. b. Trova le coordinae dei puni di flesso. ; a) a =-, b =+ ; b) F ; e, F a- k a ; e ke M eermina a e b in modo che l equazione f^h = ln^a + bh rappreseni il grafico della figura. a. La funzione ha asinoi? Scrivine le equazioni. b. Scrivi le equazioni delle angeni in e. : a =, b =- ; a) = 0, = ; b) =--, = - 0 La figura mosra il grafico della derivaa prima di una funzione f^h, cosiuio da una semirea E orizzonale, due archi di parabola di verici e e una semicirconferenza di diamero. a. Sudia la crescenza della funzione f^h e rovane gli esremani. b. eermina il segno di fm^h e sudia i puni in cui non è definia. c. Trova le ascisse dei puni in cui cambia la concavià di f^h. d. Spiega se è possibile che la funzione f^h ammea asinoi vericali. 6a) cresc. per - 0, ma in =-, min in = ; b) fm^h= 0 per - 0 = 0, fm^h 0 per - 0 0, non definia in =-, -, + ; c) =-, -, +, = 0 fl. orizz. ; d) no, perchéf@ f'() In figura è rappresenao il grafico di f^h = e a. eermina il valore del paramero a, sapendo che M è un puno di massimo, e rova la sua ordinaa. La funzione ha puni di flesso? Quali? : a =- ; Ma; 6 ; e k F =! M oprigh 07 Zanichelli ediore S.p.., ologna pagina /