STUDIO DELLA RESISTENZA DI UN DISCO A SPESSORE COSTANTE UTILIZZANDO IL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

Transcript

1 POLITECNICO DI TORINO Facoltà di Ingegneia I Anno accademico xxxx/xxxx Coso di COSTRUZIONE DI MACCHINE Elettix1 STUDIO DELLA RESISTENZA DI UN DISCO A SPESSORE COSTANTE UTILIZZANDO IL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

2 Scopo dell esecitazione Lo scopo dell esecitazione è il calcolo della esistenza di un disco di spessoe costante sottoposto a pessione intena, campo centifugo e gadiente adiale di tempeatua. Ulteioe scopo è la veifica della convegenza dei isultati ottenuti con il modello ad elementi finiti con quanto studiato in teoia. Descizione del poblema fisico L oggetto di analisi è un disco foato di spessoe costante, i cui dati geometici sono: - spessoe h = mm - aggio inteno i = 5 mm - aggio esteno e = mm Il mateiale con cui è costuito il disco è l acciaio ed ha le seguenti caatteistiche: - densità ρ = 78 kg/m 3 - modulo elastico E =,1*1 11 Pa - coefficiente di Poisson ν =,3 - coefficiente di dilatazione temica α = 1,*1-5 C -1 Inolte il disco è sottoposto ai seguenti caichi: - pessione intena p i = 1 Mpa - velocità angolae ω = 1 gii/s - gadiente di tempeatua avente equazione T = b + b 1 * = 6, ,33 *, con = / e Figua 1 : sezione del disco con indicate le dimensioni ed i caichi a cui è sottoposto il disco Autoe: elettix1

3 Calcolo teoico delle tensioni adiale, ciconfeenziale e ideale. Pe pote calcolae i valoi delle tensioni è necessaio isolvee l equazione diffeenziale d σ 3 dσ αε dτ + + (3 + ν)ρω e + =, con σ tensione adiale d d d Pe isolvee facilmente l equazione ed ottenee l andamento teoico delle tensioni è stato scomposto il poblema in due casi distinti: - disco otante con velocità angolae ω e pessione intena p i - disco femo soggetto al solo gadiente di tempeatua Successivamente, pe il pincipio di sovapposizione degli effetti, sono stati sommati i due isultati e si sono icavate le tensioni adiale, ciconfeenziale e ideale. Disco otante con velocità angolae ω e soggetto a pessione intena p i In questo caso la soluzione dell equazione diffeenziale è data da: σ B = A ρω e 3 + ν 8 da cui imponendo le condizioni al contono è possibile icavae le costanti A e B che consentono il calcolo della tensione ciconfeenziale mediante la fomula: σ dσ d σ ρω B c = + + e = + e. A ρω 1+ 3ν 8 In questo caso le condizioni al contono sono: - σ (= i / e =β) = -p i - σ (=1) = Da cui si ottiene che 3 + ν β A= ρω e (β + 1) pi = 54,65 MPa 8 β ν β B= ρω e β pi = 3,84 MPa 8 β 1 Ne isulta che le due tensioni hanno andamento come in figua ed in paticolae σ c (=β) = 114,3 MPa e σ c (=1) = 9,4Mpa Autoe: elettix1

4 Tensione [MPa] , -,,4,6,8 1, 1, tensione adiale tensione ciconfeenziale Gafico 1: andamento delle tensioni adiale e ciconfeenziale disco in otazione con pessione intena Disco femo soggetto al solo gadiente di tempeatua In questo caso la soluzione dell equazione diffeenziale è data da: σ B = A αeb 3 da cui imponendo le condizioni al contono è possibile icavae le costanti A e B che consentono il calcolo della tensione ciconfeenziale mediante la fomula: In questo caso le condizioni al contono sono: - σ (= i / e =β) = - σ (=1) = Da cui si ottiene che dσ B = + σ + ρω e = A + αeb. d 3 σ c 1 1 αeb = 3 β β 1 A ( 1 β) = 58,7 MPa β B= 1 β αeb 3 1 ( 1 β) = 1,3 MPa Ne isulta che le due tensioni hanno andamento come in figua ed in paticolae σ c (=β) = 33,64 MPa e σ c (=1) = -1,76 Mpa Autoe: elettix1

5 4 3 Tensioni [MPa] 1, -1,,4,6,8 1, 1, tensione adiale tensione ciconfeenziale - -3 Gafico : andamento delle tensioni adiale e ciconfeenziale con solo gadiente di tempeatua Calcolo delle tensioni adiale, ciconfeenziale e ideale secondo Tesca. Pe il pincipio di sovapposizione degli effetti si ha che le tensioni adiale e ciconfeenziale totali sono la somma di quelle icavate nei casi pecedenti. La tensione ideale secondo Tesca è data dalla fomula σid = σ1 σ 3 dove con σ 1 e σ 3 si intendono ispettivamente il massimo ed il minimo sfozo agenti sulla coodinata di ifeimento. Quindi σ id =max(σ ; σ c ; σ z )- min(σ ; σ c ; σ z ), con σ z lo sfozo agente lungo l asse z. Poiché ci toviamo nello stato di tensione piana σ z = Pa su tutto il disco. Ne isulta che le tensioni hanno andamento come nel gafico sottostante ed in paticolae σ id (=β) = 456,93 MPa e σ id (=1) = 19,5 Mpa 5 4 Tensioni [MPa] 3 1, -1,,4,6,8 1, 1, sfozo adiale sfozo ciconfeenziale sfozo ideale - -3 Gafico 3: andamento delle tensioni adiale, ciconfeenziale ed ideale nel disco Autoe: elettix1

6 Pocedua pe la studio del modello con il metodo FEM E stato ceato il database su Patan ed è stata ceata la geometia del disco. Sono stati definiti gli elementi finiti attaveso i quali veanno studiate le tensioni agenti sul disco. In paticolae è stato scelto il numeo degli elementi all inteno del disco (pai a ) e la loo geometia (tiangolae con 6 nodi). Sono state definite le popietà del mateiale, ta cui la densità, il numeo di Poisson ed il modulo di Young. Sono stati quindi definiti i caichi agenti sul disco: la pessione intena dovuta alla calettatua del disco su un albeo, il gadiente di tempeatua ed il caico d inezia. Si è quindi poceduto alla isoluzione delle tensioni e delle defomazioni con il pogamma MSD Nastan. Quest ultimo ha estituito un file di estensione op nel quale sono contenuti i isultati dello studio da impotae su Patan. Successivamente si sono visualizzati i isultati ottenuti, in paticolae sono stati gaficati gli andamenti degli sfozi lungo le coodinate pincipali (, θ e z), della tensione pincipale secondo Tesca e si è stampata a video una mappa della tensione ideale sulla sezione del disco. Si sono ipetuti i passi pecedenti cambiando il numeo degli elementi: pe la scelta del numeo di elementi con cui è stato analizzato il disco otante ci si è basati pincipalmente su due consideazioni: - pe iuscie ad avee dei isultati soddisfacenti anche con pochi elementi si è cecato di idue il più possibile la distosione di questi ultimi. - Pe motivi di tempo si è cecato di non utilizzae toppi elementi e si è scelto di utilizzane al massimo 16. Sulla base delle consideazioni pecedenti si sono scelti i seguenti numei di elementi pe studiae lo stato di tensione del disco e veificae la conveegenza della teoia degli elementi finiti: - Disco analizzato mediante due soli elementi - Disco analizzato mediante otto elementi - Disco analizzato mediante quaanta elementi Autoe: elettix1

7 - Disco analizzato mediante centosessanta elementi Analisi di convegenza della tensione ideale secondo Tesca al bodo inteno N elementi s id s fem th id /s id 433,1 94,78% 8 448,16 98,8% 4 449,71 98,4% ,57 99,48% 1,% 99,% th sidfem /s id 98,% 97,% 96,% 95,% 94,% N elementi Gafico 4: convegenza del modello agli elementi finiti Come si può notae all aumentae del numeo di elementi il appoto ta la tensione ideale fonita dalla teoia degli elementi finiti e quella tovata analiticamente tende sempe più all unità. Autoe: elettix1

8 Analisi di convegenza delle tensioni σ (), σ c (), σ z () sulla fiba media Tensione adiale 5 Tensione [MPa] elementi 8 elementi 4 elementi 16 elementi teoia -5,,4,6,8 1 1, Gafico 5: convegenza della tensione σ Tensione ciconfeenziale Tensione [MPa] 3 1-1,,4,6,8 1 1, elementi 8 elementi 4 elementi 16 elementi teoia - -3 Gafico 6: convegenza della tensione σ c Autoe: elettix1

9 s z Tensione [MPa] ,,4,6,8 1 1, elementi 8 elementi 4 elementi 16 elementi teoia Gafico 7: convegenza della tensione σ z Come si può notae dai gafici la teoia degli elementi finiti inizia a convegee al isultato teoico a patie dai 4 elementi. Infatti l andamento della tensione adiale icavato pe un numeo di elementi maggioe di 4 isulta indistinguibile da quello studiato nella teoia. La medesima ossevazione può essee fatta pe l andamento della tensione ciconfeenziale. Mappa della tensione ideale sul modello di convegenza L andamento della tensione ideale secondo Tesca isulta essee il seguente: s id 5 Tensione [MPa] elementi 8 elementi 4 elementi 16 elementi teoia,,4,6,8 1 1, Gafico 8: convegenza della tensione σ id Autoe: elettix1

10 Come si può notae anche in questo caso l andamento della tensione diventa indistinguibile dalla cuva teoica a patie dallo studio con 4 elementi. Inolte è possibile visualizzae una mappa pe ogni studio agli elementi finiti su cui è appesentato l andamento della tensione ideale secondo Tesca. Figua : mappa dell andamento di σ id nello studio con elementi Figua 3: mappa dell andamento di σ id nello studio con 8 elementi Figua 4: mappa dell andamento di σ id nello studio con 4 elementi Figua 5: mappa dell andamento di σ id nello studio con 16 elementi Conclusioni Dall analisi effettuata si evince che il modello agli elementi finiti convege alla soluzione analitica all aumentae del numeo degli elementi. Risulta quindi veificata la h-convegenza del metodo agli elementi finiti. Autoe: elettix1