Risoluzione dei problemi

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1 Risoluzione dei polemi a) Sudiamo il gafico di f ( ) D: R -]- ; [ - (-) f( ) f ( ), quindi la funzione è dispai - Le inesezioni con l asse delle hanno ascisse + e - lim f ( ) lim " + " + - si pesena nella foma indeeminaa Taspoando il denominaoe soo adice, oeniamo: - - lim lim lim - " + " + " + Quindi la ea di equazione è asinoo oizzonale a desa Poiché la funzione è dispai, la ea di equazione - è asinoo oizzonale a sinisa fl ( ) - La funzione non è deivaile nei puni in cui la cuva ineseca l asse delle ascisse: in ali puni la ea angene al gafico è paallela all asse delle fl ( ) pe ogni! R -[- ; ], quindi la funzione è cescene pe ogni e pe ogni - Tacciamo il gafico della funzione f() Copigh Zanichelli edioe SpA, Bologna

2 ) Pe deeminae l aea del apezoide T indicao in figua doiamo calcolae l inegale definio fd ( ) - - fd ( ) d d T - Calcoliamo pe sosiuzione l inegale indefinio d Ponendo -, aiamo -, + da cui + e d d + Sosiuendo, oeniamo: d $ d d d acg c acg - + c Tonando all inegale definio oeniamo: - aea( T) d 8 --acg - B ` - acg j a - k c) Pe calcolae il volume ichieso doiamo calcolae il seguene inegale definio: - - V 7 f( ) A d d n d d a ; + E - l + d) Consideiamo il seguene inegale impopio: 7 - f ( ) A d Scelo $, veifichiamo se il seguene inegale convege: f( ) Ad lim 7- f( ) Ad lim d- nd lim d- " + " + " + Tenendo cono di quano aiamo calcolao al puno ), oeniamo: - d --acg - + c Peano aiamo: - lim d - d lim acg - " n 8 B + " + - nd lim acg -- B $ lim 8_ -- - i + acg - B " + " C Quindi l inegale è convegene ende a - ende a f() Copigh Zanichelli edioe SpA, Bologna

3 + L inegale 7 - f ( ) A dappesena il valoe limie dell aea della supeficie nel I quadane compesa a la cuva e il suo asinoo deso (con $ ) a) Sudiamo il gafico della funzione f ( ) + D R e coninua in uo il dominio; f( - ) f( ) " f è pai; " ; lim f ( ) lim lim + " + " + " + + l Quindi la ea di equazione è asinoo oizzonale a desa Poiché la funzione è pai, la sessa ea è asinoo oizzonale anche a sinisa f ( ) 6 f ( ) ( + ) assoluo) della funzione 6( - ) fm ( ) " f ( ) è convessa pe - # # ( + ) ed è concava alove I puni di ascissa! sono puni di flesso Il gafico della funzione è il seguene f() f() ) Pe ovae ue le pimiive di f() occoe calcolae l inegale indefinio: + - fd ( ) d d d - dl d -8 8 acg c acg c + - l+ - + Imponendo il passaggio pe l oigine degli assi, oeniamo c Peano F ( ) - acg Sudiamo il suo gafico F() è definia su uo l asse eale, coninua e deivaile ovunque F( - ) - F( ), quindi la funzione è dispai Copigh Zanichelli edioe SpA, Bologna

4 lim F ( ) lim a- acg + " + " + k Esise peano la condizione necessaia, ma non sufficiene, pe l esisenza di un evenuale asinoo oliquo Calcoliamo quindi: F ( ) - acg acg lim lim lim f - p m, " + " + " + lim 7 F ( )- A lim a -acg - - q " + " + k Peano la ea di equazione ( - ) è asinoo oliquo pe la funzione a + Essendo la funzione F() dispai, si deduce che la ea di equazione ( + ) è asinoo oliquo a - Fl ( ) f( ) ed f ( ) $ pe ogni! R, quindi F() è cescene pe ogni eale Fm( ) fl ( )" l oigine è un flesso a angene oizzonale pe F() Il gafico di F() è il seguene F() π π c) Pe deeminae l aea della supeficie nel pimo quadane, delimiaa dalla cuva c, dall asse e dalla ea di equazione calcoliamo il seguene inegale impopio: f( ) Ad lim 7 - f( ) Ad lim d - d lim d n + d - n + " + " + " + d lim d lim 8 lim 8 acg lim acg $ + + ; E ; E " + " + " + " + d) Uilizzando il meodo dei apezi (dividendo in pai uguali l inevallo di inegazione) oeniamo la seguene appossimazione dell inegale fd ( ) : a fd ( ) - fa ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) $ h + $ h + $ h + $ h Copigh Zanichelli edioe SpA, Bologna

5 h fa ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) 7 A Quindi:, fd ( ) - 7f() + f(,) + f() + f(,) + f() A -, Il valoe esao dell inegale è il seguene: fd ( ) 9- acg - -, 8876 C Risoluzione dei quesii Possiamo iscivee la cuica nel seguene modo: ( -) -( - ) ( -)( - ) Quindi la funzione ineseca l asse delle ascisse nei puni di ascissa! e La deivaa pima è fl ( ) -6-, che si annulla in! : sono le ascisse dei puni di minimo e di massimo La deivaa seconda è fm ( ) 6-6, che si annulla in Quindi (; ) è il puno di flesso Il gafico della funzione è quello ipoao in figua Pe deeminae l aea ichiesa calcoliamo il seguene inegale definio: S ; f ( ); d fd ( ) + - fd ( ) ( -- + ) d- ( ) d ; E -; E 7 -(- ) a) Calcoliamo l inegale indefinio ( - )cos d, pe pai: ( - ) cos d ( -) sen- - send ( -) sen- cos + c, con c! R Consideiamo oa l inegale definio: ( - ) cos d 7( -) sen- cos A ( ) ) Calcoliamo l inegale definio d Pocediamo pe sosiuzione Poniamo da cui e d d Se, aiamo e se, - Copigh Zanichelli edioe SpA, Bologna

6 Di conseguenza oeniamo: - - d d - d ln 7 ;;- A ( ln -) -(- ) ( ln -) 7 A c) Calcoliamo l inegale definio d - Poniamo: A B A( ) B( ) ( A B) A B ( - )( + ) ( - )( + ) A- B A B da cui oeniamo: ) " * A+ B A B Peano, aiamo: ln ( ln ln ) d d d l - < - F ln - + Pe il eoema fondamenale del calcolo inegale, la funzione F ( ) d è deivaile e ha pe + deivaa la funzione ineganda: Fl - + ( ) + Sudiamo il suo segno: Fl ( ) " - + " Quindi F() è decescene in e cescene pe o pe è un puno di massimo elaivo e è un puno di minimo elaivo Disegniamo il gafico della funzione f ( ) + cos Espliciiamo la vaiaile in funzione della vaiaile : + cos " cos - " accos( -),! [ ; ] e! [ ; ] Il volume ichieso è dao dall inegale seguene: V 7accos( -) A d Calcoliamo inizialmene l inegale indefinio pocedendo pima pe sosiuzione e poi due vole pe pai: accos( - ) " cos +, d - sen d; 7accos( - ) A d (- sen) d cos - cos d cos -; sen- sende cos -sen- cos + c Pe calcolae l inegale definio, sailiamo come sono camiai gli esemi d inegazione dopo la sosiuzione: " ; " f() π Copigh Zanichelli edioe SpA, Bologna 6

7 Peano l inegale definio è V 7accos( - ) A d (- sen) d 7 cos - sen - cos A ( ) - Il valo medio è dao dalla fomula: V m f( ) d e ( -) d - a a Calcoliamo l inegale indefinio pe pai: e ( - ) d ( -) e -- e d ( - ) e + e + c ( - ) e + c In definiiva, aiamo: Vm e ( - ) d 7( - ) e A e- 6 L equazione daa appesena un ellisse di semiasse maggioe a e semiasse minoe Consideao un puno P sull asse delle odinae, con - # #, calcoliamo la lunghezza della coda EF oenua inesecando l ellisse con una ea paallela all asse e passane pe P Deeminiamo le coodinae dei puni E e F: + "! 9-9 ; E- 9 - ;, F 9 ; " EF 9 l - - l Calcoliamo il volume del solido uilizzando il «meodo delle sezioni» (le sezioni del solido sono dei quadai di lao EF al vaiae del puno P sull asse minoe dell ellisse), enendo cono della simmeia dell ellisse ispeo all asse e ispeo all asse : V EF d EF d ( 9 - ) d < 9 - F E P F Copigh Zanichelli edioe SpA, Bologna 7