Applicazioni della trigonometria alla geometria

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1 unti di matematica licazioni della tigonometia alla geometia. ea di un tiangolo, note le misue di due lati e quella dell'angolo da essi comeso. TEOREM L'aea di un qualsiasi tiangolo è eguale al semiodotto delle misue di due lati e il seno dell'angolo fa essi comeso. Suoniamo, ad esemio, note le misue a e b dei lati B e del tiangolo B e la misua γ dell'angolo comeso. Tesi: () Infatti, se H è l'altezza elativa al lato B e h ne è la misua, dal tiangolo ettangolo H, si ha: Di qui, e dal fatto che è: si icava: Similmente, si ha:

2 unti di matematica. ea di un tiangolo, nota la misua degli angoli e quella di un lato. Se a è la misua del lato che si suone noto, vogliamo dimostae che è: Infatti, dal teoema dei seni, si ha: da cui: β b a sen sen Sostituendo questo valoe, al osto di b, nella fomula si ottiene aunto la Similmente si tova: 3. ea di un tiangolo, note le misue dei te lati (fomula di ERONE) In questo caso si alica la fomula, di ERONE ( ): ove indica la misua del semieimeto del tiangolo. La dimostazione tigonometica della fomula viene omessa.

3 unti di matematica 3 4. ea di un aallelogamma. L'aea di un aallelogammo è uguale al odotto delle misue di due lati consecutivi e il seno dell'angolo da essi fomato. S BD ab senγ B a γ b D onsideiamo la diagonale BD che divide il aallelogammo BD in due tiangoli conguenti BD e BD. Pe deteminae l aea del aallelogammo basteà moltilicae e due l'aea del tiangolo BD. Poiché l aea del tiangolo BD è data da SBD ab senγ isulteà S BD ab senγ ab senγ. 5. TEOREM DELL ORD In una ciconfeenza la misua di una coda è uguale al odotto della misua del diameto e il seno di uno degli angoli alla ciconfeenza, che insistono su uno degli achi sottesi alla coda. SO: la coda B è un diameto B sen B O D Sia B la coda, oiché assa e il cento essa coincide con il diameto, dunque B.

4 unti di matematica 4 caso: la coda B non è un diameto D π- L Se la coda B non è un diameto, tacciamo il diameto BD: il tiangolo BD è ettangolo (eché l angolo BD insiste su una semiciconfeenza) etanto, e il teoema dei tiangoli ettangoli, avemo B sen Se consideiamo l aco LB, e una oietà elativa ai quadilatei inscitti in una ciconfeenza avemo che l angolo alla ciconfeenza LB ɵ saà π sen π sen avemo e quindi essendo ( ) ( π ) B sen sen. 6. Raggio della ciconfeenza inscitta La misua del aggio della ciconfeenza inscitta in un tiangolo è data dal aoto ta l aea del tiangolo e il suo semieimeto. Sia B un tiangolo qualunque; consideiamo la ciconfeenza in esso inscitta, il cui cento O è il unto d'inconto delle bisettici (incento) e il cui aggio è la distanza di questo unto da uno qualsiasi dei te lati. Poiché l'aea del tiangolo B uò deteminasi come somma delle aee dei tiangoli BO, BO e O, si ha: a + b + c a + b + c Da cui si icava:

5 unti di matematica 5 Ricodando la fomula di Eone, si uò anche scivee: ( a)( b)( c) Moltilicando e dividendo numeatoe e e denominatoe e ( a) si ottiene: ( a) ( b)( c) ( a) nalogamente si uò dimostae che: ( ) ( a)( c) b, ( c) ( b) ( b)( a) ( c) 7. Raggio della ciconfeenza cicoscitta ad un tiangolo, note le misue dei lati. La misua del aggio della ciconfeenza cicoscitta ad un tiangolo è data dal aoto ta il odotto delle misue dei suoi lati e il quadulo dell aea del tiangolo. R abc 4 B O a R onsideiamo la ciconfeenza cicoscitta al tiangolo; essa ha cento nel unto O d'inconto degli assi (cicocento) e aggio R uguale alla distanza di questo da un qualsiasi vetice. Poiché ogni lato del tiangolo è una coda della ciconfeenza, ossiamo alicae il teoema della coda. Si icava che: a R sen, b R senβ, c R senγ, e quindi:

6 unti di matematica 6 a R b, R sen senβ, c R γ, sen onsideiamo, e es., la ima uguaglianza. Moltilicando numeatoe e denominatoe e bc, si ottiene: a bc R, bc sen ma bc sen, 4 4 bc sen bc sen R abc 4 quindi R abc 4