Distribuzione Weibull

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1 Disribuzione Weibull f() Disribuzione di Weibull Una variabile T ha disribuzione di Weibull di parameri α> β> se la sua densià di probabilià è scria nella forma: f ( ) exp da cui deriva una funzione di probabilià cumulaa inegrabile in forma chiusa con < + F( ) exp La disribuzione di Weibull è molo usaa in ambio ingegnerisico per la sua flessibilià: - per β = è, una esponenziale il negaiva -per β =, è simile ad una log-normale - per 3.5 < β < 4, è simile ad una gaussiana Il percenile si rova inverendo la formula di F(): ln( p ) p

2 Disribuzione di Weibull Variazione della forma di pdf e cdf al variare di β PDF (α = s cos) CDF f() = = = 4 F() = = = 4 β è deo paramero di forma Da noare che F( ) 63.% Disribuzione di Weibull Variazione della forma di pdf e cdf al variare di α PDF (β = cos) CDF f() = 5 = = F() = 5 = = α è deo paramero di scala

3 Disribuzione di Weibull E inolre in grado di descrivere la via dei componeni durane le loro diverse eà : -per β <, il asso di guaso è decrescene -per β =, il asso di guaso è cosane f ( ) f ( ) -per β >, il asso di guaso è crescene h( ) R( ) Variazione della forma della funzione asso di guaso h() al variare di β, (α = s cos) F( ) 8 6 = =.5 = h() = Disribuzione di Weibull La disribuzione di Weibull è caraerizzaa anche dal cosiddeo effeo scala: Se si ha un sisema cosiuio da n componeni idenici in serie, la cui affidabilià è descria da una Weibull di parameri α e β, allora l affidabilià dell inero sisema è descria ancora da una Weibull, di parameri β e α o = α/n /β Infai, R R R3 Rn exp R o R R R 3 R n R o exp n exp o 3

4 Disribuzione di Weibull Disribuzione di Weibull a 3 parameri Così come per l esponenziale negaiva, esise la versione definia per valori di La cui funzione di probabilià cumulaa è espressa da: F ( ) exp con < + Disribuzione di Weibull rao da es.. e. del libro Si consideri della molle sospensione per auo, la cui via a faica pulsane è descria da una legge di Weibull con α=3 cicli e β =. Si calcolino:. I percenili, 5 e 9%. La percenuale di pezzi che si rompe prima di 3. Il asso di guaso a e a 3 cicli 4. Se un auo monasse quese sesse molle su ui e due gli assi, a quale numero di cicli corrisponderebbe la probabilià di cedimeno del % per il sisema complessivo? 4

5 Disribuzione di Weibull rao da es.. e. del libro Si consideri della molle sospensione per auo, la cui via a faica pulsane è descria da una legge di Weibull con α=3 cicli e β =. Si calcolino:. Il percenile 5% ln( p ) p % 5% 9% ln(.) ln(.5) ln(.9) La percenuale di pezzi che si rompe prima di F() exp.5.5% 3 Disribuzione di Weibull rao da es.. e. del libro Si consideri della molle sospensione per auo, la cui via a faica pulsane è descria da una legge di Weibull con α=3 cicli e β =. Si calcolino: 3. Il asso di guaso a e a 3 cicli h h() 4.44E h(3) 3 3 guasi/ciclo 6.66E.6 3 guasi/ciclo (essendo β >, il asso di guaso cresce) 5

6 Disribuzione di Weibull rao da es.. e. del libro Si consideri della molle sospensione per auo, la cui via a faica pulsane è descria da una legge di Weibull con α=3 cicli e β =. Si calcolino: 4. Se un auo monasse quese sesse molle su ui e due gli assi, a quale numero di cicli corrisponderebbe la probabilià di cedimeno del % per il sisema complessivo? Considerando inservibile il sisema quando uno solo dei suoi componeni va fuori uso I vari componeni possono essere ricondoi ad un unico sisema in serie 3 3 o 5 4 n 4 cicli Occorre quindi calcolare il percenile % per il sisema complessivo p ln( p) o % 5 ln(.) cicli 6