Geometria analitica: assi e punti

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1 Geometia analitica: ai e punti itema di ai cateiani monometico otogonale è l oigine degli ai cateiani è l ae delle acie : è l ae delle odinate ditanza ta due punti O(0,0): oigine degli ai cateiani : punto di acia e odinata : punto di acia e odinata : punto di acia e odinata : punto immetico di ipetto all ae : punto immetico di ipetto ad : punto immetico di ipetto all ae la ditanza ta due punti A e B è uguale alla lunghezza del egmento AB. La ditanza AB appeenta l ipotenua del tiangolo ettangolo ABC e i calcola applicando il teoema di Pitagoa: punto medio di un egmento di etemi il punto medio del egmento AB è un punto appatenente al egmento ed equiditante dagli etemi del egmento teo cioè AM = MB Le ue coodinate ono: inveamente: note le coodinate di un etemo e del punto medio, le coodinate del econdo etemo ono: il punto B i dice il immetico di A ipetto ad M e vicevea A i dice il immetico di B ipetto ad M dividee un egmento in pati popozionali ad un numeo k il punto, divide il egmento di etemi in pati popozionali a k, cioè tale che il appoto ta AP e AB è uguale a k : Le ue coodinate ono: e P è il punto medio del egmento AB le fomule i iducono a quelle del punto medio di un egmento

2 Geometia analitica: ai e punti baicento di un tiangolo di vetici il baicento di un tiangolo è il punto di inconto delle mediane. Le ue coodinate ono: inveamente: note le coodinate di due vetici del tiangolo e del uo baicento, le coodinate del tezo vetice ono: aea di un tiangolo metodo del deteminante (egola di Sau) l aea del tiangolo di vetici è uguale ad un mezzo del valoe aoluto del deteminante della matice dei punti A, B, C metodo geometico C B F C E B pe calcolae l aea del tiangolo ABC i calcola l aea del ettangolo ADEF cicocitto al tiangolo ABC dall aea del ettangolo i ottaggono le aee dei te tiangoli ettangoli ADB, BEC, CFA: A A D A C B allineamento di te punti A B C pe veificae e te punti A,B,C ono allineati cioè e appatengono alla tea etta i può: 1. calcolae l aea del tiangolo di vetici A,B,C: e l aea è uguale a zeo i punti ono allineati oppue: 2. calcolae le ditanze AB, BC, AC : e AB + BC = AC i punti ono allineati pe tabilie e un tiangolo è ettangolo bata veificae che le lunghezze dei lati oddifano il teoema di Pitagoa, cioè che:

3 Geometia analitica: la etta equazione della etta foma implicita q foma eplicita p aioma: la etta è cotituita da infiniti punti del piano foma egmentaia nell equazione della etta in foma eplicita: in foma egmentaia: m è detto coefficiente angolae p è il punto di inteezione ta la etta e l ae q è il punto di inteezione ta la etta e l ae q è il punto di inteezione ta la etta e l ae ignificato geometico di m e di q q p 1 m m < 0 q p 1 m m > 0 il coefficiente angolae m è l odinata del punto che ha ditanza di 1 unità dal punto di inteezione di con l ae ette paticolai equazione ae =k equazione etta paallela all ae k equazione ae = equazione della biettice del I e III quadante h =h equazione etta paallela all ae =- equazione della biettice del II e IV quadante Pe diegnae una etta bata tovae due punti e congiungeli. Le coodinate di un punto i tovano aegnando alla un valoe a piacee e calcolando la coipondente. aegnata la etta

4 Geometia analitica: la etta iceca dell equazione di una etta equazione della etta paante pe due punti equazione della etta noto un punto ed il coefficiente angolae m equazione del facio di ette pe tovae l equazione di una etta paante pe due punti calcolae il coefficiente angolae coefficiente angolae della etta paante pe due punti i può anche: utilizzae la fomula dell equazione del facio di ette otituendo ad m il valoe ed a le coodinate di A o di B condizione di paallelimo e pependicolaità ta due ette oppue due ette paallele hanno i coefficienti angolai uguali due ette pependicolai hanno i coefficienti angolai antiecipoci punto e etta iceca del punto di inteezione di due ette non paallele i mettono a itema le equazioni delle due ette le oluzioni del itema appeentano le coodinate del punto di inteezione condizione di appatenenza di un punto ad una etta 0 P 0 0 pe veificae e un punto appatiene ad una etta : i otituicono le coodinate del punto alla e alla nell equazione della etta i viluppano i calcoli e i ottiene una identità, il punto appatiene alla etta ditanza di un punto da una etta P 0 fomula con l equazione della etta in foma implicita fomula con l equazione della etta in foma eplicita

5 Geometia analitica: la etta ditanza ta due ette paallele ed pe tovae la ditanza di due ette paallele : P 0 i icavano le coodinate di un punto qualiai appatenente ad una della due ette i applica la fomula della ditanza del punto tovato dall alta etta equazione delle biettici degli angoli fomati da due ette ed (non paallele) b 2 b 1 note le equazioni delle ette ed in foma implicita : ed : qualunque iano gli angoli fomati dalle due ette, le biettici ono empe pependicolai ta loo icoda che la biettice di un angolo è definita come l inieme dei punti equiditanti dai lati. Sfuttando la definizione i può tovae l equazione delle biettici ponendo. Calcolando le ditanze e viluppando i calcoli i ottengono le equazioni delle biettici. P b equazione dell ae di un egmento AB noti : A M P B i calcola il punto medio del egmento AB i calcola il coefficiente angolae del egmento AB i icava il coefficiente angolae dell ae (è pependicolae ad AB) nell equazione del facio, i otituice ad m il valoe e alle coodinate quelle del punto medio ottenendo l equazione dell ae icoda che l ae di un egmento è definito come il luogo geometico dei punti equiditanti dagli etemi. Sfuttando la definizione i può tovae l equazione dell ae ponendo. Calcolando le ditanze e viluppando i calcoli i ottiene l equazione dell ae del egmento A P B allineamento di te punti A, B, C pe veificae e te punti A, B, C ono allineati i può: icavae ed, e veificae che B A C tovae l equazione della etta paante pe A e C e veificae che B appatiene alla etta calcolae l aea del tiangolo di vetici ABC e veificae che è uguale a zeo tovae le equazioni delle ette paanti pe A e B e pe A e C, e veificae che quete ono uguali tovae l equazione della etta paante pe A e C e veificae che la ditanza di B da tale etta è zeo veificae che la omma delle ditanze AB e BC è uguale alla ditanza AC cioè AB + BC = AC

6 Geometia analitica: la etta faci di ette Un facio di ette è l inieme delle ette aventi in comune un punto oppue una diezione facio popio tipi di faci facio impopio C è l inieme delle ette del piano paanti pe uno teo punto detto cento del facio è l inieme delle ette del piano aventi una diezione comune, cioè con lo teo coefficiente angolae come i peenta l equazione di un facio l equazione è quella di una etta (genealmente in foma implicita) nella quale compae, olte alle incognite ed, anche un alta lettea ( ) detta paameto Eempio: claificazione di un facio di ette data l equazione pe claificae il tipo di facio: e contiene il paameto il facio è popio i calcola il coefficiente angolae e il paameto i emplifica, il facio è impopio eempio pe un facio di ette popio eempio pe un facio di ette impopio ette geneatici di un facio le ette geneatici di un facio ono due e ono quelle che hanno geneato il facio nel cao del facio popio le ette geneatici ono incidenti nel cao del facio impopio le ette geneatici ono paallele iceca delle equazioni delle ette geneatici di un facio dato il facio di ette, i viluppano i calcoli i accoglie a fatto comune il paameto etta all infinito etta con k=0 le due pati coì ottenute ono le equazioni delle ette geneatici del facio iceca del cento del facio popio di ette i mettono a itema le equazioni delle due ette geneatici o di due geneiche ette del facio la oluzione del itema appeenta le coodinate del cento del facio come civee l equazione di un facio di ette equazione del facio di ette date le due ette geneatici ed equazione del facio di ette popio noto il cento equazione del facio di ette impopio noto il coefficiente angolae m

7 Ciconfeenza definizione La ciconfeenza è il luogo geometico dei punti del piano equiditanti da un punto fio C detto cento, cioè: equazione ciconfeenza C(α,β) P coodinate del cento elazione pe il aggio equazione della ciconfeenza di cento e aggio affinché la ciconfeenza ia eale è neceaio che : ciconfeenze paticolai e la ciconfeenza ha cento ull ae e la ciconfeenza ha cento ull ae e la ciconfeenza paa pe l oigine. e e la ciconfeenza ha cento ull ae e paa pe l oigine e e la ciconfeenza ha cento ull ae e paa pe l oigine e e la ciconfeenza ha cento nell oigine oeva che e la ciconfeenza degenea nel punto O(0,0) oigine degli ai cateiani iceca dell equazione di una ciconfeenza pe civee l equazione di una ciconfeenza è neceaio avee te condizioni, celte ta: cento aggio paaggio pe un punto etta tangente metodo algebico metodo geometico tafomae ogni condizione in una equazione ottenee il itema delle te equazioni nelle incognite iolvee il itema e tovae i valoi di otituie i valoi ottenuti nell equazione della ciconfeenza, ottenendo l equazione cecata è utile appeentae ul piano cateiano le condizioni note icavae da quete, cento e aggio della ciconfeenza

8 Ciconfeenza Eempio: equazione della ciconfeenza paante pe te punti (metodo algebico) paaggio pe A paaggio pe B paaggio pe C i otituicono uno alla volta le coodinate dei punti nell equazione geneica della ciconfeenza i ottiene un itema di te equazioni nelle incognite a, b, c i iolve il itema e i ottengono i valoi a, b, c i otituicono i valoi ottenuti nell equazione della ciconfeenza ottenendo l equazione ichieta poizione di una etta ipetto alla ciconfeenza etta ecante etta tangente etta etena oluzioni eali e ditinte oluzioni eali e coincidenti oluzioni non eali iceca delle equazioni delle ette tangenti alla ciconfeenza equazioni delle ette tangenti condotte da un punto Le equazioni delle ette tangenti condotte da un punto anche utilizzando il pocedimento illutato pe le alte coniche eteno alla ciconfeenza i cive l equazione del facio di ette popio di cento i icava la dell equazione del facio i utilizza la fomula della ditanza di un punto da una etta in foma eplicita i impone che la ditanza ta il cento della ciconfeenza e il facio di ette ia uguale ad i elevano al quadato entambi i membi i calcola il minimo comune multiplo i viluppano i calcoli i iolve l equazione di econdo gado nell incognita ottenendo i valoi ed i otituicono ed nell equazione del facio ottenendo le equazioni delle ette tangenti eteno alla ciconfeenza i poono ottenee equazione della etta tangente in un punto della ciconfeenza: fomula di doppiamento i cive l equazione della ciconfeenza i pone e i pone e i otituicono le incognite doppiate nella equazione della ciconfeenza viluppando i calcoli i ottiene l equazione della etta tangente nel punto

9 Ciconfeenza equazione delle ette tangenti paallele ad una etta data i cive l equazione del facio di ette impopio con aegnato i otituice la nell equazione della ciconfeenza i viluppano i calcoli, odinando l equazione ipetto alla i icava il e lo i impone uguale a 0 (condizione di tangenza ta etta e ciconfeenza) i iolve l equazione di econdo gado nell incognita i otituicono e nell equazione iniziale del facio ottenendo le equazioni della ette tangenti in alcuni poblemi il coefficiente angolae tangente i icava nota la etta paallela o la pependicolae alla etta poizioni ecipoche di due ciconfeenze C 1 C 2 R ciconfeenze etene ciconfeenze tangenti etene ciconfeenze ecanti ciconfeenze tangenti intene ciconfeenze intene ciconfeenze concentiche ae adicale di due ciconfeenze L ae adicale di due ciconfeenze non concentiche è la etta del piano, luogo geometico dei punti aventi la tea potenza ipetto ai centi delle due ciconfeenze oevazioni l ae adicale è empe otogonale al egmento che unice i centi delle due ciconfeenze. Inolte: e le due ciconfeenze ono ecanti, l ae adicale è alla etta paante pe i due punti di inteezione e le ciconfeenze ono tangenti, l ae adicale è la etta tangente alle due ciconfeenze nel punto comune l ae adicale conente di tovae gli eventuali punti di inteezione ta due ciconfeenze mettendo a itema l equazione dell ae teo con l equazione di una delle due ciconfeenze

10 civee l equazione della ciconfeenza dato il cento e il aggio 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; tabilie quali delle eguenti equazioni appeentano una ciconfeenza deteminae le coodinate del cento ed il aggio delle eguenti ciconfeenze Scivee l equazione della ciconfeenza di diameto di etemi Scivee l equazione della ciconfeenza di cento punto Deteminae pe quale valoe di k il punto ciconfeenza di equazione Scivee l equazione della ciconfeenza di cento e paante pe il appatiene alla e tangente all ae 21 iceca dell equazione di una ciconfeenza Deteminae l equazione della ciconfeenza che paa pe i punti 22 Scivee le equazioni delle ciconfeenze di aggio 3 che paano pe i punti Scivee l equazione della ciconfeenza che paa pe i punti ed ha il cento ulla etta di equazione Scivee l equazione della ciconfeenza che paa pe i punti ed è tangente alla etta di equazione e