Circuiti del primo ordine

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1 Circuii del primo ordine Un circuio del primo ordine è caraerizzao da un equazione differenziale del primo ordine I circuii del primo ordine sono di due ipi: L o C Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 1

2 Circuii del primo ordine L ecciazione può essere di due ipi auonoma: il circuio non comprende generaori indipendeni ed eole nel empo grazie all energia immagazzinaa nel condensaore (C) o nell induore (L) forzaa: il circuio comprende generaori indipendeni che ne deerminano il comporameno nel empo Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 2

3 Circuio C auonomo Ipoesi: i C i ( ) V C 1 w( ) C V 2 2 ()? (per > ) Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 3

4 Circuio C auonomo C i i C d d i C C i d d C ( ) Ae / C ( ) V ( ) Ve / C Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 4

5 Circuio C auonomo: risposa naurale La risposa naurale rappresena il comporameno inrinseco di un circuio, senza l inereno di sorgeni eserne di ecciazione ( ) Ve /τ V τ C cosane di empo 1 V Ve - 3 τ Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 5

6 Circuio C auonomo: cosane di empo ( ) 1 V Ve /τ τ C cosane di empo /τ e τ 2 τ 1 e /τ τ τ τ τ τ.674 τ Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 6

7 Circuio C auonomo: poenza ed energia ( ) Ve p( ) i /τ V 2 2 /τ e i ( ) ( ) Poenza dissipaa nel resisore: V /τ e i C C i Energia assorbia dal resisore fino all isane : 2 V 2 / τ 1 2 w ( ) p d e d C V (1- e 2 2 / τ ) 1 2 w ( ) C V w() 2 Dopo un empo sufficienemene lungo ( >> τ) il resisore ha assorbio ua l energia immagazzinaa nel condensaore all isane iniziale ( ) Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 7

8 Circuio C auonomo: riassuno Il calcolo della risposa naurale di un circuio C auonomo richiede: la conoscenza o il calcolo della ensione sul condensaore all isane iniziale (V ) il calcolo della resisenza equialene posa in parallelo al condensaore per la deerminazione della cosane di empo τ C ( ) Ve /τ Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 8

9 Circuio L auonomo L L i Ipoesi: i ( ) I 1 w( ) L I 2 2 i()? (per > ) Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 9

10 Circuio L auonomo L di d L i L i L di d i L i( ) Ae / L i ( ) I i( ) Ie / L Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 1

11 Circuio L auonomo: risposa naurale La risposa naurale rappresena il comporameno inrinseco di un circuio, senza l inereno di sorgeni eserne di ecciazione i( ) Ie /τ i I τ L / cosane di empo I I 3-1 e τ Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 11

12 Circuio L auonomo: poenza ed energia i( ) p Ie /τ ( ) 2 e 2 /τ i I ( ) i Poenza dissipaa nel resisore: Ie /τ L i L Energia assorbia dal resisore fino all isane : 2 2 / τ 1 2 w ( ) p d I e d L I (1- e 2 2 / τ ) 1 2 w ( ) L I w() 2 Dopo un empo sufficienemene lungo ( >> τ) il resisore ha assorbio ua l energia immagazzinaa nell induore all isane iniziale ( ) Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 12

13 Circuio L auonomo: riassuno Il calcolo della risposa naurale di un circuio L auonomo richiede: la conoscenza o il calcolo della correne sull induore all isane iniziale (I ) il calcolo della resisenza equialene posa in parallelo all induore per la deerminazione della cosane di empo τ L/ i( ) Ie /τ Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 13

14 La funzione gradino uniario La funzione a gradino uniario è una funzione disconinua. Essa iene uilizzaa per rappresenare ariazioni molo rapide di ensione o correne u u( ) 1 < > 1 Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 14

15 Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 15 La funzione gradino uniario u > < 1 ) ( u 1 > < ) ( V V ) ( ) ( u V V

16 La funzione gradino uniario a a V V u( ) b b a a I I u( ) b b Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 16

17 isposa al gradino di un circuio C V S C V S u() C Ipoesi: ( ) V ()? Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 17

18 isposa al gradino di un circuio C: V S u() C non può cambiare isananeamene: ( ) ( ) V Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 18

19 isposa al gradino di un circuio C: > C d d d d V V C S S V S C d( V d S ) V C S ( ) V S Ae / C ( ) V ( ) V ( V V S S ) e /τ τ C Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 19

20 Circuio C: risposa complea La risposa complea rappresena il comporameno di un circuio alla applicazione improisa di un generaore, supponendo il condensaore già carico V V ( ) / τ S ( V VS ) e < > V S τ C cosane di empo V τ Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 2

21 Circuio C: risposa complea ( ) risposa naurale o ransiorio risposa forzaa o regime ( ) τ ( )/τ () ( ) [ ( ) ( )] e > Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 21

22 Circuio C: riassuno Il calcolo della risposa complea di un circuio C richiede: la conoscenza o il calcolo della ensione sul condensaore all isane iniziale (( )) il calcolo della ensione a regime sul condensaore (( )) il calcolo della resisenza equialene posa in parallelo al condensaore per la deerminazione della cosane di empo τ C Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 22

23 isposa complea di circuii del I ordine La risposa complea di un circuio del primo ordine è sempre del ipo: x( ) x( ) x( ) [ x( ( ) x( )] e doe x rappresena indifferenemene la ensione o la correne sul condensaore o sull induanza e è l isane in cui commua l inerruore. Si richiede il calcolo di: alori iniziali x( ) e x( ); alore a regime x( ); cosane di empo τ C oppure τ L/ )/ τ < > Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 23

24 isposa al gradino di un circuio L i i V S L V S u( ) L Ipoesi: ) i ( I i()? Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 24

25 isposa al gradino di un circuio L V S L i alori iniziali: i ( I ) i( ) alore a regime: cosane di empo: i( ) τ L VS Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 25

26 Teoria dei Circuii Prof. Luca Perregrini Circuii del primo ordine, pag. 26 Circuio L: risposa complea L / τ cosane di empo > < ) / ( e ) ( V I V I i S S τ i τ I V S