ANALISI STATISTICA DELLE VENDITE E METODI PER LA PREVISIONE

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1 La previione delle vendie ANALISI STATISTICA DELLE VENDITE E METODI PER LA PREVISIONE Prof. Domenico SUMMO. Premea Un imprendiore, nell eplicare la propria aivià economica, non fa alro che prevedere quali poranno eere i biogni e le preferenze dei conumaori in fuuro. La previione, in ale coneo, è emplicemene un ipoei riguardane il fuuro, faa in bae ad informazioni paae. Conocere per prevedere è divenao da lungo empo una propoizione coì ovvia da fiorare la banalià. La previione è efficace quando è poibile conocere le modalià di manifeazione di un eveno con un anicipo di empo ale da inraprendere azioni orienae a fruare i vanaggi, e l eveno è favorevole, o a limiare i danni in cao conrario. Le azioni auae in coneguenza delle previioni poono endere a modificare in qualche modo l eveno previo; ad eempio bai penare alle poliiche di markeing (poliiche di prodoo, di prezzo, pubbliciarie e di diribuzione) rivole ad aenuare gli effei della agionalià della domanda. La previione delle vendie ricopre un ruolo cenrale nella geione di una azienda e coiuice enz alro il problema più compleo e delicao. Ea compare come un inpu imporane in ue le fai del proceo deciionale di pianificazione aziendale. La previione, per poer eere veramene efficace, non può eere un eercizio diconinuo ma deve eplicari coninuamene nel empo; ea i forma e i modifica momeno per momeno e richiede la conocenza coninua di ai e di fai che formano il euo economico dell azienda. Giui F., Viali O., Saiica economica, op. ci.. Caprara G., Previioni e programmazione in un imprea induriale, Giuffrè, Milano, 965. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina

2 La previione delle vendie. L organizzazione dei dai Per una più punuale analii del fenomeno è opporuno organizzare il daa e econdo alcune variabili decriive. Da ogni ao di vendia i poono ricavare una moleplicià di dai: la ipologia del bene ceduo, la quanià cedua, il valore del bene, la modalià di diribuzione, le condizioni di vendia, il luogo di deinazione, ecc. In ale oica, le analii condoe ulle previioni di vendia dei beni e ervizi di un azienda conenono di ricavare ue quelle informazioni necearie all organizzazione delle riore diponibili e delle divere funzioni aziendali; i raa, allora, di analii che per l azienda ricoprono un ruolo cenrale in quano inereano ui i diveri eori dell azienda: dall area degli acquii, alla produzione, al peronale, alla commercializzazione e diribuzione e, non per ulimo, all area economico-finanziaria. Le regirazioni delle vendie i poono organizzare econdo una marice in cui le righe ono riferie alle ingole vendie, menre le colonne riporano ue o alcune delle informazioni innanzi dee. L analii aiica delle vendie riguarderà, in al cao, la claificazione ed elaborazione dei dai riguardani i caraeri ricavai da ale marice. I dai opporunamene claificai poono rappreenari in abelle doppie o muliple a econda dei caraeri eaminai. Per ogni caraere coniderao poono eere coruii diveri rappori aiici, a condizione che ci ia un neo logico ra i caraeri a confrono. Ad eempio, indicando con i,,..., le ipologie di beni e ervizi vendui e con j,,..., n le aree errioriali, i dai poono eere organizzai in una abella a doppia enraa del ipo eguene. Vendie Area errioriale... j... Toale Y Y... Yj... Yn Y. Y Y... Yj... Yn Y.... i Yi Yi... Yij... Yin Yi.... Y Y... Yj... Yn Y. Toale Y. Y.... Y.j... Y.n Y.. Perano, prendendo in coniderazione il oale delle vendie dell area errioriale j-eima o del prodoo i-eimo, i poono calcolare per riga e per colonna i egueni quozieni: ) rappori di coeienza ra le vendie dei ingoli prodoi: (per riga) Yij Yij Yij,,..., Y Y Y i i in (per colonna) Y Y ij j Y, Y ij j Y,..., Y ij j Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina

3 La previione delle vendie ) rappori di compoizione: Yij Yij ripeo al oale delle colonne, menre per il oale delle righe. Y. j Yi. Coniderando ancora la variabile empo, i poono calcolare i aggi di variazione delle vendie ra il empo ed il empo -, ia riferii ai ingoli prodoi che alle aree: Y R Y ij ij ( ) ( ) Quando i confroni avvengono ra aree errioriali divere, è neceario ener cono delle divere iuazioni ocio-economiche. Ad eempio per un bene di largo conumo le vendie, a parià di alre condizioni, dipendono dalla conienza numerica della popolazione preene. Per eeguire delle comparazioni paziali è quindi neceario depurare il valore compleivo delle vendie dall incidenza della divera numeroià delle popolazioni, calcolando prima i rappori pro-capie. 3. L orizzone emporale delle vendie e meodi di previione. Le analii ulle vendie vengono generalmene condoe facendo riferimeno ad un deerminao inervallo di empo. Non eie una delimiazione emporale in merio alla claificazione delle vendie, uavia è imporane diinguere le previioni a breve, a medio e lungo ermine; quea diinzione implica differenze che dipendono non olano dalla duraa dell inervallo della previione, ma anche dal ipo di analii che viene effeuaa e dagli obieivi che ci i prefigge di raggiungere. Sia i meodi di previione a breve che quelli a medio ermine ono normalmene adoai uilizzai a livello aziendale, invece, i meodi di previione a lungo ermine riguardano in prevalenza ambii di ricerca di caraere macroeconomico. Le previioni a breve ermine riguardano un periodo di empo fino ad un anno e conenono di anicipare la dimenione della domanda di beni, delle maerie prime, della forza lavoro, del fabbiogno di liquidià. Le previioni a medio ermine abbracciano un periodo che varia da a 5 anni e riguardano eenzialmene l area della produzione aziendale e quella finanziaria, per prevedere o conrollare la reddiivià degli inveimeni e le divere raegie e aivià di markeing da meere in praica. Le previioni a lungo ermine i rifericono ad un periodo che varia fra i cinque e i dieci anni, e riguardano oprauo l andameno fuuro della domanda globale di mercao di un deerminao bene o ervizio (domanda primaria), al cui inerno i pone la previione del volume delle vendie a livello di azienda (domanda econdaria). Connea a quea previione è la programmazione circa l epanione della capacià produiva e quindi l inallazione di nuovi impiani. Alri obieivi connei alla previione delle vendie riguardano le foni di finanziameno necearie per oenere i programmi di inveimeno, i fabbiogni di peronale e di maerie prime, uniamene alle foni dove reperire quee ulime. La componene rend che caraerizza le erie Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 3

4 La previione delle vendie oriche dei dai di vendia rappreena la finalià delle previioni di lungo ermine; uavia, non i raa di far riferimeno ad una erapolazione acriica dei dai paai, ma, piuoo, di individuare la fae in cui preumibilmene i rova il ciclo di via del comparo o del prodoo 3. La previione a lungo ermine, infine, non può, né deve propori di formulare una predizione, ea può inquadrare invece un ragionevole numero di alernaive ulla bae di una approfondia conocenza del paao e delle endenze che i colgono nel preene 4. Da un puno di via operaivo i numeroi meodi di previione delle vendie i differenziano per preuppoi e conenui meodologici, non i adaano ui allo eo modo al ipo di problema che di vola in vola ci i rova a dover riolvere e poono eere implemenai per analii ia a caraere emporale ia errioriale. Fra i diveri meodi di previione una diinzione oanziale è quella fra meodi aiici e meodi congeurali; quei ulimi, fondai eenzialmene u elemeni come il giudizio peronale e l eperienza, preenano il limie della oggeivià. I meodi di previione a caraere preamene aiico i baano generalmene u modelli che aumono come valide per il fuuro quelle relazioni che i ono già verificae ia a livello errioriale (per aree) che emporale. Nell ambio delle divere meodologie aiiche per la previione, i diinguono: meodi endogeni e meodi eogeni. I meodi endogeni uilizzano gli ei dai del fenomeno organizzai u bae emporale con copo di prolungarli nel empo uilizzando le ecniche aiiche di analii ipiche delle erie emporali. Dopo aver compoo la erie orica nelle ue componeni (rend, andameno congiunurale e agionale), i principali meodi endogeni che poono eere impiegai ono: - il meodo della media emplice e mobile, - il meodo dell erapolazione del rend, - il meodo del livellameno eponenziale, - il meodo di Box e Jenkin. I meodi eogeni di previione, invece, coniderano la relazione che eie ra la variabile ripoa (le vendie) e le poibili variabili indipendeni o eplicaive. Si raa di pecificare il modello che lega quee variabili che rappreenano le deerminani delle vendie e ipoizzare che nel fuuro quee caue poano coninuare ad influire ul fenomeno oggeo di analii: nel noro cao le vendie. In quea clae di meodi rienrano enz alro i modelli lineari e non lineari di regreione emplice e mulipla. Alri meodi eogeni che poono eere impiegai, ono: i ondaggi, le avole inpuoupu di Leonief ed il calcolo ieraivo dei parameri di una inerpolane lineare. 3 Valdani E.-Buacca B., Previioni delle vendie e ciclo di via del prodoo, ETAS, Torino, Marbach G., Le previioni di lungo periodo: analii eploraive, Franco Angeli Ediore, Milano, 980. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 4

5 La previione delle vendie 4. Il meodo della media emplice e mobile Il meodo della media arimeica emplice è applicabile a quelle erie oriche azionarie, cioè in aenza di rend e di agionalià. In ali condizioni, ogni nuovo dao conduce ad una migliore approimazione della previione ucceiva. Se dunque al empo ono diponibili oervazioni,,...,,..., relaive alle vendie, i può calcolare la media arimeica emplice, daa da:, che rappreena il valore medio delle vendie alla fine del periodo. Dalle coniderazioni precedeni riula dunque che la previione per il periodo è daa dalla media ea, cioè: ˆ. Quando al empo i rende effeivamene diponibile un nuovo dao v, la media può eere aggiornaa, aggiungendo al numeraore il nuovo valore ed aumenando il denominaore di una unià:, la quale divena la previione per il empo, effeuaa uilizzando il valore medio delle vendie alla fine del periodo, e coì via. L epreione precedene può eere cria in modo applicaivamene più emplice:, che conene di calcolare la media al empo, e dunque la previione per il empo, in funzione della media al empo e del nuovo dao rilevao al empo. Perano, per effeuare la previione in un cero periodo, ono ufficieni re dai: la media calcolaa per il periodo precedene, il numero dei ermini che compongono la erie per cui è calcolaa ale media, ed il valore dell ulimo dao oervao. L impiego della media emplice, e da un lao è inuiivo, dall alro preena alcuni difei, nel eno che aribuice un peo empre uguale a ue le vendie precedeni; è noo, invece, che le vendie più lonane nel empo hanno un imporanza minore ripeo alle più receni. Inolre il meodo non iene cono delle componeni iemaiche (rend, agionalià) 5. Il meodo delle medie mobili è meno oggeo a ali problemi: eo, infai, conene di modificare i dai orici della erie man mano che i rende diponibile una 5 Valdani E.-Buacca B., Previioni delle vendie e ciclo di via del prodoo, op. ci.. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 5

6 La previione delle vendie nuova oervazione, ecludendo dal calcolo l oervazione più vecchia ed includendo la più recene, manenendo coane il numero dei ermini da cui caurice la media. Per il calcolo della media mobile, occorre abilire il numero k di ermini da coniderare. In cao che k ia dipari, la media mobile i dice cenraa; nel cao di k pari, invece, la media non è cenraa e riula neceario effeuare una ucceiva media mobile a due ermini. La media mobile iniziale a k ermini i calcola come nel cao della previione a media emplice: k, k ed anche in queo cao ale valore rappreena la previione per il periodo ucceivo: vˆ k k v. La differenza a nel fao che, all acquiizione del dao relaivo al periodo n, il calcolo della media relaiva a quell iane, la quale coiuice perciò la previione per il periodo n, divena: k k, k e coì via. Ripeo al meodo della media arimeica emplice, in queo cao vi è lo vanaggio di dovere neceariamene enere in archivio gli ulimi k dai, anziché olo l ulima media calcolaa, ma preena il vanaggio di enere cono, in una cera miura, ia del rend che della componene agionale. k 5. Il Meodo dell erapolazione del rend Il meodo conie nella valuazione delle endenze evoluive aiicamene ignificaive dei dai orici relaivi alle vendie, in modo da erapolarne l andameno ad un periodo ucceivo. Si raa dunque di un meodo piuoo emplice, baao ulle uuali ecniche di analii delle erie oriche, mediane le quali i dai originari vengono depurai della componene agionale, nonché della ciclica e della accidenale. Ciò richiede l aunzione che il fuuro andameno delle vendie poa eere dedoo da quelle che ono ae le manifeazioni paae dello eo fenomeno, rienendo coani le condizioni che hanno dao origine alla paaa evoluzione. Queo meodo di previione, quindi, conene riulai acceabili e rimangono coani per un cero periodo di empo i faori che conribuicono alla crecia o alla diminuzione del fenomeno da prevedere. Per poer formulare ipoei ulla più probabile evoluzione fuura delle vendie, i applicano alcune funzioni maemaiche in grado di rappreenare ignificaivi modelli ipici della dinamica delle ee per un cero periodo di empo. È buona norma procedere ad una preliminare rappreenazione grafica dei dai orici, in modo da Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 6

7 La previione delle vendie evidenziare un cero ipo di andameno e elezionare a priori una famiglia di funzioni adeguae, cegliendo poi ra quee quella che meglio di ogni alra compenera ra loro ignificaivià aiica e emplicià di calcolo e di inerpreazione. Individuaa la funzione maemaica che meglio piega l andameno delle vendie, i raa di applicare ai dai il procedimeno dei minimi quadrai per il calcolo dei parameri. Non empre l applicazione di quea meodologia conduce a riulai univocamene deerminai, nel eno che a vole più funzioni danno luogo a indici aiici ugualmene acceabili; in al cao i può uare il meodo dell analogia, o della previione per confrono, condenando in una unica valuazione i riulai oenui. Poe, allora, le oervazioni ai empi,,...,,..., : e la funzione precela è,,...,,..., ; ˆ a b, il iema per il calcolo dei parameri riula: ; a b a b una vola imai ali parameri, la previione all iane k arà: ( k) k a b Tuavia poiché in quei cai le previioni poono avere caraere ieraivo, orge il problema del modo con cui modificare il valore dei parameri dell epreione lineare impiegaa per effeuare le previioni dopo che divena finalmene diponibile una nuova oervazione della erie relaiva all iane. Perano aume primaria imporanza poer diporre di un procedimeno che conena di imare i nuovi parameri uilizzando i calcoli effeuai in precedenza 6. Per impoare ale procedura, operiamo innanziuo una ralazione ull ae dei empi e poiamo l origine all iane ()/. Ciò equivale a porre ad eempio: z Perano i nuovi empi aranno: z 3 3,,...,,. z 3 6 Giui F., Viali O., Saiica economica, op. ci.. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 7

8 La previione delle vendie Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 8 e la funzione rappreenarice arà dalla eguene: z bz a ˆ I uoi parameri aranno ricavai dal iema: z z b z a z b a, per che varia da (-)/ a (-)/; è emplice verificare che la ommaoria delle z è uguale a 0, per cui il calcolo dei parameri è immediao: ; a ; z z b. Si dimora 7 che: ( ) ; )/ ( )/ ( z perano: ( ) ˆ z b ( ) La omma dei primi numeri naurali elevai al quadrao è fornia da: ( )( ) 6 di coneguenza, ponendo z -()/, i oiene che la ommaoria di z al empo divena: z z ( ) 4 3 Cfr. Girone G.-Salvemini T., Lezioni di aiica, vol., Cacucci, Bari, 000.

9 La previione delle vendie Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 9 ( ) La previione a k iani fuuri è daa dalla eguene epreione: k b a k ˆ Supponiamo che venga ora acquiio il nuovo dao della erie oggeo di udio; i nuovi parameri della funzione rappreenarice riulano, aggiungendo il nuovo dao e oraendo il primo: ; a a a a a ) (. Ad eempio, e conideriamo una erie formaa da ee oervazioni annuali relaive alle vendie di un deerminao bene (Tab. 5.), i oerva che ulla bae del meodo dell aggiornameno dei parameri l oava oervazione i calcola nel modo eguene, dopo aver prevenivamene calcolao i due coefficieni di regreione: 05,39; 7 737,7 a,0; 8 56,3 z z b, per i ricava: z z 0, 05,39 ˆ. La previione a k iani fuuri è daa k a a k k z ˆ ˆ nel noro cao, per 7 e per k arà: 4 ˆ 4 b a 05,39,0 4 3,4

10 La previione delle vendie Tab. 5.- Eempio di aggiornameno dei parameri di una inerpolane lineare. n..i. pei modificai Anni Vendie z dopo aver acquiio il nuovo dao (99) , , , , , ,4 5-03, ,3 5 06, , , , ,4 Toali 737,7 8 56, ,6 Fone: elaborazione u dai dell indagine empirica N.B.: Si fa noare che i parameri, ripeo ai valori originari, ono: b b,0, menre a arà dao da 7 a a b 05,39,0 97,34; perano la previione all anno con ali parameri è ancora: ˆ 97,34,0 8 3,4. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 0

11 La previione delle vendie Riorniamo, adeo, ai parameri a e b, ma nell oervare in paricolare il econdo che, ulla bae dei ee dai originari che compongono la erie delle vendie, i ha: z b z 3 5 ( ) Supponiamo che venga acquiio il nuovo dao relaivo al 003, che, raformao in ermini relaivi (99600), riula pari a 3,6. Volendo rideerminare i parameri e far concorrere olo gli ulimi ee dai, dobbiamo applicare il conceo di media mobile ai vecchi parameri; in alri ermini, dobbiamo racurare il primo dao e coniderare l ulimo dao acquiio. Si oervi che ciò compora una modifica dei pei originari, coì come i legge nell ulima colonna della abella. Perano i avrà, nell eempio coniderao: 3,6 00 a a 05,39 05,39,94 07,3 7 b b a ( ),0 ( ,6 737,7), La previione delle vendie al nuovo empo 9, oia al 004, arà quindi (empre poo il 99600):. ˆ 4 a b 4 07,3,6 4 5,79 6. Meodo del livellameno eponenziale Il meodo del livellameno eponenziale (eponenial mooing) è uilizzao di frequene in ambio aziendale per la perequazione dei dai e la previione a breve ermine. Queo meodo pare dalla coniderazione che il dao più recene fornica il conribuo più imporane alla previione delle vendie (). Quea impoazione conduce a deerminare un ao di decremeno di imporanza dei ermini della erie cronologica oggeo di udio, denominao coane di livellameno, di olio indicao con la leera α, la quale aume un valore compreo ra 0 e. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina

12 La previione delle vendie Daa una erie orica, ad eempio le vendie, i vuole prevedere il fenomeno ad un empo k, in cui k è l orizzone di previione. Poo ad eempio una erie con rend coane, o uo al più alerao da faori accidenali ( a ε ) è logico che il calcolo della previione al empo coincide con la media emplice dei valori oervai fino all iane con peo uguale. Perano indicando con:,,...,,..., la erie orica delle vendie ai empi da,,,. la previione al empo arà: ˆ. Se invece il livello della erie mua in modo ocaico (oia e la erie è coane olo in alcuni iani di empo) è più realiico calcolare v ˆ n aravero una media ponderaa delle oervazioni precedeni dando peo maggiore a quelle più receni. Poo che il dao più recene fornica un conribuo più imporane alla previione, il meodo del livellameno eponenziale viene coì denominao perché alla ucceione delle vendie v viene oiuia una ucceione perequaa che i configura come una media ponderaa di ue le oervazioni diponibili in cui i pei ono coiuii da una ucceione eponenziale con inenià decrecene all aumenare della dianza dal empo in cui viene effeuaa la previione. Perano poo un deerminao ao di decremeno di imporanza dei ermini della erie cronologica oggeo di udio, denominao coane di livellameno, di olio indicao con la leera α, la quale aume un valore compreo ra 0 e e con,,... i valori auni da una erie orica delle vendie in corripondenza, ripeivamene, dei empi,,..., ; la previione al periodo i oiene mediane la formula: ( α ) * * α [] In cui, come è ao deo, α è il coefficiene di livellameno, menre valore livellao al empo. Si conideri che il valore livellao al empo è: * è il per cui, oiuendo i ha: ( α ) * * α [] * α ( α )[ α ( α ) ] * ( α ) ( ) * α α α. [3] Per oiuzioni ucceive i oiene la formula generale: Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina

13 La previione delle vendie * ( α ) α ( α )... α ( α ) ( α ) * α α [4] Eendo 0 ( α ), il peo aribuio ai ermini della erie va decrecendo man mano che ci i allonana nel empo. Dal puno di via operaivo il meodo richiede la deerminazione della coane * di livellameno la ima del dao relaivo alla prima previione per iniziare il calcolo della [4].Queo dao può eere il primo valore della erie oppure un valore medio. Tuavia occorre preciare che la cela arbiraria ha una baa incidenza ui calcoli eendo ale valore moliplicao per il coefficiene (-α), valore molo piccolo; perano l errore riula racurabile. Puno di forza di queo meodo è che per effeuare la previione ono ufficieni re oli dai: α, *, e. Per quano riguarda il valore di α, ci i affida all eperienza del ricercaore, oppure può eere oenuo minimizzando l'errore quadraico medio. All'aumenare di α, aumenando il peo aribuio ai ermini più receni, aumena anche il poere del modello di adaari a variazioni dei valori oervai, per cui eo rappreena la reaivià del modello. Tab Eempio di previione delle vendie con il meodo del livellameno eponenziale. Valori calcolai con coefficiene: Mee Periodo Valori oervai α 0, α 0,5 α 0,9 Gennaio 00, Febbraio 35,0 00,0 00,0 00,0 Marzo 3 95,0 93,5 67,5 4,5 Aprile 4 97,5 93,6 8,3 89,7 Maggio 5 30,0 94,0 89,4 96,7 Giugno 6 75,0 05,6 49,7 98,7 Luglio 7 55,0 0,6,3 87,4 Agoo 8 30,0 97,0 83,7 58, Seembre 9 0,0 9,0 56,8 3,8 Oobre 0 77,5 93,9 88,4,3 Novembre 35,0 0,3 33,0 70,9 Dicembre - 05,6 34,0 38,6 Riula, per α0,: ( 0,) 00 93, 5 ( 0,) 93,5 93, 6 ( 0,) 0,3 05, 6 * 0, 35 * 0, 95 3 * 4 0, 35 Similarmene i oengono le previioni per α0,5 e α0,9. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 3

14 La previione delle vendie Fig. 6. Andameno del rend-ciclo della erie imaa, econdo il valore di alpha. La dicrezionalià del meodo deriva dalla cela arbiraria del paramero α, che ha effei ul grado del livellameno della erie imaa. Coniderao che un adaameno perfeo dell oervao preuppone che le miure iano eae e quindi gli errori iano nulli, i oerva che quano minore è il valore precelo per α, ano minore arà infai l appiaimeno della erie imaa di rend-ciclo, come riula evidene dalla figura 6.. Tale uddea arbirarieà può eere limiaa cegliendo il paramero eo econdo un crierio di oimalià; in oanza, per miurare la bonà del livello di adaameno del modello nel periodo oervao e la relaiva capacià di erapolazione previiva ulla bae dei diveri valori di α, poono eere prei in coniderazione gli errori medi e aolui, derivai dall implemenazione dei diveri modelli di livellameno eponenziale. 7. Le previione con modelli ocaici: il procedimeno di BOX E JENKINS L'impoazione moderna delle erie cronologiche nace dalla coniderazione che la decrizione del loro comporameno mediane emplici funzioni del empo emerge dall'applicazione di procedure aiiche neurali, cioè ideniche per ue le erie oriche, enza ener cono della naura del meccanimo che deermina il produri dei dai della erie, delle ruure probabiliiche ad ee evenualmene oggiaceni. Per far ì che ia la erie oervaa ad orienare vero un poibile modello generaore dei dai che la coiuicono, è neceario rifari al conceo di "proceo ocaico". Ciò compora che i valori rilevai iano inerpreabili come una delle ane realizzazioni finie di uno eo proceo ocaico. Si raa, in oanza, di capire che ipo di meccanimo ha agio ull andameno della variabile conideraa (le vendie) meccanimo che i può ripeere nel fuuro. L analii ocaica delle erie emporali i Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 4

15 La previione delle vendie fonda ul preuppoo che le manifeazioni di un fenomeno come le vendie iano prodoe da una ruura probabiliica che non conociamo, ma della quale poiamo imare i parameri ricorrendo ai meodi dell inferenza induiva mediane lo udio delle relazioni emporali che riuciamo a riconocere fra i dai rilevai. L impiego dei modelli ocaici nella previione delle vendie i adaa bene, ad eempio, quando i dai di bae ono variazioni rimerali delle vendie del prodoo k epree in quanià fiiche in un dao inervallo emporale. L aenza di agionalià è una condizione che rende più pedia la procedura da eguire e conene un correo impiego del modello ocaico. Alla bae del meodo di Box e Jenkin vi è la nozione di funzione di auocorrelazione oale e parziale e, inolre, una paricolare clae di procei ocaici coiddei a paramero dicreo caraerizzai da paricolari requiii. Nella ricerca del modello che decrive la erie che riproduca il meccanimo che la genera è imporane ener preene come individuare il proceo generaore dei dai della erie, come verificarne la cela e come uilizzare il riulao per la previione. La ua applicazione richiede, allora, come preuppoo che ra i dai della erie vi ia auocorrelazione, ciò a a ignificare che i coefficieni di correlazione oale e parziale devono eere calcolai ui dai della erie e ugli ei dai liai k vole. Dall andameno di quee due funzioni i cerca di rialire mediane un procedimeno inferenziale alla ima dei parameri del modello rappreenaivo del proceo. In inei, le fai principali per arrivare a pecificare e imare un modello uilizzabile a fini previionali ono le egueni: - analii preliminare dei dai di bae: - idenificazione del modello, - ima dei parameri, - verifica della qualià aiica delle ime,previione. 7.. Definizione del proceo ocaico 8 Un proceo ocaico, o proceo aleaorio X è coiuio da una famiglia di variabili cauali Y, Y,...,Y,,Y decrie ed ordinae da un paramero che indica il empo e che inenderemo dicreo. Fiao un valore (ad eempio ) ed una deerminaa prova perimenale (cioè oervando il valore che per la v.c. Y Y ) i oiene un numero reale inerpreabile come realizzazione finia della v.c. conideraa. Per le erie cronologiche, perano, gli valori oervai,...,, ecc. ai empi,...,, ecc. coiuicono nel loro inieme una pare finia di una famiglia, di una ingola realizzazione di un proceo ocaico oggiacene. Uilizzando ali valori "campionari", i raa di ricavare con procedure aiiche ime aendibili delle grandezze che caraerizzano il proceo generaore. Ovviamene ogni proceo ocaico ha ue caraeriiche e proprieà e un proceo ocaico può eere conociuo olo e ono noe le funzioni di denià per ogni k-pla di variabili componeni. E' facile renderi cono dei complei problemi che i preenano per udiarne le caraeriiche e le proprieà; ciò induce a emplificare e a 8 Giui F., Viali O. (983), Saiica Economica, Cacucci Ediore, Bari. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 5

16 La previione delle vendie prendere in coniderazione olano paricolari procei ocaici per i quali è più facile applicare la meodologia inferenziale. Per ogni v.c. componene il proceo ocaico, poono definiri il valore medio e la varianza e coniderando a due a due le v.c. i può calcolare l auocovarianza e perano i avrà: Inolre per faciliare i confroni ra diveri procei ocaici, la funzione di auocovarianza viene andardizzaa dividendola per la funzione varianza e i oiene la funzione auocorrelazione. Un paricolariimo proceo ocaico è quello denominao "Whie noie" (rumore bianco); ale proceo i indica con il imbolo W ed è coiuio da v.c. W, W..., incorrelae, ha valore medio nullo e varianza σ w coane ed indipendene dal empo. Se le v.c. ono normali, i ha il proceo ocaico "Whie noie" gauiano. Nell'analii delle erie cronologiche aumono noevole imporanza i procei ocaici azionari. Eiono uavia almeno due definizioni di azionarieà. La prima, denominaa azionarieà in eno fore, è molo reriiva in quano implica l'invarianza delle varie ruure probabiliiche che caraerizzano il proceo ed è caramene applicabile nei cai concrei. Perano è preferibile far riferimeno ad una definizione meno rigida, definendo come proceo ocaico in eno debole, o emplicemene "proceo azionario", quei procei per i quali: ) Il valore medio è coane al variare del empo: E ( Y ) µ ; quea è la condizione di invarianza in media, che implica l'aenza di rend nella ea media. ) La varianza è finia e coane al variare del empo: E ( Y µ ) T quea è la condizione di omocedaicià. 3) L'auocovarianza ra X e X τ dipende olano dallo faameno emporale (lag): τ γ ( τ ) E ( Y µ )( Y τ µ ) ed eprime perano la conneione fra le v.c. componeni al variare della loro dianza. Per faciliare confroni ra diveri procei ocaici, la funzione di auocovarianza viene andardizzaa dividendo per la varianza. Si oiene coì la funzione di auocorrelazione ρ(τ), immerica, nel eno che ρ(τ) ρ(-τ), la quale eprime il coefficiene di auocorrelazione binario fra Y e Yτ. ρ( τ ) che può criveri anche nella forma: E( Y µ )( Y E( Y τ µ ) µ ) ( µ ) γ ( τ ) σ γ ( 0) ( Y µ ) τ ρ( τ ) σ Y. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 6

17 La previione delle vendie Il grafico della funzione di auocorrelazione al variare di τ è deo correlogramma. Perano i coefficieni di auocorrelazione, ρ(τ), miurano la concordanza o la dicordanza ra i valori della erie orica e quelli differii di τ unià di empo; conenendo di analizzare la ua ruura inerna, oia i legami ra i ermini della ea. In paricolare ρ(0) (coefficiene di correlazione ra la erie e é ea); gli alri coefficieni ono comprei ra - e. Infine, un proceo ocaico i definice "inveribile" e per ogni valore del paramero uie la relazione: Y f(y -, Y -...) W Un proceo inveribile può eere epreo cioè da una funzione della oria racora del fenomeno e da un rumore bianco. Volendo, allora, analizzare una erie orica di un fenomeno economico, giova ricordare che ea rappreena una realizzazione finia di un proceo conociuo di cui occorre ricercare le caraeriiche, impiegando procedure di inferenza aiica. Il problema è indubbiamene complicao dal fao che i dai,..., n della erie coiuicono una ucceione di n campioni di ampiezza uniaria u alreane v.c. diine. Tuavia e il proceo è azionario e e ono verificae, ripeo ai vari parameri, alcune condizioni di ergodicià 9, è poibile derivare dai dai ime conieni dei parameri ei e delle funzioni che caraerizzano il proceo. Dae ali ipoei, i hanno le egueni ime: per la media: ˆµ ; per la varianza: S ( 0) per l'auocovarianza: ( τ ) ( ) ˆ γ ; τ γ µ ( µ )( τ µ ) ˆ ; 9 La condizione che aicura l'ergodicià di un proceo ripeo al valore medio è che la ua funzione di correlazione enda a zero; un proceo i dice ergodico e la media relaiva a un gran numero di manifeazioni in un dao iane di empo ende alla media emporale. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 7

18 La previione delle vendie per l'auocorrelazione: ˆ ρ ( τ ) per l auocorrelazione parziale: ˆ φ ττ τ Q P τ τ ( µ )( τ ( µ ) µ ) ; oenua calcolando i deerminani delle marici i oiene: ˆρ () ˆρ ( ). ˆρ () ˆρ () ˆρ (). ˆρ ( ) Q τ ˆρ ( ) ˆρ (). ˆρ (3).. ˆρ ().. ˆ ρ ( τ ). ˆ ρ ( τ 3). ˆ ρ ( τ ) ˆρ () ˆρ ( ). ˆ ρ ( τ ) ˆρ () ˆρ (). ˆ ρ ( τ ) P τ ˆρ ( ) ˆρ (). ˆ ρ ( τ 3).. ˆρ ().. ˆ ρ ( τ ). ˆ ρ ( τ 3). 7.. Modelli AR, MA, ARMA e ARIMA. Il proceo ocaico auoregreivo di ordine "p", che i indica con il imbolo AR(p), è un proceo che genera la erie orica: Y η Y - η Y -... η p Y -p W cioè il valore oervao al empo è dao dalla combinazione lineare di p ermini immediaamene precedeni e da una componene aleaoria, per cui il dao auale è il riulao di ane manifeazioni paae. Il proceo ocaico a media mobile di ordine "q", che i indica con il imbolo MA(q), è, invece, un proceo che genera la erie orica: Y W ϕ W - ϕ W - ϕ q W -q cioè il valore oervao al empo è dao dalla combinazione lineare dei valore di una componene cauale allo eo empo e nei q empi immediaamene precedeni, per cui il dao auale i configura come il riulao di una ucceione di impuli aleaori. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 8

19 La previione delle vendie Le erie oriche di moli fenomeni economici poono eere efficacemene decrie da modelli riconducibili ai procei AR (auoregreivi) o MA (media mobile) oppure da modelli mii coiuii congiunamene da una componene auoregreiva e da una componene media mobile. Emergono perano i procei ARMA (procei ocaici auoregreivi di ordine p e media mobile di ordine q. In alri ermini da un puno di via inerpreaivo i può ragionevolmene penare che il valore di x di una erie orica oervao al empo,,... ia funzione lineare dei valori oervai in empi precedeni (la ruura AR) e di avvenimeni cauali verificaii nel empo e in empi precedeni (la ruura MA). Nell'ambio dei procei ARMA, noevole rilievo aumono quelli azionari e inveribili, nonché la maggior pare delle erie oriche di naura economica e di ipo evoluivo creceni o decreceni. E' neceario in via preliminare effeuare differenze e raformazioni dei valori oervai, in modo che la erie riulane "Y " poa rieneri generaa da un proceo ocaico azionario. Le raformazioni più frequeni ono dae da: Y differenze prime; Y differenze econde; Y differenze prime dei logarimi. log log log Nel cao di dai menili: Y differenze con faameno di mei; Y differenze prime dei logarimi con log log log faameno di dodici mei. I modelli ocaici relaivi ai valori delle differenze vengono chiamai inegrai ed indicai con la igla ARIMA, cioè proceo ocaico auoregreivo di ordine p inegrao d vole e media mobile di ordine q. Per la cela del ipo di differenze e della raformazione più opporuna di una erie orica, ci i avvale oliamene del grafico dei valori ; in bae ad eo, i deermina l'operaore rienuo adeguao, e i effeua la rappreenazione grafica dei valori, che dovrebbero apparire azionari. In cao negaivo i coniderano differenze o raformazioni uleriori. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 9

20 La previione delle vendie Il modello - che deve eere individuao ed i cui parameri devono eere imai - è lo rumeno impiegao per decrivere o inerpreare un fenomeno governao da leggi probabiliiche, noo come proceo ocaico. E' conueudine indicare i modelli di Box-Jenkin come modelli della clae ARMA, perché la loro ruura è formaa da componeni auoregreive, oia oervazioni ulla ea erie faaa emporalmene, e da componeni a media mobile, anch'ee riardae. Il procedimeno di Box-Jenkin inizia con un eame preliminare dei dai della erie per udiare le caraeriiche (mediane grafici, indicaori, calcolo di coani, ecc.) e per individuare le raformazioni più convenieni capaci di ricondurre la erie oggeo di analii ad una erie modificaa eprimibile con un modello ARMA (un modello i dice inveribile quando nella ua pare a media mobile deve dare un minor peo alle oervazioni meno receni). L'eliminazione del rend può effeuari o inerpolando ra puni una funzione maemaica aa a rappreenarlo, o deerminando le differenze di ordine ufficienemene elevao per aicurare la azionarieà. Se la varianza non è coane al variare del empo (eerocedaicià), prima di eliminare il rend conviene operare una raformazione logarimica. Quando la erie è menile, rimerale, ecc. e quando i ha ragione di rienere che la agionalià giochi un ruolo rilevane, occorre eliminarne gli effei, ciò che in ede operaiva viene realizzao prendendo in coniderazione le differenze ra i valori della erie faai di mei, di 3 mei, ecc. Con ale arificio l'influenza della agionalià viene quano meno conenua. Per l accerameno della azionarieà in media e varianza della erie emporale olre ad eaminare graficamene le ocillazioni circa l andameno della ea erie inorno al relaivo valore medio - è neceario calcolare i coefficieni di auocorrelazione globale e parziale; prima di arrivare al calcolo degli ei coefficieni è neceario calcolare la media, la varianza e l auocovarianza che ne coiuicono i preuppoi indipenabili. La azionarieà in media i manifea mediane una funzione di auocorrelazione globale che cende vero lo zero con mola rapidià. Se la erie è azionaria il coefficiene η deve inolre riulare in valore aoluo minore dell unià. Conideriamo una erie orica formaa da n oervazioni, una regola praica uggerice di calcolare i coefficieni di correlazione oale e parziale in numero non uperiore ad un quaro; e, inolre, i coefficieni ono ignificaivamene diveri da zero occorre per ognuno di ei calcolare il e e confronarlo con i valori oglia Idenificazione di un modello della clae ARMA Per idenificare il modello i poono confronare i coefficieni di auocorrelazione calcolai con modelli eorici di correlogrammi relaivi a procei azionari AR che ono di andameno noo (riporai in appendice). Scelo il modello i raa di abilire il grado dello eo, quea deciione è in funzione della auocorrelazione parziale; prima di uo, è neceario effeuare un conrollo ul coefficiene auoregreivo η ramie il e ponendo come empre l ipoei che ia η 0. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 0

21 La previione delle vendie Si paa infine alla ima della funzione di auocovarianza e di auocorrelazione, i cui andameni ono in grado di uggerire gli ordini p e q dei procei auoregreivi a media mobile ooani. E' quea ceramene la fae più complea e impegnaiva del procedimeno, in cui i riconra la maggiore doe di oggeivià, pecialmene e il proceo oggiacene alla erie raformaa non è olamene auoregreivo o olamene media mobile. E' neceario orienari vero modelli che non conengono parameri in numero elevao. L'idoneià del modello adoao per decrivere le caraeriiche della erie, inea come realizzazione finia del proceo ocaico da eo configurao, viene idenificaa effeuando varie analii dei reidui per conrollare la loro caualià e normalià. Si procede, perano, ad eami grafici, allo udio delle caraeriiche diribuive dei reidui e pecialmene alla ima della loro auocorrelazione, coruendo alreì bande di confidenza da uilizzari quali crieri di adeguaezza del modello. Se infai uno o più valori ricadono all'eerno delle bande, il modello dovrà eere ceramene perfezionao. Se a eguio dei conrolli effeuai il modello viene acceao, eo può eere uilmene impiegao per varie finalià di decrizione, di previione, di imulazione e di analii, ecc. Se viene rifiuao, viene ieraa la ucceione delle fai, che vanno dalla idenificazione alla verifica, enendo cono degli elemeni emeri che hanno condoo al uo rigeo. I puni deboli ono coiuii eenzialmene dalla inicurezza di garanire la validià delle numeroe ipoei di bae e dall'elevao grado di oggeivià inio in alune fai del procedimeno Un applicazione empirica con il procedimeno di Box e Jenkin Nella preene eemplificazione empirica, i conidera una erie menile compoa di quarana periodi di oervazione, relaiva alle vendie di un deerminao prodoo di largo conumo; nel upporre che la uddea erie ia aa prodoa da una ruura probabiliica che non conociamo, i vuole imare i relaivi parameri ricorrendo ai meodi dell inferenza induiva mediane lo udio delle relazioni emporali che riuciamo a riconocere fra i dai rilevai. Per imare un adeguao modello di previione i è uppoo in parenza di uddividere la erie ea in due pari: la prima compoa dai periodi che vanno dal empo al empo 36 per implemenare un adeguao modello di previione e imarne i relaivi parameri, la econda dal empo 37 al empo 40 per validare il modello imao ai fini previivi (Tab. 7.4.) 0. 0 Braini S., Freo M., Tainari F., Tainari G. (00), Saiica aziendale e analii di mercao, Il Mulino, Bologna. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina

22 Tab Diribuzione delle vendie. Tempo Vendie Lag La previione delle vendie Per la ima del modello T 95 T 9 95 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Media 97,64 Varianza 76,35 Sd. Dev. 8,74 Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina

23 La previione delle vendie Per la previione T T 38 0 T T Fone: elaborazione u dai dell indagine empirica. Dao che nella ricerca del modello che decrive la erie che riproduca il meccanimo che la genera è imporane ener preene come individuare il proceo generaore dei dai della erie, come verificarne la cela e come uilizzare il riulao per la previione, la ua applicazione richiede, allora, come preuppoo che ra i dai della erie vi ia auocorrelazione. I coefficieni di correlazione oale e parziale devono eere calcolai ui dai della erie e ugli ei dai liai k vole. Nel voler prevedere l andameno delle vendie econdo il procedimeno di Box- Jenkin è neceario parire con un eame preliminare dei dai della erie per udiarne le caraeriiche. Fig Rappreenazione grafica della erie oervaa. Fone: elaborazione u dai dell indagine empirica. Per l accerameno della azionarieà in media e varianza della erie emporale conideraa, eaminiamo la figura precedene (Fig. 7.4.) dalla quale emerge che i dai ocillano aorno allo loro media ( Y 97, 639 ) e che l ampiezza delle ocillazioni nel empo ende a maneneri abile. L analii empirica embrerebbe indicare che le ocillazioni ono di naura cauale; in ogni modo, ogni genere di valuazione deve rovare conferme obbieive. A queo puno proprio per abilire e davvero la erie è azionaria in media è neceario calcolare i coefficieni di auocorrelazione e prima di quei la media, la varianza e l auocovarianza che coiuicono i preuppoi indipenabili. I calcoli da dover volgere per oenere il coefficiene di auocorrelazione globale di ordine, ρ(), ono indicai di eguio: ˆ µ Y 97,639 Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 3

24 La previione delle vendie La varianza è: 36 γ 0 Y ( Y Y ) 76,35 35 L auocovarianza di ordine è: 36 γ ( Y Y )( Y Y ) 68, Il coefficiene di auocorrelazione globale imao di ordine è perano: γ 68,464 ρ () 0, 8966 γ 76,35 0 Il coefficiene di auorrelazione parziale di ordine è, invece, dao da: da cui nello pecifico: φ Q P 4,4683 4,646 k, k 0,897 Q 0,897 0,897 0,34-0,7-0,487-0,576-0,47-0,55 0,40 0,34 0,897 0,34-0,7-0,487-0,576-0,47-0,55-0,7 0,897 0,897 0,34-0,7-0,487-0,576-0,47-0,487 0,34 0,897 0,897 0,34-0,7-0,487-0,576-0,576-0,7 0,34 0,897 0,897 0,34-0,7-0,487-0,47-0,487-0,7 0,34 0,897 0,897 0,34-0,7-0,55-0,576-0,487-0,7 0,34 0,897 0,897 0,34 0,40-0,47-0,576-0,487-0,7 0,34 0,897 0,897 0,309-0,55-0,47-0,576-0,487-0,7 0,34 0,897 Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 4

25 La previione delle vendie 0,897 0,34-0,7-0,487-0,576-0,47-0,55 0,40 0,897 0,897 0,34-0,7-0,487-0,576-0,47-0,55 0,34 0,897 0,897 0,34-0,7-0,487-0,576-0,47-0,7 0,34 0,897 0,897 0,34-0,7-0,487-0,576 P 9-0,487-0,7 0,34 0,897 0,897 0,34-0,7-0,487-0,576-0,487-0,7 0,34 0,897 0,897 0,34-0,7-0,47-0,576-0,487-0,7 0,34 0,897 0,897 0,34-0,55-0,47-0,576-0,487-0,7 0,34 0,897 0,897 0,40-0,54-0,47-0,576-0,487-0,7 0,343 00,897 Poiché la erie orica in eame è formaa da 36 oervazioni e dao che una regola praica uggerice di calcolare i coefficieni di correlazione oale e parziale in numero non uperiore ad un quaro, ono ai calcolai 9 coefficieni di auocorrelazione oale e parziale. Per ciacun coefficiene calcolao è ao miurao il uo relaivo livello di ignificaivià; al fine di verificare quani e quali iano riulai ignificaivamene diveri da zero è ao, per ognuno di ei, calcolao il e, che - confronao con i valori oglia ha permeo di meere in rialo che olo i primi due coefficieni di auocorrelazione globale e olo il primo coefficiene di auocorrelazione parziale riulano eere ignificaivamene diveri da zero al livello del 5 per ceno (Tab. 7.4.); eaminando ancora più nello pecifico i coefficieni di auocorrelazione globale, i oerva ancora che i ucceivi valori i morzano rapidamene vero lo zero. Nel cao pecifico, la azionarieà in media della erie oria è, allora, fornia olre che dall andameno della funzione di auocorrelazione globale che cende vero lo zero con mola rapidià, anche dal valore del primo coefficiene di auocorrelazione parziale che è in valore aoluo minore dell unià (φ, 0,896689). Tab Coefficieni di auocorrelazione globale e parziali. Lag ρ k Te φ kk Te n-k-, α 0,05 0,897 3,365 0,897 3,365,69 0,34,849 0,0 0,807, ,7-6,57-0,477-8,084, ,487-9,44-0,07-0,676, ,576 -,86 0,07 0,677, ,47-6,57 0,088 3,483,70 7-0,55-6,4-0,5-6,077, ,40 6,057 0,0 5,65, ,309 4,95-0,039 -,807,708 Fone: elaborazione u dai dell indagine empirica. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 5

26 La previione delle vendie Fig Rappreenazione grafica dei coefficieni di auocorrelazione globale e parziale. Fone: elaborazione u dai dell indagine empirica. Nel paare all idenificazione di un modello di previione, i oerva che - prendendo in coniderazione le ucceioni dei valori dei coefficieni di auocorrelazione globale, di auocorrelazione parziale ed i relaivi correlogrammi eorici di procei lineari AR che ono di andameno noo la cela i indirizza vero un modello ARMA, ovvero un modello mio di ipo auoregreivo di ordine (AR()) a media mobile di ordine (MA()); la ragione è emplice. Si è voluo parire con un modello mio con una componene auoregreiva ed una a media mobile anche in coniderazione del fao che dopo il primo i coefficieni di auocorrelazione parziali decadono velocemene vero lo zero. In oanza, il modello imao è del ipo: Y a C ηy η Y ϕw Tab Sima dei parameri ARMA (con p e q ). Parameri Sima Sd. Error Te 8 ; α 0, 05 η,495 0,095 5,695 η -0,868 0,096-9,03 φ -0,800 0,65 -,30 Coane 36,70 5,808 6,39,048 Fone: elaborazione u dai dell indagine empirica. Da cui i ha: Y 36,70,495Y 0,868Y 0, 800W a Prima di paare alla valuazione della capacià previiva del modello eo, è doveroo innanziuo verificare il livello di ignificaivià di ciacun coefficiene imao ulla bae del e di Suden; come i può oervare dalla precedene abella Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 6

27 La previione delle vendie (Tab ), olo il coefficiene relaivo alla componene a media mobile non riula eere ignificaivamene divero da zero. Nello pecifico, i ha: ˆ ϕ 0 0,800,30 > ( ˆ) ϕ 0,65 8; α 0,05,048 Dal riulao oenuo, i deume che i coefficieni di auocorrelazione parziale pur decadendo velocemene vero lo zero, la erie udiaa preena oanzialmene un andameno azionario in media, confermando ancor di più il fao che le ocillazioni preeni ono oanzialmene da aribuiri al regolare andameno delle vendie ee inorno al uo valore medio. Poiché per la componene a media mobile l ipoei nulla non è aa rigeaa, i può, a queo puno, ipoizzare di coruire un modello più emplice unicamene di ipo auoregreivo; perano, dall eliminazione della componene a media mobile è ao implemenao un econdo modello unicamene di ipo auoregreivo di ordine, quale: Y a C η Y η Y Tab Sima dei parameri del modello AR(). Parameri Sima Sd. Error Te f 9 ; α 0, 05 η,489 0,094 5,76 η -0,867 0,095-9,076 Coane 37,80 5,800 6,40,045 Fone: elaborazione u dai dell indagine empirica. Da cui: Y a 37,80,489Y 0, 867Y Dopo aver deerminao il modello di regreione il pao concluivo è quello di andare a miurare l errore medio aoluo del modello (EMA) EMA n i aˆ xˆ i i 00 0,06 0, A al propoio, i riconra un elevao grado di accoameno dei dai al modello imao. A queo puno è doveroo valuare e i riulai oenui poono eere acceabili anche ai fini previivi (Tab ). Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 7

28 La previione delle vendie Tab Diribuzione della erie econdo i valori imai da modello. Tempo Valori oervai Valori imai Errore T T T ,849-3,849 T ,844 -,844 T ,97,073 T ,780 -,780 T ,463,537 T ,3 3,878 T ,959 0,04 T ,95 3,705 T 0,44 -,44 T 05 04,06 0,938 T ,860 -,860 T ,458-0,458 T ,405 5,595 T ,683 7,37 T ,878-0,878 T 8,99 0,07 T ,9-6,9 T ,364 -,364 T 9 89,733,67 T 89 90,599 -,599 T ,579-5,579 T ,335,665 T ,69-0,69 T ,33-4,33 T ,44 0,559 T ,685 3,35 T ,3 -,3 T ,36 -,36 T ,39,68 T ,433 -,433 T ,790 -,790 T ,349-5,349 T ,706,94 T ,553 4,447 T ,77 3,73 T ,34,658 T ,593,407 T ,434,566 Fone: elaborazione u dai dell indagine. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 8

29 La previione delle vendie Avendo già in parenza ecluo dal modello gli ulimi quaro dai della erie relaivi al periodo compreo ra il empo 37 e 40, i poono imare i dai relaivi a quei ulimi quaro periodi e confronarli con quelli effeivi poedui. Soiuendo perano a z (-) il valore imao al empo 36 ed a z (-) il valore imao al empo 35, i oiene il valore imao al empo 37 che confronao con quello effeivo permee di miurare l errore eo da modello. Procedendo in maniera analoga anche per i periodi ucceivi fino a 40, i oengono gli alri valori imai e un errore medio aoluo molo bao, uguale a 0, La previione delle vendie mediane un modello di regreione mulipla Le vendie di una azienda dipendono da variabili endogene, come ad eempio i coi di pubblicià, e da variabili eogene, relaive prevalenemene a indicaori di ipo ocio-economico. Se i dipone, ad eempio, di n variabili eplicaive oervae in alcune aree errioriali (come la popolazione reidene, il reddio diponibile, lo ao delle concorrenza, ecc.), le vendie poono eere rappreenae da un modello di regreione mulipla. Per poer valuare l andameno delle vendie ulla bae della dinamica di alune variabili rienue ignificaive, i deve nauralmene aumere l invarianza delle leggi che legano ra loro ali variabili. Si oervi che, eendo ale analii baaa ulla valuazione del legame eiene ra le vendie e le variabili coiddee eplicaive, è poibile pervenire ad una valuazione previiva per ognuna delle poibili endenze delle variabili ee. In alre parole, è poibile ipoizzare divere dinamiche delle variabili indipendeni e imare, per ognuna di quee ipoei, il probabile andameno delle vendie. Da quee emplici coniderazioni i evince l imporanza della cela delle variabili da prendere in coniderazione per la coruzione del modello. L analii mediane un modello di regreione può eere chemaizzaa nelle egueni fai: ) Scela delle variabili indipendeni. Se i raa di una ola variabile, i parla di regreione emplice, alrimeni di regreione mulipla. Si raa, inuiivamene, di una fae molo delicaa ed imporane, poiché dalla elezione di uno o più ra i fenomeni in eame dipendono in maniera direa i riulai oenui. Da un lao i ende a prendere in coniderazione mole variabili per oenere riulai che engano cono del maggior numero poibile di fenomeni, dall alro è neceario alvaguardare innegabili neceià di emplicià di calcolo e di inerpreazione. ) Scela del ipo di funzione. È infai neceario elezionare ra i ani poibili un olo ipo di relazione da adoare come legame ra la variabile dipendene (vendie) e le variabili indipendeni (eplicaive) che i è decio di adoperare per la Mazzali A., Lezioni di Saiica aziendale, op. ci.. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 9

30 La previione delle vendie valuazione, cercando di conemperare le eigenze oppoe di un maggior grado di rappreenaivià oenibile dal modello con la maggiore emplicià poibile. 3) Calcolo dei parameri. Una vola cela la funzione di regreione che meglio i adaa allo copo, occorre procedere al calcolo dei parameri che compaiono nel modello, preferibilmene con il meodo dei minimi quadrai. La cela delle variabili è un pao fondamenale in quano dovranno eere prei in coniderazione olo fenomeni effeivamene doai di un poere eplicaivo dell andameno delle vendie, ed inolre ali fenomeni dovranno eere indipendeni fra loro (alrimeni i finice per aribuire ad un fenomeno un influenza che in realà compee al fenomeno ad eo correlao). La cela delle variabili indipendeni è dunque la fae più delicaa dell inero proceo di previione e deriva molo peo più dall eperienza dell analia che da coniderazioni di alro ipo. Tali deciioni, infai, dipendono foremene dalla ipologia dei beni e/o ervizi per i quali i vuole effeuare la previione, per cui occorre preare la maima aenzione alle caraeriiche di rappreenaivià delle variabili ee. Il modello di regreione mulipla conene di eprimere una generica oervazione come omma di due componeni: una deerminiica, che eprime il comporameno del valore medio della variabile dipendene (Y), e un alra di ipo accidenale, coiuia da elemeni che fuggono alla oervazione e che prende il nome di errore cauale o diurbo. Da cui conegue: iµiεi. L analii della regreione mulipla conie nel deerminare una funzione che eprima nella maniera migliore il legame eiene in media ra le variabili indipendeni (X, X,... Xn) e la variabile dipendene Y. Aumendo che il legame ia di ipo lineare, i ha: iβ 0 β x i β x i...βnxinεi, che è l equazione dell iperpiano di regreione 3. Nel cao di due ole variabili indipendeni, i ha il piano di regreione: iβ 0 β x i β x i ε i. Diponendo di n oervazioni delle variabili eplicaive, i problemi che i pongono ono: ) ima dei parameri incognii β 0, β,..., βn e della varianza dell errore εi; ) definizione della bonà dell accoameno del modello ai dai empirici; Nauralmene la bonà dei riulai va valuaa ulla bae di indici aiici, per cui i effeuano alcuni e di verifica: preciamene, i può ricorrere al e di Suden per la valuazione della ignificaivià aiica delle variabili precele, al e F di Snedecor-Fiher per abilire la validià eplicaiva del modello, e al e di Durbin-Waon di auocorrelazione dei reidui della regreione, in bae al quale, in cao di mancaa caualià dei reidui, i conclude per l'eienza di una variabile ignificaiva che non è aa prea in coniderazione ai fini della definizione del modello ma che provoca perurbazioni correlae nelle erie di dai. Cfr., ad e., Delvecchio F., Saiica per la ricerca ociale, Cacucci, Girone G. - Salvemini T., Lezioni di aiica, vol., Cacucci, Bari, 99. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 30

31 La previione delle vendie 3) uilizzo del modello per effeuare previioni paziali e emporali. Per quano riguarda la ima dei parameri incognii β0, β... βn, e le variabili ono grandezze noe e non variabili cauali (e quindi gli errori εi hanno media nulla, varianza coane σ² e ono incorrelai, per cui Cov(εi,εj)0 per i j), il meodo dei minimi quadrai può eere uilizzao per imare i parameri incognii. Si aume dunque che le vendie del bene i-eimo dipendano dalle n variabili X, X... Xn, in funzione dei parameri β0, β,..., βn, e da una componene erraica εi. Come è noo, il modello di regreione con il meodo dei minimi quadrai i baa ulla minimizzazione dei quadrai degli cari ra i valori eorici e quelli empirici: ( i i ) minimo che i riolve eguagliando a zero le derivae parziali ripeo ai parameri incognii. In imboli, ponendo: iβ 0 β x i β x i...β n x in, i ha: Σ(β 0 β x i β x i...β n x in - i ) 0 che, derivando, conduce al eguene iema di equazioni: nβ 0 β xi β xi... β n xin β 0 xi β xi β xi xi... β n β 0 xi β xi xi β xi... β n... β 0 xin β xin xi β xin x... β n Il iema può eere crio anche in forma mariciale: Y Xβ ε. Poiché nella realà i coefficieni βi non ono generalmene noi, i procede ad una loro ima, a cui i perviene oiuendo ai βi, nel precedene iema di equazioni, i corripondeni valori empirici bi. Si oiene coì un veore b (di ordine n) di ime dei coefficieni di regreione preeni nel modello, per i quali, con le ecniche di inferenza aiica, è poibile calcolare la variabilià e gli inervalli di confidenza, nonché il grado di accoameno della funzione rovaa al fenomeno reale. L epreione in forma mariciale del modello divena dunque: Y Xb E dove E è il veore delle ime degli errori aleaori εi. Per valuare dunque l aiudine del modello a rappreenare la realà rilevaa, ramie la varianza dell errore, i raa di imare la diperione dei valori oervai x i x i x i x in x in in x i x x i in Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 3

32 La previione delle vendie inorno al piano di regreione 4. La devianza oale riula dalla omma della devianza di regreione e della devianza dell errore: Dev(Y) Dev(R) Dev(E) Il primo addendo eprime la miura in cui il modello riece a piegare il comporameno del fenomeno: quano più Dev(R) i avvicina a Dev(Y), ano maggiore è la validià eplicaiva del modello e minore è la Dev(E). Dev(Y) Dev(R) Dev(E) i i i ( Y Y ) (Dev. oale) i * i ( Y Y ) (Dev. di regreione) * i Y i ) ( Y (Dev. reidua ) Come miura del grado di accoameno, i definice l indice di deerminazione: Dev ( R ). R. Dev ( Y ) Ovviamene è 0 R², e la validià dell accoameno è ano migliore quano più R² i avvicina a. Oenuo il modello, queo può eere uilizzao per la previione delle vendie in un alra regione. 8.. Uleriori rifleioni ul modello di regreione mulipla Se da una pare l uilizzo della regreione mulipla riula paricolarmene efficace ed al empo eo agevole, non è poibile un uo uilizzo indicriminao enza una valuazione delle condizioni circa la ua applicazione nelle divere iuazioni concree,olre a inerpreare correamene i riulai al fine della previione: La cela ea in primi delle variabili da inerire nel modello è una fae paricolarmene delicaa per la mea a puno di un modello che pieghi la maggior pare della variabilià. A al fine è poibile ricorrere ad eperienze precedeni, anche a uppoizioni eoriche ma oprauo occorre far riferimeno al coneo di udio ovvero avere un conocenza approfondia del coneo economico, ociale in cui ci i muove. In quea fae è imporane avere una idea precia in merio ai egni algebrici, che dovranno aumere i coefficieni della equazione di regreione; in alri ermini, biogna apere in dall inizio e le ingole variabili indipendeni influicono ulle vendie in ermini poiivi o negaivi. E imporane valuare la qualià dei dai aiici di bae; ad eempio, è neceario verificare l eienza di evenuali errori di miura, oprauo, per quano riguarda la variabile dipendene. Se quea ad, eempio, è affea 4 Sadocchi S., Manuale di analii aiica mulivariaa, Franco Angeli, Milano, 980. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 3

33 La previione delle vendie da un errore di miura imporane, allora anche la migliore variabile indipendene non è in grado di raggiungere livelli acceabili di accuraezza previiva. Una delle ipoei alla bae della regreione mulipla è la linearià della relazione che lega la variabile dipendene alle variabili indipendeni. Talvola ale ipoei poco i adaa ai dai originari per cui non i riece a rappreenare gli effei curvilinei. In quei cai i ricorre ad epreioni del modello polinomiali oppure a variabili di comodo (dumm) che poano inegrare le informazioni a nora dipoizione; quee variabili aumono due oli valori ( in genere 0 e ) a ignificare ripeivamene aenza e preenza di una daa caraeriica qualiaiva. Nel procedere alla ima dei coefficieni dell equazione di regreione pecificaa e poi alla valuazione della capacià previiva delle variabili indipendeni, devono eere calcolai opporuni e aiici. In quea fae le operazioni fondamenali ono la cela del meodo per la ima dei coefficieni di regreione, la valuazione della ignificaivià aiica dell inera equazione e dei ingoli coefficieni e l individuazione di oervazioni che poono influenzare in miura ecceiva i riulai dell analii ( i coiddei oulier). Il meodo di ima uilizzao più frequenemene è quello dei minimi quadrai ia per le ue proprieà aiiche e poi per la poibilià di applicarlo indipendenemene dalla forma della diribuzione della variabile dipendene ; queo meodo in oanza i configura come cao paricolare del meodo della maima veroimiglianza di R. Fiher. Queo meodo conie nell aumere come ima di un paramero incognio la corripondene aiica campionaria che ha la maima probabilià di verificari 5. Simaa l equazione è neceario conrollare le aunzioni e le condizioni che ono alla bae del modello di regreione. Si raa di ipoei che influenzano ua la procedura inereando ia le ingole variabili ia la relazione nel uo inieme che è neceario ripeare. Quei e poggiano eenzialmene ui reidui della regreione che abbiamo indicao con e i, che miurano lo caro fra valori empirici e valori eorici (Y i - Y*). Quei coiuicono gli errori di previione. Occorre valuare e i reidui ono di enià racurabile e e la loro omma algebrica ia nulla e, di coneguenza, media nulla; il che lacerebbe upporre la loro accidenalià. Se ciò non verifica i reidui poono indicare che la relazione che è aa previa fra le variabili in realà non c è, oppure poono rarre origine da caraeriiche dei dai che l equazione uilizzaa non riece a cogliere.inolre i reidui devono riulare omochedaici (nel eno che ui gli errori devono avere la ea varianza), indipendeni e diribuii normalmene. Nel coniderare più da vicino le ipoei richiamae iniziando dalla linearià della relazione ra variabile dipendene e variabili indipendeni. La linearià rappreena il grado con cui le variazione nella variabile dipendene ono aociae a variazioni nelle variabili indipendeni ed è miurabile in due modi a) coniderando di quano varia in media la variabile dipendene per ogni unià di variazione delle variabili indipendeni; b) oervando e il valore medio della variabile dipendene giace ulla rea di regreione nel cao della regreione lineare emplice o ull iperpiano di regreione e i raa di una relazione mulivariaa. 5 Lei G. (983), Saiica decriiva, Bologna, Il Mulino. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 33

34 La previione delle vendie L eerocedaicià - conrario della omocedaicià - è la preenza di varianze dieguali nei reidui ed è una delle più frequeni violazioni alle aunzioni di bae. Il uo conrollo è effeuao con i grafici dei reidui o con e aiici. In preenza di eerocedaicià ono poibili due oluzioni: - i può ricorrere in modo emplice e direo a raformazioni dei dai che riducono la variabilià e endono a abilizzare la varianza ; ad eempio i egnala la raformazione logarimica. - e la violazione aribuibile ad una ola variabile indipendene, per imare i coefficieni i può impiegare la procedura dei minimi quadrai ponderai, che equivale a raformare le variabili dividendole per le ripeive varianze in modo da oenere un modello con i reidui omocedaici. Indipendenza dei reidui ignifica che i valori eorici ono ra loro indipendeni, nel eno che non riulano ordinai in bae ad alcun crierio. Per idenificare ciò i può effeuare una rappreenazione grafica dei reidui e oervare l andameno degli ei ; e ono indipendeni deve verificari una alernanza ra valori poiivi e valori negaivi. Se ciò non i verifica è neceario ricorrere a raformazioni dei dai : ad eempio operando ulle differenze prime dei dai oervai. La normalià della diribuzione dei reidui viene verificaa ricorrendo alla diribuzione grafica conrollando la loro approimazione alla curva gauiana. I e diagnoici cui i ricorre per le operazioni di conrollo ono il e di Snedecor ulla varianza piegaa dalla relazione lineare e il e di Suden relaivo ai ingoli coefficieni. Per conrollare l ipoei che la variabilià piegaa dal modello di regreione ia maggiore della variabilià piegaa dalla media (che rappreena la prima forma di previione) o in alri ermini che R ia maggiore di zero i fa ricoro al e F di Snedecor. Il e i calcola nel modo eguene F dev ( rgr ) df ( rgr ) dev ( re ) df ( re ) in cui: df(rgr): indica i gradi di liberà (cioè il numero delle oervazioni non vincolae) della devianza di regreione pari al numero dei coefficieni imai (inclua l inercea) meno uno; df(re): indica i gradi di liberà della devianza reidua, pari alla dimenione campionaria (n) meno il numero dei coefficieni imai (inclua l inercea). Per quano riguarda la F di Snedecor è bene meere in evidenza due apei imporani: a) la devianza reidua divia per il numero dei gradi di liberà al denominaore del rapporo è emplicemene la varianza degli errori di previione Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 34

35 La previione delle vendie b) dal puno di via inuiivo e il rapporo ra la devianza piegaa dal modello e quella reidua è alo ignifica che il modello è efficace nello piegare la relazione ra la variabile dipendene (le vendie ) e le variabili indipendeni. In merio al coefficiene di deerminazione R occorre preciare che eo è influenzao dal gioco combinao del numero di variabili indipendeni inerie nel modello e dal numero di oervazioni. L eperienza coniglia di inerire nel modello un numero di oervazioni compreo fra 0 e 5 per ogni variabile indipendene. Olre ali limii occorre correggere R per conrollare la crecia dovua a una ora di ovra adaameno ai dai. La formula è la eguene R ( R n ) n p dev ( re ) n dev ( rgr ) n p in cui p è il numero dei coefficieni imai inclua l inercea. E alreano imporane valuare la ignificaivià dei coefficieni di regreione imai. La variabilià nella ima dei coefficieni dell equazione (ia della coane che dei coefficieni di regreione) viene definia errore andard dei coefficieni e viene indicaa con σ. β Per valuare la ignificaivià dei coefficieni di regreione i ricorre al e di Suden dao dal rapporo ra il coefficiene di regreione imao e il uo errore andard in cui σˆ B è dao da: b σˆ β ˆ σ β ( Y i Y ( X * i i ) X /( n ) i ) da cui, per valori ignificaivamene maggiori dei relaivi valori eorici, i enderà a rifiuare l ipoei nulla H 0: β i 0; in al cao, allora, eie una ignificaiva relazione di dipendenza ra le vendie ed il prezzo. Alro problema è il valore degli oulier. Non empre i raa di valori caivi e quindi devono eere raai con la dovua cauela (Eempio dei dai di bilancio e relaivi indici) Vedere meodi di ima per conenere l impao degli oulier ui riulai dell analii. L inerpreazione del modello di regreione e la generalizzazione dei riulai viene effeuaa valuando i coefficieni di regreione in bae al conribuo fornio nella piegazione della variabile dipendene. Quei coefficieni ci conenono di effeuare le previioni delle vendie per ogni unià di variazione delle variabili dipendeni. Per raggiungere ale copo biogna uilizzare i coefficieni b, che vengono imai non u dai originari ma u dai andardizzai in modo da eliminare l unià di miura e leggere Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 35

36 La previione delle vendie ui i coefficieni econdo una unià di miura comune. Per la andardizzazione i effeuano per ue le variabili (dipendene e indipendeni) gli cari dalla media e i divide per lo caro quadraico medio. In queo modo ue le variabili hanno media nulla e varianza uniaria. Alro problema fondamenale può eere la preenza di mulicollinearià cioè la correlazione ra le variabili indipendeni. La iuazione ideale è che vi ia la maima correlazione ra la variabile dipendene (nel noro cao le vendie) e le variabili indipendeni ma poco correlae ra loro. Si pone perano il problema di: valuare il grado di mulicollinearià e deerminare l impao ui riulai e, e neceario rovare i rimedi opporuni. Per quano riguarda il primo apeo i raa di eaminare la marice di correlazione delle variabili indipendeni. L evenuale preenza di coefficieni di correlazione uperiore a 0,90 è indice collinearià. Ma occorre anche coniderare che coefficieni di correlazione non elevai non aicurano che non ci ia mulicollinearià: ea può dipendere anche dall effeo combinao delle variabili indipendeni. Per valuare la mulicollinearià i ricorre al faore di accrecimeno della varianza; deo coefficiene è denominao FIV (Variance Inflacion Facor); per una generica variabile X i i ha: FIV in cui R i è il coefficiene di deerminazione lineare mulipla nella regreione della variabile eplicaiva X i u ue le alre variabili indipendeni (con re variabili indipendeni R è il coefficiene di X u X e X 3 ). Quando le variabili ono incorrelae i l indice FIV è uguale ad ; e ono alamene correlae porebbe riulare uperiore a 0. La oglia prudenziale olre la quale ci i rova in preenza di mulicollinearià è il valore 5. Infine nel cao in cui ono ai uilizzai dai campionari i pone il problema di ricondurre i riulai oenui alla popolazione. In quei cai i confronano le ime oenue con un modello eorico o con precedeni eperienze. In ulimo, per confronare più modelli di regreione è neceario eaminare il valore di R che aumena al crecere delle variabili inerie nel modello; di coneguenza, per confronare modelli con un numero di variabili divero è neceario uilizzare R correo che iene cono ia delle poibili differenze nelle numeroià campionarie ia nel numero delle variabili indipendeni. R i 8.. Il modello di regreione: un eemplificazione empirica Nel preene paragrafo i vuole preenare un eemplificazione empirica di un modello di regreione, ripercorrendo quano già epliciao dal puno di via preamene eorico. Supponiamo, allora, di voler miurare la previione delle vendie di un deerminao prodoo di largo conumo in riferimeno ad alcune deerminae variabili eplicaive, quali: - il prezzo uniario (X ), Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 36

37 La previione delle vendie - il reddio medio menile delle famiglie (X ), - la pee per pubblicià (X 3 ), - la qualià percepia del prodoo (X 4 ), - l immagine dell azienda (X 5 ). I dai di bae ono ai riporai nella abella eguene (Tab. 8..); nel cao pecifico, i è ipoizzao che, di fao, l ammonare delle vendie (Y) poano eere dipee nel periodo di oervazione da variabili indipendeni, come: il prezzo uniario, il reddio medio delle famiglie, le pee oenue dall azienda in pubblicià, la qualià percepia del prodoo e l immagine dell azienda. Prima di procedere le variabili dipendene ed eplicaive ono ae andardizzae al fine di eliminare l influenza derivane dalle divere cale di miura. Tab. 8.. Andameno delle vendie in riferimeno al periodo di oervazione. Variabile Variabili eplicaive dipendene Tempo Y Vendie X Prezzo V. V. V. V. aolui and aolui and X X 3 X 4 Reddio Pubblicià Qualià prodoo V. V. V. aolui and aolui V. V. V. and aolui and X 5 Immagine V. V. aolui and T 40 -,49 4 -,67,00 -,45,00 -,4 4,00 0,3 5 -,53 T 60 -,97 6 -,46,50 -,3,00-0,94,00 -,30 8 -,63 T ,97 6 -,46 3,00 -,0,00-0,94 3,00-0,49 8 -,08 T ,7 7 -,36 3,50 -,80,00 -,4,00 -,30 8 -,63 T ,46 8 -,6 4,00 -,59 3,00-0,46 6,00,9 4-0,44 T ,7 7 -,36 4,50 -,37,00-0,94,00 -,30 0 -,63 T ,46 7 -,36 3,0 -,93,00 -,4 5,00, 8-0,98 T 8 0-0,69 5-0,54 3,00 -,0,00-0,94 4,00 0,3 7 -,53 T 9 0-0,69 3-0,74 4,0 -,50 3,00-0,46,00 -,30 8 -,63 T 0 0-0,43-0,85 4,0 -,54 4,00 0,0 4,00 0,3 9 -,53 T 4-0,58 5-0,54,70 -,5,00 -,4 3,00-0,49 6 -,08 T 6-0,53 6-0,44 3,90 -,63 5,00 0,49 4,00 0,3 8 -,53 T ,5 7-0,33 3,00 -,0,00-0,94 5,00, 7-0,98 T ,03 8-0,3 4,0 -,54 5,00 0,49 3,00-0,49 7 -,08 T 5 3-0, 0 -,05 5,0 -, 4,00 0,0 3,00-0,49 7 -,08 T 6-0,38 9-0,3,0 -,4,00-0,94 5,00, 5-0,98 T , 7-0,33 3,70 -,7 4,00 0,0 5,00, 6-0,98 T ,47 8-0,3 3,90 -,63 6,00 0,96 5,00, 6-0,98 T ,9 30-0,03,90 -,06,00 -,4 3,00-0,49 7 -,08 T ,04 4 -,69 3,40 -,85 3,00-0,46 3,00-0,49 7 -,08 T 40 0,08 3 0,8 4,50 -,37 5,00 0,49 3,00-0,49 6 -,08 T 56 0, ,69 3,70 -,7 5,00 0,49,00 -,30 5 -,63 T , ,49 3,60 -,76 6,00 0,96 5,00, 8-0,98 Coninua Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 37

38 Segue La previione delle vendie T ,7 34 0,38 3,80 -,67 8,00,9 5,00, 7-0,98 T 5 5-0, ,49 4,50 -,37,00 -,4,00 -,30 4 -, , ,38 3,80 -,67,00-0,94 3,00-0,49 5 -,08 T ,08 3 0,8,90 -,06 3,00-0,46 5,00, 7-0,98 T ,0 33 0,8 3,30 -,89 4,00 0,0 5,00, 8-0,98 T , ,69 3,50 -,80 6,00 0,96 4,00 0,3 0 -,53 T ,34 3 0,08,80 -, 3,00-0,46,00 -,30 8 -,63 T , ,80,70 -,5 7,00,43 3,00-0,49 4 -,08 T , ,69 3,80 -,67 8,00,9 5,00, 9-0,98 T , ,59 4,0 -,54 5,00 0,49 5,00, 4-0,98 T , 35 0,49 4,00 -,59 7,00,43 4,00 0,3 4 -,53 T , ,69 3,90 -,63 3,00-0,46,00 -,30 9 -,63 T , ,80 4,0 -,50 5,00 0,49 3,00-0,49 4 -,08 Fone: elaborazione u dai dell indagine empirica. Prima di paare alla coruzione di un modello di regreione è fondamenale condurre un analii eploraiva ui dai; da un lao è imporane conocere le caraeriiche decriive di ue le variabili pree in eame e dall alro - proprio aravero un analii del grado di aociazione eiene ra i diveri caraeri - è imporane anche abilire in che miura le divere variabili elezionae influenzino la domanda del bene oervao. Tab. 8.. Analii eploraiva. Variabile dipendene Variabili eplicaive Analii eploraiva Y Vendie X Prezzo X Reddio X 3 Pubblicià X 4 Qualià prodoo X 5 Immagine V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. aolui and aolui and aolui and aolui and aolui and aolui and Media 36,705,00 30,5,00 3,63,00 3,98,00 3,6,00 6,79,00 Dev. Sa 38,905 0,00 9,74 0,00 0,68 0,00, 0,00,4 0,00,8 0,00 Variabilià 54,03 94,93,0 0,46 0,08 4,44,55 3,33 0,46 Min. 40 -,48 4 -,69 -,45 -,4 -,0 4-3,7 Max. 98,57 46,6 5, -, 8,9 6,9 0-0,43 Aimm. -0,6807-0,68-0,5-0,5-0,47-0,47 0,8 0,8-0, -0, -0,0-0, quar. 9-0,45 4,5-0,59 3,5 -,95-0,94 3-0,49 5 -,08 Mediana 4 0,36 3 0,8 3,8 -,67 4 0,0 4 0,3 7 -,53 3 quarile 59,5 0, ,69 4, -,54 5,5 0,60 5, 8-0,98 Fone: elaborazione u dai dell indagine empirica. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 38

39 La previione delle vendie Nel enaivo di abilire e e in che miura le variabili eplicaive elezionae influenzino le vendie occorre calcolare la marice di correlazione, che riaume per riga e colonna il grado di correlazione eiene (aravero il coefficiene di correlazione di Bravai fra le variabili in gioco). Dalla eguene abella (Tab. 8..3), i evidenzia: - che i egni algebrici riulano coereni con le aee: le vendie ono correlae poiivamene con il prezzo (r,x ) ed in miura minore con la pubblicià (r,x3) ) ed il reddio medio menile delle famiglie (r,x ). Analizzando le variabili eplicaive i oerva ia pure in miura debole un aociazione negaiva ra la qualià del prodoo ed il reddio (r x4,x ); - che le variabili qualià ed immagine dell azienda riulano eere oanzialmene incorrelae ia con le vendie che con il prezzo del prodoo, menre riula eere lievemene correlaa con la pubblicià; dai riulai è evidene una reiima correlazione, invece, ra le due variabili qualià ed immagine dell azienda. Sulla bae dei riulai oenui e coniderao l orogonalià ra que ulime e le prime variabili eplicaive pree in eame, ipoizzare di rovari in preenza di mulicollinearià e di ridondanza dei dai. Tab Marice di correlazione Vendie (Y) Prezzo (X ) Reddio (X ) Pubblicià (X 3 ) Qualià (X 4 ) Immagine (X 5 ) Vendie,000 Prezzo 0,846,000 Reddio 0,348 0,65,000 Pubblicià 0,597 0,586 0,374,000 Qualià 0,048 0,034-0, 0,35,000 Immagine 0,048 0,035-0,3 0,35 0,90,000 Fone: elaborazione u dai dell indagine empirica. Eaminando ancora la marice di correlazione, i oerva che la variabile maggiormene correlaa con le vendie è il prezzo (0,846), eguono in miura minore la pubblicià (0,597) e il reddio (0,348). Per nulla correlae riulano eere la qualià e l immagine. Per la deerminazione dei coefficieni di regreione, i può ricorrere al meodo di adaameno dei minimi quadrai che garanice nel cao di un modello lineare le ime non diore e più efficieni, anche in aenza di ipoei ulla diribuzione degli errori. Prima di prendere in coniderazione le ime dei coefficieni è neceario valuare e il modello è adeguao a decrivere ed evenualmene ad inerpreare e prevedere il fenomeno in eame: le vendie del prodoo. La verifica i baa, allora, ulla coerenza delle proprieà aiiche degli errori, con riferimeno al principio che - e non ci ono faori rilevani eclui - il modello elezionao può eere coniderao oddifacene; coniderao che gli errori non ono, però, oervabili, vanno calcolai ucceivamene alla ima del modello come reidui per ogni oervazione, oraendo da ciacun valore oervao di Y quello eorico Y *. Nella preene applicazione empirica i è poo anche il problema di deerminare il migliore modello di regreione capace di piegare il fenomeno in eame; in oanza i è poo come problema quello di cegliere come modello di regreione, proprio quel Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 39

40 La previione delle vendie modello che meglio rieca ad adaari alla pezzaa di regreione. Per raggiungere ale copo, la meodologia eguia è aa quella a riroo (backword): inizialmene le variabili eplicaive ono ae inerie ue nel modello, poi pao dopo pao e ad una ad una - le variabili eplicaive ono ae eliminae, econdo la capacià di piegare la variabilià del fenomeno (i pare dall eliminazione di quelle variabili con la minore capacià). Nel cao empirico in eame, i pai eeguii ono ai quaro; l ulimo modello deerminao preena olo il prezzo come variabile eplicaiva (Tab. 8..4). A queo puno, i è poo il problema di deerminare il modello di regreione che riula meglio adaao alla pezzaa di regreione (ipoei H 0 ); per raggiungere ale copo è ao coniderao il eguene rapporo F, che i diribuice econdo una F di Snedecor, con g e g n gradi di liberà. i i i F Dev ( e) n Fiao il livello di α, i accea l ipoei nulla e il valore di F riula eere inferiore al valore oglia; in al modo, il rapporo F può eere coniderao come un e di aendibilià del grado di adaameno della rea di regreione alla pezzaa di regreione; cioè, F può eere coniderao come un e per la miura della relazione di linearià ra la variabile ripoa e quelle eplicaive inerie nel modello. Tab Modelli di regreione. Modello Variabili eplicaive Immagine Prezzo Reddio Pubblicià Prezzo Reddio Pubblicià R R R correo Errore andard Aendibilià F gdl gdl 0,785 0,66 0,566 0,577, ,784 0,65 0,579 0,568 0, Prezzo Pubblicià 0,779 0,606 0,58 0,566 0, Prezzo Fone: elaborazione u dai empirici. 0,757 0,574 0,56 0,580,75 33 Eaminando i quaro modelli coì oenui, è ao celo il econdo proprio per il uo maggiore grado di aendibilià ripeo agli alri, preenando un valore di F 0,06<f,3,α0,05 4,6; nonoane anche il erzo modello preeni un valore di F inferiore al valore oglia i è preferio coniderare il econdo modello proprio per la ua maggiore capacià di piegare la variabilià del fenomeno (R 0,65). Eaminando ancora più in deaglio il fenomeno in eame, è evidene che - anche e la funzione di Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 40

41 La previione delle vendie regreione cela preena un buon grado di adaameno e conene di aerire che eie una relazione di linearià ra la funzione e la pezzaa di regreione non è deo che proprio ale funzione pieghi bene il legame di dipendenza della variabile vendie con le variabili eplicaive inerie nel modello eo (prezzo, reddio, pubblicià). Tab Analii della variabilià dei modelli di regreione. Modello Devianza SQ gdl MQ F Regreione 6,57 4 4,9,408 Reidua 0,36 3,333 Toale 6, Regreione 6,5 3 5,504 7,063 Reidua 0,3 3,33 Toale 6, Regreione 6,63 8,3 5,386 3 Reidua 0,57 33,30 Toale 6, Regreione 5,393 5,393 45,748 4 Reidua,440 34,336 Toale 6, Fone: elaborazione u dai empirici. Dopo quano deo, riula, allora, neceario andare a verificare che all inerno del modello celo la variabile vendie riuli effeivamene dipendene dalle variabili prezzo, reddio e pubblicià; poo allora come ipoei nulla H 0 la condizione che i coefficieni β iano ui uguali a zero e coniderao il eguene rapporo F, Dev( R) F Dev( e) n che i diribuice come una F di Snedecor con g e g n gradi di liberà e fiao il livello di α 0,05, i rifiuerà l ipoei nulla e riula F < f g,g,α. Dell eame dei riulai oenui dal modello elezionao (Tab. 8..5), i oerva che il valore F 7,063 riula eere maggiore dello eo valore oglia (f 3,3, α0,05,90), perano i rifiua l ipoei nulla upponendo veroimilmene che ale modello lineare di regreione ia idoneo a rappreenare il fenomeno in eame. Dopo aver ampiamene eaminao il modello lineare di regreione elezionao, è doveroo effeuare una digreione in riferimeno all indice di deerminazione R che, variabile da zero a uno, miura la quoa di variabilià della variabile ripoa piegaa dalla relazione imaa: R dev( regr) dev( re). dev( o) dev( o) Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 4

42 La previione delle vendie Facendo riferimeno al modello celo, i evince che il 6,6 % della variabilià del fenomeno vendia del prodoo è piegaa dal modello e, quindi, di coneguenza dalle variabili eplicaive coniderae (prezzo, reddio e pubblicià). Coniderao che nella preene applicazione la ecnica impiegaa è aa quella a riroo - dove le variabili meno correlae e ignificaive nell eprimere la variabilià del fenomeno ono ae ad una ad una eclue dal modello l analii dei valori auni dall indice di deerminazione permeono di oervare proprio una diminuzione degli ei, paando dal primo modello al quaro (in oanza, ale coefficiene aumena all aumenare del numero delle variabili eplicaive inerie nel modello). A iolo eemplificaivo e per meglio piegare la compoizione della variabilià del fenomeno, i oerva che il 6,6 % della variabilià è piegaa dal modello di regreione (R ), menre il 38,4 % della reane variabilià è legaa alla caualià del fenomeno eo. * dev ( regr ) ( Y i Y ) devianza di regreione 6,5 i * ) dev ( re ) ( Y i Y i devianza reidua 0,3 i dev ( o ) ( Y i Y ) devianza oale 6,834 i In ale modo, il modello di regreione coì oenuo preena la eguene formulazione maemaica:,643x 0,95x 0,57x 0, dove: vendie, x prezzo, x reddio, x 3 pubblicià. I parameri b 0, b, b e b 3 ono ai calcolai con il meodo dei minimi quadrai. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 4

43 La previione delle vendie Tab Coefficieni di regreione. Modelli Coefficieni b Sd. Error Sa. Inervallo di confidenza 95% Collinearià T Sig. Inferiore Superiore Tolleranza VIF Modelli di regreione 3 4 Conane 0,505 0,758 0,667 0,50 -,04, Prezzo - 0,645 0,35 4,79 0,000 0,370 0,99 0,687,455 Reddio 0,308 0,355 0,866 0,393-0,47,033 0,806,40 Pubblicià 0,5 0,35,7 0,7-0,4 0,45 0,536,867 Immagine 0,00 0,60 0,8 0,899-0,305 0,346 0,88,08 Conane 0,448 0,60 0,744 0,46-0,778, Prezzo - 0,643 0,3 4,878 0,000 0,375 0,9 0,694,44 Reddio 0,95 0,336 0,878 0,386-0,390 0,980 0,873,45 Pubblicià 0,57 0,3,79 0,0-0,093 0,407 0,65,600 Conane - 0,073 0,099-0,738 0,466-0,75 0,9 - - Prezzo - 0,639 0,3 4,869 0,000 0,37 0,906 0,695,439 Pubblicià 0,9 0,6,648 0,09-0,045 0,47 0,695,439 Conane - 0,068 0,0-0,664 0,5-0,74 0, Prezzo - 0,759 0, 6,764 0,000 0,53 0,987,000,000 Variabili eclue dall analii Qualià 46,86 -,049 0, ,000 5,608 Fone: elaborazione u dai empirici. L equazione oenua conene di effeuare una prima previione. I coefficieni imai devono eere lei come una miura della variazione delle vendie, in relazione alla variazione relaiva delle variabili indipendeni inerie nel modello eo; ad eempio, all aumenare dell % dei prezzi, le vendie diminuicono dello 0,64 %, menre all aumenare dell % del reddio o delle pee pubbliciarie, le vendie aumenano ripeivamene dello 0,9 % e dello 0,6 %. L inercea, invece, miura il livello della variabile dipendene quando le variabili indipendeni aumono valori nulli e, quindi, pur in aenza di variazioni nei prezzi e di condizioni eerne, le vendie ammonerebbero comunque al 44,8 % del oale (come i evincerebbe dal modello oervao). A queo puno, imai i parameri, è neceario andare a fare inferenza ugli ei parameri della rea di regreione e coruire inervalli di confidenza che con probabilià - α conengano ali parameri; allora, in bae al e di Suden, i coefficieni di regreione delle variabili indipendeni inerie nel modello riulano eere ignificaivamene divere da zero ad un livello di ignificaivià del 5%. Riulai oenui facendo ricoro, allora, al e di Suden dao da: b σˆ Ripeo a quano appena affermao, diveramene riula per quano aiene l analii dell unica variabile eclua dall analii ea la variabile qualià di prodoo B Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 43

44 La previione delle vendie dove il riulao della aiica di Suden - uguale a,049 è inferiore allo eo valore oglia di riferimeno ( 3,69); nel cao pecifico, allora, la variabile qualià di prodoo riula eere aa eclua dai modelli di regreione deerminai anche perché non fornice alcun apporo informaivo aggiunivo nello piegare le vendie mediane la relazione lineare che caraerizza il modello di regreione. Eaminando ancora la variabile, qualià di prodoo, i mee in evidenza che la econda ragione che ha porao alla ua ecluione è dovuo eenzialmene al fao di eere alamene correlaa con la variabile immagine (collinearià). Tale iuazione di collinearià non olo non appora nuove informazioni ma divena anche difficile deerminare l effeo prodoo da ciacuna delle due variabili indipendeni foremene correlae ra loro ripeo a quella dipendene. Se già l evenuale preenza di coefficieni di correlazione uperiore a 0,90 è indice di collinearià, per valuare, in generale, una evenuale iuazione di mulicollinearià i ricorre al faore di accrecimeno della varianza, cioè: Variance Inflaion Facor FIV 5, ,94 Nel cao di una ola variabile ale quanià riula pari ad uno. Nel econdo cao ubice un incremeno noevole, del 90%. Per valori del FIV uperiori a 0 (alcuni auori per prudenza uggericono di abbaare il valore a 5) la correlazione riula ecceiva, perano è ridondane l apporo di una delle due variabili, che riulano eere foremene correlae ra loro. Analizzando il valore del FIV relaivo alla variabile qualià i oerva che eo è pari a 5,608, valore deciamene uperiore al valore oglia indicao. R i 8.3. Previione delle vendie con dai in cro-ecion Con queo uleriore eempio i vogliono chiarire alcuni uleriori apei meodologici rimai nacoi nell eempio precedene; i raa di imare il volume delle vendie di una azienda ulla bae della percezione che la clienela ha della performance dei uoi prodoi. Si raa di un apeo nuovo che i collega ad un alro ema di analii di mercao circa il comporameno di acquio dei conumaori. Dall archivio dei clieni di una azienda è ao elezionao un campione di 00 unià le quali ono ae inerviae u ingoli queii ai quali gli inerviai hanno ripoo aegnando un puneggio riporao u cale di miura definie nell inervallo da zero a 0 6. I dai di bae non ono delle erie emporali come nell eempio precedene ma dai in cro-ecion. La variabile da imare è la quanià che i ingoli clieni prevedono di acquiare, uppoa in relazione con le variabili che rifleono la performance dell azienda. Le variabili eplicaive coniderae ono le egueni: X Velocià di conegna del prodoo X Prezzo 6 Meodo di previione delle vendie ulla bae della preceione che la clienela ha della performance dei uoi prodoi ( vedai J.F. Hair, R.E. Anderon, R.L. Taham, W.C. Black, Mulivariae Daa Aanli, Englewood Cliff, NJ Prenice Hall, 998, 8 ediing, pp.95-4 ). Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 44

45 La previione delle vendie X 3 Variazione del prezzo X 4 Immagine del produore X 5 Servizio compleivo X 6 Immagine della forza di vendia X 7 Qualià del prodoo Per quano riguarda l ampiezza campionaria i è eguia la regola empirica di avere dalle 0 alle 5 unià per ogni variabile indipendene conideraa; in al modo, i è cercao di garanire l oenimeno di ime oddifaceni. See variabili eplicaive di parenza ono ane. Coniderandole ue indiinamene, un qualunque modello implemenao, rappreenaivo di un qualunque fenomeno oervao, riulerebbe abbaanza compleo e di difficile applicazione in un coneo di replicabilià; perano conviene adoare una procedura epwie regreion (procedura a gradini o per pai ucceivi). Quea procedura riponde al crierio della parimonia, nel eno che conviene inerire nel modello di regreione un varabile per vola con l ineno di rendere maima la capacià previiva dello eo. Quea meodica richiede la elezione di una variabile per vola parendo da quella che conribuice in miura maggiore a piegare la variabilià; cioè quella che è maggiormene correlaa con la variabile dipendene ( nel noro cao le vendie ). Succeivamene i inericono una per vola le alre variabili fino a quando non ono eaurie o non i decide di arreare la procedura in bae ad un crierio di arreo prefiao. Il crierio da ripeare è che l immiione di una nuova variabile deve ridurre al maimo la variabilià reidua ( devianza di diperione daa dalla omma dei quadrai degli errori ra dai empirici e dai eorici). La riduzione della devianza reidua deve riulare aiicamene ignificaiva e può eere conrolla aravero un e F di Snedecor. In inei il procedimeno è il eguene: ) i conidera come prima variabile indipendene quella che preena il più alo coefficiene di correlazione emplice con la variabile vendie; e r non è ignificaivo la procedura i ferma e i conclude che il modello è del ipo Y b 0 ; ) i inroduce come econda variabile quella che preena il più alo coefficiene di correlazione parziale ripeo alla Y. Se ad eempio, il coefficiene di correlazione parziale più elevao e ignificaivo riguarda la variabile X, i crive l equazione: Y b 0 b X b X ; 3) a queo puno i va a verificare la ignificaivià di b e b ; a) e b e b ono enrambi ignificaivi l equazione è quella precedene e i vanno a coniderare i coefficieni di correlazione parziale ripeo ad Y delle alre variabili. E neceario calcolare i coefficieni di correlazione parziale perché è neceario eliminare l influenza di X e X ripeo ad Y; b) e b è ignificaivo e b non lo è allora i conidera olo l equazione: Y b 0 b X c) e b non è ignificaivo e b lo è, biogna coniderare le alre variabili indipendeni e coniderare quella che ha il coefficiene di Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 45

46 La previione delle vendie correlazione parziale più elevao olre alla X. Dopo aver crio il modello di regreione occorre verificare la ignificaivià dei relaivi coefficieni di regreione parziale. Il moivo per cui ogni vola i conrolla la ignificaivià di ui i coefficieni di regreione parziale (comprei anche quelli che erano ignificaivi al pao precedene) a a dimorare che l aggiuna di una nuova variabile nel modello può rendere non ignificaivo il coefficiene di regreione parziale di una variabile già cela a caua di una evenuale ala correlazione fra ee; in queo cao la variabile che ha il coefficiene non ignificaivo viene rimoa dal modello. Nauralmene non eie un modello perfeo che ci conene di cegliere le variabili. Il calcolo ci può dare olo uili indicazioni ulle variabili da uare oprauo e iamo in una fae eploraiva. Molo imporane riula il buon eno e l eperienza del ricercaore. Alcune variabili (anche e non riulano ignificaivi i coefficieni di regreione parziale) devono eere manenue per il loro ignificao logico; alre, invece, devono eere rimoe proprio perché non hanno neun ignificao logico (anche i ripeivi coefficieni di regreione ono ignificaivi) 7. Tab Marice di correlazione X X X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 Y X,00 X -0,35,00 X 3 0,5-0,49,00 X 4 0,05 0,7-0,,00 X 5 0,6 0,5 0,07 0,30,00 X 6 0,08 0,9-0,03 0,79 0,4,00 X 7-0,48 0,47-0,45 0,0-0,06 0,8,00 Y 0,68 0,08 0,56 0, 0,70 0,6-0,9,00 Fone: elaborazione u dai empirici. Dal marice di correlazione riula che la variabile indipendene che riula con un più elevao coefficiene di correlazione con la variabile dipendene è la X 5, cioè il ervizio compleivo. Il coefficiene di correlazione r è 0,70. In alri ermini i è porai ad acquiare di più in quano i giudica poiivo il ervizio reo. Coruio il modello di regreione, con il meodo dei minimi quadrai, i ha che il coefficiene di regreione imao b 5 è pari 8,38 e l inercea è pari a,65; l equazione riula la eguene Y,65 8,38X 5 I valori degli indicaori neceari per conrollare queo primo pao riulano: - R 0,49, - Errore andard della ima 6.45, - (X 5 ) 9,7, - β(x 5 ) 0,70 7 Vedai Delvecchio F. Saiica per la ricerca ociale, Cacucci, Bari, 976. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 46

47 La previione delle vendie E neceario ricordare che per ogni variabile ineria nel modello è neceario eaminare: - L indice di deerminazione lineare R, che, come già più vole ricordao, miura la frazione della variabilià oale di Y piegaa dalla relazione di Y con X 5., a a ignificare che la variabile ervizio compleivo piega circa la meà della variabilià degli acquii che i 00 clieni inerviai riengono di effeuare; - L errore andard della ima, che rappreena una miura della variabilià dei valori oervai inorno alla rea di regreione, oia una miura uleriore dell accuraezza della previione. L errore andard della ima i oiene calcolando la radice quadraa della omma dei quadrai dei reidui (che alro non ono che la devianza di diperione) divia per i uoi gradi di liberà. Nel noro cao eendo ee le variabili e 4 le oervazioni i gradi di liberà ono 98. Errore andard della ima 407,69 6, Il valore della di Suden, impiegao per il conrollo dell ipoei che b 5 ia uguale a zero, oenuo dal rapporo fra il coefficiene imao ed il uo errore andard. Il uo valore criico ad un livello di ignificaivià del 5% con 98 gradi di liberà riula eere del,98; - Il coefficiene di regreione andardizzao β che è pari a 0,70 e che conene di confronare l effeo che le ingole variabili hanno u Y. A queo puno reano da inerire le alre variabili allo copo di migliorare il modello e diminuire la variabilià reidua; in oanza, andare a verificare e ono diponibili alre variabili da confronare con X 5. Dalla marice di correlazione embrerebbe che la variabile da inerire con quea procedura epwie ia la variabile X che ha un coefficiene di correlazione più elevao con Y. Ma non è coì in quano biogna ener cono delle correlazioni parziali ra Y e le variabili indipendeni e cegliere quella variabile che preena il più alo coefficiene di correlazione parziale. La correlazione parziale è una miura della quoa della variabilià di Y che non viene piegaa dalle variabili già inerie nel modello, ma dalle variabili che via via i inericono. A al propoio biogna preciare che quando i hanno re o più variabili i può calcolare la correlazione parziale fra due avendo reo coane (e quindi ininfluene) la erza variabile ed evenualmene le alre. In queo cao i parla di correlazione parziale fra Y e X 3 al neo dell influenza di X 5 e della correlazione fra Y ed X empre al neo dell influenza di X 5. Tab Correlazioni parziali ra Y e le variabili indipendeni. Correlazioni parziali Valori r x.x5 0,44 r x.x5-0,45 r x3.x5 0,7 r x4.x5 0,0 r x6.x5 0,3 r x7.x5-0, Fone: elaborazione u dai empirici. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 47

48 La previione delle vendie Da abella riula che il coefficiene di correlazione parziale più elevao al neo della variabile X 5 è il erzo pari a 0,7, ( cioè la correlazione ra Y e X 3 eliminaa la influenza di X 5 già ineria nel modello) menre la correlazione parziale fra Y e X è olano 0,44. R riula eere pari a 0,58 (il quadrao di 0,7); come inerpreare, allora, queo valore? Calcolando il quadrao di 0,7 i oiene l indice di deerminazione lineare parziale R pari a 0,58; quindi un uleriore 5,8% della varianza non ancora piegaa, può eere cola inerendo nel modello la variabile X 3. Perano coniderao che il 49, % della variabilià di Y è già piegaa dalla variabile X 5 e che un alro 5,8% del 50,9% della varianza oale reidua (non piegaa con il primo modello) i piega aggiungendo all equazione di regreione la variabile X 3 i avrà un incremeno del 6,4% della ea variabilià piegaa. A queo puno poiamo paare allo udio del nuovo modello coruio con enrambe le variabili indipendeni X 3 e X 5, i cui riulai ono i egueni: Con: Y - 3,49 3,43X 3 7,97X 5 - errore andard della ima 4,50, - β(x 3 ) 0,5 β(x 5 ) 0,67 - (X 3 ) 0, (X 5 ) 3, - R 0,76 - R 0,75 Dal confrono con il modello precedene i evince che R è aumenao in modo ignificaivo da 0,49 a 0,76. Dopo l inerimeno di b 3 il valore di b 5 i è modificao di poco, paando da 8,38 a 7,97. Quea è una indicazione uleriore che le variabili X 5 e X 3 ono relaivamene indipendeni ( fra quee due variabili la correlazione è olo di 0,07). I valori del e parziale indicano che ia X 5 che X 3 ono variabili eplicaive di Y aiicamene ignificaive. Il valore per la variabile X 5 è ora 3,, menre valeva 9,7 al pao. Il modello può proeguire inerendo la variabile X 6, variabile elezionaa dopo aver nuovamene ricalcolao i coefficieni di correlazione parziale al neo di X 3 e di X 5. Compleaa la ima del modello, valuaa la varianza di regreione ed effeuai i e di conrollo poiamo crivere l equazione di regreione che include le variabili X 3, X 5 e X 6 (cioè la fleibilià del prezzo, il ervizio compleivo e l immagine della forza di vendia). Y - 6,5 3,38 X 3 7,6X 5,4X 6 La procedura a queo puno i ferma per il olo fao che i coefficieni delle alre variabili non uperano il conrollo del e e non riulano ignificaivamene diveri da zero. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 48

49 La previione delle vendie Con l equazione riporaa opra per ogni cliene può eere ricalcolaa la quanià di prodoo che preumibilmene arà acquiaa. Nel voler fare alcune coniderazioni in merio al modello, i fa noare che dal loro confrono riula che i due faori che influenzano foremene il probabile acquio del prodoo ono: il ervizio compleivo ed il prezzo. Incremeni in una di quee due variabili i ripercuoono in corripondeni aumeni nelle quanià acquiae. In paricolare un aumeno di un puno nella percezione che il cliene ha del ervizio erogao avrà come riulao un aumeno nell uo del prodoo di circa l 8%. Supponendo che un cliene aegni un puneggio pari a 4 al prodoo, il modello riula eere il eguene con una previione di acquio di 43,. -6,5 3,38 *(4) 7,6*(4),4* (4) 43,. L accuraezza previiva del modello è buona, con una varianza piegaa del 77% ed un errore andard della ima della variabile dipendene è riulao pari al 4,4%. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 49

50 La previione delle vendie Appendice: Modelli eorici di correlogrammi relaivi a procei azionari AR che ono di andameno noo 8. 8 Braini S., Tainari F. (000), Lezioni di Saiica Aziendale, Socieà Edirice Eculapio, Bologna. Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 50

51 La previione delle vendie Dipena di STATISTICA AZIENDALE e ANALISI DI MERCATO Pagina 5