7 CIRCUITI ELETTRICI IN REGIME SINUSOIDALE

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1 7 IUII ELEII IN EGIME SINUSIDALE Il primo generaore di correne coninua fu realizzao nel 83 da Faraday; queso disposiivo era cosiuio da un disco di rame poso in roazione ra le espansioni polari di una calamia. ollegando un galvanomero ra l asse del disco ed il bordo Faraday osservò la generazione di una correne cosane di inensià proporzionale alla velocià di roazione del disco. Nel 83 il cosruore di srumeni scienifici francese Hippolye Pixii ponendo in roazione un magnee permanene a forma di ferro di cavallo in prossimià di un elerocalamia realizzò il primo generaore di correne alernaa; queso rudimenale disposiivo venne migliorao nel 844 da Luigi Palmieri che sviluppò il primo generaore moderno di correne alernaa. Inorno al 88 l energia oenua araverso i generaori di correne coninua aveva acquisao un coso di mole vole inferiore a quella oenua araverso le pile eleriche uavia l indusria eleroecnica inconrava noevoli difficolà nel rasporo a disanza della correne prodoa. Nondimeno con l invenzione di homas Alva Edison della lampadina ad incandescenza nel 879 l illuminazione elerica cominciò progressivamene a sosiuire quella a gas nei cenri urbani delle grandi cià. uavia a causa della cadua di ensione lungo i cavi il sisema di elerificazione di Edison basao sulla correne coninua richiedeva l isallazione di generaori di correne a disanze di circa un chilomero l uno dall alro. onsapevole dei vanaggi della correne alernaa dovui essenzialmene alla possibilià di variarne l ampiezza con elevai rendimeni per mezzo di rasformaori nel 888 il fisico di origine croaa Nikola esla propose all imprendiore George Wesinghouse una ree elerica basaa su queso ipo di correne. onemporaneamene per garanire il funzionameno degli impiani indusriali con la correne alernaa esla perfezionò il moore a correne alernaa sviluppao da Galileo Ferraris nel 885 che uilizzava un campo magneico roane oenuo da due bobine orogonali comandae da correni opporunamene sfasae per rascinare un indoo cosiuio da un eleromagnee. La compeizione ra i due sisemi di elerificazione si concluse col favore della correne alernaa nel 895 quando fu inauguraa la prima cenrale idroelerica della poenza di poco più di 3 kw presso le cascae del Niagara collegaa ad una ree in grado di rasporare energia con Nikola esla basse perdie sino alla cià di Buffalo disane circa 35 km dall impiano. Lo sudio dei circuii solleciai araverso generaori che erogano forze eleromorici variabili sinusoidalmene nel empo olre ad essere imporane dal puno di visa praico rivese paricolare ineresse anche dal puno di visa eorico; come si vedrà nel seguio un qualsiasi segnale reale periodico può essere rappresenao come la composizione di infinii segnali sinusoidali per cui lo homas Alva Edison Inerno della cenrale elerica delle cascae del Niagara in basso a desra sono visibili i generaori di correne alernaa (alernaori) progeai da esla.

2 7- ircuii elerici in regime sinusoidale sudio delle ecciazioni sinusoidali rappresena il puno di parenza per uno sudio più generale dei circuii. Infine il meodo generalmene adoperao per l analisi dei circuii ecciai sinusoidalmene si presa ad essere facilmene applicao ad alri sisemi simolai nella sessa maniera. Per affronare ale sudio occorre fare delle ipoesi relaive alle grandezze in gioco in queso coneso; ali ipoesi uavia non risulano limiani per un ampio inervallo di frequenze e per la maggior pare dei componeni in uso in ali circuii. Si assume che in ogni isane le correni sono le sesse che vi sarebbero nel caso sazionario ossia il veore densià di correne dovrà essere considerao sinusoidale quindi varranno la legge di hm e le leggi di Kirchhoff. Si rierrà inolre che la correne cambi nel empo in modo sufficienemene leno perché ue le sue variazioni si propaghino isananeamene araverso il circuio. Infine si assume che le caraerisiche capaciive induive e resisive della ree in esame siano localizzae in regioni di esensione limiaa del circuio in esame. 7. ircuio L La ree cosiuia dalla serie di una resisenza un induanza L ed una capacià prende il nome di circuio L. Sia la differenza di poenziale presene ra le armaure del condensaore nell isane iniziale in cui viene chiuso l inerruore. Indicando con v la differenza di poenziale ai capi del condensaore al empo generico si ha: L i v ( ) dove se di L + i + v (7.) d q indica la carica sul condensaore v vale: q v + i( ξ ) dξ (7.) per cui sosiuendo nell espressione precedene si ha: di L + i + + i( ξ) dξ d e derivando ambo i membri segue: di di d L d L + + i. (7.3) Per inegrare quesa equazione differenziale poniamo i λ e α dove in generale il coefficiene α è un numero complesso; sosiuendo ale espressione della correne nella (7.3) si oiene: α α α α λe + αλe + λe L L

3 ircuii elerici in regime sinusoidale 7-3 e dividendo ambo i membri per λ e α si perviene all equazione caraerisica: α + α + L L che ha soluzioni: α ± ± L 4L L L dove si è poso: 4L L ; le corrispondeni soluzioni dell equazione differenziale e α e e α sono due soluzioni indipendeni e di conseguenza è soluzione anche una loro combinazione lineare: α α i ae + be. Si noi che siccome α e α sono complessi anche e α e i deve essere una quanià reale in quano susceibile di misura necessariamene a e b devono essere complessi. In relazione al segno di si hanno re differeni soluzioni dell equazione differenziale. Se > ovvero se > L allora α e α sono dei numeri reali negaivi così la soluzione è la somma di due esponenziali decresceni: e α lo sono così poiché α α i ae + be. Se ovvero se L allora α e α sono reali e coincideni e valgono in paricolare ( L) così si prova che: i ( ) D D> L i c+ k e. Infine se < ovvero se < L allora α e α sono complessi perano se si pone: ω L 4L è possibile scrivere: α ± jω L

4 7-4 ircuii elerici in regime sinusoidale così sosiuendo nell espressione di i si ha : poso quindi: L jω L jω i ae e + be e L L ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) e acos + jasin + bcos jbsin ( ω ) ( ω ) e a+ b cos + j a b sin a+ b I sinφ j ( a b ) I cosφ I i( ) segue: e - I L D< L i Ie cos ω sinφ+ sin ω cosφ L ( ω φ) Ie sin +. Si osservi che indipendenemene dal segno del discriminane la correne i si annulla sempre nel limie. p /w 7. Bilanci energeici nel circuio L Il circuio L nel limie ideale in cui è nulla è deo circuio L in ale caso l equazione differenziale che lo descrive si ricava da quella del circuio L (7.3) ponendo uguale a zero: di d la cui soluzione è: con: + i L sin ( ω φ ) i I + (7.4) ω ; (7.5) L Si fa uso della formula di Eulero: e jϕ cosϕ+ jsinϕ.

5 ircuii elerici in regime sinusoidale 7-5 dove ω prende il nome di pulsazione di oscillazione libera del circuio L. Le due cosani φ e I sono ricavae a parire dalle condizioni iniziali. Assumendo che all isane iniziale la bobina non sia percorsa da correne si ha: φ. Poiché queso circuio è privo di elemeni dissipaivi il valore massimo dell energia immagazzinaa nella bobina I L deve essere uguale al valore massimo dell energia immagazzinaa nel condensaore essendo la differenza di poenziale presene all isane iniziale ra le armaure del condensaore; perano: I ω. (7.6) La differenza di poenziale ai capi del condensaore per φ si oiene dalla (7.) per sosiuendo a i la sua espressione dalla (7.4) con la posizione (7.6): di v L LIωcos( ω) Lω cos( ω) cos( ω) d così l energia immagazzinaa isananeamene nel condensaore è: Ue v cos ( ω) menre l energia immagazzinaa isananeamene nella bobina è: Um Li LI sin ( ω) sin ( ω) e l energia oale immagazzinaa isananeamene nel circuio L è: U cos ( ) sin ( ) Ue + Um ω + ω cioè pari all energia immagazzinaa nel condensaore all isane iniziale. In figura sono mosrai i grafici delle funzioni Ue Um e della loro somma U ( ). L osservazione che la scarica di una boiglia di Leyda non consise nel solo passaggio di elericià da un armaura all alra ma da una serie di oscillazioni smorzae fu faa da Henry nel 84. Sebbene non conoscesse ale sudio Hermann von Helmoholz adoò quesa ipoesi nella formulazione del principio di conservazione dell energia. Il processo di scarica fu sudiao analiicamene da homson nel 855 che uilizzando la eoria del poenziale idenificò le circosanze in cui si manifesava la scarica oscillaoria e rovò l espressione (7.5) della pulsazione di oscillazione. Infine nel 869 Helmoholz provò che si poevano oenere delle oscillazioni eleriche in una bobina collegaa alle armaure di un condensaore. U U ( ) U m ( ) U e ( )

6 7-6 ircuii elerici in regime sinusoidale 7.3 ircuio L forzao Supponiamo di aggiungere un generaore di forza eleromorice sinusoidale v di pulsazione ω alla serie dei componeni che cosiuiscono il circuio L. Se: ( ω ) v cos (7.7) v( ) L i v ( ) allora l equazione che descrive il nuovo circuio è: di L + i + v v. d Sosiuendo a v e a ha: v le loro espressioni rispeivamene dalle (7.) e (7.7) e riordinando si di + i + i ( ξ) d ξ cos( ω ) d L L L L. (7.8) L equazione che esprime la legge di variazione della differenza di poenziale ai capi del v a condensaore si ricava derivando ambo i membri dell equazione inegrale (7.) che lega i : dv i d sosiuendo i da ale equazione nella (7.8) si ha: dv dv v cos( ω) + +. (7.9) d L d L L L L equazione inegro-differenziale (7.8) che sabilisce la legge di variazione della correne araverso il circuio e l equazione differenziale (7.9) che sabilisce la legge di variazione della differenza di poenziale ai capi del condensaore definie le opporune condizioni iniziali possono essere risole facendo uso dei radizionali meodi così come si è fao per il circuio privo di solleciazione. uavia nel caso di simoli sinusoidali conviene far uso di un meodo paricolare inrodoo dall ingegnere edesco harles Proeus Seinmez nel 893 la cui applicazione si rivela paricolarmene efficace in ale ambio. harles Proeus Seinmez

7 ircuii elerici in regime sinusoidale Meodo simbolico A parire dall equazione differenziale: d y dy a + b + cy f (7.) d d consideriamo la nuova equazione che si oiene aggiungendo al secondo membro della (7.) la funzione jg ω d ω d a + b + cω f + jg. (7.) d d Si noi che si è fao uso di un simbolo diverso ω per rappresenare la soluzione di quesa equazione che in generale è diversa dalla soluzione y( ) della (7.). La funzione ω è in generale complessa e perano può essere espressa come: ω u + jv dove u e complessa di u. Sosiuendo nella (7.) si ha: v sono due funzioni reali. La funzione ω prende il nome di esensione d u d v du dv a + j b j c u jv f jg d d d d ed uguagliando quindi le pari reali e quelle immaginarie si ha: du du a + b + cu f d d dv dv a + b + cv g d d ovvero la funzione u è soluzione dell equazione originaria (7.). Quese considerazioni sono la base della regola di soluzione di equazioni differenziali dea meodo simbolico. A parire da una cera equazione (7.) scria in forma normale si cosruisce una seconda equazione (7.) sommando una funzione jg al secondo membro. L equazione (7.) è più semplice da risolvere ω è della (7.) ed è caraerizzaa dal fao che la pare reale u( ) della sua soluzione soluzione dell equazione (7.). L individuazione della forma funzionale di g( ) dipende dalla espressione di f ; se ad esempio risula: cos( ω ) f K allora è opporuno che sia

8 7-8 ircuii elerici in regime sinusoidale così: sin ( ω ) g K cos( ω ) sin ( ω ) f jg K jk Ke ω j + +. Perano in queso caso per oenere l equazione (7.) a parire dalla (7.) l applicazione del j cos ω con e ω. meodo corrisponde alla sosiuzione formale nella (7.) del ermine 7.5 Soluzione del circuio L forzao a regime Applichiamo il meodo simbolico all equazione (7.8); perano sosiuiamo formalmene j cos ω con e ω : di j I I d e ω + + ξ ξ d L L L L e deriviamo rispeo al empo: di di jω I jω e + +. (7.) d L d L L La soluzione generale di quesa equazione può essere posa nella forma I + I dove I ( ) indica la soluzione dell equazione omogenea associaa alla (7.): d I di + + I (7.3) d L d L menre I rappresena una soluzione paricolare della (7.). L equazione omogenea (7.3) uguale alla (7.3) è già saa risola nell ambio dello sudio del circuio L non forzao e in paricolare si è verificao che la corrispondene soluzione si annulla nel limie dei empi lunghi. Essendo ineressai allo sudio del circuio L a regime quando il ransiorio si può rienere esaurio non eniamo cono del ermine I. Per sabilire l espressione di I supponiamo che sia: I j I e ω sosiuendo nella (7.) si ha: jω jω jω jω ω Ie + jωie + Ie jω e L L L da cui dividendo per j e ω e sviluppando segue:

9 ircuii elerici in regime sinusoidale 7-9 I jω. (7.4) L L j L L ω + jω + ω ω j ωl L L jω L jω L jω ω Poniamo quindi: Z + j ωl ω allora indicando con Z e φ rispeivamene il modulo e l argomeno di Z : Z Z + ωl ω anφ ωl ω (7.5) l espressione di I divena: e I I e e e Z Ze Z jω jω jω j( ω φ ). jφ Alla luce dell applicazione del meodo simbolico la correne i( ) si valua deerminando la pare reale di I : j( ω φ) i e{ I } e e cos( ω φ ); Z Z La differenza di poenziale ai capi del condensaore v sesso meodo all equazione (7.9) uavia poiché: ( ξ ) v + i dξ applicando il meodo simbolico a ale relazione si ha: ( ξ ) + I dξ ; può essere deerminaa applicando lo in quesa espressione e l addendo derivane dall esremo inferiore di inegrazione deermineranno un ermine il cui effeo è limiao alla duraa del ransiorio perano non ne eniamo cono; così sosiuendo a I la sua espressione si ha:

10 7- ircuii elerici in regime sinusoidale I I d I e d I e jω jω ξ ξ jω jω ξ la cui pare reale è pari a v. A causa della scarsa preparazione maemaica degli ingegneri eleroecnici della fine del 9 secolo il meodo simbolico non fu immediaamene acceao. Per migliorarne la comprensione Seinmez a parire dal 897 pubblicò diversi manuali in cui il meodo era applicao in varie circosanze così araverso ali scrii e le lezioni enue il suo meodo fu gradualmene adoao nello sudio dei circuii ecciai sinusoidalmene. 7.6 Impedenza Nel circuio rappresenao in figura indicando con v ( ) vl e v rispeivamene le differenze di poenziale ai capi della resisenza della bobina e del condensaore risula: i v ( ) di v i vl L d v( ) L v L ( ) ( ξ ) v + i dξ. v ( ) Per la seconda legge di Kirchhoff se v è la forza eleromorice erogaa dal generaore con risula: ( ω ) v cos v v + v + v. L La descrizione del circuio in esame può essere svola equivalenemene araverso l uso del meodo simbolico; applicando direamene ale procedimeno alle espressioni di v vl e v ( ) si ha : L I jωli I ; jω sommando membro a membro se rappresena l esensione complessa di v allora: Per comodià di scriura si soinendono le dipendenze emporali delle esensioni complesse.

11 ircuii elerici in regime sinusoidale 7- + L + + jωl+ I Z I jω. La quanià Z pari a jωl ( jω) + + prende il nome di impedenza del circuio in esame. Si osservi che a differenza della resisenza di un circuio l impedenza non rappresena una caraerisica inrinseca di un circuio poiché dipende dalla pulsazione dell ecciazione sinusoidale applicaa. L unià di misura del modulo dell impedenza è l ohm. La relazione Z I che lega l esensione complessa della forza eleromorice applicaa all esensione complessa della correne araverso l impedenza è dea legge di hm generalizzaa. Dall esame della forma di Z è possibile ricavare l espressione delle impedenze associae alla resisenza alla bobina ed al condensaore: Z ZL jωl jxl (7.6) Z j jx jω ω (7.7) dove X L pari a ω L e ω prendono il nome rispeivamene di reaanza induiva e reaanza capaciiva. Alla luce dell espressione della legge di hm generalizzaa e della validià delle leggi di Kirchhoff è possibile dedurre che lo sudio delle rei soggee ad uno simolo di ipo sinusoidale procede in maniera analoga al caso degli simoli coninui purché si adoperi il conceo di impedenza per la descrizione dei componeni della ree. Perano il collegameno in serie di n impedenze Z Z Zn è equivalene ad un unica impedenza Z di valore pari a: X pari a Z n Z k k menre se le n impedenze sono connesse in parallelo risula: Z n k Z k. sserviamo infine che in generale un impedenza può essere espressa nella forma: Z + jx dove X è dea in generale reaanza. L inverso di un impedenza: Y Z

12 7- ircuii elerici in regime sinusoidale è denominao ammeenza. I re elemeni più semplici che cosiuiscono l impedenza sono la resisenza l induanza e la capacià; nel seguio analizzeremo separaamene le caraerisiche di ciascuno di quesi componeni Impedenza resisiva onsideriamo una resisenza percorsa da una correne: ( ω φ ) i I cos + i v dalla legge di hm segue: cos( ω φ) cos( ω φ ) v i I + + dove si è poso: I. Il fao che l impedenza associaa ad un resisore coincida con la sua resisenza fa si che le relazioni radizionali forniscano il legame ra correne e differenza di poenziale senza dover ricorrere al meodo simbolico. iò implica per alro che la differenza di poenziale ai capi della resisenza risula in fase con la correne che la percorre. I w + f 7.6. Impedenza induiva poso onsideriamo una bobina di induanza L percorsa dalla correne: ( ω φ ) i I cos + ; i L v L ( + ) j I Ie ω φ siccome l impedenza associaa alla bobina vale: L π j Z jωl ωle l esensione complessa della differenza di poenziale ai suoi capi è: L π π π j j ω+ φ+ j ω+ φ+ ( ) j ω + φ ω ω I Z I e Le LI e e dove si è poso: ωli.

13 ircuii elerici in regime sinusoidale 7-3 I due ermini: ( + ) j I Ie ω φ π j ω+ φ+ e w + f + p / I w + f possono essere considerai rappresenaivi di due veori che spiccano dal medesimo puno e ruoano nella sessa direzione convenzionalmene anioraria con velocià angolare pari a ω manenendosi uno sfasao in anicipo di 9 rispeo all alro I. Quese enià prendono il nome di fasori. Per ricavare la differenza di poenziale v( ) ai capi della bobina valuiamo la pare reale di : π j ω+ φ+ v { } e cos π e e ω+ φ+ ; quindi la differenza di poenziale sinusoidale ai capi della bobina ha ampiezza pari a ed è sfasaa in anicipo di 9 rispeo alla correne i( ). Dall espressione di segue inolre che: lim limωli ω ω ; lim I lim ω ω ωl v( ) i( ) ali relazioni possono essere inerpreae affermando che nel limie di uno simolo coninuo ( ω ) la bobina agisce come un corocircuio menre nel limie delle ale frequenze (ω ) la bobina si compora come un circuio apero. p / Impedenza capaciiva onsideriamo un condensaore di capacià alimenao dalla correne: ( ω φ ) i I cos + ; i v poso: ( + ) j I Ie ω φ poiché l impedenza associaa al condensaore è: π j Z j e jω ω ω l esensione complessa della differenza di poenziale ai suoi capi è:

14 7-4 ircuii elerici in regime sinusoidale π π π j j ω+ φ j ω+ φ ω φ j + I Z I e e I e e ω ω dove si è poso: I ermini: I ω. ( + ) j I Ie ω φ π j ω+ φ e rappresenano due fasori con sfasao in riardo di 9 rispeo a I. La differenza di poenziale v( ) ai capi del condensaore vale: π j ω+ φ v { } cos π e e e ω+ φ I w + f w + f -p / cioè ale differenza di poenziale ha ampiezza ed è sfasaa in riardo di 9 relaivamene alla correne i( ). Inolre risula: v( ) i( ) w lim I limω ω ω I ; lim lim ω ω ω p / ovvero nel limie delle solleciazioni coninue il condensaore agisce come un circuio apero menre alle ale frequenze si compora come un corocircuio. Esempio: Nel circuio di figura il generaore v eroga una forza eleromorice sinusoidale di ampiezza pari a 3 e pulsazione ω di 34 rad s. Sabiliamo l espressione della correne che araversa nell ipoesi che e valgano rispeivamene Ω e Ω L vale mh e µf. L esensione complessa di v è: v L e ω j così in corrispondenza nodo N risula: I I + I (7.8) 3

15 ircuii elerici in regime sinusoidale 7-5 dove I I e 3 i ( ) e 3 i I rappresenano le esensioni complesse rispeivamene di i ; alla maglia comprendene il generaore e L e alla maglia comprendene L e si ha: j I + jωli3 e ω (7.9) jωli3 I I. jω (7.) v( ) i N i( ) i L 3 Quese due equazioni risulano formalmene ideniche a quelle che si scriverebbero in un circuio in correne coninua con l associazione di una resisenza j L jω alla capacià. Esprimiamo il sisema delle re equazioni in forma mariciale: ω all induanza L e di una resisenza I jω jωl I e I 3 jωl jω allora l esensione complessa della correne i vale: I L + + j ωl+ ωl jω jω e jωl jω jωl jωle jωl jωl jω jω e. j + + ω L ω ωl Poso quindi: I + + ω L ω ωl + ω ωl ϑ aan 73 ω L. A v( ) i( ) risula: ( ω ϑ ) i I cos. In figura sono confronai l andameno di i ( ) con quello di v.

16 7-6 ircuii elerici in regime sinusoidale 7.7 isonanza onsideriamo un circuio L soggeo ad una ecciazione sinusoidale: ( ω ) v cos ; a regime la correne i araverso la ree è daa dall espressione: i cos( ω φ) I cos( ω φ) Z in cui l ampiezza I rappresena il modulo della correne complessa I daa dalla (7.4): I Z + ωl ω. (7.) L ampiezza I presena un massimo quando la pulsazione assume il valore ω pari a: ω (7.) L ovvero in corrispondenza della pulsazione di oscillazione libera del circuio. elaivamene a queso circuio ω prende il nome di pulsazione di risonanza. Per ω uguale a ω si ha: I ω I (w) / inolre dalla (7.5) segue: φ( ω ) così deduciamo che in corrispondenza della pulsazione di risonanza il circuio ha un comporameno di ipo resisivo nel senso che la correne i araverso il circuio risula in fase con la ensione applicaa v. La reaanza di queso circuio vale: f ( ) +p / w w X ωl ; ω w w per ω < ω risula: -p /

17 ircuii elerici in regime sinusoidale 7-7 X < ; per cui l impedenza Z può essere espressa come: Z j X ; d alra pare dalla (7.7) osserviamo che il condensaore è caraerizzao da un impedenza negaiva così concludiamo che per ω < ω il circuio L è viso dal generaore come la serie di una resisenza con un condensaore ' di valore: ' ω L ; per ω > ω risula: X > ; per cui l impedenza Z può essere espressa come: Z + jx ; d alra pare dalla (7.6) osserviamo che l induanza è caraerizzaa da un impedenza posiiva così concludiamo che per ω > ω il circuio L è viso dal generaore come la serie di una resisenza con una bobina L' di valore: ω L L'. ω 7.8 Faore di merio Sia U M la massima energia che può immagazzinare un circuio risonane 3 e U D l energia dissipaa in un periodo dallo sesso circuio; si definisce faore di merio del circuio in quesione la quanià: U M Q π ω ω U D dove si inende che il rapporo UM U D deve essere calcolao in corrispondenza della pulsazione di risonanza della ree. Queso faore fornisce un indice di come il circuio impiega l energia che gli viene fornia dal generaore. Per sabilire il faore di merio del circuio L fino ad ora esaminao consideriamo l energia immagazzinaa nella bobina; se la correne i( ) che percorre il circuio è: 3 Quese considerazioni sono di caraere generale nel senso che si applicano a ui i circuii caraerizzai da una frequenza di risonanza e perano dei circuii risonani.

18 7-8 ircuii elerici in regime sinusoidale sin ( ω ) i I la massima energia immagazzinaa nel circuio è: UM LI. Per valuare l energia dissipaa in un periodo osserviamo che l unico elemeno che dissipa energia è la resisenza e in corrispondenza della correne i( ) queso componene dissiperà isananeamene una poenza: sin ( ω ) p i I così l energia dissipaa in un periodo alla pulsazione di risonanza è: D I sin ( ω ) ω U p d I d I dove indica il periodo π ω alla pulsazione di risonanza. Dalla definizione segue quindi che il faore di merio del circuio L vale: π Q U LI M π π UD I π ω ω L inolre valendo la (7.) risula anche: Q ω L ω. (7.3) La grandezza esé inrodoa olre a caraerizzare il circuio risonane dal puno di visa energeico consene di meere in luce alri aspei relaivi alla funzionalià del circuio. Facendo uso del meodo simbolico deerminiamo le differenze di poenziale ai capi della bobina e del condensaore del circuio L in corrispondenza di un ecciazione sinusoidale di pulsazione pari a quella di risonanza risula: cioè: j ω jω jω + L L ω Z ω I ω jω L e jq e Q e π j ω jω jω ( ω) Z( ω) I ( ω) e jqe Qe jω π π vl Qcos ω+

19 ircuii elerici in regime sinusoidale 7-9 π v Qcos ω. Quindi alla risonanza le differenze di poenziale ai capi della bobina e del condensaore hanno un ampiezza Q vole maggiore dell ampiezza della forza eleromorice applicaa. D alra pare siccome le due ensioni oscillano manenendosi sfasae ra loro di 8 (in conrofase) la loro somma risula isane per isane nulla. Indichiamo genericamene con: ( ω + ϑ ) i I cos L ( w ) w I ( w ) l espressione della correne nel circuio L dove I è l ampiezza e ϑ pari all opposo φ dell argomeno dell impedenza Z la fase. Quese due quanià possono essere espresse come 4 : I ω ω + Q ω ω (7.4) ω ω anϑ Q. ω ω onvenzionalmene le pulsazioni ω e ω in corrispondenza delle quali I assume un valore pari a vole il suo massimo cioè ( ) definiscono gli esremi della banda passane ω inesa come l inervallo: ω ω ω; queso inervallo si può ricavare osservando che quando risulare: I è pari a ( ) dalla (7.4) deve 4 Dalle relazioni (7.) (7.) e (7.3) segue: I ωl ωl ωl ω Q ω ω ω ω ωωl. ω ω + Q ω ω Dalla relazione (7.5) enendo cono che la fase della correne i( ) è opposa all argomeno dell impedenza Z e dalle relazioni (7.) e (7.3) si ha: ω L ω ω ω anϑ an φ ωl Q Q Q. ω ωl ωωl ω ωωl ω ω

20 7- ircuii elerici in regime sinusoidale I (w) ω Q ω ω ω ± / / Q < Q < Q Q Q 3 da cui segue: ω Q ω ; Dw /w Dw /w Dw 3 /w Q 3 w/w osserviamo perano che la curva di risonanza risula ano più srea quano più è grande il valore assuno dal faore di merio. Il fenomeno della risonanza fu scopero da esla nel 89 nel corso dei suoi sudi sui circuii alimenai con ensioni sinusoidali ad ala frequenza; sfruando ale effeo esla realizzò un disposiivo (bobina di esla) in grado di produrre alissime ensioni a frequenza elevaa. f( ) +p / -p / w/w Q Q Q Poenze La poenza isananea fornia ad un generico carico da un generaore di forza eleromorice v( ) che eroga una correne i( ) è daa dalla relazione: vi w ; convenzionalmene w > corrisponde al rasferimeno di energia dal generaore verso il carico menre w < corrisponde ad un flusso di energia nella direzione opposa. onsideriamo una qualsiasi ree passiva ovvero priva di generaori e con due morsei; il eorema di hevénin eseso alle correni alernae consene di schemaizzare l inera ree compresa ra i morsei come una sola impedenza Z di modulo Z e argomeno φ : i Z v jφ Z Ze Z cosφ+ jz sinφ + jx dove si è poso: Zcosφ X Zsinφ. Se ale impedenza è percorsa da una correne sinusoidale: ( ω ) i I cos

21 ircuii elerici in regime sinusoidale 7- j di esensione complessa I pari a Ie ω l esensione complessa della differenza di poenziale ai suoi capi vale: ( ω φ) ( ω φ) I Z I e Ze I Ze e jω jφ j + j + in cui l ampiezza è pari a IZ ; a corrisponde la differenza di poenziale: { } ( ω + φ ) v ε IZcos. Perano la poenza isananea assorbia dalla ree così schemaizzaa è: poso quindi: risula: w vi I Zcos ω+ φ cos ω I Z cos ωcosφ sin ωcos ωsinφ I Zcosφcos ( ω) I Zsinφsin ( ω) p I ( Zcosφ) cos ( ω) I cos ( ω) I + cos( ω) q I ( Zsinφ ) sin ( ω) I X sin ( ω) w p + q ; il valor medio m p e così: q : W della poenza isananea w è la somma dei valori medi P m e + + ( ξ) ξ cos( ωξ) ξ + + ( ξ) ξ sin ( ωξ) ξ Pm p d I + I d I Qm q d I X d Wm Pm + Qm I Ieff Q m dei ermini dove I eff è il valore efficace 5 della correne i( ). Quindi la poenza isananea w è la somma di due ermini; il primo p ( ) deo poenza aiva isananea di valor medio diverso da zero 5 Per una grandezza periodica x( ) di periodo ovvero ale che per ogni risula x x( ) valore efficace di x( ) la quanià: + si definisce

22 7- ircuii elerici in regime sinusoidale rappresena la poenza dissipaa nella componene resisiva dell impedenza Z ; l alro q( ) deo poenza reaiva isananea di valor medio nullo corrisponde all energia che le capacià e le induanze cosiueni la componene reaiva X dell impedenza Z assorbono durane le fasi di carica e cedono nelle fasi di scarica; se l impedenza Z è cosiuia unicamene da un componene reaivo ale scambio avviene col solo generaore. Noiamo infine che il valor medio W m della poenza isananea è pari al quadrao del valore efficace della correne i moliplicao per la componene resisiva dell impedenza Z quindi gli effei dissipaivi prodoi da una correne alernaa sono uguali a quelli di una correne coninua di inensià pari a quella del valore efficace della correne alernaa. Per ale moivo quando in genere ci si riferisce all ampiezza di una grandezza sinusoidale come ad esempio 3 per la ensione adoaa in Europa nelle rei domesiche si inende il valore efficace di ale grandezza. Il valor medio della poenza isananea pari a P m può esprimersi come: Pm I I Zcosφ Icosφ Ieffeff cosφ inolre il valore massimo della poenza reaiva isananea è: Q I X I Zsinφ Isinφ Ieffeff sinφ; facendo uso di ali quanià si definisce la poenza apparene come: ( φ) ( φ) a m eff eff eff eff eff eff P P + Q I cos + I sin I ; ale grandezza pur essendo priva di significao fisico ha valore in quano indireamene fornisce un indicazione della correne assorbia dall impedenza Z consenendo di deerminare ad esempio le sezioni dei conduori da impiegare nei collegameni. onvenzionalmene la poenza P m dea poenza aiva (media) si misura in wa (W) la poenza reaiva (massima) Q si misura in volampere reaivi (A) e la poenza apparene P a si misura in volampere (A). La poenza apparene P a coincide con la poenza aiva P m solo se l angolo di fase φ è nullo cioè se cosφ che corrisponde al caso di una impedenza puramene resisiva. Il ermine cosφ è deo faore di poenza e fornisce il rapporo: cosφ P P m a + X eff x ( ξ ) d ξ. Nel caso di una grandezza variabile con legge sinusoidale i I ( ω ) Ieff I cos ( ωξ ) dξ I. + cos con ω π risula:

23 ircuii elerici in regime sinusoidale 7-3 ra la poenza aiva e quella apparene. Esempio: onsideriamo una bobina reale ovvero ale da essere caraerizzaa da una resisenza diversa da zero; supponiamo che la sua impedenza Z sia pari a Ω e che la fase φ sia di 6 anziché di 9 come per un induore ideale. ale bobina connessa ad una ree di disribuzione elerica che eroga una ensione efficace eff di 3 fa passare una correne: I eff eff 3.3 A Z Ω così la poenza apparene vale: P I.3 A 3 59 A. a eff eff on un angolo di fase di 6 il faore di poenza cosφ vale così la poenza aiva è: P I cosφ.3 A W m eff eff cioè la poenza media è la meà della poenza apparene. Qualora cosφ fosse uguale a in corrispondenza della medesima poenza aiva si avrebbe una correne assorbia dal generaore: Pm 64.5W I eff'.5 A 3 eff pari alla meà di I eff. he la correne I eff sia così elevaa a frone di un suo non effeivo impiego non risula conveniene in quano i conduori per il collegameno al generaore gli inerruori i fusibili ed alri componeni devono essere in grado di sosenere il doppio della correne che sarebbe necessaria se il faore di poenza fosse uniario. A ale scopo le apparecchiaure commerciali sono sempre progeae in modo ale da manenere il faore di poenza della ree di alimenazione il più possibile prossimo all unià. 7. Poenza complessa Alla luce delle precedeni definizioni si evince che è possibile associare alla poenza P a una quanià complessa P a definia come: P I * a eff eff dove * I eff è il complesso coniugao di I eff ; perano siccome: j eff e ω I j( ) Ieff e ω + φ allora: * I j( ω+ φ) jω jφ Pa Ieff eff e e Ieffeff e Ieffeff cosφ jieffeff sinφ Pm jq.

24 7-4 ircuii elerici in regime sinusoidale Il modulo di P a può essere riguardao come una misura dell ipoenusa di un riangolo reangolo di cui P m e Q rappresenano le lunghezze dei caei; ale figura geomerica prende il nome di riangolo delle poenze. Infai la poenza apparene P a è pari al modulo di P a ossia: P m I eff eff cosf f PaI eff eff QI eff eff sinf P P P + Q. a a m Esempio: Sabiliamo i lai del riangolo delle poenze per la ree di figura in cui vale 3 Ω e L vale 3 mh alimenaa con un generaore sinusoidale di frequenza pari a 5 Hz e ampiezza efficace di. L impedenza della ree è: inolre Z + jωl 3 Ω + jπ 5 Hz 3 mh 3+ j4 Ω v( ) i L Z Z + Ω Ω ωl 4 φ aan aan eff f 53 I eff e jw A e j ( w -53 ) Il valore efficace della correne i nel circuio è perano: eff eff jω jφ j( ω 53 ) Ieff e e Ae ; Z Z la poenza apparene complessa vale quindi: P m. kw f 53 Pa. ka Q.6 ka * j( ω 53 ) jω j53 a eff eff. P I Ae e kae. kw + j.6 ka con P pari a a. ka. Si noi che era possibile pervenire allo sesso risulao osservando che: eff P I A 3 Ω. kw m Q I X A ka eff 4 Ω.6 P I Z A 5 Ω. ka a eff inolre dal rapporo Pm P si ricava il faore di poenza: a. cos φ Pm kw.6. P. ka a Supponiamo ora di applicare in parallelo all impedenza Z un condensaore di capacià pari a 3 µ F. La correne erogaa dal generaore in quesa nuova condizione ha valore efficace pari a: ig( ) i i( ) IG eff Ieff + I eff v dove L

25 ircuii elerici in regime sinusoidale 7-5 I I eff eff Allora I vale: Geff eff j( ω 53 ) Ae Z eff j( ω+ 9 ) Ae. jω I eff 7 53 I G eff j( ω 53 ) j( ω+ 9 ) j ω j( ω 7 ) I Ae + Ae j6 Ae 3.4 Ae Geff I eff quindi la poenza apparene in quesa nuova condizione è: * j( ω 7 ) jω j7 a Geff eff P I Ae e kae. kw + j.6 ka cioè pur resando inaleraa la poenza dissipaa nella resisenza la poenza apparene è diminuia essendo ridoa la correne erogaa dal generaore. P m ' º P m 7 P a ' Q ' Queso esempio mosra una siuazione abbasanza comune nella praica poiché la maggior pare dei carichi nelle uenze domesiche e indusriali è di ipo resisivo-induivo. ome viso la poenza aiva P m misura il lavoro che il carico compie nell unià di empo menre la poenza apparene P a fornisce un indicazione della massima correne erogaa dal generaore. In eoria se un uilizzaore fosse cosiuio da un carico puramene reaivo il generaore sarebbe soggeo al carico nominale pur erogando poenza nulla. ol procedimeno mosrao in queso esempio deo rifasameno si diminuisce l angolo di fase dell impedenza rendendo cosφ prossimo all unià così pur resando inaleraa la poenza aiva dissipaa si riduce la correne assorbia. Sebbene in principio porebbe sembrare conveniene imporre cosφ ciò risula sconsigliabile perché in ali condizioni il circuio risulane sarebbe in condizioni di risonanza con la conseguene generazione di exraensioni in corrispondenza degli elemeni reaivi. P a 7. Il rasformaore Il rasformaore rappresena una delle macchine eleriche più imporani in quano consene di generare la poenza elerica ad un cero poenziale e di rasmeerla ad un alro. La possibilià di rasmeere la poenza in alernaa ad alo poenziale con piccole perdie e successivamene rasformarla per l uenza ad un poenziale più basso spiega fondamenalmene la superiorià della disribuzione dell energia per mezzo di correni alernae rispeo alla disribuzione in coninua. onsideriamo un anello di ferro dolce laminao 6 secondo piani paralleli alle linee di forza del N N 6 La laminazione del nucleo del rasformaore è necessaria per ridurre il suo riscaldameno a causa delle correni parassie che si generano in esso per effeo del campo magneico variabile cui è sooposo. Si consideri ad esempio un nucleo di ferro massiccio sede di un campo magneico variabile; dalla legge di Faraday-Henry la variazione del campo deermina nel nucleo ani percorsi chiusi sedi di forze eleromorici indoe e quindi di correni indoe; come provò sperimenalmene Léon Foucaul nel 855 ali correni deerminano per effeo Joule lo sviluppo di calore nella massa del nucleo di ferro. osì per ridurre l ampiezza di quesi percorsi il nucleo del rasformaore viene cosiuio da lamierini isolai ra loro con cara o con vernice. Inolre quando è possibile i lamierini sono realizzai con maeriali meallici ad elevaa resisivià come ad esempio delle leghe di ferro e silicio.

26 7-6 ircuii elerici in regime sinusoidale campo magneico prodoo da due avvolgimeni rispeivamene di N e N spire. Sia S la sezione dell anello e l la sua lunghezza (media) allora in assenza di flusso magneico disperso le induanze dei due avvolgimeni sono: µ N S L l µ N S L l rasformaore da 35 MA 4 k/8 k (omelmar Ialia) dove µ è la permeabilià magneica del ferro; il coefficiene di muua induzione ra i due avvolgimeni vale: M µ NNS l κ κ LL in cui κ deo coefficiene di accoppiameno è un numero compreso ra e + e il segno disingue il verso di avvolgimeno di una bobina rispeo all alra. Nel seguio assumeremo che l accoppiameno ra i due avvolgimeni sia ale che κ valga ; onvenzionalmene l avvolgimeno poso a sinisra dello schema del rasformaore è deo primario e l alro è deo secondario. Supponiamo di applicare al primario del rasformaore un generaore di forza eleromorice sinusoidale; nell ipoesi che enrambe le bobine abbiano resisenza nulla risula: jωli jωmi v ( ) i( ) v ( ) N N così facendo il rapporo membro a membro nell ipoesi di avvolgimeni concordi ( κ ) si ha: L µ N S l N. M l µ N N S N Quindi con le ipoesi fae risula che la differenza di poenziale presene sul secondario del rasformaore è in fase con la forza eleromorice erogaa dal generaore e inolre: N. N Supponiamo che l avvolgimeno secondario del rasformaore sia chiuso su un carico cosiuio da una resisenza. Assumendo rascurabile la dissipazione negli avvolgimeni la poenza assorbia dal carico sarà pari al prodoo del valore efficace della differenza di poenziale presene sul secondario moliplicao per il valore efficace della correne che araversa ale resisenza eff I eff ; v ( ) i ) ( i v ( ) N N

27 ircuii elerici in regime sinusoidale 7-7 quesa poenza deve necessariamene essere fornia dal generaore connesso al primario del rasformaore perano: I I eff eff eff eff ovvero: N I I I. N Il rapporo N N che caraerizza il funzionameno del rasformaore prende il nome di rapporo di rasformazione. Esempio: onsideriamo un generaore di forza eleromorice v sinusoidale che alimena un carico araverso una linea di lunghezza l caraerizzaa da una resisenza per unià di lunghezza pari a r. La poenza erogaa dal generaore è: P I m eff eff v( ) i( ) Dv' dove I è il valore efficace della correne erogaa dal generaore; eff indicando con eff' la cadua di ensione efficace lungo la linea la poenza dissipaa araverso la resisenza della linea vale: i( ) P ' I I rl d eff eff eff v( ) N N N ' N ' perano il rapporo Pd P è dao da: m N > N N ' N ' < Pd P m Ieff rl. eff Quindi a parià di poenza erogaa ano maggiore è eff ano più è piccola la frazione di poenza persa nella linea rispeo a quella erogaa. Poiché non è opporuno generare forze eleromorici con alo poenziale e nemmeno adoperarle si impiegano dei rasformaori per elevare il poenziale prodoo dal generaore per poi ridurlo sempre facendo uso di rasformaori in corrispondenza delle uenze. rasformaore di Gaulard e Gibbs con nucleo reilineo apero Il primo a realizzare un rasformaore fu Faraday nelle sue esperienze sull induzione eleromagneica del 83 uavia Faraday non si accorse delle poenzialià di ale disposiivo. Nel 88 il fisico francese Lucien Gaulard e l inglese John Dixon Gibbs brevearono un sisema di disribuzione della correne alernaa che faceva uso di un apparao denominao generaore secondario funzionane sul principio della muua induzione e realizzao con due bobine avvole su un supporo meallico reilineo. Uilizzando ale disposiivo nel 884 venne effeuaa l illuminazione di un rao di km della meropoliana di Londra e successivamene della linea ferroviaria orino-lanzo dove la lampadina più lonana era siuaa a circa 4 km da un alernaore di k con frequenza di 33 Hz. Solo nel seguio Gaulard comprese l opporunià di adoperare un nucleo chiuso per il suo generaore secondario oenendo un disposiivo in grado converire poenze dell ordine del kw.

28 7-8 ircuii elerici in regime sinusoidale 7. Serie di Fourier gni elemeno dello spazio veoriale euclideo a re dimensioni può essere descrio araverso una combinazione lineare dei versori degli assi ˆx ŷ e ẑ ; per queso moivo si dice che i versori formano una base per lo spazio veoriale considerao. Analogamene è possibile provare che il sin ω cos ω sin ω cos ω con ω uguale a sisema di funzioni rigonomeriche π forma una base per l insieme delle funzioni periodiche nell inervallo [ ] caraerizzae da un numero finio di disconinuià finie in ale inervallo e con derivaa coninua nei puni in cui la funzione è coninua. Perano una funzione f ( ) che gode di ali proprieà può esprimersi come: a f + cos sin an nω + bn nω n a + acos( ω) + acos( ω) + a3cos( 3ω) + + b sin + b sin + b sin 3 +. ( ω ) ( ω ) ( ω ) 3 (7.5) Queso sviluppo noo come serie di Fourier o serie rigonomerica fu inrodoo nel 8 da Jean Bapise Joseph Fourier nell ambio dello sudio della propagazione del calore. Il ermine a vale: a f d ovvero è uguale al valor medio di f ( ) nell inervallo considerao; i coefficieni a n e b n valgono rispeivamene: Jean Bapise Joseph Fourier an f cos ( nω) d (7.6) bn f sin ( nω) d. (7.7) Nei puni di disconinuià della funzione consideraa la serie rigonomerica converge al valore lim f + lim f cioè alla media ra il limie desro e quello sinisro della funzione nel ξ + ξ puno di disconinuià. onoscendo le proprieà di parià 7 della funzione f l espressione della serie rigonomerica può essere noevolmene semplificaa; siccome l inegrale calcolao su un f sin nω è periodo di una funzione periodica dispari è nullo allora se f ( ) è pari il prodoo cos 7 Una funzione f si dice pari se risula f f ( ) e si dice dispari se risula f f ( ω ) è una funzione pari e sin funzione dispari è una funzione dispari.. Ad esempio ω è una funzione dispari. Si osserva che il prodoo di una funzione pari per una

29 ircuii elerici in regime sinusoidale 7-9 una funzione periodica dispari e perano i ermini b n dello sviluppo sono nulli; se f è dispari il prodoo f cos( n ) ω è una funzione dispari e nello sviluppo sono nulli i ermini a n. Esempio: onsideriamo la funzione v così definia: v( ) < 4 v 4< < + /4 3 /4 siccome è pari i ermini b n sono nulli; inolre poiché l area della semionda posiiva è uguale a quella della semionda negaiva il valor medio a n è nullo. Perano dalla (7.6) i ermini a valgono: n an v cos( n ) d cos( n ) d cos( n ) d cos ( n ) d ω ω ω + ω nπ nπ nπ cos( nω) d cos( nω) d cosξdξ cosξdξ sin. nπ nπ nπ Perano siccome sin 4 nπ n n n nπ può esprimersi come j + ( ) lo sviluppo di v è dao da: n+ 4 j n v cos( nω) cos( ω) cos( 3ω) cos( 5ω) cos( 7 ω). π n + + π 3π 5π 7π In figura è mosrao il grafico dello sviluppo di v roncao al 4-esimo ermine. v( ) + La serie di Fourier può essere adoperaa per lo sudio dei circuii quando quesi sono sooposi a solleciazioni periodiche non sinusoidali. Alla luce del principio di sovrapposizione lo simolo cui è soggeo il circuio viene ricavao dalla somma delle rispose della ree a ciascuno dei ermini sinusoidali in cui viene decomposo lo simolo. - /4 3 /4 Esempio: onsideriamo la ree di figura in cui il generaore eroga una forza eleromorice v variabile nel empo come nell esempio precedene. L esensione complessa di ale forza eleromorice vale: n+ 4 j n jnω 4 jω 4 j3ω 4 j5ω 4 j7ω e e e e e π n + + π 3π 5π 7π n perano siccome l impedenza della ree è: Z( ω) + Z( ω) e jω jφω v v ( ) i dove: Z ( ω) + ( ω) an φ( ω) ω

30 7-3 ircuii elerici in regime sinusoidale sono rispeivamene il modulo e la fase di Z ( ω ) l esensione complessa della correne i araverso il circuio è: n+ n+ 4 j n jnω 4 j n j nω φ( nω) I e e π n Z( nω) n π n Z( nω) n 4 j ω φ( ω) 4 j 3ω φ( 3ω) 4 j 5ω φ( 5ω) 4 j 7ω φ( 7ω) e e + e e + πz ω 3πZ 3ω 5πZ 5ω 7πZ 7ω per cui la correne i vale: i( ) ε { I} i n+ 4 j n j nω φ( nω) ε e π n Z( nω) n 4 4 cos ω φ( ω) cos 3ω φ( 3ω) πz( ω ) 3πZ( 3ω + ) 4 + cos 5ω φ( 5 ω) +. 5πZ 5 ( ω) /4 3 /4 In figura è mosrao il grafico di ale correne. Per ricavare l andameno della differenza di poenziale v ai capi del condensaore moliplichiamo ciascun ermine dello sviluppo dell esensione complessa della correne I per la reaanza del condensaore: X ( ω) jω calcolaa in corrispondenza pulsazione del ermine considerao; così l esensione complessa della ensione v 4 j 4 j X ( nω ) e e π Z nω n π jnω Z nω n n+ n+ n jn n jnω ( ω) ω n n n+ π j j n n n ω φ ω e n n Z n 4 πω π π π j 3ω φ ( 3ω) j 5ω j ω φ ω ( 5 ) 7 ( 7 ) φ ω 4 j ω φ ω e e + e πz ω 9πωZ 3ω 5πωZ 5ω perano la ensione v è daa da: 49πωZ 7 ( ω) n π + 4 j j n n n ω φ ω v ε { } ε e πω n n Z( nω ) 4 4 π 4 π cos ω φ( ω) cos 3ω φ( 3ω) cos 5ω φ( 5ω) πz ω 9πωZ 3ω 5πωZ 5ω e vale: la cui rappresenazione grafica è mosraa in figura v ( ) Il meodo descrio può essere uleriormene eseso per consenire lo sudio della solleciazione dei circuii con simoli non periodici araverso l algorimo della rasformaa di Fourier. /4 3 /4