Verifica di Matematica Classe V

Транскрипт

1 Liceo Scienifico Pariario R. Bruni Padova, loc. Pone di Brena, 6/3/17 Verifica di Maemaica Classe V Soluzione Problemi. Risolvi uno dei due problemi: 1. Facciamo il pieno. Il serbaoio del carburane di una barca ha la forma di un prisma reo avene per base un riangolo isoscele rovesciao (vedi figura). Claudio pora la sua barca a fare rifornimeno al poro di Chioggia, sapendo che gli resano solo 15 l di carburane, come si può noare dall indicaore. La pompa versa l di carburane al secondo nel serbaoio. erbaoio. 5 dm 5 dm dm i. Scrivi la funzione h( ) che esprime l alezza del livello del carburane in funzione del empo e rappresenala graficamene.!dopo quano empo il serbaoio è pieno? ii. Rappresena il grafico relaivo alla velocià con la quale l indicaore si muove menre si sa facendo rifornimeno.! iii. Trova in quale isane il asso di accrescimeno dell alezza vale 1 e deermina l alezza del livello del!carburane in ale isane. Subio dopo aver finio il rifornimeno, Claudio si dirige verso l isola Albarella, a velocià cosane, in 8 minui. Quando arriva, noa che nel serbaoio ci sono ancora 6 l. iv. Deermina il livello medio del carburane, visualizzao dall indicaore, da quando è iniziao il rifornimeno e i corrispondeni liri di carburane preseni nel serbaoio. [rao da simulazione Zanichelli del 8 febbraio 17, I problema] Risoluzione. i. Scrivi la funzione h( ) che esprime l alezza del livello del carburane in funzione del empo e rappresenala graficamene.!dopo quano empo il serbaoio è pieno? 1 di 15

2 Indico con V( ) il volume occupao dal carburane all isane di empo, con F, dove F rappresena l isane di empo nel quale si arriva a riempire il serbaoio. La velocià di riempimeno è di l s, quindi ΔV Δ = V( ) V( = V( )= V( )+ V( )= 15+. (1) ( ) rappresena il volume del prisma di base un riangolo di alezza h( ), con V h( ) 5 dm (vedi figura). Tale riangolo è simile al riangolo di base del serbaoio (per il Teorema di Talee), quindi la sua base sarà h ( ). Il prisma di volume V ( ) avrà quindi area di base pari a h ( ) e alezza di dm : il volume all isane risulerà quindi essere V( )= ( h ). Sosiuendo ale valore in (1) oengo quano richieso: ( h )= 15+ h( )= () Per deerminare F basa uilizzare l ulima relazione enendo cono che h( F )= 5 dm : 5 = 3+ 4 F F = 5 3 = 5 3 = = 73,75 s. F La funzione ammee come grafico un arco di parabola di verice V 15 ; ( ) e asse parallelo all asse delle ascisse, racchiuso ra 95 4 : di 15

3 ii. Rappresena il grafico relaivo alla velocià con la quale l indicaore si muove menre si sa facendo rifornimeno.! Il problema chiede di rappresenare il grafico di h ( ). h ( )= h ( )= dominio: D = ; ( ) Sudio ale funzione. parià: la funzione, avendo il dominio non simmerico rispeo a =, non è né pari né dispari. posiivià: h ( )>, D. limii significaivi ed asinoi: non ve ne sono. crescenza: h ( )= 15+ decrescene in D. convessià: h ( )= convessa in D. grafico: 1 ( ) 6( 15+ ) 3 ( 15+ ) ( ) < D, ovvero la funzione risulerà essere > D, ovvero la funzione risulerà essere iii. Trova in quale isane il asso di accrescimeno dell alezza vale 1 e deermina l alezza del livello del!carburane in ale isane. Il problema chiede inano di risolvere l equazione h ( )= 1 : 6( 15+ ) = 1 6 = 15+ = 11 = 5,5 s. Per deerminare il livello a ale isane di empo basa uilizzare la relazione (): 3+ 4 h( )= h = h 11 = dm. 3 di 15

4 iv. Deermina il livello medio del carburane, visualizzao dall indicaore, da quando è iniziao il rifornimeno e i corrispondeni liri di carburane preseni nel serbaoio. Poiché l imbarcazione si muove a velocià cosane, si può ipoizzare che il consumo di carburane ΔV Δ sarà anch esso cosane. Sapendo che Claudio è pario con il pieno (uilizzando (1), corrispondono a V 95 = V 4 = 35 V = 16,5 l ) e F che dopo 8 minui (48 s) si ha V = V.15 4 = V S = 6 l, rovo che: ΔV Δ = V V S F = 6 35 = 91 Δ Procedendo come in i, rovo che V( ) 35 = V ( )= e, riu- 3 ilizzando la relazione V( )= ( h ), l indicaore ubbidirà alla funzione h( )= , con 16 4 s <.15 4 s. Il problema richiede di deerminare il valore medio della seguene funzione: h( )= < 4 4 Per il Teorema del valor medio inegrale esise un valore ;.15 4 funzione assumerà un valore medio h( ), dove: h( )= h( )d per il quale la Quindi h( )= d d = ( 15+ ) ( ) = ( ) = = ,7 dm Tale valore sembra rovare conferma nel seguene grafico: di 15

5 Infine, i liri preseni nel serbaoio saranno V( )= h ( )= ,7 l. 5 di 15

6 . La figura mosra il grafico di una funzione V( ). ^ h y V() M O ueni funzioni può descrivere ale andame i. Verifica che solo una delle segueni funzioni può descrivere ale andameno, dove k!. y = f ( )= k 3 e k ; y = g( )= k e k. ii. iii. iv. Individuaa la funzione che rappresena V( ), deermina il valore di k in modo che il massimo relaivo M abbia ordinaa 4e 1. A parire dal grafico di V( ), deduci e rappresena il grafico di V ( ). ( ) rappresena, per >, il volume di una scaola con base La funzione V quadraa di lao che misura e con alezza che misura h. Le misure sono in decimeri. Deermina le dimensioni della scaola, in decimeri, di volume massimo. Deermina il volume Δ( ),! >, del solido generao dalla roazione aorno all asse del rapezoide individuao dall asse sesso, il grafico di V ( ). = e =. Calcola infine lim Δ + ( ) e le ree [rao da simulazione Zanichelli del 8 febbraio 17, II problema] Risoluzione. i. Verifica che solo una delle segueni funzioni può descrivere ale andameno, dove k!. y = f ( )= k 3 e k ; y = g( )= k e k. Individuaa la funzione che rappresena V( ), deermina il valore di k in modo che il massimo relaivo M abbia ordinaa 4e 1. Osservo che sicuramene k > perché alrimeni f ( ),g( ) per >. Osservo che f ( )= k ( 3 ) e k per 3, ovvero f ( ) ammee un flesso a angene orizzonale F( ; ) e un massimo M( 3; 7k e k 3 ). Ne deduco che la funzione rappresenaa non sia f ( ). 6 di 15

7 Osservo che g ( )= k( ) e k per, ovvero g( ) ammee un minimo m( ; ) e un massimo M( ; 4k e k ). Noo che la funzione rappresenaa è compaibile con quano appena deo su g( ). Poiché il massimo relaivo deve avere valore 4e 1, oengo che 4k e k = 4e 1 k = e 1 k. Risolvo l equazione con un confrono ra i grafici di a( k)= k e b( k)= e 1 k : rovo che l unica soluzione è k = 1. ii. Noo che: A parire dal grafico di V( ), deduci e rappresena il grafico di V ( ). V( ) ha come dominio!. V( ) è posiiva per e si annulla per =. V( ) + per e V( ) per +. V( ) è crescene per < < ed ammee un puno di minimo (assoluo) m( ; ) e un puno di massimo (relaivo) M( ; 4e 1 ). Inolre V V ( ) è derivabile in!. ( ) cambia la propria concavià due vole, ovvero ammee due puni di flesso ( ( )) con < 1 < ed F ( ;V( )) con > ra i quali V( ) è concava. F 1 1 ;V 1 Posso dedurre le segueni caraerisiche per cosruire il grafico di V ( ): V V ( ) ha come dominio!. ( ) è posiiva per < < ed ammee due zeri in = e =. ( ) è crescene per < 1 > ed ammee un minimo (relaivo) m ( 1 ; V ( 1 )) e un M ; ( ) V massimo (relaivo) ( V ). 7 di 15

8 Poiché per > la funzione è negaiva e crescene, V ( ) q per +, q!. Poiché per < la funzione è negaiva e crescene, per o V ( ) o V ( ) q, q!. Il grafico qualiaivo di V ( ) è il seguene: iii. La funzione V( ) rappresena, per >, il volume di una scaola con base quadraa di lao che misura e con alezza che misura h. Le misure sono in decimeri. Deermina le dimensioni della scaola, in decimeri, di volume massimo. Per quano deo in i, V( ) ammee un massimo in M( ; 4e 1 ) perciò = dm. Il volume della scaola è V = h, da cui h = V h = 4e 1 4 h = e 1,37 dm. iv. Deermina il volume Δ( ),! >, del solido generao dalla roazione aorno all asse del rapezoide individuao dall asse sesso, il grafico di V ( ). = e =. Calcola infine lim + Δ ( ) e le ree Il problema chiede di calcolare Δ ( ) = π 4 e d. Δ( )= π 4 e d = π 4 ( e )d = π 4 e 4 3 e d = = π 4 e + 3 ( e )d = π 4 e + 3 e 3 e d = 8 di 15

9 = π 4 e + 3 e + 3 ( )d = e = π 4 e + 3 e + 3 e e d = = π 4 e + 3 e + 3 e + ( e )d = = π 4 e + 3 e + 3 e + e e d = = π 4 e + 3 e + 3 e + e 1 = π 4 e + 3 e + 3 e + e 1 e e d = = π ( )e π = ( )e + πe 4. = Quindi Δ( )= πe e. Infine lim Δ + ( ) = πe 4 1 lim e , ma lim = + e = :=H lim = e + :=H lim = e + :=H lim = + e = :=H lim =, quindi lim Δ + ( ) = πe e di 15