Trasformazioni di Galileo

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1 Principio di Relaivià Risrea (peciale) e si sceglie un dr rispeo al uale le leggi della fisica sono scrie nella forma più semplice (dr ineriale) allora le sesse leggi valgono in ualunue alro dr in moo di raslaione reilineo e uniforme rispeo a uello dao (Galileo): Trasformaioni di Galileo Nessun esperimeno eseguio all inerno di un deerminao dr ineriale porà mai meere in evidena il moo di ueso rispeo ad alri dr ineriali. Relaivià, Energia e Ambiene Fano (PU), Liceo cienifico Torelli, 14 aprile 2011 hp:// Prof. Domenico Galli Alma Maer udiorum Universià di Bologna DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 2 Covariana delle Leggi Fisiche Trasformaioni di Galileo Consideriamo i due dr (,,, ) e (,,, ), dove il dr si muove rispeo al dr con velocià direa nella direione dell asse. Le coordinae di uno sesso puno P nei due dr saranno in generale diverse, così come in generale saranno diverse le velocià. Tuavia le leggi fisiche debbono manenere invariaa la dipendena funionale dalle variabili del moo (posiione, empo, velocià, acceleraione) indipendenemene dal dr scelo: Alrimeni sarebbe possibile disinguere un dr ineriale rispeo a un alro. i dice perciò che le leggi fisiche sono covariani per cambiameno di dr ineriale. Esempio: oscillaore armonico: : a = k ( m 0 ) k : a = ( 0 ) m DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 3 upponiamo di disporre di una successione di orologi sincroniai 0, 1, 2, in uiee nel dr e di una analoga successione di orologi sincroniai 0, 1, 2, in uiee nel dr, in modo da poere effeuare misure di empo in ogni puno in ciascuno dei 2 dr. upponiamo inolre che le due successioni di orologi siano sincroniae ra loro. DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo

2 Trasformaioni di Galileo (II) Trasformaioni di Galileo (III) upponiamo ora che al empo ero, segnao da enrambe le successioni di orologi, le origini dei 2 dr coincidano: Le coordinae di uno sesso puno P nei due dr saranno in generale diverse. Dunue al empo ero coincidano ui e 3 gli assi caresiani. # = = 0 A un isane generico > 0 la disana ra le 2 origini sarà: = = î Come si vede dalla figura, considerando il riangolo P e uiliando la regola del riangolo per la somma dei veori, si ha: r = ( ) + r r = + r = î + r = î + r r (,,) P r,, = î DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 5 DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 6 Trasformaioni di Galileo (I) Trasformaioni delle elocià L espressione: r = î + r si può scrivere per componeni caresiane: = + = # = % = = & = # = % = (rasformaioni di Galileo) r (,,) P r,, = î Per la componene della velocià si oiene: v = d d = d + = d + d = v d d d + menre le alre componeni resano invariae: v = v + # v = v % v = v v = v & # v = v % v = v r (,,) P r,, = î (rasformaioni di Galileo delle velocià) DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 7 DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 8

3 Trasformaioni delle Acceleraioni Per la componene dell acceleraione si oiene: a = dv = d v + = d v + 0 = a d d d Anche le alre componeni resano invariae: a = a # a = a (rasformaioni di Galileo delle acceleraioni) % a = a r (,,) P r (,, ) = î Invariana dell Inervallo paiale nelle Trasformaioni di Galileo e ( 2, 2, 2 ) Consideriamo i 2 puni 1, 1, 1, in uiee nel dr. Il veore, che ha origine nel puno e verice nel puno, nel dr si scrive: r 12 = = ( 2 1 )î + ( 2 1 ) ˆ + ( 2 1 ) ˆk DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 9 DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 10 Invariana dell Inervallo paiale nelle Trasformaioni di Galileo (II) Invariana dell Inervallo paiale nelle Trasformaioni di Galileo (III) Lo sesso veore (origine nel puno e verice nel puno ), nel dr si scrive: r12 = = ( 2 1 )î + ( 2 1 ) ˆ + ( 2 1 ) ˆk = # = = #( 2 ) ( 1 )% &î + ( 2 1) ˆ + ( 2 1 ) ˆk % = = = ( 2 1 )î + ( 2 1 ) ˆ + ( 2 1 ) ˆk = r % = & % = 12 r12 = r 12 Dal risulao: r12 = r 12 si comprende che, in generale, la disana spaiale ra 2 puni non cambia nelle rasformaioni di Galileo. DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 11 DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 12

4 Invariana dell Inervallo Temporale nelle Trasformaioni di Galileo Covariana della Legge di Graviaione Universale per Trasformaioni di Galileo Abbiamo supposo di avere due successioni di orologi sincroniai nei due dr e di poere sincroniare e manenere sincroniae ra loro le due successioni: =. egue che il empo segnao dagli orologi è lo sesso nei due dr e dunue l inervallo di empo ra due eveni 12 = 2 # 1 è il medesimo nei due dr (nelle rasformaioni di Galileo): 12 = 2 # 1 = 2 # 1 = 12 = # = % = = % & % = Araione graviaionale ra due masse m 1 e m 2, in uiee nel dr, nelle posiioni e, di coordinae: ( 1, 1, 1 ) e ( 2, 2, 2 ). Dall invariana dell inervallo spaiale oeniamo: r12 = r 12 F 12 = # m m r = # m m r = F 2 2 r 12 r 12 r 12 r 12 F 12 = F L inensià della fora di araione graviaionale non cambia passando da un dr all alro. DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 13 DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 14 Invariana della Fora nelle Trasformaioni di Galileo Covariana del II Principio della Dinamica per Trasformaioni di Galileo i può dimosrare che il risulao che abbiamo rovao per la fora di araione graviaionale: Abbiamo viso che nelle rasformaioni di Galileo non si modificano né la fora né l acceleraione. F12 = F 12 vale in meccanica per ue le fore. Le fore sono uindi invariani per Trasformaioni di Galileo. Considerando anche che nella meccanica classica la massa non varia con la velocià, e dunue è la sessa nei due dr si oiene che la forma della legge di Newon (II principio della dinamica) non cambia passando da un dr ineriale a un alro. a = a # % & F = m a ' F = F ( F = m a DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 15 DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 16

5 Non Covariana della fora di Loren per Trasformaioni di Galileo Non Covariana della fora di Loren per Trasformaioni di Galileo (II) Una carica elerica puniforme, in moo con velocià v, in presena di un campo elerico E e di un campo magneico B, è soggea alla fora complessiva: F = E + v B # Fora di Loren Come si vede, il secondo ermine (deo Fora di Loren) dipende dalla velocià v e dunue cambia uando cambia il dr. Consideriamo un filo reilineo indefinio neuro percorso da una correne elerica cosane i e immaginiamo che una paricella elericamene carica si muova parallelamene al filo con una cera velocià v. Analiiamo la fora agene su da due puni di visa: sservaore, solidale al filo, che vede la paricella carica in moo con velocià v. sservaore, solidale alla paricella carica che vede la paricella carica immobile. i i F v B F = 0 v DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 17 DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 18 Non Covariana della fora di Loren per Trasformaioni di Galileo (III) Non Covariana della fora di Loren per Trasformaioni di Galileo (I) L osservaore vede il filo elericamene neuro, percorso da una correne elerica di inensià i, per cui non vede campi elerici ma vede il campo magneico di un filo percorso da una correne di inensià cosane. Per l osservaore la fora agene sulla carica è: F = v B L osservaore vede anch esso un campo magneico, dovuo alla correne i. Tuavia, poiché egli vede la paricella carica ferma, ale campo non produce fora sulla carica: F = 0 i i F v B F = 0 v Come si vede, la Fora di Loren in paricolare e l eleromagneismo in generale non sono covariani per Trasformaioni di Galileo. Queso consenirebbe, con esperimeni eleromagneici, eseguii all'inerno di un dr ineriale, di disinguere un dr ineriale da un alro. I dr ineriali non sono ui euivaleni rispeo ai fenomeni eleromagneici: Ce n'è uno privilegiao nel uale e solano nel uale sono valide conemporaneamene le leggi della Meccanica e uelle dell Eleromagneismo. I fenomeni eleromagneici permeerebbero uindi di definire un moo uniforme assoluo. i i F v B F = 0 v DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 19 DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 20

6 L Eere Luminifero L Eere Luminifero (II) Alla fine del XIX secolo, si pensava ancora che dovesse esisere un meo elasico e invisibile che riempie uo lo spaio e in cui si propaga la luce (deo Eere Luminifero ): Fluido, ma anche così rigido da resisere alle più elevae freuene di radiaione, privo di massa e di sruura microscopica, incompressibile e non viscoso. Alla fine del XIX secolo, si pensava dunue che: Le Trasformaioni di Galileo descrivessero correamene la rasformaione delle coordinae nel passaggio da un dr ineriale a un alro. Così come l aria è un meo in cui si propagano le onde acusiche (che in ueso caso sono onde di compressione dell aria). Poiché la luce si propaga anche nel vuoo si pensava che l Eere Luminifero dovesse riempire anche il vuoo. Il Principio di Relaivià (covariana delle euaioni della Fisica nel passaggio da un dr ineriale a un alro) dovesse valere per la meccanica ma non per l eleromagneismo. ggi sappiamo che, a differena delle onde acusiche, le onde eleromagneiche sono cosiuie solano da campi eleromagneici e per ueso si propagano anche nel vuoo. Le euaioni dell eleromagneismo dovessero valere solano nel dr in cui l Eere Luminifero è in uiee. Chrisiaan Hugens ( ) ancor prima di Newon, inrodusse l idea di Eere. Mawell pensò uindi che il dr privilegiao per l eleromagneismo fosse il dr in cui l Eere Luminifero è in uiee. DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 21 DMENIC GALLI - Trasformaioni di Galileo 22 Prof. Domenico Galli Diparimeno di Fisica [email protected] hp:// hps://lhcbweb.bo.infn.i/gallididaica