1 Definizioni e proprietà

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1 Definizioni e popietà Retta e ciconfeenza ngoli al cento ed angoli alla ciconfeenza Equazione della ciconfeenza nel piano catesiano 5 Posizioni elative ed asse adicale di due ciconffeenze Definizioni e popietà Si chiama ciconfeenza il luogo geometico dei punti del piano tali che la loo distanza da un punto fisso è costante. Il punto fisso si chiama cento della ciconfeenza; la distanza costante si chiama aggio della ciconfeenza. osì, se è il cento e é il aggio, un punto P appatiene alla ciconfeenza se isulta P =. Si chiama, invece, cechio, l'insieme dei punti inteni alla ciconfeenza ed, eventualmente, l'insieme dei punti della ciconfeenzas stessa. Piú pecisamente: cechio apeto è l'insieme dei punti P tali che P < cechio chiuso è l'insieme dei punti P tali che P. Nella ciconfeenza (o nel cechio) bisogna mettee in evidenza alcuni elementi paticolai: coda è qualunque segmento che unisce due punti della ciconfeenza (ad esempio il segmento [B] della figua a lato) diameto è una coda passante pe il cento (ad esempio il segmento [MN] della figua a lato); tutti i diameti sono code massime pe una ciconfeenza data aco è una pate di ciconfeenza sottesa da una coda (ad esempio: aco B, aco BN,...) settoe cicolae è la pate di piano compesa ta un aco e la coda che lo sottende. Un punto del piano puo essee classificato ispetto ad una ciconfeenta data in funzione della sua distanza dal cento della ciconfeenza: R. SNTORO: iconfeenza e echio //8

2 se la distanza ta il cento della ciconfeenza e il punto è maggioe del aggio della ciconfeenza, si dice che il punto è esteno alla ciconfeenza (punto R della figua) se la distanza ta il cento della ciconfeenza e il punto è uguale del aggio della ciconfeenza, si dice che il punto appatiene alla ciconfeenza (punto della figua) se la distanza ta il cento della ciconfeenza e il punto è minoe del aggio della ciconfeenza, si dice che il punto è inteno alla ciconfeenza (punto S della figua) Popietà di simmetia Una ciconfeenza (o un cechio) ha infiniti assi di simmetia otogonale: sono tutte le ette diametali, cioè le ette passanti pe il cento della ciconfeenza (nella figua a lato sono mostati solo alcuni di questi assi di simmetia). B Ogni etta diametale è anche asse di simmetia pe tutte le code che sono pependicolai a questa etta: dunque pe ogni coda esiste uno ed un solo asse di simmetia otogo-nale passante pe il cento della ciconfeenza (come nel caso della coda [B] della figua a lato). P a R Q b Se si hanno te punti non allineati, P, Q e R, si possono consideae gli assi a e b dei segmenti [PQ] e [QR] ispetti-vamente. Gli assi a e b si intesecano in un punto. Essendo a, isulta P = Q. Essendo b, isulta Q = R. Dunque, pe la popietà tansitiva dell'uguaglianza, isulta: P = Q = R, cioè il punto è equidistante da ciascuno dei punti P, Q e R. Si può, alloa, consideae come il cento dell'unica ciconfeenza passante pe i te punti non allineati P, Q e R. Infine una ciconfeenza (o un cechio) ha un cento di simmetia: il cento. Relazioni metiche ome già studiato alla scuola media, lo studente deve icodae che: la lunghezza di una ciconfeenza di aggio è uguale a, dove è un numeo iazionale uguale appossimativamente a:.; la misua dell'aea di un cechio di aggio è uguale a. Retta e ciconfeenza Pe le posizioni elative di una etta ed una ciconfeenza di un piano possono pesentasi te casi distinti: R. SNTORO: iconfeenza e echio //8

3 la etta è estena alla ciconfeenza e non ha punti in comune con la ciconfeenza (in tal caso la distanza d del cento della ciconfeenza dalla etta è maggioe del aggio della ciconfeenza: d > ) la etta è tangente alla ciconfeenza ed ha un solo punto in comune T con la ciconfeenza; il punto T si chiama anche punto di tangenza (in tal caso la distanza d del cento della ciconfeenza dalla etta è uguale al aggio della ciconfeenza: d = ); il aggio passante pe il punto di tangenza è pependicolae alla etta tangente; la etta è secante la ciconfeenza ed ha due punti distinti in comune con la cicon-feenza (in tal caso la distanza d del cento della ciconfeenza dalla etta è minoe del aggio della ciconfeenza: d < ); applicando il teoema di Pitagoa si ha su-bito che la lunghezza della coda [B] è data da: B d d d T d B e tta e s te n a d > e tta ta n g e n te d = e tta s e ca n te d < Pe un punto P, esteno ad una ciconfeenza è possibile tacciae due ette tangenti alla ciconfeenza. Se i due punti di tangenza sono T e T, è facile dimostae che i due segmenti di tangenza PT e PT sono uguali: PT = PT. T P T (La facile dimostazione tiene conto dell'uguaglianza dei tiangoli ettangoli PT e PT : questi due tiangoli ettangoli hanno l'ipotenusa in comune e i cateti T e T uguali in quanto entambi aggi di una stessa ciconfeenza. Dunque anche i cateti PT e PT sono uguali). La lunghezza comune dei due segmenti di tangenza si calcola applicando il teoema di Pitagoa e si ha: PT PT P R. SNTORO: iconfeenza e echio //8

4 ngoli al cento ed angoli alla ciconfeenza Si dice angolo al cento di una data ciconfeenza un angolo che ha il vetice nel cento della ciconfeenza... P Q B Nella figua di sopa, gli angoli B e PQ (quest'ultimo è piatto) sono angoli al cento in quanto entambi hanno il vetice nel cento della ciconfeenza. Si dice anche che l'angolo B insiste sull'aco B e l'angolo PQ insiste sull'aco PQ. Si dice angolo alla coconfeenta un angolo che ha il vetice sulla ciconfeenza ed i lati secanti o tangenti la ciconfeenza. B R Q P Nella figua di sopa, gli angolo B e PQR sono angoli alla ciconfeenza in quanto i due vetici ispettivi (B e Q) appatengono alla ciconfeenza. I lati del pimo angolo sono entambi secanti la ciconfeenza; quelli del secondo sono uno secante e l'alto tangente. Si dice anche che l'angolo B insiste sull'aco e l'angolo PQR insiste sull'aco PQ (dalla pate di R). E' facile dimostae che, pe una data ciconfeenza, l'angolo al cento che insiste su un deteminato aco è doppio di tutti gli angoli alla ciconfeenza che insistono sullo stesso aco. Q R.. P ome conseguenza immediata di quanto detto sopa si deduce che: R. SNTORO: iconfeenza e echio //8

5 angoli alla ciconfeenza che insistono sullo stesso aco sono uguali (infatti sono tutti uguali alla metà del coispondente angolo al cento) ogni tiangolo ettangolo inscitto in una semiciconfeenza (quindi l'ipotenusa coincide con della semiciconfeenza) è ettangolo; infatti opposto all'ipotenusa è un angolo alla ciconfeenza coispondente angolo al cento è un angolo piatto. il diameto l'angolo il cui Equazione della ciconfeenza nel piano catesiano Nel piano catesiano, la definizione geometica di ciconfeenza consente di scivee l'equazione catesiana di una ciconfeenza con cento e aggio assegnati. Infatti, se il cento (, ) è il cento e è la misua del aggio, un geneico punto P(,) è tale che appatiene alla ciconfeenza di cento e aggio se isulta veificata la condizione: P = P = (). O. P(,) L'ultima condizione consente di scivee anche: (). L'equazione () è l'equazione catesiana della ciconfeenza avente cento in (, ) e aggio. Esempio : Scivee l'equazione della ciconfeenza di cento (,) e aggio =. Soluzione Esempio : Soluzione pplicando la () si ha subito: da cui sviluppando i calcoli: 9 L'ultima espessione è l'equazione ichiesta. Scivee l'equazione della ciconfeenza avente come diameto il segmento [B], dove (, -) e B(5, ). In questo caso, il cento è il punto medio di [B] e quindi (, -). Il aggio è uguale alla metà della lunghezza del segmento [B], dunque: B 5. R. SNTORO: iconfeenza e echio //8 5

6 R. SNTORO: iconfeenza e echio //8 pplicando la (), alloa, si ha che l'equazione della ciconfeenza ichiesta è: 8 9 Gli esempi pecedenti mostano che, sviluppando i quadati nell'equazione del tipo () di una ciconfeenza, si ottiene un'equazione del tipo: a b c, () dove a, b e c sono numei eali. Dall'equazione () si noteà che: c'è un temine in c'è un temine in c'è un temine lineae (di pimo gado) in c'è un temine lineae (di pimo gado) in non c'è il cosiddetto temine ettangolae, cioè il podotto. llo stesso tipo di isultato si giunge sviluppando i calcoli della (). Infatti si ha successivamente: ) ( ) ( c b a () dove si è indicato con a, b e c ispettivamente le te espessioni in paentesi della (), dove si è posto cioé: c b a (5) Il sistema (5) può essee isolto ispetto a, e e quindi si può anche die che data una un'equazione del tipo (): a b c, questa appesenta l'equazione di una ciconfeenza di cento (, ) e aggio, dove, e sono dati dalla isoluzione del sistema (5):

7 a b a b b c b a b b c a b c () Natualmente, pechè un'equazione del tipo () appesenti l'equazione di una ciconfeenza è necessaio che il adicando dell'espessione () che consente di calcolane il aggio sia positivo o nullo; deve cioè isultae che: a b c () La elazione () costituisce la condizione di esistenza e ealtà della ciconfeenza la cui equazione è la (). Se la elazione () non è veificata, la ciconfeenza non esiste nel piano eale e solo la conoscenza dei numei complessi consentiebbe un ulteioe appofondimento su questa eventualità Il quado seguente iassume alcuni casi paticolamente impotanti di ciconfeenze: Equazione Paticolaità iconfeenza con cento in O(,) e aggio a b iconfeenza passante pe O(,) a c iconfeenza avente il cento sull'asse b c iconfeenza avente il cento sull'asse iconfeenza con cento in (,) e aggio (tangente all'asse in O) iconfeenza con cento in (,) e aggio (tangente all'asse in O) m m m m iconfeenza con cento in (,) e aggio uguale a (tangente ad entambi gli assi catesiani, casi possibili) Esempio : E' data la ciconfeenza di equazione. a) Deteminae le coodinate del cento e la misua del aggio. b) Deteminae le coodinate dei punti d'intesezione della ciconfeenza con gli assi e. R. SNTORO: iconfeenza e echio //8

8 Soluzione c) alcolae le misue delle code intecette dalla ciconfeenza sugli assi e. a) Dall'equatione della ciconfeenza data, a = -, b = - e c =. Dunque, applicando le (), si ha subito: ( ) ( ) lloa la ciconfeenza data ha cento (,) e aggio =. b) Le intesezioni con l'asse si deteminano isolvendo il sistema: I punti d'intesezione con l'asse sono alloa:,e B,. Le intesezioni con l'asse si deteminano isolvendo il sistema: L'unico punto d'intesezione con l'asse è alloa T(,). T O. B c) La lunghezza della coda B è data da: B B La lunghezza della coda intecettata sull'asse è uguale a zeo in quanto con questo asse la ciconfeenza ha l'unico punto T in comune (la ciconfeenza è tangente all'asse ). Esempio : E' data la ciconfeenza di equazione 8. Disegnae la ciconfeenza e scivee le equazioni delle tangenti alla ciconfeenza stessa che passano pe l'oigine O(,) degli assi catesiani. Soluzione Dall'equazione data isulta a = -, b = e c = 8. pplicando le () si ha subito che: R. SNTORO: iconfeenza e echio //8 8

9 ,,. 8 ( ) 8 Dunque (,-) e. L'equazione di una geneica etta passante pe O ha equazione = m, dove m è un paameto incognito da deteminae in modo che la etta sia tangente alla ciconfeenza. In effetti, = m è l'equazione del fascio infinito di O ette che passano pe O.. Fa tutte queste ette bisogna cecae le due che sono tangenti alla ciconfeenza. E' possibile seguie due metodi divesi pe calcolae m. Pimo metodo onsiste nello scivee il sistema contenente l'equazione della ciconfeenza e quella della etta geneica: 8 m m 8 m m m ( m) 8 (*) m L'equazione isolvente (*) del sistema deve avee due adici coincidenti se si vuole che la etta sia tangente alla ciconfeenza. In alte paole, il disciminante di detta equazione deve essee nullo: m m 8 9 m m 8m 8 9 m m m Dunque le ette e sono le ette tangenti alla ciconfe-enza data e passanti pe O(,). Secondo metodo onsiste nell'impoe che la etta = m abbia una distana dal cento della ciconfeenza uguale al aggio della ciconfeenza stessa. P Dop, ed una etta a + b + c =, o la distanza di P dalla etta è data da: ave a b c d. scit a b to l'equazione della geneica etta sotto la foma m - = ): m ( ) m m ( ) m. Elevando al quadato ambo i membi dell'ultima equazione, si ha successivamente: Si icoda che dato un punto R. SNTORO: iconfeenza e echio //8 9

10 R. SNTORO: iconfeenza e echio //8 9 m m m m m m m... si ottiene la stessa equazione pe m che con il metodo pecedente, quindi gli stessi isultati. Esempio 5 Scivee l'equazione della semiciconfeenza avente cento nell'oigine O(,), aggio uguale a e passante pe il punto (,). Soluzione La semiciconfeenza é posta nel semipiano delle positive o nulle (in quanto passa pe (,). Essendo l'equazione di tutta la ciconfeenza, ci sono due modi divesi pe scivee l'equazione della semiciconfeenza: : oppue. Il pimo modo, in effetti, consiste in un sistema compendente una equazione ed una disequazione. Questo metodo, in geneale, è il piú utile pe scivee l'equazione di una semiciconfeenza, come isulta dall'esempio. Esempio Scivee l'equazione della semiciconfeenza avente come diameto il segmento [B] e contenuta nel semipiano passante il punto, dove: (,-), B(,) e (,). Soluzione Tutta la ciconfeenza ha cento in D(,) e aggio B =. Dunque l'equazione di tutta la ciconfeenza è: 9. La etta (B) ha equazione:. La etta (B) divide il piano in due semipiani. Il punto appatiene al semipiano di equazione. Dunque l'equazione ichiesta della semiciconfeenza é: 9 O B

11 5 Posizioni elative ed asse adicale di due ciconfeenze Due ciconfeenze del piano possono avee divese posizioni ecipoche l'una ispetto all'alta, come mostato nella figua seguente: Nel commento ai divesi casi che segue, d è la distanza fa i centi delle due ciconfe-enze, R è il aggio della ciconfeenza maggioe, quello della ciconfeenza minoe: Le ciconfeenze sono estene l'una all'alta; la distanza ta i loo centi è maggioe della somma dei loo aggi: d > R + Le ciconfeenze sono tangenti estenamente; la distanza ta i loo centi é uguale alla somma dei loo aggi: d = R + Le ciconfeenze sono secanti in due punti distinti; la distanza ta i loo centi è compesa ta il valoe assoluto della diffeenza dei loo aggi e la somma dei loo aggi: R - < d < R + Le ciconfeenze sono tangenti intenamente e la distanza ta i loo centi è uguale al valoe assoluto della diffeenza dei loo aggi: d = R - 5 Le ciconfeenze sono l'una intena all'alta, senza punti in comune; la distanza ta i loo centi è minoe del valoe assoluto della diffeenza dei loo aggi: d < R - Dal punto di vista analitico, pe studiae le posizioni ecipoche di due ciconfeenze date, si studia il sistema delle loo due equazioni: a b c a b c a b c a a b b c c dove la seconda equazione lineae del secondo sistema è stata ottenuta facendo la dif-feenza, membo a membo, fa le equazioni del pimo sistema. I due sistemi sono equivalenti, nel senso che hanno le stesse soluzioni, ma il secondo sistema è piú facile da isolvee, in quanto è di gando (il pimo è di gado!). Inolte la seconda equa-zione è l'equazione di una etta (passante pe i punti comuni delle due ciconfeenze, ove questi esistano) che pende il nome di asse adicale delle due ciconfeenze. R. SNTORO: iconfeenza e echio //8

12 R. SNTORO: iconfeenza e echio //8 Esempio Sono date le equazioni delle ciconfeenze : 5, : e :. a) Deteminae gli elementi caatteistici delle ciconfeenze. b) Tovae l'asse adicale delle coppie di ciconfeenze,,,, e. c) Dimostae che i te assi adicali concoono in uno stesso punto (detto cento adicale delle ciconfeenze), di cui bisogna deteminae le coodinate. Soluzione a) La ciconfeenza ha cento in, 5 e aggio uguale a 5. La ciconfeenza ha cento in, e aggio uguale a. La ciconfeenza ha cento in, e aggio uguale a. b) Pe deteminae gli assi adicali delle ciconfeenze pese a due a due, basta fae la diffeenza fa le equazioni ispettive celle due ciconfeenze. osì, si ha ispettivamente: 5 : 5 5, s : 5, s s :, c) Pe dimostae che i te assi sono concoenti in uno stesso punto basta deteminae le coodinate del punto d'intesezione di due di essi e veificae che questo punto appatiene anche al tezo asse. Dunque si ha:, 5 5 : s s s s Il punto così tovato appatiene al secondo asse adicale. Infatti si ha: s. Da notae, infine, che la popietà appena vista è del tutto geneale e vale pe ogni tena di ciconfeenze.

13 Esecizi Scivee l'equazione della ciconfeenza avente cento in (,-) e aggio uguale a 5. Scivee l'equazione della ciconfeenza avente come diameto il segmento [B], dove (,-) e B(5,). Pe le seguenti ciconfeenze, di cui è data l'equazione, deteminae le coodinate del cento, la misua del aggio e le intesezioni, se esistono, con gli assi e : a) b) 5 c) d) 8 e) Sono dati i punti P(,-), Q(,) e R(-,). a) Dopo ave scitto le equazioni degli assi dei segmenti [PQ] e [PR], deteminae le coodinate della loo intesezione. b) alcolae le lunghezze dei segmenti P, Q, R. osa si può ossevae? c) Scivee, infine, l'equazione della ciconfeenza che passa pe i punti P, Q e R. 5 Risolvee l'ultima pate dell'esecizio pecedente senza consideazioni geometiche, cominciando con l'equazione di una geneica ciconfeenza che deve passae pe i punti P, Q e R; quindi le coodinate di questi punti devono soddisfae l'equazione della ciconfeenza... Scivee l'equazione della ciconfeenza passante pe i punti (,), B(,) e (8,), con entambi i metodi visti negli esecizi e 5. E' data la ciconfeenza di equazione 8. a) Deteminae le coodinate del cento e la misua del aggio. b) Deteminae le intesezioni della ciconfeenta con l'asse delle. c) Deteminae le equazioni delle tangenti in questi due punti. d) Dato il punto P(5,), scivee le equazioni delle tangenti alla ciconfeenza uscenti da P. e) Deteminae la lunghezza della coda che unisce i due punti di tangenza della domanda pecedente. 8 E' data la ciconfeenza di equazione 8. a) Disegnae la ciconfeenza. b) onsideae la etta =. Questa inteseca la ciconfeenza in e in B. Deteminae le coodinate di questi punti. c) onsideae l'angolo alla ciconfeenza che ha vetice in O (oigine degli assi catesiani) e l'angolo al cento che insistono sull'aco B. Veificae analiticamente che l'angolo al cento è doppio dell'angolo alla ciconfeenza. 9 E' data la ciconfeenza di equazione. a) Deteminane coodinate del cento e misua del aggio e appesentala. b) Deteminae le ette paallele all'asse che intesecano la ciconfeenza. R. SNTORO: iconfeenza e echio //8

14 c) Deteminae le ette paallele all'asse che intecettano sulla ciconfeenza una coda di lunghezza uguale a. E' data la ciconfeenza di equazione. a) Deteminane coodinate del cento e misua del aggio e appesentala. b) Deteminae le ette paallele alla etta = che intesecano la ciconfeenza. c) Deteminae le ette paallele alla etta = che intecettano sulla ciconfeen-za una coda di lunghezza uguale a. Scivee l'equazione della semiciconfeenza avente cento in O(,), aggio uguale a e passante pe il punto (-,). Scivee l'equazione del quadante (quato di cechio chiuso) di cento O(,) e passante pe i punti (,) e B(,). Scivee l'equazione della semiciconfeenza avente come diameto il segmento [B] e contenuta nel semipiano passante pe il punto, doce: (-,), B(5,) e (,). Sono date le ciconfeenze che hanno equazioni: e. a) Dopo ave deteminato l'equazione dell'asse adicale delle due ciconfeenze, deteminae le coodinate dei punti d'intesezione e B delle due ciconfeenze. b) Veificae che se da un punto qualunque dell'asse adicale si conducono le due ette tangenti alle due ciconfeenze, i due segmenti di tangenza isultano uguali. 5 Disegnae le cuve di equazione: a) b) c) d) E' data la famiglia di ciconfeenze m : m m, pe cui le coodinate del cento e la misua del aggio dipendono dal paameto m. a) Stabilie quali sono i valoi di m pe cui esiste una ciconfeenza della famiglia m. b) Deteminae le coodinate del cento di una geneica ciconfeenza della famiglia m e veificae che il luogo geometico dei centi della famiglia è una etta di cui bisogna deteminae l'equazione. c) Esistono dei valoi di m pe cui le ciconfeenze coispondenti della famiglia isultano tangenti all'asse delle? E' data la famiglia di ciconfeenze m : ( m) m, pe cui le coodinate del cento e la misua del aggio dipendono dal paameto m. a) Stabilie quali sono i valoi di m pe cui esiste una ciconfeenza della famiglia m. b) Deteminae le coodinate del cento di una geneica ciconfeenza della famiglia m e veificae che il luogo geometico dei centi della famiglia è una etta di cui bisogna deteminae l'equazione. c) E' possibile tovae due ciconfeenze concentiche della famiglia m che abbiano aggi divesi? Spiegae. R. SNTORO: iconfeenza e echio //8

15 d) Deteminae, se esistono, le ciconfeenze della famiglia m che siano tangenti alla etta di equazione - + =. 8 E' data la ciconfeenza di equazione 8 e la famiglie di ette m : m m, dipendenti dal paameto m. a) Dimostae che tutte le ette m passano pe uno stesso punto P, di cui bisogna deteminae le coodinate. b) Deteminae la etta m che passa pe il cento della ciconfeenza. Questa etta inteseca la ciconfeenza in due punti e B. Dopo ave deteminato le coodinate di e B, scivee le equazioni delle tangenti alla ciconfeenza in questi due punti. c) Deteminae le ette della famiglia m che sono tangenti alla ciconfeenza. d) Deteminae le ette della famiglia m che staccano sulla ciconfeenza una coda di lunghezza uguale a. 9 Deteminae il cento adicale delle pime ciconfeenze dell'esecizio. R. SNTORO: iconfeenza e echio //8 5