ELEMENTI DI GEOMETRIA SOLIDA

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1 POF. IN CEESO.S. EINSEIN EEMENI DI GEOMEI SOID Postulati: ) pe punti dello spazio, non allineati, passa uno e un solo piano; ) una etta passante pe due punti di un piano giace inteamente in quel piano; ) una etta (etta oigine) giacente su un piano lo divide in due egioni dette semipiani; ) un piano (piano oigine) divide lo spazio in due egioni dette semispazi. Posizione di una etta ispetto a un piano: la etta può giacee sul piano, avee in comune con questo un solo punto, o essee paallela al piano. Posizione di due ette nello spazio: se due ette anno due punti in comune, esse coincidono; se anno un solo punto in comune, esse sono incidenti e deteminano un piano; se non anno punti in comune, esse o sono complanai, e quindi paallele, o non sono complanai (ette sgeme). Posizione di due piani nello spazio: due piani possono essee paalleli (nessun punto in comune) o incidenti (una etta in comune, ce è l intesezione ta i due piani). Quindi pe una etta nello spazio passano infiniti piani (fascio di piani) ce anno la etta come sostegno o asse. eoema : se una etta è pependicolae a due ette s, t ce passano entame pe uno stesso suo punto P, alloa è pependicolae a qualunque alta etta condotta pe P e complanae a s, t. Una etta si dice pependicolae (o otogonale o nomale) a un piano quando lo inconta in H ed è pependicolae a tutte le ette del piano passanti pe H (ce è detto piede della pependicolae). Una etta ce inteseca un piano senza essegli pependicolae è detta oliqua ispetto al piano. eoema : pe un punto dato si può condue uno e un solo piano pependicolae a una etta data. eoema ( teoema delle te pependicolai ): se dal piede di una pependicolae a un piano si conduce la pependicolae a una etta data del piano, questa isulta pependicolae al piano individuato dalle pime due ette. Fig.. Fig.. Hp: dato il piano, sia a ; sia e da Q si tacci c. : α, dove α è il piano individuato da a e da c. Dim: poicé c, pe il teoema è sufficiente dimostae ce è pependicolae ad un alta etta appatenente ad α. Pesi su due punti e tali ce H H, si congiungano e con Q e P, essendo P un punto di a. Ovviamente QH QH, quindi Q Q. lloa PQ PQ (tiangoli ettangoli con i cateti conguenti) da cui P P, quindi P è isoscele: essendo PH mediana, PH è ance altezza, ossia PH, ce è la tesi.

2 a figua costituita da due semipiani aventi la stessa oigine e da una delle due pati di spazio da essi limitata si ciama angolo diedo o semplicemente diedo. I semipiani si dicono le facce del diedo e ne costituiscono il contono; la etta si dice spigolo del diedo. Dei due diedi fomati da due semipiani distinti quello ce non contiene al suo inteno i polungamenti delle sue facce si dice convesso, mente l alto si dice concavo. Due diedi sono conguenti se esiste un movimento igido mediante il quale si può sovappoe un diedo all alto, in modo tale ce vengano a coincidee spigoli e facce. Si dice sezione nomale di un diedo l angolo ottenuto intesecando il diedo stesso con un piano pependicolae allo spigolo. eoema : due diedi sono conguenti se e solo se anno sezioni nomali conguenti. Il confonto ta diedi si può quindi icondue al confonto ta le ispettive sezioni nomali, e la misua di un diedo si identifica con la misua di una sua sezione nomale (espessa in gadi o in adianti). Due piani ce si intesecano si dicono otogonali (o pependicolai o nomali) se fomano quatto diedi conguenti; in caso contaio i due piani si dicono oliqui. ngoloide: in un piano α è dato un poligono convesso K di n lati (n ) e sia O α; la figua costituita da tutte le semiette uscenti da O e passanti pe i punti di α inteni a K, o passanti pe il contono di K, si dice angoloide; le n semiette di oigine O passanti pe i vetici di K sono dette spigoli, gli n angoli fomati da due spigoli consecutivi sono detti facce; l insieme delle facce costituisce la supeficie piamidale (fig. ). Supeficie poliedica: figua fomata da più poligoni convessi situati in piani divesi e disposti in modo ce ciascun lato sia comune a due di essi e ce il piano di ogni poligono lasci tutti gli alti da una medesima pate. I poligoni, i loo vetici e i loo lati sono ispettivamente le facce, i vetici e gli spigoli della supeficie poliedica. Poliedo: figua fomata da una supeficie poliedica e da tutti i suoi punti inteni. Diagonale del poliedo: segmento ce congiunge due vetici non appatenenti alla stessa faccia. Pisma: poliedo in cui due facce (asi) sono poligoni conguenti con i lati coispondenti paalleli e le alte facce (facce lateali) sono paallelogammi aventi una coppia di lati paalleli coincidenti con i lati omologi delle asi (fig. ). a distanza ta le asi è detta altezza. Se gli spigoli lateali non sono pependicolai ai piani delle asi, il pisma si dice oliquo, altimenti si dice etto: in un pisma etto le facce lateali sono ettangoli. Un pisma si dice egolae se è etto e le asi sono poligoni egolai (pisma tiangolae, quadangolae, pentagonale, ecc.) Fig.. Paallelepipedo: pisma avente pe asi due paallelogammi (quindi è delimitato da 6 paallelogammi). Paallelepipedo etto: i suoi spigoli sono pependicolai ai piani di ase; paallelepipedo ettangolo: è etto ed a pe asi dei ettangoli (fig. ). Cuo: pisma delimitato da 6 quadati. Fig.. eoema 5: le diagonali di un paallelepipedo si incontano in un punto (cento del p.) ce le divide pe metà. Se il paallelepipedo è ettangolo, le diagonali sono conguenti.

3 Piamide: pate di angoloide delimitato dal piano α (v. fig. ) e contenente il punto O (detto vetice della piamide); il poligono K è la ase, gli spigoli dell angoloide sono gli spigoli lateali della piamide; la distanza di O da α è l altezza; i tiangoli individuati da α sono le facce lateali; la loo unione è la supeficie lateale della piamide; l unione ta supeficie lateale e la supeficie di K dà la supeficie totale. Piamide etta: a pe ase un poligono cicosciviile ad una cecio, il cui cento coincide con la poiezione di O sulla ase. Fig. 5. e facce lateali di una piamide etta anno altezze conguenti ta loo, detta apotema della piamide. Piamide egolae: è una piamide etta in cui la ase K è un poligono egolae: le facce lateali di una piamide egolae sono tiangoli isosceli tutti conguenti ta loo (fig. 5). eoema 6: se si taglia una piamide con un piano paallelo alla ase, alloa: ) la ase e la sezione sono poligoni simili; ) i lati e i peimeti di questi poligoni sono popozionali alle distanze del loo piano dal vetice O e le aee sono popozionali ai quadati di queste distanze. onco di piamide: solido ottenuto tagliando una piamide con un piano paallelo alla ase (non passante pe O) e non contenente O. Un tonco è etto (isp. egolae) se è etta (isp. egolae) la piamide sezionata. Poliedi egolai: un poliedo è detto egolae se le sue facce sono poligoni egolai tutti conguenti ta loo e i suoi angoloidi sono pue tutti conguenti ta loo. Esistono solo 5 poliedi egolai (fig. 6, nell odine): tetaedo egolae ( facce tiangolai); ottaedo egolae (8 facce tiangolai); icosaedo egolae (0 facce tiangolai); esaedo egolae o cuo (6 facce quadate); dodecaedo egolae ( facce pentagonali). Fig. 6. eoema 7 ( teoema di Euleo ): indicati con f, v, s ispettivamente il numeo di facce, di vetici e di spigoli di una supeficie poliedica, isulta f v s. Cilindo: solido geneato dalla otazione completa di un ettangolo attono ad uno dei suoi lati, ce costituisce l altezza del cilindo, mente gli alti lati sono i aggi del cilindo, e geneano due ceci detti asi del cilindo. Si ciama cilindo equilateo il cilindo avente l altezza conguente al diameto di ase. Si ossevi ce secondo questa definizione il pisma egolae e la piamide egolae non sono in geneale poliedi egolai.

4 Un pisma etto si dice inscitto in (cicoscitto a) un cilindo quando le sue asi sono inscitte nelle (cicoscitte alle) asi del cilindo (fig. 7). Un pisma egolae isulta sempe inscittiile e cicoscittiile ad un cilindo. Cono: solido geneato dalla otazione completa di un tiangolo ettangolo attono ad un cateto, ce costituisce l altezza del cono. ipotenusa genea la supeficie lateale e appesenta l apotema del cono; l alto cateto è il aggio del cono e genea la supeficie di ase. Un cono si dice equilateo se l apotema è conguente al diameto di ase. Fig. 7. Una piamide etta si dice inscitta in (cicoscitta a) un cono se il suo vetice è il vetice del cono e la sua ase è inscitta nella (cicoscitta alla) ase. onco di cono: solido geneato dalla otazione completa di un tapezio ettangolo attono alla sua altezza; il lato oliquo di genea la supeficie lateale del tonco, ed è detto apotema o lato del tonco. Sfea (si vedano le illustazioni ipotate più olte nel Fomulaio): solido geneato dalla otazione completa di un semicecio attono al suo diameto; la supeficie geneata dalla otazione completa di una semiciconfeenza attono al diameto è detta supeficie sfeica. Zona sfeica: pate di supeficie sfeica compesa ta due piani paalleli ce taglino la supeficie. Calotta: ciascuna pate in cui la supeficie sfeica esta suddivisa da un piano secante. Segmento sfeico a due asi: pate di sfea individuata da due piani secanti paalleli. Segmento sfeico a una ase: ciascuna delle pati solide in cui una sfea è divisa da un piano secante. Settoe sfeico: pate di sfea geneata dalla otazione di un settoe cicolae attono a un diameto ce giace nel piano del settoe ma non lo attavesa. Fuso sfeico: pate di supeficie sfeica delimitata da due semipiani diametali. Spiccio sfeico: pate di sfea limitata da un fuso e dai due semiceci massimi coispondenti ai lati del fuso. Pincipio di Cavaliei (condizione sufficiente ma non necessaia pe l equivalenza dei solidi): se due solidi si possono dispoe ispetto a un dato piano α in modo ce le sezioni fatte nei due solidi con un piano qualunque paallelo ad α siano equivalenti, alloa essi sono equivalenti. olume della sfea Data una sfea di cento O, si considei il cilindo equilateo ad essa cicoscitto ed i due coni aventi vetice in O e le asi coincidenti con quelle del cilindo. Il solido ce si ottiene dal cilindo togliendo i due coni è detto anticlessida. eoema 8: la sfea è equivalente all anticlessida. Fig. 8a. Fig. 8.

5 Dim.: consideiamo due sezioni del cilindo equilateo in cui è inscitta una sfea. Sia xoc la distanza del piano α ce seca la sfea ed il cilindo, paallelamente alle asi di questo. lloa l aea del cecio di cento C e aggio CD è CD ( x ), dove è il aggio della sfea (uguale al aggio del cilindo cicoscitto). Inolte isulta OF GF, quindi x O (in quanto OGF è simile ad O); l aea del cecio di cento e aggio x è quindi x ; l aea del cecio di cento e aggio E è analmente, quindi pe ogni x isulta. In ase al pincipio di Cavaliei, la sfea isulta quindi equivalente all anticlessida, il cui volume si ottiene semplicemente sottaendo dal volume del cilindo il volume dei due coni: sf cil cono. egenda: aea lateale; volume. aea di ase; FOMUIO aea totale; P peimeto di ase; altezza; Paallelepipedo ettangolo ( a ) d d diagonale Pisma etto ac P a a c c Piamide etta P a/ / a apotema 5

6 6 onco di piamide etto / a/ P P a apotema P, aea e peimeto della ase infeioe P, aea e peimeto della ase supeioe Cilindo cicolae etto Cono cicolae etto / a a apotema onco di cono / a a apotema

7 7 Sfea Calotta sfeica e segmento sfeico a una ase Fuso sfeico e spiccio sfeico 90 α Zona sfeica e segmento sfeico a due asi 6 Settoe sfeico