ESERCIZIO n.2. y B. rispetto alle rette r e t indicate in Figura. GA#2 1

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1 ESERCZO n. Data la sezione a T ipotata in Figua, deteminae: a) gli assi pincipali centali di inezia; ) l ellisse pincipale centale di inezia; c) il nocciolo centale di inezia; d) i momenti di inezia e t ispetto alle ette e t indicate in Figua. t = 1 = cm = = s = d = s d A# 1

2 1. Deteminazione del aicento della sezione La sezione a T pesenta un asse di simmetia etta veticale, dunque il aicento viene a tovasi su tale asse. Con ifeimento al sistema (, ) indicato in Figua, la coodinata del aicento viene immediatamente individuata essendo pai a: = /. Pe individuae la coodinata del aicento della sezione, espessa sempe nel sistema di ifeimento (, ) indicato in Figua, è oppotuno scompoe la sezione in due ettangoli, pe esempio: uno di lati = 1 e =, l alto di lati = e = 1. Si pocede quindi all individuazione della coodinata del aicento e al calcolo dell aea pe ciascuno dei due ettangoli: Rettangolo A = = 15 5 = 75 cm = = 7.5 cm 5 = = = 17.5 cm Rettangolo ( ) 3 ( 5) 45 = = = A cm = 1 = cm = = = 17. = = 7.5 cm 5 = = = 7.5 cm L aea complessiva della sezione è ovviamente pai a: A = A + A = = 1 cm Si calcola quindi il momento statico della sezione ispetto all asse e ciò sfuttando la popietà additiva del momento statico: Momento statico S ispetto all asse : S = S + S = A + A = = 16 3 A#

3 Si può infine deteminae la posizione del aicento della sezione nel ifeimento (, ) consideato applicando le fomule di seguito ipotate ed esplicitate numeicamente pe il caso in esame, isulta: 3 S 165 cm = = 7.5 cm, = = = cm. A 1 cm = 1 = cm = = = 13.7 A# 3

4 . Deteminazione degli assi pincipali centali di inezia Nota la posizione del aicento della sezione in esame nel ifeimento (, ), gli assi aicentici e sono ance assi pincipali centali di inezia pe la sezione in esame. Rispetto a tali assi infatti il momento di inezia centifugo isulta essee nullo, cioè =. Si icoda infatti ce se una sezione possiede un asse di simmetia etta esso isulta essee pincipale centale di inezia, come pue l asse ad esso otogonale e passante pe il aicento. Di seguito gli assi pincipali centali di inezia saanno indicati con le lettee gece ξ ed η, come specificato in Figua. η = 1 = cm = = ξ = 13.7 A# 4

5 3. Deteminazione dell ellisse centale di inezia L ellisse centale di inezia, ifeita agli assi pincipali centali di inezia ξ e η, a equazione: ξ ρ η + = 1 η ρξ nella quale ρ ξ e ρ η sono i semiassi dell ellisse ce coincidono, com è noto, con i aggi giatoi di inezia della sezione espessi da: ξ η ρξ =, ρη =. A A Nelle elazioni pecedenti: A è l aea totale della sezione in esame; ξ e η sono i momenti pincipali centali di inezia della sezione ce, nel caso in esame, coincidono con i momenti del secondo odine e ispetto agli assi e. 3.1 Calcolo del momento pincipale centale di inezia della sezione ispetto all asse ξ l calcolo dei momenti del secondo odine ξ e η è effettuato avvalendosi della popietà additiva pe i momenti del secondo odine, sfuttando la scomposizione in due ettangoli opeata in pecedenza e applicando, ove necessaio, il teoema del taspoto. l momento di inezia della sezione ispetto all asse ξ è dato dalla somma dei momenti di inezia ispetto all asse ξ dei singoli ettangoli e, cioè: ξ = ξ + ξ A# 5

6 Pe la valutazione di ξ e ξ si applica il teoema del taspoto; nel seguito indica il momento di inezia del ettangolo ispetto ad un asse paallelo all asse ξ e passante pe il aicento, analogamente indica il momento di inezia del ettangolo ispetto ad un asse paallelo all asse ξ e passante pe il aicento. 1 1 = + A ( ) = ξ ( )( ) ( 15 5 ) ( 15 5 )( ) cm 1 + = 1 + = ξ = + A ( ) = ( ) + ( ) ( ) 1 = = ( 3 15 ) + ( 3 15 )( ) = cm 1 Si a in definitiva: 4 ξ = ξ + ξ = = cm. η = 1 = cm = = ξ d = 17. = 13.7 A# 6

7 3. Calcolo del momento pincipale centale di inezia della sezione ispetto all asse η l momento di inezia della sezione ispetto all asse η è dato dalla somma dei momenti di inezia ispetto all asse η dei singoli ettangoli e, cioè: η = η + η Si noti ce pe la valutazione di η e aicentico pe entami i ettangoli. Risulta petanto: = η ( 5 15 ) cm 1 = 1 = η non occoe applicae il teoema del taspoto, essendo η 1 1 = η ( ) ( 15 3 ) cm 1 = 1 = Si a in definitiva: 4 η = η + η = = 144 cm. η = 1 = cm = = ξ = 13.7 A# 7

8 3.3 Ellisse centale di inezia Noti ξ e η, si possono in definitiva calcolae i aggi giatoi di inezia, si a: ξ η 144 ρξ = = = 5.65 cm, ρη = = = 3.46 cm. A 1 A 1 Questi ultimi definiscono l equazione dell ellisse centale di inezia nel ifeimento pincipale ( ξ, η ) pemettendone così la sua individuazione (effettuaile pe punti ad esempio) così come indicato in Figua. ρ ξ η = 1 = cm = = ρ η ξ A# 8

9 L individuazione dell ellisse, noti i semiassi ρξ ρ e ρη ρ, può condusi ance sfuttando una semplice costuzione gafica di seguito illustata e ipotata scematicamente nella Figua seguente. Costuzione gafica di un ellisse noti ce siano i suoi semiassi 1. Tacciae i semiassi dell ellisse e le ciconfeenze di cento aventi pe aggi i semiassi stessi;. Tacciata pe la geneica semietta, condue dalla sua intesezione A con la ciconfeenza intena la etta i paallela al semiasse maggioe, e dall intesezione con la ciconfeenza estena la etta e paallela al semiasse minoe; 3. l punto E intesezione di i e e è punto dell ellisse; 4. Ripetee la costuzione pe un numeo di punti sufficiente alla costuzione dell ellisse. e ρ E A ρ i A# 9

10 4. Deteminazione del nocciolo centale di inezia l nocciolo centale di inezia di una figua piana è il luogo dei centi elativi delle ette del piano ce non tagliano la figua o, nella polaità d inezia di cento il aicento della figua (polaità esistente ta le ette del piano e i simmetici ispetto a dei loo centi elativi), il nocciolo centale di inezia è il luogo degli antipoli delle ette del piano ce non tagliano la figua. l nocciolo è qui di seguito individuato attaveso la costuzione del suo contono e ciò, in paticolae, attaveso la deteminazione della posizione dei vetici dello stesso, deteminati come antipoli delle ette tangenti alla fontiea (o contono) della figua esa convessa. l contono del nocciolo centale di inezia della sezione a T in esame è quindi una figua a 6 vetici ciascuno dei quali appesenta l antipolo di una delle tangenti al contono della sezione esa convessa. 4.1 Metodo analitico Le coodinate dei vetici R i (i =1,,, 6) del nocciolo centale di inezia possono essee calcolate nel ifeimento otogonale (, ) pima consideato pevia deteminazione, nello stesso ifeimento, delle equazioni delle ette i (i =1,,, 6) tangenti al contono della figua esa convessa. Nota infatti l equazione di una etta nel ifeimento (, ), nella foma a+ + 1=, dove e sono da intendesi valutate nel ifeimento (, ) e il pedice è omesso pe comodità, il suo antipolo, nello stesso ifeimento, a coodinate P (, ) da: ( ) ; ( ) = a + A = a + A P P fonite nelle quali compaiono, olte ai coefficienti a e dell equazione della etta consideata, l aea A della sezione e i momenti del secondo odine della stessa sezione ispetto al ifeimento (, ) valutati in pecedenza. n paticolae: pe ette di equazione = 1, cioè paallele all asse, ponendo pe semplicità q = 1, dalle pecedenti isulta: P P P = ; P = qa qa pe ette di equazione = 1 a, quindi paallele all asse, ponendo * q = 1 a si a invece: A# 1

11 P = ; * P * qa = qa. Con ifeimento alla Figua, le ette tangenti al contono della sezione esa convessa anno, nel ifeimento (, ), le seguenti equazioni: etta 1 (paallela all asse ): = = ; etta (passante pe i punti A (, ) e (, ) A A ): a = =, avendo valutato, con ifeimento alla Figua, le coodinate dei punti A e ce isultano: A = = 3 = 1.5 = = 15 = 7.5 A = = = = = 1.5 ed essendo: a = =.14; = =.6. A A A A A A etta 3 (paallela all asse ): = = 7.5; etta 4 (paallela all asse ): = = = 6.5; etta 5 (paallela all asse ): = = 7.5; etta 6 (passante pe i punti C (, ) e D (, ) C C ): D D a = =, 6 6 avendo valutato, con ifeimento alla Figua, le coodinate dei punti C e D ce isultano: C = = 3 = 1.5 D = = 15 = 7.5 C = = D = = 1.5 ed essendo: a = =.14; = =.6. D C C D 6 6 DC CD DC CD A# 11

12 Riepilogando, nel ifeimento (, ), le ette tangenti alla figua esa convessa anno equazioni: 1 : = : = 3 : = : = : = : = 4 = 1 = cm = = D A C 1 A# 1

13 Applicando le fomule pima iciamate, icodando ce nel caso in esame ξ ed η, si possono quindi calcolae le coodinate dei vetici R 1, R, R 3, R 4, R 5 e R 6, antipoli ispettivamente delle ette 1,, 3, 4, 5 e 6. Si calcola: coodinate punto R 1 (antipolo della etta 1 di equazione = 13.75, paallela all asse ): = R cm;.31 ; 1 R cm 1 qa = = qa = = ( ) coodinate punto R (antipolo della etta di equazione ( ) ( ) ( ) ( ) = a + / A= /1 = 1.68 cm; R = a + / A= /1 = 1.9 cm. R a = = ): coodinate punto R 3 (antipolo della etta 3 di equazione = 7.5, paallela all asse ): 144 = R 1.6 cm; ; 3 * R cm 3 * qa = = = qa = ( ) coodinate punto R 4 (antipolo della etta 4 di equazione = 6.5, paallela all asse ): R = = cm; 5.8 ; 4 R = = = cm 4 qa qa coodinate punto R 5 (antipolo della etta 5 di equazione = 7.5, paallela all asse ): 144 R = = = 1.6 cm; ; 5 * R = = cm 5 * qa qa coodinate punto R 6 (antipolo della etta 6 di equazione a = = ): 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) = a + / A= /1 = 1.68 cm; R6 6 6 = a + / A= /1 = 1.9 cm. R6 6 6 A# 13

14 Unendo i punti R i così individuati si ottiene il contono, e quindi il nocciolo centale di inezia della sezione in esame, come illustato in Figua. Si icoda ce i lati del nocciolo sono le antipolai dei vetici della sezione. 4 = 1 = cm = R1 R6 R = R 5 R R Si osseva inolte ce, data la simmetia della sezione ispetto all asse, ai fini della individuazione del contono del nocciolo, è sufficiente deteminae le coodinate di quatto vetici, ad esempio R 1, R, R 3 ed R 4 essendo R 5 ed R 6 i punti simmetici di R 3 ed R ispetto all asse. A# 14

15 4. Metodo gafico n altenativa alla pocedua analitica pima esposta, di seguito si popone un metodo gafico pe l individuazione dei vetici del nocciolo centale d inezia. l metodo è ipotato in sintesi, pe passi opeativi sequenziali e elativamente alla deteminazione di un solo vetice del nocciolo della sezione in esame, essendo la costuzione gafica facilmente ipetiile pe i estanti vetici. La costuzione è quella ce consente, data una figua piana della quale si sia deteminata l ellisse centale d inezia, di individuae l antipolo R di una qualsiasi etta del piano. Essa si asa su una elazione notevole della polaità d inezia di cento, nota come elazione di coniugio, espessa da: nella quale: ρ = R R ' è la etta paallela ad e passante pe il aicento della figua; ρ è il aggio giatoe d inezia ispetto a, definito dal semidiameto dell ellisse appatenente * alla diezione coniugata ad ; R è l antipolo della etta ; R è il coniugato di R ; R e R ' individuano i segmenti ispetto ai quali elazione di coniugio. ρ è medio popozionale, come stailito dalla Si imanda ai lii di testo consigliati pe i fondamenti teoici sui quali si asa la costuzione poposta. A# 15

16 Con ifeimento alla Figua, i passi opeativi della costuzione poposta sono: #1 Nota l ellisse centale di inezia e fissata la tangente, della quale si vuole individuae l antipolo R, si tacciano le tangenti all ellisse paallele a, individuando così i punti di tangenza A e ; # La etta passante pe i punti di tangenza A e è la diezione * coniugata ad, la sua intesezione con è il punto R, coniugato di R ; il aggio giatoe semidiameto (o A ); ρ coincide con il #3 Si uota di 9 sì da dispolo sull otogonale pe alla diezione coniugata *, sia ' il segmento così ottenuto; #4 Si unisce R con e si conduce pe l otogonale a R ' ' sino ad intesecae la diezione coniugata * in R, antipolo della etta consideata e vetice del nocciolo centale di inezia della sezione. R A tg ρ tg * R C Ripetendo la costuzione pe le alte 5 tangenti alla figua esa convessa si individua in modo completo il nocciolo centale di inezia della sezione. A# 16

17 5. Calcolo dei momenti di inezia ispetto alle ette e t Si calcolano infine i momenti di inezia ispetto alle ette e t mostate in Figua. Tali momenti possono essee calcolati utilizzando il teoema del taspoto; nel seguito e indicano i momenti di inezia della sezione ispetto agli assi aicentici e, ispettivamente paalleli alle ette e t. Momento di inezia della sezione ispetto alla etta ( ) ( ) 4 = + A d = = 1768 cm Momento di inezia della sezione ispetto alla etta t t A = + s ( 15 3) 187 cm = + = 4 = 1 = cm = = s = d = s = 13.7 d t A# 17