Lezione n.7. Variabili di stato

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1 Lezione n.7 Variabili di sao 1. Variabili di sao 2. Funzione impulsiva di Dirac 3. Generaori impulsivi per variabili di sao disconinue 3.1 ondizioni iniziali e generaori impulsivi In quesa lezione inrodurremo le variabili di sao e le loro proprieà. Scopriremo che le variabili di sao devono essere funzioni coninue e che possono presenare disconinuià di prima specie solo in corrispondenza di evenuali impulsi di Dirac preseni nel circuio grazie alla presenza di generaori impulsivi. In quesa lezione inrodurremo la funzione di Dirac e faremo vedere come un generaore impulsivo possa caricare isananeamene un elemeno dinamico di un circuio. orso di Inroduzione ai ircuii Prof.ssa Lorenza ori A.A. 29/1 1

2 1. Variabili di sao Un circuio elerico conenene elemeni passivi lineari può essere viso come un sisema lineare. I sisemi lineari sono caraerizzai da grandezze di ingresso, grandezze di sao e grandezze di uscia. Generaori (ingresso) ircuio lineare passivo (variabili di sao) Qualsiasi ensione o correne del circuio (uscia) condizioni iniziali delle variabili di sao Fig.1 Sisema ingresso- sao-uscia. Le grandezze di ingresso sono le ensioni dei generaori di ensione e le correni dei generaori di correni preseni nel circuio. Le grandezze di uscia possono essere qualsiasi grandezza presene nel circuio comprese le variabili di sao. Le variabili di sao, che sono la ensione sui condensaori e la correne negli induori, ra ue le grandezze del circuio, hanno un ruolo privilegiao in quano rappresenano la memoria del circuio. La conoscenza di ali variabili ci consene di risalire a ue le alre grandezze preseni nel sisema. Le variabili di sao devono essere funzioni coninue. Queso fao dipende dalla naura del sisema fisico. Quando cosruiamo il modello che descrive il circuio dobbiamo sare aeni che vengano soddisfae alcune condizioni di funzionameno. Una ra quese è la coninuià delle funzioni che rappresenano la ensione sui condensaori e la correne negli induori. Vediamo perché. onsideriamo la poenza assorbia da un condensaore p ( ) v( ) i( ) = v( ) 2 ( ) 1 dv ( ) dv = =, (1) d 2 d o quella in un induore p ( ) v( ) i( ) 2 ( ) ( ) 1 di ( ) di = = L i = L. (2) d 2 d La poenza in gioco nel nosro sisema fisico deve necessariamene essere limiaa. In paricolare la poenza assorbia da un condensaore o da un induore può assumere orso di Inroduzione ai ircuii Prof.ssa Lorenza ori A.A. 29/1 2

3 qualsiasi segno e qualsiasi valore purchè limiao. Osservando le relazioni (1) e (2) ne ricaviamo che affinché quesa condizione sia soddisfaa la ensione nel condensaore e la correne nell induore devono essere funzioni coninue. Ricordiamo infai che affinché una funzione sia derivabile e abbia derivaa limiaa deve essere coninua. Poniamoci quesa domanda: nel nosro modello possiamo prevedere la possibilià di avere variabili di sao disconinue ammeendo in queso caso di descrivere un sisema fisico che si compora in modo esremo? La risposa è affermaiva: basa inrodurre nel nosro circuio dei generaori ideali di ensione e correne impulsivi. Generaori, cioè, capaci di generare in un isane rispeivamene ensione e correne illimiaa. L esremizzazione consise nel fao che nella realà non è possibile disporre di ali generaori, uavia enerne cono ci agevola nella raazione del nosro modello come vedremo meglio nel seguio. Se ammeiamo l esisenza di generaori impulsivi vuol dire che ammeiamo l esisenza di poenze illimiae e dunque l esisenza di disconinuià delle variabili di sao. Riassumiamo quano deo nello schema di Fig.2. ircuio Variabili di sao orrene nei condensaori Tensione su induori Senza generaori impulsivi oninue Evenualmene disconinue Alre grandezze Evenualmene disconinue on generaori impulsivi Disconinue Impulsive Disconinue o impulsive oninue Evenualmene disconinue oninue, disconinue o impulsive Fig.2 Schema riassuno delle proprieà di coninuià delle grandezze in un circuio. Abbiamo parlao di funzioni disconinue e funzioni impulsive. Formalizziamo cosa inendiamo con quesi ermini. 2. La funzione impulsiva di Dirac Una funzione che in un puno * non è doaa di limie ma è doaa, in quel puno, di limie desro e limie sinisro enrambi finii, viene dea disconinua nel puno *. Più precisamene si dice che in quel puno essa presena una disconinuià di prima specie (vedi Fig. 3). orso di Inroduzione ai ircuii Prof.ssa Lorenza ori A.A. 29/1 3

4 v() * Fig.3 Esempio di funzione con disconinuià di prima specie in *. Una ale funzione non è derivabile nell ambio delle funzioni ordinarie nel puno *. Per rendere una funzione con disconinuià di prima specie derivabile in uo il suo dominio dobbiamo inrodurre le disribuzioni e la derivaa nel senso delle disribuzioni. Delle disribuzioni ci ineressa solo sapere che vengono inese come un ampliameno dell insieme delle funzioni ordinarie affinché sia sempre possibile applicare l operaore di derivaa a qualsiasi funzione anche nei suoi puni di disconinuià. u() Fig. 4 Funzione gradino uniario. Inroduciamo adesso due funzioni di noevole imporanza per la nosra raazione. La funzione gradino uniario (vedi Fig. 4) 1 per < u ( ) = (3) per > e la funzione impulso reangolare (vedi Fig. 5) orso di Inroduzione ai ircuii Prof.ssa Lorenza ori A.A. 29/1 4

5 1 per < < Π( ) = 2 2 (4) per < ; > 2 2 Π () 1/ /2 /2 Fig. 5 Funzione impulso reangolare cenraa nell origine. L impulso reangolare lo uilizziamo per inrodurre la funzione impulsiva di Dirac o funzione impulsiva. Se consideriamo l area del reangolo individuao dall impulso reangolare Π ( ) verifichiamo che quesa è uguale a 1. Infai si ha che ( ) Π 1. (5) d = Osserviamo che il valore dell inegrale (5) è indipendene dal valore paricolare che assume il paramero. E facile verificare che se diminuisce, la base dell impulso reangolare diminuisce menre la sua alezza aumena in modo ale che l area dell impulso reangolare rimane invariaa. In al caso si ha: lim ( ) d = Π ( ) Π lim d = δ ( ) deladidirac (6) La funzione inegranda che compare nell inegrale a secondo membro della (6) è dea funzione impulsiva di Dirac e si indica con il simbolo δ ( ). Quesa è una funzione che vale zero ovunque escluso in un puno in cui il suo valore è illimiao. Analiicamene possiamo scrivere: orso di Inroduzione ai ircuii Prof.ssa Lorenza ori A.A. 29/1 5

6 per = δ ( ) = (7) per oppure, se la funzione impulsiva è raslaa nel empo per = δ ( ) = (8) per La rappresenazione grafica delle funzioni definie in (7) e (8) è mosraa rispeivamene nelle Fig. 6 e Fig. 7. δ() Fig. 6 Funzione impulsiva di Dirac cenraa nell origine. δ() o Fig. 7 Funzione impulsiva di Dirac raslaa in. orso di Inroduzione ai ircuii Prof.ssa Lorenza ori A.A. 29/1 6

7 Per la funzione impulsiva valgono le segueni imporani proprieà e relazioni: 1. Parià ( ) = δ ( ) δ (9) 2. Area ( ) d = 1 δ (1) 3. ambiameno di scala δ 1 = (11) a ( a) δ ( ) 4. Prodoo x ( ) ( ) = x( ) δ ( ) δ (12) 5. ampionameno ( ) x( τ ) δ ( τ ) x = dτ (13) 6. Legami con il gradino u d d ( ) = δ ( τ ) dτ ; u( ) δ ( ) = (14) Analizziamo ques ulima proprieà. Avendo: < δ ( ) d = (15) 1 > si ha che il gradino u ( ) è l inegrale della δ ( ) noando che l inegrale della ( ). La cosa si mosra semplicemene δ lungo uo l asse dei empi può essere scomposo orso di Inroduzione ai ircuii Prof.ssa Lorenza ori A.A. 29/1 7

8 in due inegrali uno per i puni a sinisra dello zero che vale zero, e l alro per i puni alla sua desra che vale uno. Orbene la funzione che vale zero per i puni a sinisra dello zero e uno per i puni alla sua desra è proprio il gradino u ( ). Un ulima cosa che ci serve dire sulla funzione impulsiva è che la sua derivaa è ancora una funzione impulsiva che diremo funzione impulsiva del secondo ordine. 3. Generaori impulsivi ideali per variabili di sao disconinue Alla luce di quesi nuovi concei dovrebbe essere più chiaro il perché se derivo una funzione disconinua quesa nel suo puno di disconinuià presena un impulso. Quindi se le variabili di sao di un circuio fossero disconinue, nel circuio sesso porei avere ensioni, correni e poenze impulsive. Una ale cosa sarebbe possibile solo se io ammeessi che all inerno del circuio fossero preseni generaori di ipo impulsivo. Approfondiamo queso conceo analizzando due casi concrei. A i() j()=qδ(- ) i c () v c () B Fig. 8 Generaore di correne impulsivo in parallelo ad un condensaore. In Fig.8 abbiamo considerao un generaore ideale di correne in parallelo ad un condensaore; il loro parallelo è collegao ad un soocircuio. Il generaore è impulsivo: è speno per <, in = produce un impulso di correne pari a Qδ ( ) e poi si spegne per > comporandosi come un circuio apero. La scela del simbolo Q dipende dal fao che ale cosane deve avere la dimensione di una carica; l impulso ha la dimensione di un empo inverso e quindi il loro prodoo la dimensione omogenea ad una correne. Supponiamo che il condensaore sia carico per < ad un cero valore V. Quindi possiamo porre v ( ) = V. La correne che circola nel condensaore per la prima legge di Kirchhoff al nodo A la possiamo così deerminare: i c ( ) Q ( ) i( ) = δ. (16) Inolre la relazione caraerisica del condensaore è orso di Inroduzione ai ircuii Prof.ssa Lorenza ori A.A. 29/1 8

9 d i ( ) = v ( ). (17) d Sosiuendo la (17) nella (16) oeniamo: d v ( ) = Qδ ( ) i( ). (18) d Inegrando la (18) fra due isani uno immediaamene precedene e l alro immediaamene successivo a roviamo che v ( ) ( ) d = dv i( )d Qδ. (19) v ( ) Supponiamo che, per semplicià, che la correne i() sia limiaa inorno a. iò non è deo debba verificarsi necessariamene; infai la correne i() porebbe anch essa mosrare in un impulso dovuo ad evenuali generaori impulsivi preseni in e in al caso dare un conribuo non nullo alla (19). In quesa ipoesi semplificaiva oeniamo Q v ( ) = V. (2) Dunque la ensione sul condensaore subisce un salo di disconinuià nell isane di ampiezza Q. Analogamene possiamo ragionare per l induore. Facciamo riferimeno alla Fig. 9. In queso caso supponiamo i L ( ) = I essere la condizione iniziale e consideriamo un generaore ideale di ensione impulsivo φδ ( ) collegao in serie all induore. Ricaviamo, analogamene alla (18) ma quesa vola uilizzando la seconda legge di Kirchhoff alla maglia evidenziaa in figura: d L i ( ) = φδ ( ) v( ). (21) L d Dalla (21), oeniamo (anche in queso caso supponiamo che la v() sia una funzione limiaa inorno a ): i L φ = I. (22) L ( ) orso di Inroduzione ai ircuii Prof.ssa Lorenza ori A.A. 29/1 9

10 i L () A L v L () e()=φδ(- ) v() B Fig. 9 Generaore di ensione impulsivo in parallelo ad un induore. In queso caso abbiamo uilizzao il simbolo φ per ricordare il fao che le dimensione fisiche del coefficiene dell impulso deve essere un flusso di campo magneico. Si osservi che quando il generaore si annulla dopo aver agio l impulso in si compora come un coro circuio senza alerare il funzionameno del circuio. 3.1 ondizioni iniziali e generaori impulsivi L analisi dei circuii di Fig. 8 e 9 ci suggerisce di modellare una condizione iniziale non nulla presene in un condensaore con la inserzione di un opporuno generaore impulsivo. Supponiamo di avere ancora un condensaore inizialmene carico; quesa * vola indichiamone il valore con v ( ) = V per disinguerlo dal caso affronao prima. Nel caso in cui non vi siano generaori impulsivi sarà: v * ( ) = v ( ) = V (23) Vogliamo rasformare, per moivi che ci saranno chiari ra poco, quesa naurale condizione di coninuià in un alra: v v ( ) ( ) = = V * presenza di un opporuno generaore impulsivo. (24) Per realizzare quesa irrealisica condizione iniziale che abbiamo modellao nella (24) uilizziamo ancora il circuio di Fig. 8. Quesa vola, però, dovremmo scegliere orso di Inroduzione ai ircuii Prof.ssa Lorenza ori A.A. 29/1 1

11 un peso dell impulso che ci soddisfi la relazione oenua dalla (2) assumendo nullo il valore della ensione in - : * ( ) Q = v = V. (25) In conclusione la condizione iniziale del condensaore viene simulaa dalla presenza di un generaore di correne impulsivo pari al valore della condizione iniziale per la capacià del condensaore. Si osservi che per > il generaore di correne si spegne e quindi si compora come un circuio apero in parallelo al condensaore ed al circuio senza alerare il funzionameno dell inero circuio. Infine volendo uilizzare il generaore di ensione in serie per simulare la condizione iniziale I dell induore, abbiamo: * ( ) * φ = Li L = LI. (26) Soolineamo che le relazione oenue sono relaive ai versi uilizzai nelle figure 8 e 9. orso di Inroduzione ai ircuii Prof.ssa Lorenza ori A.A. 29/1 11