Cenni di Matematica Finanziaria

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1 Cenni di Maemaica Finanziaria M.Leizia Guerra Facolà di Economia Universià di Urbino Carlo Bo Leggi e regimi finanziari Operazioni finanziarie elemenari Un conrao finanziario ra due soggei Alfa e Bea prevede che, al empo 0, Alfa effeui un presio (ovvero una operazione di invesimeno), di imporo C, abea (che effeua una operazione di indebiameno) e che quesi, al empo, resiuisca ad Alfa l imporo C maggiorao di un imporo I. Sipulando il conrao con i ermini precedeni, Alfa e Bea convengono sul fao che i valori finanziari di un imporo moneario cambino con il rascorrere del empo e che l imporo C al empo 0equivalga finanziariamene all imporo C + I al empo. -C +(C+I) Paga C Riceve C+I Da pare di Alfa: OPERAZIONE DI INVESTIMENTO 0 OGGI DOMANI +C -(C+I) Riceve C Paga C+I Da pare di Bea: OPERAZIONE DI INDEBITAMENTO 0 Figure : Operazioni finanziarie (singolo periodo emporale) L imporo I èl ineresse che Bea paga, al empo, per avere a disposizione l imporo C al empo 0.

2 (Operazione Elemenare di CAPITALIZZAZIONE) In una operazione elemenare di capializzazione (dea anche di invesimeno), un soggeo Alfa mee a disposizione, ad un empo iniziale 0, un capiale di imporo C e riscuoe, in un empo successivo > 0 una somma M C + I, oenua con l aggiuna di un imporo I 0 come ineresse sull invesimeno. L imporo M èdeomonane al empo relaivo a C. Si chiama asso effeivo di ineresse dell operazione descria, deo anche asso di rendimeno, il rapporo i ra ineresse e capiale, dao da: E quindi possibile scrivere: i I C I Ci M C Ci M C ( + i). Il ermine r (+i) èdeofaore di monane (o faore di capializzazione) dell operazione. Il monane M, il asso effeivo di ineresse i ed il faore di monane r +i risulano in generale funzione, olre che del capiale C, anche degli isani emporali 0 e : M M(C, 0, ) () i i(c, 0, ) r r(c, 0, ). (OperazioneelemenarediATTUALIZZAZIONE) Un soggeo Alfa deve ricevere un imporo M (monane) alempo poichè è iolare di un credio. Egli sipula un conrao con il soggeo Bea in base al quale Bea gli anicipa un imporo C al empo 0 <. Per oenere l anicipazione Alfa riconosce a Bea una quoa del credio, daa da: D M C 0 Una operazione siffaa si dice di aualizzazione (o anche di scono o di anicipazione). La quanià D èdeascono associao all operazione e C rappresena il valore aualizzao di M dal empo al empo 0. Il asso effeivo di scono dell operazione è dao dal rapporo d rasconoe monane: d D M menre il ermine v ( d) èdeofaore di aualizzazione ( odisconoodi anicipazione). In una operazione di aualizzazione si ha, dunque: D Md M ( v) 2

3 C Mv M ( d). Il valore aualizzao C, ilassoeffeivo di scono d ed il faore di scono v d risulano in generale funzione, olre che di M, anche dei empi e 0 : C C(M, 0, ) d d(m, 0, ) v v(m, 0, ). Nel caso in cui i rappori conrauali di una operazione di capializzazione siano gli sessi di quelli di una operazione di anicipazione, ossia se ai empi 0 e il capiale C eilmonanem di una capializzazione coincidono con il valore aualizzao C eilmonanem di una anicipazione, si hanno le segueni idenià: r v, v r, i d d, d i (2) +i y 50 y x x Funzione v /r Funzione d i/( + i) 2. (Operazione a-proni e operazione a-ermine) Un operazione elemenare sipulaa al empo 0 si definisce a-proni (spo) (ovvero con decorrenza immediaa) quando lo scambio avviene al empo 0 in cui avviene anche la sipula del conrao. Un operazione elemenare sipulaa al empo 0 si definisce a-ermine (forward) (ovvero con decorrenza differia) quando lo scambio avviene ad un empo successivo > 0, ossia quando il conrao è sipulao prima che avvenga lo scambio. Nell esempio precedene, ra Alfa e Bea si sabiliscono, al momeno 0 della sipula del conrao, le segueni equivalenze finanziarie: C al empo 0equivale a C+I al empo ; (a-proni) C+I al empo equivale a C+I+I 0 al empo 2. (a-ermine) In un operazione di invesimeno a-proni, concapialec eineressei, il rapporo empo i I C èdeoasso effeivo di ineresse a-proni (dell operazione). 3

4 A TERMINE A PRONTI +(C+I) -(C+I+I ) + C -(C+I) 0 2 sipula del conrao finanziario Figure 2: Operazioni a proni e a ermine In un operazione di invesimeno a-ermine, incuic +I al empo equivale a C + I + I0 al empo 2,ilrapporo i 0 I0 C + I èdeoasso effeivo di ineresse a-ermine. Con i dai C 200, I 0, I 0 2,sioienechel imporoc 200 pagabile al empo 0equivale a C + I 20 pagabile al empo, che asuavolaequivaleac + I + I pagabile in 2. Senededucecheil asso a-proni è i %, menre il asso a-ermine è i %. Se il conrao precedene avesse previso solamene la seconda opzione (ossia Bea riceve l imporo C al empo 0e resiuisce il monane C + I + I0 al empo 2)ilassoeffeivo di ineresse relaivo all operazione sarebbe sao pari al rapporo: I + I 0 C pari all %. 200 Legge degli ineressi semplici Un ipico conrao finanziario è composo da n operazioni elemenari di cui la prima a-proni e le alre n a-ermine. Al empo 0si sipula un presio di imporo C che può essere ineramene resiuio dopo, 2,... oppure n periodi emporali (anni, semesri,...) con il pagameno di un ineresse, per ogni periodo, cosane e proporzionale a C: bi Ci Si hanno allora le segueni equivalenze: C al empo 0 equivale a C + I b C ( + i) al empo, cheequivalea C +2I b C ( + 2i) al empo 2, cheequivalea C + I b C ( + i) al empo per, 2,..., n. 4

5 (Regime dell ineresse semplice: RIS ) Il regime degli ineressi semplici sabilisce l equivalenza ra il valore C al empo 0ed i segueni monani M ai empi successivi, 2,..., n dai da: M C ( + i) dove, per ciascun periodo, i èilassodiineresse. Ponendo M 0 C, sihalarelazionericorsivam M + ic. Se il RIS viene pensao come un operazione (elemenare) di invesimeno in cui il capiale C può essere ineramene resiuio, a scela, ad una delle scadenze emporali, 2,..., n, l ineresse associao alla -esima scadenza è dao da: I M C Ci. I assi di ineresse relaivi a ciascun periodo sono definii, per, 2,..., n, dai rappori: i M M M Ci C +( )Ci i +( )i e si chiamano assi a-ermine quando 2, 3,..., n,menrei i viene deo asso a-proni. Si hanno le segueni uguaglianze, che legano i assi a-ermine i ai monani M e agli ineressi I : M M ( + i ) M 2 ( + i )( + i )... C( + i )( + i 2 )...( + i ) I C [( + i )( + i 2 )...( + i ) ]. Per C 00, n 4e i 0% il regime degli ineressi semplici è illusrao dalla abella seguene: M I M C I b ic I i b M (a-proni) (a-ermine) (a ermine) (a ermine) Legge degli ineressi composi 5

6 Anche in queso caso l orizzone emporale del conrao finanziario è sruurao su n periodi ma, a differenza del regime degli ineressi semplici in cui è cosane l imporo b I dell ineresse di ogni operazione, è invece cosane il asso di ineresse i per cui l imporo I dell ineresse per il esimo periodo, calcolao sul monane M del periodo precedene, dà luogo allo schema seguene in cui M 0 C : I Ci M C + I C ( + i) I 2 C ( + i) i M 2 M + I 2 C ( + i)+c ( + i) i C( + i) 2... ineresse primo periodo monane al empo ineresse secondo periodo monane al empo 2 I C ( + i) i M 2 M + I C( + i) ineresse periodo monane al empo. (Regime dell ineresse composo: RIC ) Il regime degli ineressi composi sabilisce l equivalenza ra il valore C al empo 0ed i segueni monani M ai empi successivi, 2,..., n dai da: M C ( + i) (3) dove i rappresena il asso di ineresse per il singolo periodo. Ponendo M 0 C, si ha la relazione ricorsiva M M ( + i) per, 2,..., n. Se il RIC viene pensao come un operazione (elemenare) di invesimeno in cui il capiale C può essere ineramene resiuio, a scela, ad una delle scadenze emporali, 2,..., n, l ineresse associao alla -esima scadenza è dao da: I M C C ( + i) ossia I ic e I I ( + i) per 2, 3,..., n percuiimonanim e gli ineressi I cosiuiscono due progressioni geomeriche di ragione ( + i) e valore iniziale, rispeivamene, C e ic. Ponendo r +i si ha infai M Cr per 0,, 2,...,n I icr per, 2,..., n. I assi a ermine, dai dai rappori i M M M ed uguali al asso a-proni i : per, 2,..., n, sono cosani i i,. Legge degli ineressi esponenziali 6

7 (Regime dell ineresse esponenziale: RIE ) Il regime degli ineressi esponenziali sabilisce l equivalenza ra il valore C al empo 0ed i segueni monani M, ai empi successivi, 2,..., n, dai da: M Ce i. La sequenza degli ineressi associai alla esima scadenza è: I M C C(e i ). Nel RIE i assi di ineresse a ermine sono cosani ed uguali al asso a-proni: i M M M e i,. Un modo comodo per esprimere i monani nel RIE è araverso i loro logarimi. Ponendo: m ln(m ) ossia M e m c ln(c) ossia C e c si ha che il regime esponenziale (a vole deo anche regime coninuo)si oiene come regime lineare nei logarimi: m c + i. Tassi di ineresse nominali ed effeivi Nei mercai finanziari le operazioni di anicipazione o di capializzazione avvengono di solio con riferimeno a assi conraai su un periodo sandard (anno, semesre,...) ma con il pagameno degli ineressi a scadenze emporali diversedalperiodorispeoalqualeèdefinio il asso. Un esempio ipico è quello di un muuo conrao ad un prefissao asso annuale ma con pagameni raeizzai su base semesrale o mensile. Per definire gli ineressi effeivi (e quindi il asso realmene applicao) occorre espliciare il flusso dei pagameni, cioè l insieme di ue le scadenze emporali e degli impori moneari applicai (ossia il flusso di cassa). Il asso conraao come riferimeno si dice nominale ed è in generale diverso dal asso effeivo, derivane dal flusso di cassa. Una persona riceve un presio C al empo 0, da resiuire per inero dopo 3 anni, ad un prefissao asso di ineresse del 5% all anno, con ineressi pagai in 4 quoe rimesrali all anno di uguale imporo. Gli ineressi sono dunque pagai in 4 32quoe di ugual valore I 0 per un oale di I 2I 0. Per poer definire esaamene il flusso di cassa corrispondene al conrao è necessario accordarsi sul modo con cui si applica l ineresse e sul crierio che si adoa per resiuire il presio C. 7

8 Se, ad esempio, si raeizzano gli ineressi e si resiuisce l imporo del presio conesualmene con l ulima raa, il flusso di cassa risula essere il seguene (il segno + indica riscossione, il segno indica un pagameno): Tempi in rimesri Flusso di cassa C -I -I -I -I -I -I -I -I -I -I -I -I -C Tra il asso annuo nominale i ed il asso per ciascun sooperiodo (scadenze delle quoe) i 0 sussise convenzionalmene la seguene relazione: i 0 i m, dove m è il numero dei sooperiodi, menre ra le due scale emporali (anni) e 0 (sooperiodi) espresse per l esempio anni/rimesri dalla abella seguene: si ha una analoga relazione: 0 m. Se si opera in regime RIC e gli ineressi sono pagai in m quoe per ciascun periodo, allora il monane M 0 per ciascun sooperiodo 0 0 ed il monane M per ciascun periodo devono essere uguali, ossia M 0 0 M per cui, essendo: M C( + i) M 0 0 C ( + i0 ) 0 ;sosiuendoi 0 i m e 0 m, si oiene M C( + i m )m. Nel caso dell esempio, con i 5%,m4,3,sioienei / , ossia,25% al rimesre e, dopo 3 anni (o 2 rimesri): µ M C C. 4 L ineresse per l inero riennio sarà allora: I M C C. Il asso composo effeivo bi per ciascun periodo si oiene a sua vola dalla relazione: µ +bi + m i m per cui bi >i se m> 8

9 e nell esempio il asso annuo effeivo è bi >i.in al modo infai, per ciascun periodo : ³ µ M C +bi C + m i m. Gli operaori, nel mercao finanziario, uilizzano spesso il cosiddeo asso nominale converibile m vole l anno e lo definiscono ramie la relazione: m i m i ovvero i m i m. Ad esempio un asso nominale i converibile due vole l anno del 7% corrisponde ad un asso effeivo semesrale i 2 del 3.5% e si vede come il asso nominale sia solo una noazione semplificaa e non un vero asso, poichè non iene cono della legge degli ineressi consideraa. Il asso annuale di ineresse composo effeivo bi equivalene adunassoan- nuo (composo) nominale i del 5% pagao mensilmene (m 2) èbi 0.057, infai: µ +bi + m i m da cui µ bi pari al 5.7%. 2 Se nell esempio precedene le quoe ineressi fossero giornaliere si avrebbero due risulai diversi a seconda che si uilizzi la convenzione dell anno civile o dell anno commerciale. Infai, se si uilizza l anno civile 365 giorni: µ bi civile pari al % 365 menre, se si uilizza l anno commerciale 360 giorni: µ bi commerciale pari al %. 360 Se nell esempio precedene le quoe fossero calcolae in regime coninuo (cioè esponenziale per m )siavrebbebi poichè dalla relazione: µ +bi lim + i m e i m m si oiene: bi e i e 0.05 pari al 5.27%. Regime generale di capializzazione In operazioni finanziarie di capializzazione, in cui il monane M è deerminao, per un dao imporo moneario C conraao al empo 0, in funzione di C edi, si ha: M M (C, ) 0, C e si assumono le segueni proprieà per la funzione monane M (C, ) : 9

10 . che sia lineare rispeo al capiale C, ossia per ogni α, β, C e C 2 : M (αc + βc 2,)αM (C,)+βM (C 2,) einparicolare: M (C, ) CM (,). 2. che sia crescene (o non decrescene) rispeo al empo, ossia: C 0 se < 2 allora M (C, ) M (C, 2 ) ovvero che il rapporo incremenale parziale rispeo al empo sia non negaivo: M(C, ) M(C, 2 ) 0, 2 e C. 2 Se M(C, ) è derivabile parzialmene rispeo a, sioiene M(C, ) 0 >0. 3. che al empo iniziale 0(daa del conrao) il monane coincida col valore moneario C : M (C, 0) C. Ogni funzione M (C, ) coninua rispeo a C e, che soddisfi le re condizioni precedeni, può essere assuna come modello per un regime finanziario di capializzazione. La funzione: r () M (,) èdeafaore di monane (o faore di capializzazione) per ale regime e rappresena il monane corrispondene a un capiale uniario. Per le ipoesi fae si oiene, per un capiale C: M Cr (). Negli esempi già visi e alla luce di quano deo, abbiamo quindi inrodoo i faori di monane: r () (+i) r () (+i) r () e i per il regime dell ineresse semplice, RIS per il regime dell ineresse composo, RIC per il regime dell ineresse esponenziale, RIE. Esempio. La funzione: r () M (,)+i 3 definisce un faore di capializzazione poichè soddisfa le re proprieà: 0

11 . (monane lineare rispeo a C; ovviamene perchè M(C, ) Cr() è sempre lineare rispeo a C ): M (αc + βc 2,)(αC + βc 2 ) +i 3 αc +i 3 + βc 2 +i 3 αc M (,)+βc 2 M (,) αm(c,)+βm(c 2,). 2. (monane crescene rispeo al empo): r 0 () 3i 2 equindi M(C, ) 3iC 2 0 per ogni. 3. (monane iniziale, per 0, uguale al capiale C): M(C, 0) Cr(0) C essendo r (0). Esempio. La funzione: r () +i non definisce un faore di capializzazione poichè non è crescene (anche se r(0) ): r 0 i () ( + i) 2 < 0. Regime generale di scono In una operazione finanziaria di scono (o anicipazione o aualizzazione) il valore sconao C relaivo ad un monane M è deerminao in funzione di M e di (in queso caso il empo è inerpreao come il empo di anicipazione che inercorre ra la disponibilià di M e dell imporo anicipao C ): C C (M,) 0, M. Lo scono è dao dalla quanià: D M C esidefiniscono il asso di scono al empo : d() D M eilfaore di scono al empo : v() d()

12 dacuisiricavanolerelazioni: D Md() C M D M Md() M[ d()] Mv(). Per la funzione C (M,) si assumono le ipoesi di coninuià, linearià rispeo a M, decrescenza rispeo al empo econdizioneinizialealempo 0: C (M,0) M. In corrispondenza si hanno le segueni proprieà per il faore di scono: v (0), v() > 0 v 0 () < 0 >0. Un regime di capializzazione r () ed un regime di scono v () si dicono coniugai se il loro prodoo vale : r () v () da cui anche r() v() oppure v() r(). Confrono ra regimi di capializzazione Riassumendo i regimi di capializzazione fondamenali sono i segueni: RIS Regime dell Ineresse Semplice r () +i con i>0, 0 r (0) r 0 () i>0. RIE Regime dell Ineresse Esponenziale r () e i con i>0, 0 r (0) r 0 () ie i > 0. RIC Regime dell Ineresse Composo r () (+i) con i>0, 0 r (0) r 0 () (+i) ln ( + i) > 0. 2

13 RIA Regime dell Ineresse Anicipao r () d con 0 <d<, d6 r (0) d > 0 ( d) 2 r 0 () dove: d i +i. Coniugai ai quaro regimi precedeni si hanno alreani regimi di scono: v () 0 r () che sono: RAS Regime di Aualizzazione Semplice, coniugao al RIS v () r () +i. RAE Regime di Aualizzazione Esponenziale, coniugao al RIE v () e i e i. RAC Regime di Aualizzazione Composa, coniugao al RIC v () ( + i) (+i). RAA Regime di Aualizzazione Anicipaa, coniugao al RIA e deo anche regime dello scono commerciale v () d. Nei regimi finanziari è rilevane l unià di misura che si uilizza per il empo (anni, semesri, mesi,...) e fondamenale è la seguene definizione: Due assi relaivi a periodi diversi si dicono equivaleni se, applicai allo sesso capiale C per una medesima duraa, producono lo sesso monane. Formalmene, se e 0 rappresenano due unià di misura della sessa duraa emporale e 0 m (ad esempio la duraa di 3anni è idenica a 0 2 rimesri e m 4) i corrispondeni faori di monane, che indichiamo con r() econr 0 ( 0 ), devono essere ali che r() r 0 ( 0 ). Nel RIS la relazione fra assi riferii a periodi emporali diversi è relaivamene semplice; indicando con i il asso annuale e con i m il asso per la m esima pare dell anno (ad esempio i 2 asso mensile, i 4 asso rimesrale, i 2 3

14 asso semesrale e i 360 o i 365 asso giornaliero a seconda della noazione commerciale o civile) si oiene ( anni essendo una duraa idenica a 0 m sooperiodi): r() +i, r 0 ( 0 )+i m 0 da cui, dovendo essere si ha e quindi: o equivalenemene: r() r 0 ( 0 ) i mi m +i +i m 0 +i m m i m i m i m i m. Un asso mensile i 2 del 3% equivarrà allora ad un asso annuale i pari al 36%. Esempio. Quando i sooperiodi emporali di riferimeno non sono pari inere dell anno si procede in maniera simile. Ad esempio si conosca il asso di ineresse.2% relaivo al sooperiodo dell anno che va dal 7 Maggio al 2 Luglio, composo di 66 giorni. Se si chiede di calcolare l equivalene asso annuale (civile) si oiene: i pari al % 66 dove m rappresena il numero (frazionario) di sooperiodi di 66 giorni che compongono l anno civile. Nel RIE vale la sessa relazione rovaa nel RIS: r() e i, r 0 ( 0 )e i m 0 e m i m da cui i m i m. Nel RIC la relazione che permee di passare da un asso riferio al periodo ad un alro riferio ad un sooperiodo 0 m, si oiene nel modo seguene: r () (+i) dev essere uguale a da cui e quindi: r 0 ( 0 )(+i m ) 0 ( + i) (+i m ) m +i (+i m ) m 4

15 percui,comesiègiàviso, i (+i m ) m ossia i m (+i) m. Esempio. Un asso annuale i del 2% equivarrà nel RIC ad un asso semesrale (m 2): i 2 (RIC) (+0.2) pari al 5.83% e nel RIS o nel RIE ad un asso semesrale i 2 (RIS) i 2 (RIE) pari al 6%. Capializzazioni inermedie nei regimi finanziari Se C è l imporo capiale al empo 0,ilmonaneM al empo è M Cr(0,). Sia un isane emporale inermedio e M Cr(0, ) il valore di C maurao al empo. Se ora si suppone, come ad esempio in una operazione a-ermine con scambio al empo e scadenza al empo + 2 (con duraa ), che C 0 M cosiuisca un capiale disponibile in, esso genera, al empo + 2,unmonaneM 0 dao da M C 0 r (, + 2 )Cr(0, ) r (, + 2 ). Confronando il valore M con il monane M al empo + 2, dao da M + 2 Cr(0, + 2 ), non è deo che i due valori siano coincideni. Si dice che M èilmonanechesioienein + 2 in seguio ad una capializzazione inermedia avene luogo al empo,menrem + 2 èil monane oenuo senza capializzazione inermedia. Se M >M + 2 si dice che la capializzazione inermedia è vanaggiosa; se M <M + 2 si dice che è svanaggiosa; se M M + 2 si dice che il monane è indipendene da capializzazioni inermedie. Proprieà generali delle Leggi Finanziarie In mole applicazioni è uile considerare isani emporali generici, ad esempio 0 e con 0 ; in queso caso si indica con r ( 0, ) il monane in equivalene ad un capiale uniario in 0 econv ( 0, ) il valore auale (sconao) al empo 0 di un imporo uniario in. 5

16 Le proprieà che ali faori, espressi in due variabili emporali, dovranno soddisfare diveneranno allora: ed i due regimi si diranno coniugai se: r ( 0, 0 ) v ( 0, 0 ) r( 0, ) v( 0 0, ) 0 0 r ( 0, ) v ( 0, ) 0,. Un regime r ( 0, ) (oppure v ( 0, ))sidiceraslabile (rispeo al empo) se 0 e 0 vale: r ( 0 +, + ) r ( 0, ) oppure: v ( 0 +, + ) v ( 0, ) cioè l operazione di capializzazione o di scono dipende unicamene dalla duraa 0 dell operazione sessa. Esempio. La funzione: r ( 0, )+α con α>0 definisce un regime di capializzazione, infai: r ( 0, 0 )+α r ( 0, )+α r ( 0, ) 2α > 0 Inolre queso regime di capializzazione non è raslabile, infai: r ( 0 +, + ) +α ³( 2 + ) 2 ( 0 + ) +α α cheèdiversoda+α In generale, dunque, un regime finanziario che resiuisce un monane M al empo corrispondene ad un capiale C al empo 0 è caraerizzao da una relazione del ipo: M Cr( 0, ) ovvero M C r ( 0, ) Mv( 0, ). Il asso effeivo di ineresse, per la duraa emporale da 0 a, è dao da: i ( 0, ) M C r ( 0, ) C 6

17 menre l ineresse effeivo, per la sessa duraa, vale: I M C Ci( 0, ). Essendo i( 0 +, + ) r( 0 +, + ) r( 0, ) i( 0, ) si ricava, per il asso di ineresse di un regime raslabile, una relazione analoga a quella visa per il faore di monane: i ( 0 +, + ) i ( 0, ) e la proprieà di raslabilià si rasferisce anche al asso effeivo per cui, poso 0, si può scrivere: i ( 0, )i (0, 0 ) e quindi il asso di ineresse dipende dalla differenza 0 ra empo iniziale 0 eempofinale. In generale, dunque, per un regime raslabile si ha che ineresse e monane corrispondeni ad un capiale C e ad una duraa emporale possono essere scrii nella forma: I Ci(0,) e M Cr(0,). Una seconda proprieà dei regimi finanziari si riferisce alla possibilià che capializzazioni inermedie possano modificare il valore del monane. Una capializzazione inermedia consise nel riirare il monane maurao a una daa fissaa e nel reinvesirlo alla sessa daa come nuovo imporo capiale: C M 0 Senza capializzazione inermedia C M C M Con capializzazione inermedia al empo Nel RIS, senza la capializzazione inermedia in il monane che si oiene è: M C ( + i ( + 2 )) ; se si preleva il monane M C( + i ) alla daa e lo si reinvese alle sesse condizioni, il monane che si oiene al empo + 2 è: M 0 M ( + i 2 )C ( + i )(+i 2 ) 7

18 edèfacileverificare che M 0 >M.Infai: M 0 M C +i + i 2 + i 2 2 i i 2 C i 2 2 > 0. Quindi, nel regime dell ineresse semplice è vanaggioso effeuare capializzazioni inermedie. Nel RIC il monane senza capializzazione inermedia è dao da: M C ( + i) + 2 menre con una capializzazione inermedia si oiene in il monane M C( + i) e M 0 M ( + i) 2 C ( + i) ( + i) 2 C( + i) + 2 M. Quindi nel RIC le capializzazioni inermedie non hanno alcun effeo sul monane finale. Anche nel caso del regime esponenziale RIE le capializzazioni inermedie non hanno alcun effeo sul monane finale. Infai: M Ce i( + 2 ), M Ce i M 0 M e i 2 Ce i e i 2 Ce i( + 2 ) M. Nel regime aualizzao RIA oeniamo: M C d ( + 2 ), M C d M 0 C M C d 2 d d 2 d d 2 d 2 2 dacuisideducechem 0 <M equindieffeuare capializzazioni inermedie è svanaggioso. Si dice che il regime r ( 0, ) è scindibile se [ 0, ] vale la relazione: r ( 0, )r ( 0,) r (, ); (in ermini praici, queso significa che il monane non dipende da evenuali capializzazioni inermedie). Inroduciamo ora alre grandezze finanziarie molo imporani per analizzare regimi finanziari di ipo generale. Considerando la siuazione illusraa nella figura?? in cui, dao un inervallo emporale [0, ], viene inrodoa una variazione emporale 0 in modo che + 0. La quanià : I,+ M + M rappresena la variazione nell ineresse dovua al passaggio emporale da a +. 8

19 C Cr ( 0, ) 0 C ' C r (, ) ' 0 C Cr, 0 ) ( 0 C ' Cr ( [ ] 0, ) Cr ( 0, ) Cr ( 0, ) r (, ), 0, Figure 3: Scindibilià In queso sesso periodo, consideriamo il asso effeivo di ineresse, indicao con i(, + ) e dao da: La quanià: i (, + ) M + M M i (, + ) r ( + ) r () r () r ( + ) r () r () si chiama inensià di ineresse per il periodo da a +. Se esise il suo limie per 0, esso si chiama forza d ineresse al empo (o asso isananeo di ineresse) e si denoa con δ (), dao da: i (, + ) δ () lim lim 0 0 r ( + ) r () r () r0 () r (). La forza d ineresse è quindi la derivaa logarimica del faore di capializzazione, poichè, se si ricorda la noa formula di derivazione del logarimo naurale d dx (ln f (x)) f 0 (x) f (x) si ha: δ () d [ln r ()]. d 9

20 Periregimisandard,RIS,RIA,RIEeRIC,ilcalcolodelleforzed ineresseè il seguene: RIS : r() (+i) per cui: δ () d [ln ( + i)] i d +i RIA : v() ( d ) per cui: RIE : r() e i per cui: RIC : r() (+i) per cui: δ () d µ d [ln ] d +d ( d) 2 d δ () d d [ln ei ] d [i] i d d d δ () d d [ln ( + i) ] d [ ln ( + i)] ln ( + i) d Come si vede, nel RIC e nel RIE la forza d ineresse non dipende dal empo (è cosane). Si osservi inolre che ponendo: α ln(+i) +i e α si deduce che RIC e RIE possono essere pensai come espressioni analiiche diverse dello sesso regime di capializzazione: r () (+i) (e α ) e α Prendiamo ora in esame il caso in cui il regime non sia raslabile ed esprimiamolo nella sua forma più generale come funzione di due variabili: r ( 0, ). Fissao l isane 0, l inensià d ineresse per il periodo da a + èdefinia da: i ( 0 ;, + ) r ( 0, + ) r ( 0, ) r ( 0, ) e la forza di ineresse, oenua al limie per 0, è: δ ( 0, ) i ( 0 ;, + ) lim 0 r ( 0, ) lim r ( 0, + ) r ( 0, ) 0 r ( 0, ) r ( 0, ) ln r ( 0, ). 20

21 Proprieà. Un regime r ( 0, ) èscindibileseesoloselasuaforzadi δ( ineresse δ ( 0, ) soddisfa: 0, ) 0 0 > 0 Proprieà. Un regime raslabile è scindibile se e solo se la sua forza d ineresse non dipende dal empo. Ne consegue che il RIC e il RIE sono gli unici regimi raslabili e scindibili. Tipici Conrai Finanziari Araverso i presii obbligazionari le aziende, gli Eni pubblici o lo Sao accedono al mercao finanziario per effeuare operazioni di presio nei confroni di un numero anche elevao di invesiori; l imporo complessivo del presio viene suddiviso in un numero (in genere molo elevao) di conrai elemenari di scambio ra loro ui uguali, dei obbligazioni, offeri sul mercao. Ogni obbligazione prevede il versameno da pare dell invesiore, al empo di acquiso (o sooscrizione), di un prefissao imporo moneario a frone di un flusso di pagameni fuuri specificao nel conrao sesso. Nella erminologia usuale, il conrao si chiama Tiolo Obbligazionario in quano chi lo possiede (cioè chi lo ha sooscrio) possiede iolo (ossia dirio), a ricevere nel fuuro gli impori moneari previsi dal conrao a frone del pagameno, al empo di sooscrizione, dell imporo obbligazionario, deo anche prezzo del iolo. A loro vola, i ioli obbligazionari possono (se non sono vincolai al sooscriore) essere scambiai ra gli invesiori (acquisai e/o vendui) a prezzi diversi a seconda del ipo di obbligazione o del periodo nel quale avviene lo scambio. Se il iolo non è nominale (ossia non è vincolao al sooscriore) si dice essere al poraore (ossia il iolare del dirio espresso nel iolo è l auale possessore). I ioli a cedola nulla (zero coupon bond) garaniscono al poraore il pagameno, da pare dell emiene (o di un suo inermediario), di una somma di imporo C ad una fissaa daa fuura a frone del pagameno del prezzo P al empo 0 <. Si paga l imporo P in 0 e si riscuoe l imporo C in. Un esempio è cosiuio dai BOT (Buoni Ordinari del Tesoro) emessi dallo Sao ialiano con scadenze diverse, che in genere sono di 3, 6 o 2 mesi. Sugli ineressi complessivi corrisposi al poraore, dai da: I C P, viene pagaa all origine una assa fissa sul reddio generao, indipendene dal reddio imponibile del possessore. In al modo, il BOT può essere scambiao sul mercao finanziario senza che siano applicai uleriori aggravi di naura fiscale. Se f indica l aliquoa fiscale applicaa sugli ineressi (ad esempio f 2.5%), il reddio neo sarà dao dal prodoo fi e la reddiivià complessiva nea sarà: dove bi C P P P P + fi P + f(c P )fc +( f) P ) 2

22 è il prezzo al neo dell aliquoa menre la reddiivià complessiva lorda è: i C P P. Se, ad esempio, C 000, P 900 e f 2.5% si ha: P ( 0.25) Esercizi. In un regime ad ineressi semplici con asso annuo i 4%, deerminare dopo quani anni il monane è riplo del capiale iniziale. Soluzione: si ha M C ( + i) C ( + 0.4) poichè M 3C, si oiene 3C C ( + 0.4) 3(+0.4) Lo sesso problema dell esercizio in regime degli ineressi composi ed in regime esponenziale. Soluzione: per gli ineressi composi 3C C ( + 0.4) ln 3 ln ( + 0.4) 8.38 per gli ineressi esponenziali 3C Ce 0.4 ln La funzione: r () 2i 2 definisce un faore di capializzazione? Soluzione: verifichiamo le proprieà che deve soddisfare: r (0) 2i0 2 èverificaa; r 0 () 4i < 0 non è verificaa e quindi la funzione daa non definisce un faore di capializzazione. 4. Quale è il asso di rendimeno annuo di un buono fruifero posale che riplica il suo valore dopo 7 anni? Soluzione : la relazione uile è quella che esprime il monane finale in funzione del capiale iniziale 3C C ( + i) 7 ln 3 7 ln ( + i) ln ( + i) ln i e i % 22

23 Soluzione 2: 3C C ( + i) 7 3(+i) 7 i %. 5. Una macchina sporiva del valore di 200 milioni può essere pagaa in due modi: ) due rae da 20 milioni, una alla sipula del conrao, l alra dopo 2 anni; 2) con un unico pagameno di 290 milioni dopo 3 anni. Quale pagameno è più conveniene per l acquirene se si è in regime degli ineressi composi? Soluzione: Il confrono viene fao rispeo ai assi d ineresse composi e alla daa odierna: ) ( + i ) 2 80 ( + i ) 2 20 q ( + i ) 2 r r 20 i % 2) ( + i 2 ) ( + i 2 ) q r 3 ( + i 2 ) r 290 i % E più conveniene la seconda forma di pagameno. 6. Un impresa argicola acquisa concimi e disserbani all inizio di ogni rimesre per 5 milioni. Il forniore propone all impresa agricola un unico acquiso a inizio d anno con uno scono del 30%. Sapendo che il asso composo annuo per l impresa è del 7%, sabilire se la proposa del forniore è conveniene per l impresa. Soluzione: 5 ( ) ( ) 4 ( ) 2 4 ( ) la proposa è conveniene per l impresa. 7. Il asso annuo di ineresse in regime di capializzazione esponenziale è il 2.7%. E più conveniene ricevere 2600 ra 3 mesi o 2950 ra 6 mesi? Quale è il asso annuo che rende finanziariamene equivaleni i due ammonari? 23

24 Soluzione: Il confrono viene fao sui valori auali. V 2600e V e E più conveniene ricevere 2950 ra 6 mesi. Il asso che rende equivaleni i due ammonari è: 2600e i e i 6 2 e i 3 2 e i e i( ) ei ³ µ ln e i ln ln e i µ 2950 ln 2600 µ 2950 i ln / % 8. Considerando un orizzone emporale di 4 anni, a quano ammona il valore auale della ricchezza di un lavoraore dipendene che ha ioli invesii per un valore correne di 25 milioni e reddio da lavoro alla fine di ogni anno di 50 milioni, supponendo che il asso annuo composo sia del 4%? Soluzione: V ( ) + 50 ( ) ( ) ( ) Un apparameno del valore di 240 milioni può essere pagao in due modi: ) re rae da 92.5 milioni: una alla sipula del conrao, la seconda dopo 2 anni e la erza dopo 3 anni; 2) con un unico pagameno di 300 milioni dopo 4 anni. Quale pagameno è più conveniene per l acquirene? Soluzione: ) ( + i) ( + i) 3 2) 47.5(+i) (+i) ( + i) 4 24

25 ( + i) r 300 +i i 4 r 5 4.8% 0. Deerminare il faore di monane r() corrispondene ad una legge di capializzazione la cui inensià isananea di ineresse è daa da ρ() α α ; per quali valori di la relazione è finanziariamene acceabile? Soluzione: r () e R 0 α ατ dτ e [ ln( ατ)] 0 e ln( α) e ln( α) α r() è un faore di monane quando α>0 poichè devono valere le condizioni: r(0) r 0 α () ( α) 2 > 0 La relazione è finanziariamene acceabile quando < α poichè in queso caso il faore di monane è posiivo.. Un impresa vende ad una socieà finanziaria due credii. Il primo credio scade ra nove mesi per un imporo nominale di 5 milioni. Il secondo credio scade ra 8 mesi per un imporo nominale di 70 milioni. Calcolare l imporo versao dalla socieà finanziaria dao che il asso d ineresse annuo composo è del 6%. Soluzione: Imporo versao 5 70 V milioni ( + 0.6) 9 2 ( + 0.6) Un imprendiore essile oiene in presio una somma e dopo 3 anni una somma doppia della precedene. Dopo alri 3 anni resiuisce 250 milioni esinguendo il debio. Sapendo che il asso semesrale composo è del 3%, calcolare la somma iniziale. Soluzione: i (+0.03) % X ( ) 6 +2X ( ) X

26 3. Una quoa di un fondo obbligazionario cosa dopo 24 mesi 3. euro. Se il coso della sessa quoa dopo 30 mesi cosa 3.55 euro, quale e il asso d ineresse annuo composo del fondo obbligazionario in quesione? Soluzione: C ( + i) e C ( + i) da cui 3.(+i) ( + i) 24 2 ossia dacuisiricava ( + i) 30 2 ( + i) e quindi ( + i) i µ 2 3, pari al 3.4%. 3, 26

27 2 Rendie finanziarie e piani di ammorameno Una rendia finanziaria è definia da una successione di impori moneari R k resi esigibili, sulla base di un conrao finanziario sipulao al empo 0, in isani prefissai k. Gli impori R k cosiuiscono le rae della rendia menre iempi k sono le rispeive scadenze. In noazione compaa una rendia si può indicare con la scriura: {R,R 2,..., R n ;, 2,..., n }. Nel seguio considereremo il caso in cui sia 0 0elescadenze k siano riferie a periodi emporali della sessa duraa (anni, semesri,...) e solo eccezionalmene faremo riferimeno a scadenze generiche 0 < < 2 <...< n. Assumeremo inolre come sandard il regime finanziario dell ineresse composo RIC, definio dal faore di capializzazione: r () (+i) con il corrispondene regime di scono RAC: v () r () (+i) I conrai finanziari prevedono, per lo più, uno dei segueni quaro casi:. Rendia immediaa con raa posicipaa e k k per k, 2,..., n, in cui la prima raa R è esigibile alla scadenza (rispeo alla daa del conrao 0 0). 2. Rendia immediaa con raa anicipaa e k k per k, 2,..., n, in cui la prima raa R è anicipaa di un periodo ed esigibile alla daa di sipula del conrao al empo 0 0. Nei casi. e 2. si parla di rendia immediaa in quano, rispeo all evolvere dei periodi emporali, non sono previsi differimeni. 3. Rendia differia di p periodi con raa posicipaa e k p + k per k, 2,..., n, menre la daa di sipula del conrao è 0 0; l inizio delle raeèdifferio di p periodi e la prima raa è posicipaa. 4. Rendia differiadipperiodiconraaanicipaae k p + k per k, 2,..., n, menre 0 0; l inizio delle rae è differio di p periodi e la prima raa è anicipaa. Ques ulimo caso equivale al erzo con un differimeno di p periodi. Per ogni raa R k, esigibile alla scadenza k,ilvalore auale A k, in regime RIC al asso periodale i (riporao al empo 0 0), è definio da: A k R k ( + i) ( k 0) (4) R k ( + i) k 0 (5) 27

28 R R 2 R k R n k.. n 2. R R 2 R k-.. n- n R k R n 3. R 0.. p p+ p+k.. p+n R k R n 4. R 0.. p p+k-.. p+n- R k R n p+n Figure 4: Rae e scadenze per k, 2,..., n. Sia un generico isane emporale ra i periodi 0,,..., k,..., n ;ilvalore finanziario al empo di una raa R k è dao da: V k () R k ( + i) k (6) per k, 2,..., n. Se è un generico isane emporale e V k () è il valore di ciascuna raa al empo, il valore complessivo della rendia {R,R 2,..., R n ;, 2,..., n } al empo è: nx V () V k () (7) k nx R k ( + i) k. (8) k La definizione 2 permee di deerminare il valore finanziario di una rendia in ogni isane emporale. 28

29 Se 0 si ha: V ( 0 ) nx R k ( + i) 0 k k nx k R k ( + i) k 0. Se > 0 si ha: Infai: V () V () V ( 0 )(+i) 0. nx R k ( + i) k k nx R k ( + i) k+ 0 0 k nx R k ( + i) 0 k ( + i) 0 k (+i) 0 nx R k ( + i) 0 k k V ( 0 )(+i) 0 Per i 2% e per una rendia posicipaa con rae: R 00, R 2 300, R 3 50, deerminare la quara raa mancane x affinchè sia V (5) 900. Si chiede di calcolare il valore di una raa, noo il valore finale della rendia. Si ha: V (5) 5X V k (5) k 00 (.2) (.2) (.2) 2 + x (.2) da cui, dovendo essere V (5) 900 :.2x ossia x 36.8 Se le n rae sono ue uniarie e ogni periodo ha duraa annuale con inizio all anno 0, si hanno le segueni relazioni (dove si è poso v +i ): 29

30 V (0) ( + i) +(+i) (+i) n µ 2 µ n +i i +i " + µ # n +i +i i v +v v n v vn v da cui V (0) µ i ( + i) n (9) Una noazione oramai abbasanza in disuso consise nell indicare la quanià in (9) con il ermine: a nqi µ i ( + i) n che si legge a figurao con n al asso i. Per una rendia immediaa con n rae posicipae di imporo cosane R si avrà: V (0) Ra nqi R µ i ( + i) n Nel caso di rendia immediaa con n rae uniarie anicipae, si ha: V (0) ( + i) 0 +(+i) +(+i) (+i) (n ) + µ 2 µ n +i i +i +v + v v n vn v v vn v v µ +i i E possibile indicare il valore (0) con il ermine: ( + i) n. (0) ä nqi (+i) a nqi e si legge a anicipao figurao n al asso i. 30

31 La rendia differia di p periodi posicipaa con n rae uniarie ha valore: V (0) a n+pqi a pqi µ i µ i ( + i) n+p ( + i) p µ i ( + i) n+p. ( + i) p Consideriamo ora un conrao finanziario nel quale al empo 0 si dispone di un imporo moneario S>0 a frone di un piano di rimborso (o ammorameno) che prevede una rendia ( a favore di chi ha messo a disposizione il presio) con rae R,R 2,..., R n alle scadenze, 2,..., n. Dal puno di visa di chi ha usufruio del presio, l imporo S enra in cassa (segno +) e le rae R k escono di cassa (segno -). Se il conrao viene sipulao in base a un regime finanziario RIC con ineresse periodale cosane i, corrispondenemene a ciascuna daa 0,,..., n,si definiscono le segueni quanià: monane M k dell operazione alla daa k,definio da: ½ M0 S M k M k ( + i) k k R k () Se gli isani emporali sono indicai per periodi ineri: 0 0,,..., n n valgono le relazioni: M S ( + i) R M 2 M ( + i) R 2 (S ( + i) R )(+i) R 2 S ( + i) 2 R ( + i) R 2 ovvero... M k S ( + i) k kx R j ( + i) k j j M 0 S M k M k ( + i) R k per k>0 3

32 valore residuo W k dell operazione alla daa k, dopo il pagameno della raa R k, pari al valore sconao (cioè aualizzao) in k dei pagameni fuuri: W k nx jk+ nx jk+ R j ( + i) k j R j ( + i) j k per k 0,,..., n W n 0 Se gli isani emporali sono indicai per periodi ineri: 0 0,,..., n n vale la relazione: W k nx jk+ R j ( + i) j k Si dice che l operazione è equa al asso i se, per ogni isane k,vale: M k + W k 0 ossia se: S nx R k ( + i) 0 k k R ( + i) R n ( + i) n 0 il che significa che il presio S ha valore pari alle rae sconae al empo 0. Se gli isani emporali sono indicai per periodi ineri: 0 0,,..., n n si ha equià al asso i se nx R k S k ( + i) k. Dalla definizione di monane in () si ricava che: R k M k ( + i) k k M k [M k M k ] + h i ( + i) k k M k quoa capiale della k-esima raa: C k quoa ineresse della k-esima raa: I k 32

33 ossia, inroducendo la quoa capiale C k e la quoa ineresse I k della k-esima raa, definie da C k [M k M k ] h i I k ( + i) k k M k si oiene la relazione fondamenale per la raa k-esima: R k C k + I k. Fissai gli isani emporali per periodi ineri 0 0,,..., n n si oiene una espressione più semplice per la quoa ineressi; essendo k k e ( + i) k k i si ha: I k im k e,nelcasodiequiàalassoi, anche S nx C k. k I piani di ammorameno di uso comune si differenziano a seconda della modalià di pagameno o della composizione delle quoe capiale e ineresse delle rae. (A) rae cosani posicipae (AMMORTAMENTO FRANCESE): Affinchè l operazione sia equa al asso i dev essere: nx S R k ( + i) k R µ i ( + i) n da cui è facile ricavare l imporo della raa cosane R. I valori per scrivere il piano d ammorameno saranno allora: M 0 S M k M k ( + i) R per k, 2,...,n " Ã µ!# n k R i +i e quindi per k, 2,..., n I k im k " R C k R I k µ R +i 33 µ # n k+ +i n k+

34 All ulima scadenza si avrà: M n W n 0 e come si vede la successione delle quoe ineressi è decrescene menre quella delle quoe capiali è crescene.. Nell ammorameno francese è uile scrivere I k e C k uilizzando il ermine v +i, araverso il quale si ha I k R v n k+ C k Rv n k+ (B) rae cosani anicipae (AMMORTAMENTO TEDESCO): E come se la generica k esima raa fosse pagaa all inizio del k esimo periodo. La raa cosane R può essere calcolaa dalla relazione di equià al asso i; enendo cono che le scadenze effeive sono si ha da cui 0 0, 0(prima raa), 2,..., n n S R +i i R +i i µ ( + i) n S ³ (+i) n Le quanià uili per la scriura del piano di ammorameno edesco si calcolano nel modo seguene, poso v +i : R Svi v n M 0 S M k (M k R)(+i) C k M k M k Rv n k I k R C k R( v n k ) (C) rae posicipae a quoe capiale cosani (AMMORTAMENTO ITAL- IANO). In queso caso la quoa capiale C k di ciascuna delle n rae è cosane e quindi: C k C S n k, 2,..., n 34

35 Le relazioni fondamenali sono: M k S kc R k C + I k dacuisioengonolequoeineresse: S n + I k I k im k i (S (k ) C) µ i S (k ) S n µ (k ) i S n Il valore della raa nel k-esimo periodo può quindi essere calcolaa anche nel modo seguene: +i (n k +) R k S n +i(n +) S is k n n da cui si vede che le rae cosiuiscono una sequenza decrescene. Per deerminare un piano di ammorameno sarà uile scrivere una abella in cui per ogni scadenza sono calcolae le quoe che deerminano l esinzione del debio: le colonne corrispondono alle scadenze emporali k, alle rae R k, alle quoe ineresse I k e capiale C k eaimonanim k, menre le righe corrispondono alle scadenze k 0,, 2,..., n: k k R k I k C k M k k M 0 S k R I C M k 2 2 R 2 I 2 C 2 M k n n R n I n C n M n 0 Esempio. Si scrivano ad esempio i piani d ammorameno francese, edesco e ialiano per un debio di imporo S 00 milioni, rimborsao in quaro rae annuali, con un asso d ineresse composo annuo i 0%. 35

36 Piano d ammorameno francese (raa cosane posicipaa): k k R I k C k M k k k k k k Piano d ammorameno edesco (raa cosane anicipaa): k k R I k C k M k k k k k k Example Pianod ammoramenoialiano(raaposicipaaconquoacapiale cosane): k k R k I k C M k k k k k k Esercizi Deerminare la raa cosane annua anicipaa da versare oggi per rimborsare un presio di lire di duraa 5 anni al asso del 7,6%. Soluzione: R ( ) ³ ( ) 5 R Un lavoraore risparmia alla fine di ogni mese e le versa in un fondo di accumulazione che rende il 3% all anno. Ricavare il monane accumulao dopo 5 anni. Soluzione: µ asso mensile i

37 X79 µ M i , i0 Un neo pensionao ha accumulao in una lunga via di lavoro 500 milioni che desidera uilizzare per una pensione inegraiva posicipaa annua di 45 milioni. Per quani anni, al asso composo del 7% annuo, il capiale accumulao gli garanisce la pensione desideraa? Soluzione: si deve deerminare il numero di anni n in modo che nx ( ) i i n da cui n ossia µ ln n ln (.07) 45 e quindi n La valuazione di un azienda (al 3 dicembre di un dao anno) viene faa aualizzando i reddii fuuri aesi al asso annuo del 0%. Si sima per i primi 5 anni un reddio neo di 200 milioni annui e dal seso anno in poi (per una duraa infinia) un reddio annuo neo di 80 milioni. Deerminare il valore dell azienda. Soluzione: indichiamo con V e V 2, rispeivamene, il valore relaivo ai primi 5 anni e quello relaivo al periodo successivo; allora il valore V èdao dalla loro somma V V + V 2 esiha: menre V 2 80 i6 V 200 5X ( + 0.) i i X ( + 0.) i 80 ( + 0.) 5 X i ( + 0.) i (.) per cui V Calcolare la raa cosane anicipaa da versare all inizio di ogni anno per oenere ra 5 anni, al asso composo annuo del 6%, un capiale di 60 milioni. 37

38 Soluzione: da cui 60 R 5X i ( ) i 0.06 R

39 3 VAN e TIR di flussi di cassa In generale, una operazione finanziaria può essere rappresenaa araverso una sequenza di impori moneari, corrispondeni a flussi di cassa, associai a scadenze emporali successive. F 0 F F k F n 0 k n invesimeno finanziameno Figure 5: Flussi di cassa e scadenze emporali I flussi F k possono essere posiivi o negaivi e convenzionalmene si assume che: F k < 0 F k è un pagameno o coso F k > 0 F k è una riscossione o ricavo Esempio. Una operazione di invesimeno è soliamene caraerizzaa da cosi alle scadenze iniziali e ricavi alle scadenze successive, menre per una operazione di finanziameno i flussi hanno segno posiivo nei periodi iniziali e negaivo nei periodi successivi. Una operazione finanziaria complessa può essere pensaa come risulao di piùoperazionidiinvesimenoe/ofinanziameno, generando un flusso di cassa complessivo nel quale gli impori moneari F k possono avere, nei periodi emporali 0,,..., n, segno di ipo qualsiasi, alcuni posiivi e alri negaivi. Per un flusso di cassa {(F k, k ); k 0,, 2,..., n} (2) 39

40 si definisce, in regime finanziario RIC, il Valore Auale Neo (VAN) al empo 0 ealassoi : nx V ( 0,i) F k ( + i) ( k 0 ) k0 (3) ed il Valore Finale Neo (VFN) al empo n ealassoi : V ( n,i) nx F k ( + i) ( n k ) k0 (4) V ( 0,i)(+i) k 0 (5) In generale il valore al empo ealassoi di un flusso di cassa come in (2) èdefinio da: nx V (, i) F k ( + i) k k0 V ( 0,i)(+i) 0 V ( n,i)(+i) n Si oiene facilmene anche il flusso di cassa somma (F k, k ) definendo: Fj 0 se k 0 j e k 6 00 i i F k Fi 00 se k 00 i e k 6 0 j j Fj 0 + F i 00 se k 0 j 00 i Una vola che due flussi sono riporai allo sesso scadenzario 0,,..., n ha senso confronare ra loro i rispeivi valori V 0 (, i) e V 00 (, i) al empo eal asso i. Il VAN (deo anche NPV, ne presen value) V ( 0,i) in 0 rappresena il risulao economico del flusso di cassa aualizzao al empo 0. Nel confrono fra due flussi di cassa, quello con VAN maggiore è preferio in quano avene risulao economico aualizzao (REA) migliore. Nella definizione del VAN un ruolo imporane è giocao dal asso di ineresse i ( e dal regime finanziario) che si sceglie. Esempio. Nel RIC i flussi di cassa siano: il VAN è dao da F 0 000,F 0 e F 2 00 V (0,i) ( + i) + 00 ( + i) 2 esioienev (0,i)0per i 0.525%. 000 ( + i)2 + 0 ( + i) + 00 ( + i) 2 40

41 Esempio 2. Ancora nel RIC i flussi di cassa siano: il VAN risula essere: F ,F 30 e F V (0,i) ( + i) ( + i) 2 esioienev (0,i)0per i 8.05%. Facciamo ora un confrono ra l esempio. e l esempio 2. riporando i valori del VAN per quei assi che lo rendono posiivo: i V (0,i) in. V (0,i) in Dalla abella si deduce che: per un asso i compreso ra 0% e 5% il flusso di cassa in 2. è il migliore, ma per i>5% divena migliore quello in. Il crierio del VAN (o REA) è dunque soggeivo e dipende dalla scela del asso di ineresse. Dao un flusso di cassa {(F k, k ); k 0,, 2,..., n} e, per ogni asso i 0, il corrispondene valore auale neo V ( 0,i), si chiama Tasso Inerno di Rendimeno (TIR) il primo valore posiivo i di i per cui: V ( 0,i )0 cioè il più piccolo valore posiivo del asso i che annulla il VAN. Un flusso di cassa {(F k, k ); k 0,, 2,..., n} definisce un invesimeno puro al empo 0 se: F 0 < 0 F,F 2,..., F n 0 Se invece: F 0 > 0 F,F 2,..., F n 0 4

42 si parla di finanziameno puro. Il TIR di un invesimeno puro si oiene risolvendo l equazione: F 0 nx F k ( + i) ( k 0 ) k nell incognia i. Se si pone: v +i l equazione (6) divena: e quindi i v (6) F 0 F v 0 + F 2 v F n v n 0 ossia, moliplicando membro a membro per v 0 : F 0 v 0 + F v + F 2 v F n v n 0 che è una equazione polinomiale di grado effeivo n 0. Poichè hanno senso valori di i 0, queso implica che deve essere: 0 <v (7) e v i 0 v 0 i + Quindi ineressano solo i valori di v che soddisfano la condizione (7). Considerando, per semplificare, il caso di scadenze periodiche uniarie: k k per k 0,, 2,..., n, l equazione (6) divena: F 0 + F v + F 2 v F n v n 0 e quindi si devono calcolare le radici di un polinomio P n (v) di grado n. Essendo: P n (0) F 0 < 0 P n () F 0 + F + F F n Q 0 Pn 0 (v) F +2F 2 v nf n v n > 0 v [0, ] la funzione P n (v) è crescene per valori acceabili di v. Inolre Pn 00 (v) 0 v [0, ] per cui P n (v) è convessa, olre che crescene, su uo l inervallo [0, ]. Nel caso di invesimeno puro possono quindi essere fae le segueni considerazioni: se P n () > 0 allora è posiiva la somma degli impori moneari aualizzai ed esise un unico valore v acceabile ale che: P n (v )0 42

43 da cui il TIR risula essere: i v se P n () < 0 il TIR non è definio poichè non esisono valori di v [0, ] per cui P n (v) 0. se P n () 0 il TIR corrisponde a v ossia i 0, asso inerno di rendimeno nullo. Esercizi.Daa la seguene operazione finanziaria: k F k a. deerminare il TIR b. deeminare il VAN corrispondene ad un ineresse periodale i 8.5%. Soluzione: Caso a. L equazione che definisceiltirèlaseguene ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) 4 ossia, svolgendo i calcoli, 4+7i +39i 2 +30i 3 +8i 4 0 epoichèiflussi di cassa cambiano segno una sola vola, si ha che il TIR esise ed è unico. Caso b. VAN 200 ( ) ( ) ( ) ( ) Daa la seguene operazione finanziaria: k F k C R R R+ C mosrare che il TIR vale R C. Soluzione: Nell equazione che definisce il TIR C R +i + R ( + i) 2 + R + C ( + i) 3 C ( + i) 3 R ( + i) 2 R ( + i) R C 0 43

44 C +i 3 +3i +3i 2 R +i 2 +2i R ( + i) R C 0 si sosiuisce R C al poso del asso d ineresse e si oiene: µ C µ+ R3 C 3 +3R C +3R2 C 2 R µ+ R2 C 2 +2R R + R R C 0 C C µ C 3 + R 3 +3RC 2 +3R 2 µ C C 2 + R 2 µ +2RC C + R C C 3 R C 2 R R C 0 C C 3 + R 3 +3RC 2 +3R 2 C RC 2 R 3 2R 2 C RC 2 R 2 C RC 2 C Deerminare il TIR per i segueni flussi di cassa: ) 5 periodi: -80, 30, 45, 80, 95 2) 4 periodi: 230, -82, -90, -0 Soluzione: ) ( + i) + 45 ( + i) ( + i) ( + i) 4 2) 80 ( + i) 4 30 ( + i) 3 45 ( + i) 2 80 ( + i) ( + i) 3 82 ( + i) 2 90 ( + i)