Trasformata di Laplace unilatera Teoria

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1 Definizione Tafomaa di Laplace unilaea Teoia L[f()] = f() $ e ($) d = F() Dove: f() = funzione eale afomabile. E nulla pe <. = vaiabile indipendene eale della funzione eale f() F() = afomaa di Laplace della funzione f() = vaiabile indipendene complea della afomaa di Laplace Di fao, la afomaa di Laplace è un opeaoe che afoma una funzione eale di (ad eempio l equazione di un onda) in una funzione complea di (ad eempio l equazione di una ipoa in fequenza). f() c F() c Š Eienza e dominio della afomaa La afomaa è definia aaveo un inegale impopio. La ua La condizione di eienza è quindi: Inegale impopio convege u Tafomaa di Laplace eie Inegale impopio divege u Tafomaa di Laplace non eie Siccome l inegale impopio ha un paameo compleo, ogni vola che i calcola la afomaa di Laplace biogna dicuee pe quali valoi di l inegale convege, e pe quali valoi divege. Si dimoa che (il paagafo Convegenza di e ne da una pova) ciò che cona pe la convegenza dell inegale di Laplace è la pae eale di. In paicolae, i oveà empe che Re()>a u Inegale di Laplace convege Quea condizione cea di fao un emipiano di convegenza, nel quale la afomaa di Laplace eie. Biogneebbe empe dicuee l eienza di queo emipiano, che invece peo è daa, pe emplicià, valida. Eiono anche funzioni che hanno, cioè pe le quali non eie afomaa di Laplace. Un eempio è la funzione: f()=e 2 Veifica della convegenza Eiono e modi pe veificae che una funzione ia afomabile econdo Laplace: ) Calcolae dieamene la afomaa con l inegale di definizione, e dicuee il paameo. 2) Dimoae che l inegale impopio non convege, enza calcolalo. A queo copo, è uile quea compoizione: e $ $ f() e (a + j $ b) $ f() e a $ f() $ [e b $ j ] e a $ f() $ [co(b)+j $ en(b)] Quindi: f() $ e ($) d = e a $ f() $ co(b)+j $ e a $ f() $ en(b) Mediane quea compoizione, abbiamo oenuo due inegali a valoi eali. Se i pova che quei inegali convegono, i dimoa che la afomaa di f() eie. NOTA: anche in queo cao, i evidenzia come Re(), cioè a, ia il valoe che deemina la convegenza o meno dell inegale. Im(), cioè b, compae olo nel eno e nel coeno, e deemina olo un ocillameno dell inegale a e -. 3) Veificae che: F() [ M $ e n$ con >, n e m eali e poiivi

2 Convegenza di e Vogliamo deeminae il compoameno della funzione: e con c Š quando ende a. Biogna quindi udiae il compoameno della funzione in bae al vaiae del paameo. Siccome è un numeo compleo, la funzione può eee icia oo foma di un numeo compleo: e. = e (a + jb)$ = e a $ e j $ (b) / Modulo: e a e a $ e j $ ( b) j$ ( b) Fae: e Sudio oa il compoameno di al vaiae del uo modulo e della ua fae Fae b La fae del numeo compleo è ininfluene pe deeminae il uo compoameno a. Infai j$ ( b) e numeo compleo di modulo e fae (-b). Al endee all infinio dell angolo di fae, cioè di (-b), il numeo compleo coninua a uoae ulla ciconfeenza di aggio uniaio. Il emine b è ininfluene pe deeminae la convegenza dell eponenziale a u Modulo a Il modulo dell eponenziale compleo è deeminane pe decidene la convegenza. Poiamo diinguee e cai: a > u a = u a < u lim + e a $ e j $ ( b) = $ e j $ ( b) lim + e a $ e j $ ( b) = e j $ ( b) lim + e a $ e j $ ( b) = $ e j $ ( b) Num. compleo di fae vaiabile e modulo nullo L eponenziale convege Num.compleo di fae vaiabile e modulo uniaio L eponenziale ocilla u una ciconfeenza uniaia Num. compleo di fae vaiabile e modulo infinio L eponenziale divege Funzione f() () Dela di Diac u() - Gadino n con n c Œ e a$ a c Š en( $ ) > co( $ ) > en( $ + ) co( $ + ) Pincipali afomae Tafomaa F() n! n+ a $en( )+ $co( ) $co( ) $en( ) Acia di convegenza c Š Re()> Re()> Re()>Re(a) Re()> Re()>

3 Popieà della afomaa di Laplace Popieà Unicià Moliplicazione pe coane Somma Talazione nel campo Talazione nel campo Deivazione ipeo a Fomula f ()=f 2 () $ f() f ()+f 2 () u( a) $ f( a) a c + e a$ $ f() a c Š f() (n) F () = F 2 () $ F() F () + F 2 () e $a $ F() F( a) n n $ F() n $ f() ( ) = Acia di convegenza ma(, 2 ) +Re(a) ma( n,) Inegazione Podoo di convoluzione Deivaa della afomaa Inegazione Funzioni peiodiche Teoema del valoe iniziale f() & g()= f() $ g( )d f() & g()= f()d $ f()= ( ) n $ n $ f()= f() F() peiodica lim f() d+ lim f() d f( ) $ g()d Eempio: 3 $ F() 2 $ f() $ f () f () F() F() $ G() F () $ e $T F = Tafomaa della funzione bae peiodica T = peiodo della funzione lim $ F() d lim $ F() d F() () F() (n) F(u)du ma(,) ma(, 2 ) di f() Teoema del valoe finale lim f() d Il eoema del valoe iniziale vale e e olo e eie il limie di f(). lim $ F() d Scalameno f(a $ ) a > Il eoema del valoe finale eie e e olo e eie il limie di f(). a $ F( a ) c $ Noa: il pecificao nella colonna delle acie di convegenza è il che i avebbe e i facee la afomaa della ola funzione in eame f(). Unià di miua Se i applica la afomaa di Laplace nel campo dei egnali, biogna conideae anche la dimenione fiica delle vaiabili: Funzione pimiiva f() afomaa F() Dominio empo fequenza Unià di miua econdi hez

4 AniTafomaa di Laplace Poichè le afomae ono univoche, pe aniafomae è ufficiene applicae le leggi di afomazione al conaio. Se le funzioni ono paiclamene complee, i puo applicae la fomula geneale, che peò è molo complea, oppue icoee a meodi paicolai, come nel cao delle funzioni azionali fae. Fomula geneale La fomula di Riemann-Fouie pemee di aniafomae qualunque F(), ma implica l eecuzione di un inegale complicao: 2 j $ v.p. + $ j $ j e $ F()d Ipoei: f() egolae a ai F() = L[f()] acia di convegenza fi F() > Funzioni azionali fae Le funzioni azionali fae ono l unico ipo afomaa di Laplace che può compaie nei cicuii eleonici. Pe queo è neceaio impaae queo il poceo di aniafomazione. Il pocedimeno è queo: ) Si compone la funzione azionale faa in fai emplici 2) Si aniafoma, uilizzando di vola in vola il meodo più appoiao: a) Regole di afomazione al conaio b) Fomule: Poli emplici: a $ ea Poli mulipli: ( a) ( )! $ $ e a Poli complei coniugai: vedi di eguio Aniafomazione di poli complei Se aniafomai con i meodi nomali, i poli complei danno oigine a aniafomae con eponenziali complei. In ealà, emplificando con le fomule igonomeiche di Euleo, i oengono empe aniafomae eali. Si poono eguie due vie pe avee una aniafomaa eale: a) Si aniafoma con le egole nomali, e poi i applicano le fomule di Euleo b) Si applica una fomula, icodando che, componendo in faoi il denominaoe, i poli complei oenui ono empe coniugai a loo: F()= A $ e j$ (a + b $ j) + A $ e j$ (a b $ j) f()=2 A $ e a$ $ u() $ co(b $ + ) Noa paica: analizzando i cicuii eleonici, la pae eale del polo deve ee poiiva pe ave abilià. In al cao pe applicae la pecedene fomula pae eale, pae immaginaia, fae e modulo ono ifeii al polo che, con davani il meno accolo, è poiivo: 2 $ Modulo del eiduo $ e$re(polo) $ co Im(polo)+ Fae del eiduo (a! b $ j) / (a + b $ j) d Conideao (a b $ j) d Non conideao

5 Eempio di applicazione delle fomule di Euleo Pe chiaie come i applicano le fomule di Euleo pe emplificae aniafomae complee i ipoa la dimoazione della fomula di aniafomazione di poli complei emplici. Applicando la fomula dei eidui, i oiene anche al numeaoe una coppia di zei complei coniugai: + y $ j F()= (a + b $ j) + Dove:! y $ j = coppia di zei complei coniugai a! b $ j = coppia di poli complei coniugai y $ j (a b $ j) Epimendo gli zei complei in foma polae, i oiene: A $ e F()= j$ (a + b $ j) + A $ e j$ (a b $ j) Aniafomando, il numeaoe ea invaiao, pechè è un coefficiene, mene il denominaoe iula eee una alazione: f()=[ A $ e j$ ] $ [u() $ e (a+b$j)$ ] + [ A $ e j$ ] $ [u() $ e (a b$j)$ ] Raccogliendo u() $ e a$, i ha che: f()= A $ e a$ $ u() $ [e j$(b$+ ) + e j$(b$+ ) ] Ricodando la fomula di Euleo: e j$ = co + j $ en Si può civee che: A $ e a$ $ u() $ [co(b + )+en(b + ) $ i + co( b )+i $ en( b )] Ricodando che: en( )= en() co( )=co() Si può civee che: A $ e a$ $ u() $ [co(b + ) + en(b + ) $ i + co(+b + ) i $ en(b + )] E quindi alla fine i oiene: f()=2 A $ e a$ $ u() $ co(b $ + )