Geometria analitica in sintesi

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1 geometia analitica Geometia analitica in sintesi punti istanza ta ue punti punto meio baicento ta ue punti i un tiangolo i vetici aea i un tiangolo i vetici C B A etta e foma implicita foma esplicita foma segmentaia ella etta m = coefficiente angolae q = intesezione con l asse elle p = intesezione con l asse elle q p 1 m coefficiente angolae ella etta passante pe ue punti ella etta passante pe ue punti ella etta passante pe un punto i coefficiente angolae m conizioni i paallelismo ta ue ette e s // oppue conizioni i pepenicolaità ta ue ette e s punto i intesezione ta ue ette e s s ( 0, 0 ) etta in foma implicita etta in foma esplicita istanza i un punto a una etta ( 0, 0 ) elle bisettici egli angoli fomati a ue ette, s b 2 s b 1 tangente ell angolo fomato a ue ette e s i coefficiente angolae m e m s ette paticolai n n asse asse paallela asse paallela asse bisettice I e III q. bisettice II e IV q. v i 5

2 geometia analitica Geometia analitica in sintesi paabola F La paabola è il luogo geometico ei punti el piano equiistanti a un punto fisso etto fuoco e a una etta ata etta iettice: F paabola con asse i simmetia paallelo all asse paabola con asse i simmetia paallelo all asse completa cooinate el vetice cooinate el fuoco ell asse ella iettice ella etta tangente alla paabola in un suo punto : fomula i soppiamento aea el segmento paabolico paabole paticolai b = 0 c = 0 b = 0 c = 0 b = 0 c = 0 b = 0 c = 0 significato gafico el coefficiente a e el coefficiente c c c c a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 se a = 0 la paabola egenea in una etta c ciconfeenza La ciconfeenza è il luogo geometico ei punti el piano equiistanti a un punto fisso C etto cento: C(α,β) completa cooinate el cento C elazione el aggio ella ciconfeenza i cento e aggio ella etta tangente alla ciconfeenza in un suo punto : fomula i soppiamento ell asse aicale i ue ciconfeenze v i 5

3 geometia analitica Geometia analitica in sintesi ciconfeenze paticolai. se la ciconfeenza si iuce al punto oigine egli assi catesiani posizioni ecipoche i ue ciconfeenze C1 R C2 estene tangenti estene secanti tangenti intene intene concentiche ellisse L ellisse è il luogo geometico ei punti el piano tali che la somma elle istanze a ue punti fissi e etti fuochi è costante: ellisse con i fuochi sull asse ellisse con i fuochi sull asse in foma canonica 2a lunghezza asse maggioe 2b 2b lunghezza asse minoe 2a 2c istanza focale 2c Y elazione ta i paameti a, b, c cooinate ei fuochi eccenticità ella etta tangente alla ellisse nel suo punto : fomula i soppiamento ellisse taslata l ellisse si ice taslata se gli assi X e Y el suo sistema i ifeimento sono paalleli agli assi catesiani e cooinate el cento ell ellisse O(α,β) X ell ellisse ifeita al sistema XOY v i 5

4 geometia analitica Geometia analitica in sintesi ipebole L ipebole è il luogo geometico ei punti el piano tali che la iffeenza in valoe assoluto elle istanze a ue punti fissi e etti fuochi è costante: ipebole con i fuochi sull asse ipebole con i fuochi sull asse in foma canonica 2a lunghezza asse tasveso 2b 2b lunghezza asse non tasveso 2a 2c istanza focale 2c elazione ta i paameti a, b, c cooinate ei fuochi egli asintoti eccenticità ella etta tangente alla ipebole nel suo punto : fomula i soppiamento ipebole equilatea: a = b elazione ta a, c cooinate ei fuochi egli asintoti ipebole equilatea uotata i k > 0 cooinate ei fuochi k < 0 ipebole equilatea uotata e taslata o funzione omogafica O cooinate i O egli asintoti v i 5

5 geometia analitica Geometia analitica in sintesi ipebole taslata l ipebole si ice taslata se gli assi el suo sistema i ifeimento sono paalleli agli assi catesiani Y cooinate el cento ell ipebole O(α,β) X ell ipebole con i fuochi sull asse X ifeita al sistema XOY popietà comuni a tutte le coniche conizione i appatenenza i un punto a una etta o a una conica pe stabilie se un ato punto etta oppue a una conica : appatiene a una si sostituiscono le cooinate i, in o in si sviluppano i calcoli. Se si ottiene un ientità, il punto appatiene alla etta o alla conica posizione i una etta ispetto a una conica etta secante etta tangente etta estena pe stabilie se una etta è secante, tangente o estena a una conica bisogna: icavae la ell ella etta e sostituila nell ella conica sviluppae i calcoli e oinae l ispetto alla ell i II gao così ottenuta calcolae il oppue, se è pai, il veificae il segno el se la etta è secante alla conica. Si hanno 2 intesezioni eali e istinte cioè 2 punti in comune se la etta è tangente alla conica. Si hanno 2 intesezioni eali e coincienti cioè 1 punto in comune se la etta è estena alla conica. Non si ha nessuna intesezione eale cioè nessun punto in comune iceca elle equazioni elle ette tangenti a una conica tangenti a un punto esteno si scive l el fascio i ette popio i cento : si icava la all el fascio i ette tangenti paallele a una etta i coefficiente angolae m si scive l el fascio i ette impopio con assegnato: si sostituisce la tovata nell ella conica si sostituisce la tovata nell ella conica si sviluppano i calcoli e si oina ispetto alla otteneno un i II gao in si icava il e lo si impone uguale a 0: otteneno una i II gao nell incognita si sviluppano i calcoli e si oina ispetto alla otteneno un i II gao in si icava il e lo si impone uguale a 0: otteneno una nell incognita si isolve l in otteneno e si isolve l in otteneno e si sostituiscono uno alla volta i valoi e nell iniziale el fascio otteneno le equazioni elle ue ette tangenti si sostituiscono uno alla volta i valoi e nell iniziale el fascio otteneno le equazioni elle ue ette tangenti v i 5