Esercizio 1. Date le rette

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1 Date le ette Eseciio y : : y a) Scivee le equaioni paametiche delle ette e. b) Dopo ave veificato che le ette ed sono sghembe, tovae l equaione di un piano σ contenente e paallelo a. c) Deteminae le equaioni di una etta incidente e e passante pe O(,,). Svolgimento a) Una appesentaione paametica è: µ λ λ y λ R : y µ µ λ µ : b) le ette sono sghembe peché il ango di A è. R Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/

2 A 5 Il piano ichiesto appatiene al fascio di piani di asse ed è paallelo a : F( ): λ(y)µ(-) (λ,µ) (,) R Imponendo la condiione di paallelismo con la etta di paameti diettoi [(-,-,)] si ottiene: (λµ).(-) (λ)(-) (µ).. e l equaione del piano che si ottiene è:. c) una etta incidente passante pe O può essee vista come inteseione ta due piani entambi passanti pe O. Il pimo piano del fascio popio O i F( ): λ(y)µ(-) (λ,µ) (,) R Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/

3 passante pe O.. Il piano è:... L alto piano del fascio popio F( ): λ(-)µ(y) (λ,µ) (,) R passante pe O λ.. Il piano è:... La etta così tovata non è paallela né a né a. Dunque:... i :... è la etta ichiesta. Esecii da svolgee: deteminae, se esistono, ) le equaioni della etta paallela ai piani π: y, ϕ: -y passante pe A(,,-); ) l equaione del piano contenente la etta : y 4 y paallelo alla etta s: ) l equaione del piano contenente la etta (es.) e paallelo al piano γ: y5. ; Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/

4 Eseciio (tema d esame sena paameti) Si consideino i piani i σ : 5y, σ : 5y- 4. a) Deteminae l equaione di un piano otogonale a σ e passante pe i punti A(,,) e B(,,). b) Deteminae le equaioni della etta s paallela sia a σ e σ passante pe O(,,). c) Deteminae l equaione del π piano pependicolae a s passante pe C(-,-,). d) Deteminae i paameti diettoi di una etta otogonale sia a σ σ e paallela a σ. Svolgimento: a) Un piano d equaione abycd (a,b,c) (,,) otogonale a σ : a.b.5c.; passante pe A: a.b.c.d passante pe B: a.b.c.d. Risolvo il sistema: Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/ 4

5 Dunque le equaioni del piano sono: 4c-cyc-c c alloa una è 4-y-. b) Utiliando i fasci di piani paalleli a σ e σ e imponendo il passaggio pe O(,,) otteniamo α : 5y, α : 5y-. Alloa la etta s ha equaioni:. c) I paameti diettoi della etta s sono [(,-,)] e il piano π pependicolae a s deve ave coefficienti a,b,c popoionali ai paameti diettoi: -yd. Imponendo il passaggio pe C(-,-,): d. π:... d) La classe [(l,m,n)] ichiesta deve veificae la condiione di otogonalità con σ σ di paameti [(,-,)] (paallela a s).l(-).m.n. Inolte deve esse paallela a σ :.l5.m.n. Risolvendo Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/ 5

6 Eseciio (tema d esame con paameto k) Si consideino le ette 5y 4 y k 6 : : 4y y 7 a) Scivee l equaione del fascio di piani otogonali a ; b) pe quali valoi di k esiste un piano otogonale a e paallelo a ; c) Pe quali valoi di k esiste un piano paallelo sia a che a e otogonale al piano σ: -y5. Che piani si ottengono? Svolgimento a) i paameti diettoi delle etta sono [(-,7,9)]. Pe la condiione di otogonalità i coefficienti di,y, nell equaione del piano devono essee popoionali ai paameti diettoi: F: -7y9h con h R. Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/ 6

7 b) i paameti diettoi di sono [(-k,k,)]. Un piano che soddisfi le ichieste dovà appatenee al fascio F ed essee paallelo a : albmcn. c) un piano α : a by c d isulteà paallelo a : albmcn -a7b9c, paallelo a : albmcn -kakbc, otogonale a σ: a a b b c c a-b. Otteniamo un sistema omogeneo di te equaioni nelle incognite a,b,c che devono isultae (a,b,c) (,,). Il sistema ammette soluioni non banali se e solo se il deteminante di isulta uguale a. k 7 k k-/9 9 Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/ 7

8 Poiché pe tale valoe la matice ha ango, ne segue che otteemo soluioni: (a,a,- 4/9 a). I piani avanno quindi equaione con a : a by c d aay-4/9 a d y-4/9 h, hd/a con h R fascio impopio di piani. Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/ 8

9 Retta di minima distana Date due ette, s sghembe esiste un'unica etta t incidente e otogonale ad entambe le ette; tale etta è detta etta di minima distana peché individua i punti (R, S) di entambe le ette che hanno mutua distana minima. R π s σ S Pe tovae t si può pocedee così: ) deteminiamo i paameti diettoi di e s; ) indichiamo con [(l,m,n)] i paameti diettoi di t e imponiamo la condiione di otogonalità con e s e deteminiamo i paameti diettoi di t; ) nel fascio popio di piani di asse icechiamo il piano π contenente t (paallelo a t); 4) nel fascio popio di piani di asse s icechiamo il piano σ contenente t (paallelo a t). t: π σ Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/ 9

10 Eseciio impotante Deteminae in E (R) la etta di minima distana ta e s: y 5 : Svolgimento s : y. ) Le ette e s hanno paameti diettoi [(,-5,)] e [(,,)] s. ) [(l,m,n)] veifica la condiione di otogonalità con e s se e solo se: l.(-5).m.n l.m.n. da cui si icava [(5,,)] ) Nel fascio popio di piani di asse : F(): λ(y5-)µ() (λ,µ) (,) R Pongo la condiione di complanaità con t : λ π :. 4) Analogamente nel fascio popio di piani di asse s Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/

11 F(s): λ()µ(y-) (λ,µ) (,) R µ -5 λ σ : - 5y. Dunque la etta di minima distana è: t : 5y Eseciio Deteminae la etta di minima distana ta le ette sghembe: y - : s : y svolgimento ) Le ette e s hanno paameti diettoi [(. )] e [( )] s. ) [(l,m,n)] veifica la condiione di otogonalità con e s se e solo se: l.( ).m( ).n l.( )m n. Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/

12 da cui si icava [(.)] ) Nel fascio popio di piani di asse : F(): λ(y--)µ() (λ,µ) (,) R Pongo la condiione di paallelismo con t :.. 4) Analogamente nel fascio popio di piani di asse s F(s): λ()µ(y-) (λ,µ) (,) R Dunque la etta di minima distana è:... t :... Distana ta punti: A( A,y A, A ) e B( B,y B, B ) d(a, B) ( A B ) (y A y B ) ( A B ) Distana punto-piano P( P,y P, P ) e π:abycd d(p, π ) d( P, H ) a P by a p b c p c d Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/

13 Data la etta di equaione Eseciio (distana) y : y e il piano di equaione α: si veifichi che sono paalleli e si detemini la loo distana. Svolgimento: a) la etta e il piano sono paalleli: il ango della matice incompleta è mente il ango della completa è b) la distana di un qualsiasi punto della etta dal piano si mantiene costante: R Pendo pe esempio il punto R(,,4) appatiene alla etta e la sua distana dal piano è:... d ( R, α) Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/

14 Eseciio (distana) Date le ette di equaione y : e y y : s si veifichi che sono sghembe e si detemini la loo distana (minima distana ta due punti ispettivamente della etta e s). Svolgimento: La matice che appesenta il sistema dell inteseione ha ango 4 Esistono due piani paalleli che contengono le ette ed s. Detemino l equaione del piano ρ contenente paallelo a s. I paameti diettoi della etta s sono [(,,)] mente il piano deve appatenee al fascio di piani di asse : α(y-)β(y-) con (α,β) (,). Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/ 4

15 Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/ 5 Imponendo la condiione di paallelismo di tale piano con s otteniamo: β e il piano ρ: y-. Oa la minima distana ta i punti della etta ed s isulta uguale alla distana ta la etta s e il piano ρ. Utiliando la fomula della distana punto piano si ottiene:... ), ( ρ S d. Esecii da svolgee ) Deteminae la etta di minima distana ta le coppie di ette sghembe: s : : y y : : s s : : y y

16 ) Esami: es. del 4..; es. del..; es.4 del 7..5; es.4 del..5. ) Si consideino le ette 9 t : y kt 4 4t : y t 6 t 4 t a) Pe quale valoe di k le ette ed sono incidenti? b) Sia σ il piano di equaione y. Pe quali valoi di k esiste una etta contenuta in σ e otogonale sia ad che ad? c) Pe quali valoi di k esiste un piano paallelo sia ad che ad e passante pe i punti P (,,) e P (,,)? 4) Si consideino i piani σ : ky, σ :y- 5, τ : y, τ : a) Pe quale valoe di k esiste un piano appatenente al fascio geneato da σ e σ otogonale alla etta τ τ? b) Pe quale valoe di k il fascio geneato da τ e τ contiene un piano paallelo a σ? c) Posto k, tovae un piano contenente σ σ e paallelo alla etta τ τ. Leione - Algeba e Geometia - Anno accademico 9/ 6