MODELLI AFFLUSSI DEFLUSSI

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1 MODELLI AFFLUSSI DEFLUSSI Al ecnico si presenano moli casi in cui non è sufficiene la deerminazione delle massime porae ramie i crieri di similiudine idrologica, precedenemene esposi. Si ciano, a iolo di esempio i segueni casi: 1- la valuazione, per il singolo bacino, dell effeo dei paricolari valori assuni dai faori che deerminano, a parià di pioggia, la diversa poraa di piena (deerminazione della poraa indice); 2- il caso della ricosruzione dell inera onda di piena, e per piogge di durae anche diverse da quella criica, necessarie per la progeazione delle vasche di laminazione; 3- la valuazione delle porae criiche per bacini per i quali mancano sufficieni dai per deerminare la poraa di piena per similiudine, (progeazione di rei fognarie); ecc. In ui quesi casi bisognerà ricorrere a modelli di rasformazione delle piogge in porae (Modelli afflussi-deflussi). Nella figura sono riporae ue fasi da sviluppare per deerminare, ramie un modello afflussi-deflussi, per un generico bacino, l idrogramma di piena, con assegnao periodo di riorno. 1. Deerminazione delle curve di probabilià pluviomerica. La deerminazione delle curve di probabilià pluviomerica, con assegnao periodo di riorno T, per un qualsiasi puno, è saa raaa quando si è parlao di come e- laborare i dai delle piogge brevi. Occorre solo osservare che, in linea di principio, non è deo che i empi di riorno delle piogge e delle piene da quese generae coincidano; infai il empo di riorno delle piene dipende dalla probabilià combinaa delle piogge che le generano e delle alre variabili che inervengono nella formazione delle piene (infilrazione, empo criico ecc.). Tuavia nella praica si assume che: facendo riferimeno, per ue le alre variabili, ai valori medi, il empo di riorno T delle piene coincida con quello delle piogge che le hanno generae.

2 FASI DELLA COSTRUZIONE DI UN MODELLO AFFLUS- SI-DEFLUSSI Individuazione della piovosià sul bacino. (Deerminazione delle leggi di probabilià pluviomerica) h (mm) T (ore) Deerminazione degli afflussi sul bacino. (Ragguaglio, in relazione alle superfici, del C.P.P.) a (mm) T (ore) Posizione di un pluviogramma di progeo compaibile. i (mm/h) (ore) Deerminazione del pluviogramma neo. (Mediane i modelli d infilrazione e rienzione superficiale) i (mm/h) (ore) Cosruzione dell idrogramma di piena. (Mediane i modelli afflussi-deflussi) Q 3 (m /s) (ore)

3 2. Deerminazione degli afflussi su di un bacino. La deerminazione degli afflussi su di un bacino, in relazione alla duraa, al periodo di riorno T e alla superficie del bacino è saa già raaa quando si è parlao di come elaborare i dai delle piogge brevi. 3. Deerminazione del pluviogramma di progeo. La disribuzione emporale delle inensià di pioggia durane un eveno (pluviogramma) è una informazione che, come si è deo allorché si è parlao della elaborazione delle piogge brevi, è compleamene persa. D alra pare ben difficilmene si sarebbero poui ricavare, da quesi, crieri generali applicabili agli eveni fuuri. Perano i pluviogrammi che si monano sono da considerarsi unicamene come delle posizioni ipoeiche del singolo progeisa. Tuavia si possono fare due considerazioni: 1. L esperienza ha evidenziao che, normalmene, gli eveni di pioggia si presenano nidificai ; queso significa che in uno sesso eveno le alezze di pioggia sono criiche per mole durae; 2. Nel cosruire un idrogramma di progeo occorre rispeare la congruenza che, qualsiasi sia l inervallo emporale d che si considera, l alezza di pioggia complessiva non sia superiore a h(d). Nelle slides successive sono riporae mole propose, avanzae da vari auori per la cosruzione di pluviogrammi di progeo. 4. Deerminazione del pluviogramma neo. La disribuzione emporale delle inensià di pioggia efficace ai fini del deflusso (pluviogramma neo) va calcolaa, parendo dal pluviogramma ipoizzao, enendo cono delle sorazioni per rienzione superficiale e per infilrazione, già raae quando si è parlao dei bilanci delle piogge brevi. 5. Cosruzione dell'idrogramma di piena. Tramie i modelli afflussi-deflussi, a queso puno, sarà possibile cosruire l'idrogramma di piena relaivo a quell'assegnao pluviogramma neo.

4 SIFALDA (1973) PLUVIOGRAMMI DI PROGETTO

5 PLUVIOGRAMMI DI PROGETTO DESBORDES (1978) i b = h h 2 4 h T 4h T

6 PLUVIOGRAMMI DI PROGETTO Confrono ramie serbaoio lineare

7 MODELLI LINEARI Un modello si definisce lineare: se è sazionario: cioè se ad eguali impulsi di pioggia fornisce eguali rispose di piena, indipendenemene dalla soria pregressa; se la risposa della piena è linearmene dipendene dalla pioggia: cioè se a pioggia doppia corrisponde poraa doppia e a pioggia dimezzaa corrispondono valori di piena dimezzai. In queso caso varrà anche il principio della somma degli effei. Tui i modelli lineari possono rappresenare i singoli bacini con un IUH (Idrogramma Isananeo Uniario) L IUH è la risposa, nel empo, del bacino ad un afflusso isananeo di volume uniario. Perano le ordinae u() sono espresse in 1/, e l area soesa è pari a 1.

8 INTEGRALE DI CONVOLUZIONE Nel primo diagramma è riporao l andameno emporale degli affussi: I() = ϕ a() S Nel secondo diagramma è riporao l andameno dell IUH.

9 Dividiamo il pluviogramma in ani successivi eveni di pioggia, isananei, di duraa d, che perano avranno volume: I(τ)d, e indichiamo con τ l isane in cui si è verificaa la pioggia. La risposa del bacino, ad ogni singolo eveno di pioggia, per il principio della linearià, sarà dao da: dq() = I(τ)u()d. Tuavia, poiché l IUH esprime la risposa, nel empo, del bacino, a parire dall isane τ in cui si è verificaa la pioggia, i singoli conribui di piena dq(), al comune isane, saranno dai da: dq() = I(τ)u(-τ)d. Perano la poraa all isane, somma di ui i conribui, sarà daa da: Q( ) = I( τ ) u( τ ) dτ che prende il nome d inegrale di convoluzione. 0

10 MODELLO CINEMATICO Il modello cinemaico si basa sulle segueni posizioni: - gocce di pioggia, cadue conemporaneamene in puni diversi del bacino, impiegano empi diversi per arrivare alla sezione di chiusura; - - queso empo (empo di corrivazione) è caraerisico di ogni singolo puno ed invariane nel empo, è, cioè, indipendene dalle singole condizioni di deflusso; - - il conribuo di ogni singolo puno alla poraa di piena è direamene proporzionale alla pioggia cadua nel puno; Ne consegue che esise un empo di concenrazione c, caraerisico di ogni singolo bacino, necessario perché anche la pioggia cadua nel puno più lonano del bacino raggiunga la sezione di chiusura.

11 L IUH del bacino sarà dao dal diagramma in figura: In cui: da/d è l area infiniesima con empo di corrivazione pari a. L IUH è il diagramma che ripora la disribuzione emporale di quese aree, adimenzionalizzae rispeo all area oale A. L IUH si può ricavare per derivazione della curva ipsografica del bacino, solo che si confonda l asse delle quoe h con l asse dei empi di corrivazione. Il meodo cinemaico pora a deerminare una pioggia criica: p = c e, per quesa pioggia, una poraa di piena: Q = ϕ a A che corrisponde alla formula razionale proposa da Lloyd- Davies, nel 1905.

12 TEMPO DI CONCENTRAZIONE Molissime sono le formule empiriche disponibili in bibliografia che meono in relazione il empo di corrivazione T c con le caraerisiche del bacino: Formula di Giandoi T c 4 A + 1.5L = ; 0.8 H m Formula di Kirpich T c L = L 0.8( H max H0 ) ; Formula di Pasini Formula di Pezzoli Formula di Tournon 1 / 3 ( AL ) Tc = ; 0.8 i L T c = ; i T c 0.72 L A = ; i L i / iv Formula di Puglisi T 2 / 3 1 / 3 c 6 L ( H max H0 ) = ;

13 in cui: T C in ore, A area del bacino, in km 2, i pendenza media dell asa principale, L lunghezza dell asa principale in km, H m aliudine media del bacino, rispeo alla sezione di chiusura, in m, H max aliudine massima del bacino, in m s.l.m.m., H o aliudine della sezione di sbarrameno, in m s.l.m.m., V velocià media di scorrimeno, i m/s, i v pendenza media dei versani.

14 U.S. Navy e Texas Higway Deparemens Per piccoli bacini è molo usaa la seguene formula : T c = L V T c = Tempo di corrivazione; L = Lunghezza dell asa principale; V = Velocià di riferimeno dell acqua in m/s secondo la seguene abella di valori: i m % V m/s che corrispondono alla relazione: V = i m con: i m = pendenza media, in %; o alla relazione: V = i m con: i m = pendenza media, in m/m;

15 MODELLO DEL SERBATOIO LINEARE I () = ϕ S i () W () Q () Q () W() = (1) K K = cosane d invaso lineare []; eq. coninuià dw() = [I() - Q()] d (2)

16 Pluviogramma cosane I( p ) Q m (a) (b) p 0 d p eq. coninuià dw() = [I - Q()] d facendo sisema con la (1): K dq() = [I - Q()] d dq() [ I Q( )] = d K d[ I Q ( )] [ I Q( )] = d K Ipoesi: ree inizialmene vuoa: = 0, Q o = 0 ln I Q () = I K

17 Q () 1 = e I a) Q = I 1 e K K massimo per = d p Q m I 1 e d = K p d p eq. coninuià dw() = - Q() d K dq() = - Q() d dq() d Q () = K

18 Ipoesi = 0, Q = Q m ln Q Q m = K b) Q = Q e m K Per la definizione di IUH, al empo = 0 il volume invasao passerà, isananeamene, al valore W 0 = 1 e la poraa uscene al valore Q 0 = 1/K, ne deriva il seguene IUH: u( ) = 1 K e K

19 Per ogni pioggia la poraa al colmo si avrà al empo =d p e sarà daa da: Q m ϕ i( p ) S 1 e = K d p che è funzione unicamene di d p, per cui, assuna la curva di probabilià pluviomerica i = a d n-1, si porà calcolare la pioggia criica d c che rende massima la poraa al colmo considerando: dq d m p = 0 Qm a n 1 = ϕ p S 1 e p K poso r=d p /K avremo: ( ) Q = ϕask r e m n 1 n 1 1 r dq d m p dqm dr 1 dq = = m = dr d K dr p

20 dq d 1 1 = [ ] = 0 K ask n n r n e r r n e r ϕ ( ) ( ) m = 0 se [ n 2 r n 1 r ( n ) r ( e ) r e ] = 0 (vedi abella) n r z

21 TEMPO DI RITARDO T R La cosane d invaso K rappresena il riardo ra il baricenro del pluviogramma e quello dell idrogramma. Queso inervallo di empo, che è circa la meà del empo di corrivazione T c, viene chiamao empo di riardo. In bibliografia esisono mole relazioni empiriche che meono in relazione il empo di riardo T R con le caraerisiche del bacino e mole sono ricavae ne più ne meno che dal dimezzameno del empo di corrivazione T c. Qui di seguio sono riporae alcune di quese formule: Snyder (1938) T R = C ( L L) essendo: - T R il empo di riardo in ore; - L ca la disanza, misuraa sull asa principale, ra la ca sezione di chiusura ed il puno più vicino al baricenro del bacino in Km; - L la lunghezza dell asa principale in Km; 0.3

22 - C un coefficiene che varia geograficamene dipendene dalla pendenza del bacino che per bacini di grosse dimensioni varia ra 1.4 e 1.7. Kirpich (1940) L T R = S essendo: - T R il empo di riardo in minui; L la lunghezza dell asa principale in m; - S la pendenza media dell asa principale in m/m. Carer (1961) L T R = 0.098( ) S essendo: - T R il empo di riardo in ore; - L la lunghezza dell asa principale in Km; - S la pendenza media dell asa principale in m/m. 0.6

23 La relazione è saa ricavaa con riferimeno a bacini urbani aveni un area inferiore a 51 Km 2, una lunghezza dei canali inferiore a 17.7 Km ed una pendenza media dei canali inferiore a 0.5%. Fiorenino M. (1979) T R = 0.094( essendo: - T R il empo di riardo in ore; L S ) - L la lunghezza dell asa principale in Km; - S la pendenza media dell asa principale in m/m; - L/S 0.5 è valuao secondo la relazione proposa da Taylor e Schwarz (1952): L P = NT i= 1 L i P i in cui i valori di Li e Pi indicano rispeivamene la lunghezza e la pendenza degli NT rai in cui è suddiviso il profilo dell asa.

24 Meodo Ialiano Ipoesi: K W W = = M (1) Q Q M avendo assuno la curva di probabilià pluviomerica a due parameri h=a d n la massima poraa al colmo sarà daa dalla: Q = ϕask r ( e ) (2) M n 1 n 1 1 r con i valori di r=d p /K esposi in abella. Sosiuendo la (1) nella (2) avremo: Q M M n 1 n 1 1 r M n = ϕas W r e 1 ( ) Q n 1 n 1 / n r 1/ n 1 n Q n as W n 1 M = n r e ( ϕ ) ( 1 ) poso z = 1 n 1 n r n r (1 e ) 1/ n

25 i valori di z, in funzione di n, riporai in abella, mosrano che quesi variano poco con n, con valore medio 0.78, da cui: 1 n Q = 078. n( ϕ as) / W M n 1 n Inroducendo due nuove variabili: u Q = M = poraa per unià di superficie (coefficiene S udomerico) w = W = invaso specifico S avremo: u Q = M = S u = n( ϕ a) / 1 n( ϕa) / 078. w 1 n n n n S W 1 1 n 1 1 n Modificando le unià di misura e ponendo: u = [l/s ha]

26 w = [m 3 /m 2 ] avremo: u = 1 n( ϕa) / 2168 w 1 n n n che è la relazione proposa dal Supino, nel 1933.

27 MODELLO DI NASH È un modello rappresenao da una serie di n serbaoi lineari. Modello di Nash con n serbaoi lineari La cosane d invaso K corrisponde al empo di riardo del bacino secondo la relazione: K = T R /n e il colmo si avrà all isane: = T R = (n-1)/k

28 IUH dei modelli di NASH Modello di Nash con n serbaoi lineari u( ) = 1 k( n 1)! n 1 k e / k n=1 IUH di Nash n=2 n=3 n=5 n=10

29 CONFRONTO TRA VARI MODELLI Dooge, nel 1974 effeuò un confrono ra i momeni dell IUH di vari bacini naurali e quelli dei vari modelli. Confrono fra i momeni di vari modelli conceuali (Da Doge 1974) S = R M ( ) M ' R 1 R M ' 1 momeno del 1 ordine rispeo all origine R M momeno di ordine R rispeo al baricenro Queso confrono ha fao si che moli facessero riferimeno al modello di Nasch con n = 3. 2 canale con immissione in esa 3 canale con afflusso uniforme disribuio 7 modello di Nash

30 5 Nasch n=2 6 Nasch n =3 9 canale con immissione in esa + Serbaoio Lineare 10 canale 3 + Serbaoio Lineare Per n = 3 u( ) = 1 2K K 2 e K