SIMULAZIONE - 22 APRILE QUESITI

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1 Assegnata la funzione y = f(x) = e x 8 SIMULAZIONE - APRILE 5 - QUESITI ) veificae che è invetibile; ) stabilie se la funzione invesa f è deivabile in ogni punto del suo dominio di definizione, giustificando la isposta. Q ) La funzione è definita, continua e deivabile su tutto l asse eale. Risulta: f (x) = (x )e x 8 pe ogni x, quindi la funzione è sempe cescente in senso stetto, quindi è invetibile (cioè ealizza una coispondenza biunivoca ta dominio e codominio). ) Posto x = f (y), isulta x (y) = y (x) e siccome y (x) = se x =, f non è deivabile in coispondenza di x=, cioè in y = f() = e 8. Notiamo che il dominio della f è il codominio della f, che è y>. Anche se non ichiesto, deteminiamo l espessione analitica della funzione invesa. Da y = f(x) = e x 8 icaviamo: x 8 = ln(y), da cui x = f (y) = 8 + ln (y). Q Data l'equazione diffeenziale del pimo odine y = x deteminae la soluzione del poblema di Cauchy, tenendo conto della condizione iniziale y()=. Da y = x icaviamo: y = dx = ln x + k e dovendo essee y() = otteniamo: = k. x La soluzione ichiesta, definita in un intono di x=, quindi dove x->, è : y = ln (x ) / 6

2 Di quale delle seguenti equazioni diffeenziali è soluzione la funzione y = ln(x )? a) (x ) y (x ) y + = b) x y (x ) y + x + = c) (x ) y (x ) y + = d) x y + y + x 9 = Giustificae la isposta. Q Notiamo che la funzione è continua pe x>, ed ammette deivata pima e deivata seconda, che sono: y = x y = (x ) a) (x ) y (x ) y + = x (x ) + b) x y (x ) y + x + = x (x ) + x + c) (x ) y (x ) y + = + = veificata d) x y + y + x 9 = x (x ) + x + x 9 La soluzione è quindi la c). Veificae il caattee della seie Q4 + n= n + 7n + e, nel caso in cui sia convegente, deteminae la sua somma. Notiamo che il temine geneale a n = n +7n+ è asintotico a n, quindi la seie è convegente. Si tatta di una seie telescopica, la cui somma si ottiene pocedendo nel modo seguente: Poiché n + 7n + = (n + )(n + 4), isulta: n + 7n + = (n + )(n + 4) = a n + + b n + 4 = a(n + 4) + b(n + ) (n + )(n + 4) = n(a + b) + 4a + b (n + )(n + 4) Da cui, dato che l uguaglianza deve essee veificata pe ogni valoe accettabile di n: a + b = { 4a + b = Petanto: b = a { a = b = { a = / 6

3 a n = n + 7n + = a n + + b n + 4 = n + n + 4 La successione delle somme paziali è quindi: s n = a + a + + a n = ( 4 ) + ( 4 5 ) + + ( n + n + ) + ( n + n + 4 ) = n + 4 Risulta: lim s n = lim ( n + n + n + 4 ) = Quindi la seie è convegente ed ha pe somma. Q5 Pe pogettae un sito web è necessaio geneae dei codici unici di accesso. Si vogliono utilizzae, a tale scopo, due lettee maiuscole dell'alfabeto inglese seguite da una seie di numei compesi ta e 9. Tutti i codici di accesso dovanno avee lo stesso numeo di cife ed è ammessa la ipetizione di lettee e numei. Qual è il numeo minimo di cife da impostae in modo da iuscie a geneae almeno 5 milioni di codici di accesso divesi? Giustificae la isposta. La scelta delle due lettee (ta le 6 possibili) è data dalle disposizioni con ipetizioni di 6 oggetti a due a due: D 6, = 6 = 676 La scelta di n cife ( n ) è data dalle disposizioni con ipetizioni di oggetti ad n ad n: D,n = n Il numeo di codici unici possibile è dato da: D 6, D,n = 676 n Si vuole che i codici siano almeno 5 milioni, quindi deve essee: 676 n 5 6 n log = log log Quindi n deve essee almeno 4: i codici devono essee fomati da almeno 6 caattei ( lettee seguite da almeno 4 cife). La base di un solido, nel piano Oxy, è il cechio avente come cento l'oigine e aggio. Le sezioni del solido pependicolai all'asse delle x sono quadati. Calcolae il volume del solido. La ciconfeenza di cento O e aggio ha equazione: x + y = 9, da cui y = 9 x Q6 / 6

4 La sezione quadata ha lato y, essendo y l odinata de geneico punto della ciconfeenza del semipiano y. Il quadato ha quindi aea: A = (y) = 4y = 4(9 x ) = A(x) Il volume del solido è dato da: b V = A(x)dx a = A(x)dx = 8(7 9) = 44 u = V = 4(9 x ) dx Q7 = 8 (9 x ) dx = 8 [9x x ] = Tovae l'equazione del piano tangente alla supeficie sfeica avente come cento l'oigine e aggio, nel suo punto di coodinate (,,z), con z negativa. La sfea ha equazione: x + y + z = 4; ponendo x= e y= otteniamo z = ± Il punto di tangenza è quindi: T = (,, ). Il piano pependicolae alla sfea in T ha come nomale la etta OT, quindi ha paameti diettoi: a = =, b = =, c = =. Quindi l equazione del piano è: a(x x T ) + b(y y T ) + c(z z T ) = x + y (z + ) = quindi: x + y z 4 = Calcolae il seguente integale indefinito Q8 (acsin(x) + accos (x)) dx e appesentae gaficamente la funzione pimitiva passante pe il punto ( π ; ). 4/ 6

5 Notiamo che: acsin(x) + accos(x) = π (*) Quindi: (acsin(x) + accos (x)) dx = π x + k La pimitiva passante pe il punto ( ; ) è quella pe cui: π π π + k = da cui k =. Quindi la pimitiva ichiesta ha equazione: y = π x + che appesenta una etta: Ossevazione Pe dimostae la elazione (*) si può pocedee nel seguente modo: poniamo a = acsin(x) da cui x = sin(a) e b = accos(x) da cui x = cos (b) Siccome x = cos(b) = sin ( π b), acsin(x) = π b, a = π b, a + b = π, petanto: acsin(x) + accos(x) = π. Q9 Calcolae il seguente integale impopio + x ln (x) dx Notiamo che la funzione di equazione y = x ln (x) è continua nell intevallo [; + ); quindi: 5/ 6

6 I = + x ln (x) dx = Calcoliamo l integale indefinito: b lim b + x ln (x) dx x ln (x) dx = (ln(x)) x dx = (ln(x)) + c = ln(x) + c I = lim [ b b + ln(x) ] = lim [ b + ln(b) + ln() ] = + ln() = ln() Q In una stazione feoviaia, fa le 8 e le del mattino, aivano in media ogni minuti due teni. Deteminae la pobabilità che in minuti: a) non aivi alcun teno; b) ne aivi uno solo; c) ne aivino al massimo quatto. Si tatta di una distibuzione di pobabilità di Poisson: p = λx e λ x! dove λ =, quindi: p = x e. x! a) x=: p() = e! b) x=: p() = e! = e.5 =.5 % = e.7 = 7. % c) p() + p() + p() + p() + p(4) = e! + e! + e! + e! + 4 e 4! = e + e + e + 4 e + e = e ( ) = = 94.7 % e = Con la collaboazione di Angela Santamaia, Simona Scolei e Stefano Scolei 6/ 6