Esercizi di Matematica Finanziaria

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1 Esercizi di Maemaica Finanziaria Copyrigh SDA Bocconi

2 Faori nanziari Classi care e rappresenare gra camene i segueni faori nanziari per : (a) = + ; 8 (b) = ( + ; ) (c) = (d) () = ; (e) () = ( + ; ) (f) () = ; 4 + ; [Risposa. (a) Faore di monane semplice con asso annuo d ineresse i = 8%, rappresenao gra camene dalla semirea uscene da puno (; ) con pendenza ; 8 (vedi gra co..). (b) Faore di monane composo con asso annuo d ineresse Figura.. Figura.. Figura..3 i = %, il suo gra co descrive f come funzione che pare dal puno (; ), sreamene crescene e convessa (vedi gra co..). (c) Faore di monane semplice anicipao con asso annuo di scono d = 4%. Esso è de nio per ogni <. 3 Figura..4 Figura.. Figura..6

3 Esso è rappresenao gra camene da una porzione di ramo d iperbole che pare dal puno (; ) e ammee come asinoo la rea vericale = (vedi gura..3). (d) Faore di scono commerciale con d = %, de nio per ogni e rappresenao gra camene dal segmeno di rea con esremi in (; ) e (; ) (vedi gura..4). (e) Faore di scono composo con i = %, il suo gra co descrive f come funzione che pare dal puno (; ), sreamene decrescene e convessa (vedi gra co..). Per! + si ha ()! +. (f) Faore di scono semplice (o razionale) con i = %, il suo gra co descrive f come funzione che pare dal puno (; ), sreamene decrescene e convessa (vedi gra co..6). Per! + si ha ()! +.] Capializzazione e aualizzazione Una banca scona cambiali usando il regime dello scono commerciale con asso annuo di scono d = 4%. (a) Scrivere l espressione analiica del faore di monane che la banca di fao usa e calcolare il corrispondene asso annuo d ineresse. (b) In corrispondenza a quale scadenza cambiaria > il valore sconao dell e eo è pari alla meà del nominale? [Risposa. (a) Il faore di scono commerciale è () = ; 4, con 7; 49. (a) = = () = = ( ; 4), con < =; 4 = 7; 49. Il asso annuo d ineresse risula i = f () = ; 68 = 6; 8%. (b) Da f () =, si oiene = 3; 74.] 3 Un impiego nanziario di C = e può farsi: () a ineressi semplici, a asso annuo d ineresse i = %, o () a ineressi semplici anicipai, a asso annuo di scono d = 4%. (a) Calcolare i monani M e M dei due impieghi dopo 6 mesi. (b) Per quale valore di d il monane M è uguale al monane M? (c) Per quale duraa speciale > i due impieghi conducono allo sesso monane? [Risposa. f () = + ; con, f () = = ( ; 4) con [; ). (a) I monani sono M = f (6=) = e M = f (6=) = ; 4. (b) d = ; 488 = 4; 88%. (c) Da f () = f (), si ricava =.] 4 Un nanziameno di S = e compora un unico pagameno a carico del debiore d ammonare M = 664 e, dovuo esaamene due anni dopo l erogazione del nanziameno. (a) Calcolare il asso annuo d ineresse semplice i s e il asso annuo d ineresse composo i c, cui è concesso il nanziameno.

4 (b) Calcolare il asso annuo di scono d (per capializzazione a ineressi semplici anicipai) che caraerizza la sessa operazione. (c) Qualora il nanziaore raenga all erogazione e, rovare il asso annuo d ineresse composo i c dell operazione dopo la rienua. [Risposa. (a) Da ( + i s ) = 664, si ha i s = ; 83 = 8; 3%, menre da ( + i c ) = 664, si ha i c = ; 8 = 8%; (b) d = ; 73 = 7; 3%; (c) i c = ; 8 = ; 8%.] Un impresa s impegna a resiuire ra 6 mesi la somma di S = ; e a una banca che le fa un presio. L ammonare che la banca versa oggi all impresa è il valore auale A della somma C calcolao a scono razionale (semplice) con asso annuo d ineresse i = %. (a) Deerminare il valore sconao A. (b) Deerminare l ammonare D dello scono. (c) Calcolare il asso annuo d ineresse composo r che darebbe luogo agli sessi ussi di cassa. [Risposa. (a) A = 9433; 96; (b) D = 66; 4; (c) r = ; 36 = ; 36%.] 6 Un impresa ha un credio di S = e che scade ra un anno ( = ). Lo cede a una banca che raiene lo scono commerciale a asso annuo di scono d = % e, inolre, una commissione d incasso pari allo ; % del valore nominale. (a) Trovare l ammonare D dello scono raenuo e il neo ricavo A per l impresa enuo cono anche della provvigione. (b) Quale asso annuo d ineresse composo x avrebbe generao A come valore sconao del credio ceduo? [Risposa. (a) Si ha D =, menre il neo ricavo risula A = = 79. (b) Dall equazione 79 = ( + x) si rova x = ; 79 = ; 79%.] 3 Tassi equivaleni 7 Dao il asso rimesrale d ineresse composo i 4 = ; 4, calcolare i assi ad esso equivaleni: (a) i ; (b) i 3 ; (c) j 6 ; (d) j ; (e) i; (f). [Risposa. (a) Da ( + i ) = ( + ; 4) 4, si ricava i = ; 4 = ; 86 = 8; 6%; (b) i 3 = ; 37%; (c) j6 = ; 9%; (d) j = ; 79%; (e) i = 6; 99%; (f) Da e = ; 4 4 si rova = 4 ln ; 4 = ; 69 = ; 69%.] 8 (a) Dao il asso annuo nominale j = ;, calcolare i assi ad esso equivaleni: () i ; () i 3 ; (3) i ; (4) i; (). (b) Si scona un credio d ammonare 3

5 M con scadenza re mesi. La banca praica lo scono commerciale con asso annuo di scono d = 8%. Ricavare il asso annuo d ineresse composo i che caraerizza la sessa operazione. [Risposa. (a) () i = j = = 6%; () Da ( + i 3 ) 3 = ( + ; 6) si ha i 3 = 3; 96%; (3) ; 976%; (4) ; 36%; () = ; 6 = ; 6%; (b) Da ; 8=4 = ( + i) =4 si rova i = 8; 4%.] 4 Rendie limiae e illimiae 9 Per la rendia (in e), dove le scadenze sono espresse in anni: Scadenze 3 4 Impori 6 7 uilizzando l ineresse composo con i = %, rovare: (a) il monane M alla scadenza dell ulima raa; (b) il valore auale in (V ); (c) il valore in = 3 (V 3 ). [Risposa. f () = ; con. (a) Si ha M = P s= R sf ( s) = 396; ; (b) Si ha V = P s= R s (s) = 48; 9; (c) Si ha: V 3 = ; + ; ; + ; = 37; 8.] Calcolare: (a) s 8j; ; (b) s j; ; (c) s 6j; ; (d) a j;7 ; (e) a 8j;4. [Risposa. (a) 9; 49; (b) 3; 796; (c) 7; 4; (d) 6; 864; (e) 3; 67.] Calcolare il valore auale A e il valore nale alla scadenza dell ulima raa M, uilizzando l ineresse composo a asso annuo i = 4%, delle segueni rendie limiae (in e): (a) Anni Impori (b) (c) Anni = 3= = 3 Impori Anni =3 =3 4=3 =3 3 Impori (d) Anni =4 =4 3=4 =4 6=4 7=4 Impori [Risposa. (a) A = a 6j;4 = 6;, M = s6j;4 = 33; 6; (b) A = 8; 6, M = 3; ; (c) A = 86; 6, M = 3; 8; (d) A = 388; 37, M = 44; 6.] 4

6 Per la rendia annua (in e): Anni Impori uilizzando l ineresse composo a asso annuo i = ;, calcolare: (a) il monane M alla scadenza dell ulima raa; (b) il valore auale in ; (c) il valore in = (V ) e in = (V ); (d) sabilire di quano deve aumenare la raa cosane (R) a nché il monane di cui al puno (a) aumeni del %. [Risposa. (a) 47; 44; (b) 3; 4; (c) 8; e 343; 68; (d) R = 6.] 3 Per la rendia limiaa annua (in e): Anni Impori uilizzando l ineresse composo a asso annuo i = ;, calcolare: (a) il monane M alla scadenza dell ulima raa; (b) il valore auale in ; (c) il valore in = (V ) e in = (V ). [Risposa. (a) M = ; 43; (b) A = 44; 6; (c) V = 3; 36, V = 683; 8.] 4 (a) Calcolare: () a j; ; () a j;. (b) Calcolare il valore auale A, uilizzando l ineresse composo a asso annuo i = 4%, delle segueni rendie illimiae (in e): () () (3) (4) Anni n Impori Anni = 3= = 3 n= Impori Anni n Impori Anni = 3= = 3 n= Impori (c) Sabilire di quano deve aumenare l ammonare della raa a nchè il valore auale della rendia perpeua (b.), calcolaa al asso annuo d ineresse composo i = 4%, diveni A =. [Risposa. (a) () () 4; (b) () 6; () 66; 6; (3) 7; 49; (4) 4387; ; (c) 97.] Ammorameni in generale

7 Una banca eroga un nanziameno ad un azienda per l imporo di e, conro il pagameno di quaro rae semesrali posicipae al asso i = 4%. Le prime re quoe di capiale sono: C =, C = e C 3 =. (a) Calcolare la quoa di capiale C 4 e deerminare i debii residui. (b) Cosruire il piano d ammorameno del nanziameno. [Risposa. (a) C 4 = 3, D =, D = 4, D =, D 3 = 3; (b) Il piano d ammorameno richieso è: R C I D ; ; ; ; 4; 66; ; 6; ; 3 3; ; ; 3; 4 3; 3; ; ;.] 6 I movimeni di cassa (in e) di un nanziameno sono: Anni 3 Impori 3 38 R (a) Ricavare l ammonare R >, in modo che x = % sia il TIR per il nanziameno e deerminare la sequenza dei debii residui uilizzando la noa relazione di ricorrenza. (b) Cosruire il piano d ammorameno e calcolare il mone ineressi. [Risposa. (a) La raa risula R =, menre i debii residui sono D =, D = 8, D = ; (b) Il piano d ammorameno richieso è: R C I D ; 3; ; ; 8; 38; 3; 8; ; 3 ; ; ; ; e, perano, il mone ineressi risula e 3;.] 6