Problema 1: Una collisione tra meteoriti

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1 Problema : Una colliione ra meeorii Problemi di imulazione della econda prova di maemaica Eami di ao liceo cienifico 5 febbraio 05 Lo udene deve volgere un olo problema a ua cela Tempo maimo aegnao alla prove re ore Marco e Luca, durane la viia guidaa ad un mueo cienifico ineraivo, oervano u un monior la imulazione della colliione ra due meeorii, effeuaa da un videogioco Sul monior ono rappreenae la raieoria del primo meeorie e il grafico della ua velocià in funzione del empo, morao in figura

2 Problemi di imulazione della econda prova di maemaica Eami di ao liceo cienifico 5 febbraio 05 Lo udene deve volgere un olo problema a ua cela Tempo maimo aegnao alla prove re ore In bae alle loro conocenze di maemaica, dicuono ul ipo di curva geomerica rappreenaa dal grafico e cercano di deerminarne l equazione, necearia per procedere nella imulazione Aiua Marco e Luca a deerminare l equazione che rappreena la curva, piegando il procedimeno eguio Dopo che Marco e Luca hanno crio ul erminale l equazione rovaa, il videogioco i complimena con loro e ul monior appare la eguene epreione: Viene quindi chieo loro di verificare e la funzione daa rappreena lo pazio percoro dal meeorie in funzione del empo (legge oraria del moo) Aiua Marco e Luca a verificare che la funzione appara ul monior rappreena la legge oraria del moo, piegando il procedimeno eguio A queo puno ul monior appare un econdo meeorie, la cui raieoria inereca quella del primo meeorie in un puno P Il videogioco chiede quale condizione deve eere verificaa affinché avvenga l Aiua Marco e Luca a ripondere in modo qualiaivo Marco e Luca ripondono correamene e il primo meeorie viene colpio dal econdo e devia dalla raieoria originaria modificando il uo moo Dopo l il monior indica che il primo meeorie i muove ora con la nuova legge oraria: Il videogioco chiede quindi di deerminare il empo in cui è avvenuo l Aiua Marco e Luca a: 4 deerminare il empo ; 5 udiare la legge oraria del primo meeorie nell inervallo ra 0 e ˑ econdi, evidenziando la preenza di evenuali puni di diconinuià e/o di non derivabilià e racciandone il grafico

3 wwwmaemaicamenei N De Roa La prova di maemaica al liceo PROBLEMA Puno SIMULAZIONE MATURITA SCIENTIFICA 05 La funzione velocià non è alro che un ramo di parabola con verice in V=(5,0) paane per il puno (0,5) di equazione v a b c con 0 0 Sapendo che l acia del verice è 5 e imponendo il paaggio per (0,5) e per il verice V=(5,0) i ricava: b 5 a b 0a a c 5 c 5 b 0 5a 5b c 0 5a 50a 5 0 c 5 v con 0 0 Perano l equazione della funzione velocià è 0 5 Puno In bae alle leggi della fiica, lo pazio percoro è pari all inegrale indefinio della velocià ovvero v d 0 5d 5 5 K con K R, 0 Supponendo che all iane iniziale i ha i ricava 0 Avremmo pouo procedere in eno invero a parire da rovare che coincideva con la velocià 0 5 Puno v con K ovvero , farne la derivaa e Per rovare l iane in cui urano è ufficiene rovare il puno di inerezione ra le due raieorie, rappreenani lo pazio percoro nel empo dai due meeorii, ovvero i raccia il grafico di ambedue nello eo riferimeno careiano e i individua la loro inerezione cioè quando Puno 4 Per urari all iane riolvere l equazione è neceario che, quindi per calcolare è neceario

4 wwwmaemaicamenei N De Roa La prova di maemaica al liceo Scarando i oiene che l iane dell o è 0 o 0 La oluzione 0 corriponde al cao in cui i meeorii ono a ripoo ovvero quando non hanno ancora percoro alcuno pazio Perano la oluzione acceabile è 0 Puno 5 Nell inervallo 0, 0,0, il primo meeorie ha quindi la eguene legge oraria: Tale funzione è empre coninua in quano è compoizione di funzioni coninua ed inolre perché lim 0 lim 0 lim lim 0 La derivaa, ovvero la velocià del moo orario è pari a 650 v Conrolliamo e la funzione velocià è coninua in 0, i ha: lim v 0 lim v 0 lim lim 4 0 perano la funzione velocià non è coninua in 0 e di coneguenza la legge oraria non è derivabile in 0 ; in praica 0, è un puno angoloo 5

5 wwwmaemaicamenei N De Roa La prova di maemaica al liceo La cubica f 5 5 nell inervallo [0,0] inereca l ae delle acie olo in (0,0), è 5 empre crecene ed ha un fleo in 5, 5 La funzione f in [0,0] è un ramo di parabola empre crecene Di eguio il grafico di