Elementi di Dinamica

Transcript

1 Elementi di Dinamica

2 ELEMENTI DI DINAMICA Mente la cinematica si limita allo studio delle possibilità di movimento di un ceto sistema ed alla elativa descizione matematica, la dinamica si occupa delle cause che deteminano il moto stesso. Il legame ta le gandezze dinamiche (foze, momenti, popietà ineziali dei copi etc.) ed il moto che ne consegue è egolato dalle leggi di Newton. Lo studio di un sistema dinamico è aticolato in divese fasi: Definizione di un modello fisico del sistema in esame Definizione del diagamma di copo libeo Definizione del modello matematico e soluzione Confonto con le evidenze speimentali.

3 OZE oza: azione di un copo su un alto copo (unità di misua: Newton [N]) e tende a spostae il copo lungo la diezione in cui agisce. La foza è una gandezza vettoiale, petanto essa possiede modulo diezione veso punto di applicazione Nel caso di foze applicate ai copi igidi ci si può svincolae dal punto di applicazione e si può consideae la foza come applicata in un punto qualsiasi della sua etta d azione (picipio di tasmissibilità): consideae la foza come applicata in A o in B non cambia nulla dal punto di vista delle eazioni sui vincoli in C e D

4 OPEAZIONI SULLE OZE Composizione di due foze: Date due foze 1 ed 2 agenti sullo stesso punto di un copo igido, esse possono essee composte secondo la egola del paallelogamma. La isultante della composizione ha sul copo il medesimo effetto del sistema di foze. Scomposizione di due foze: Analogamente una foza può essee sostituita dalla scomposizione nelle sue componenti 1 ed 2 lungo due diezioni, facendo attenzione che le ette d azione passino pe il punto di applicazione di

5 OPEAZIONI SULLE OZE Composizione di due foze paallele: La foza 1 è applicata nel punto A 1 e la foza 2 è applicata al punto A 2. 1 ed 2 sono paallele. La isultante delle due foze ha diezione paallela alla diezione di 1 ed 2. La etta di applicazione di passa pe il punto A. Il punto A si tova sommando e sottaendo una foza ausiliaia dietta lungo la congiungente i punti A 1 e A 2. Una foza è applicata in A 1 e la foza opposta in A 2. Si deteminano le isultanti 1 ed 2 nei punti A 1 e A 2 e si detemina la isultante con il metodo già visto. 1 A A 2 A 2 2 1

6 OPEAZIONI SULLE OZE Composizione di due foze paallele: Pe deteminae analiticamente la posizione geometica della etta di azione della isultante, si considei che la etta inteseca il segmento A 1 A 2 nel punto A. I tiangoli A 1 A A e il tiangolo costuito in A sono simili, così come sono simili i tiangoli A 2 A A ed il tiangolo Petanto si può scivee: 1 A 1 A A A A A A A A AA 1 AA 2 AA 2 A A A A 2 A 2 2 A 1

7 MOMENTO DI UNA OZA Misua la tendenza di una foza applicata ad un copo a fa uotae il copo stesso attono a un punto (nel piano) o ad un asse (nello spazio). Se è la foza applicata al punto A del copo, il momento di ispetto al geneico punto O è dato dal podotto vettoiale: j M O sin( α) k b k i Il momento della foza può essee espesso in funzione delle componenti della foza stessa. Teoema di Vaignon: il momento di una foza intono ad un punto qualsiasi è pai alla somma dei momenti delle componenti della foza intono allo stesso punto. M O M OP M OQ ( P + Q) P + Q M P momento di P ispetto ad O Q momento di Q ispetto ad O OP + M OQ

8 COPPIA DI OZE Coppia di foze: insieme di due foze uguali in modulo e diezione, veso opposto e non allineate. La isultante della coppia di foze è nulla. Il momento della coppia di foze non dipende dal punto intono al quale lo si calcola (vettoe libeo): - M ) M B A O A B A B O + + ) ( ( k d k ] a d) a M + [( Il momento della coppia di foze (o semplicemente coppia), dipende solamente dal modulo delle foze e dalla distanza d ta le ette di applicazione detto baccio della coppia

9 TASPOSIZIONE DI UNA OZA In geneale, una foza 1) tende sempe a spostae il copo a cui è applicata nella sua diezione e veso 2) tende a fa uotae il copo a cui è applicata intono ad un punto non appatenente alla sua etta d azione Sistema iniziale: foza applicata in A con momento ispetto a B non nullo Si aggiunge e sottae una foza in B, pai alla foza iniziale in A Il sistema finale: l effetto è quello di una tasposizione della foza nel punto di inteesse. La foza applicata in A può essee taspotata in B a patto di aggiungee al sistema una coppia (momento di tasposizione) pai al momento che applicata in A ha ispetto a B.

10 ISULTANTE DI UN SISTEMA DI OZE Se su un copo agiscono divese foze, il sistema può essee semplificato mediante il calcolo della isultante. Occoe deteminae sia la somma delle foze che il suo punto di applicazione Il calcolo della isultante di un sistema di foze agenti su un copo si può eseguie mediante la successiva applicazione della egola del paallelogamma. Può isultae un metodo laboioso.

11 ISULTANTE DI UN SISTEMA DI OZE Se su un copo agiscono divese foze, il sistema può essee semplificato mediante il calcolo della isultante. Occoe deteminae sia la somma delle foze che il suo punto di applicazione 1 - Si sceglie un punto abitaio O 2 - Si potano tutte le foze in O e si calcola la somma 3 - Si calcolano tutti i momenti delle foze ispetto ad O 4 - Si sostituisce al sistema oiginaio la somma delle foze in O più una coppia M O pai alla somma dei momenti delle singole foze ispetto ad O. 5 Si sposta in un punto geneico B aggiungendo il momento di taspoto. 6 Si detemina la distanza d del punto B da O imponendo l uguaglianza del momento di taspoto M con M O

12 Tipi di foze Le foze possono essee classificate secondo divesi citei. Alcuni esempi: oze concentate: la zona su cui sono applicate si può itenee puntifome ispetto alle dimensioni del copo. oze distibuite: la zona su cui sono applicate non può essee tascuata ispetto alle dimensioni geometiche del copo oze estene: sono applicate al copo (o al sistema di copi) dall esteno oze intene: sono foze scambiate ta gli elementi del sistema consideato oze di contatto: dovute all inteazione dietta (contatto fisico) ta due copi oze di massa: sono coelate alle popietà di massa del copo (es: foza peso, foze elettomagnetiche, foze di inezia) Nello studio di un sistema meccanico è impotante identificae le foze in gioco sulla base della natua dei fenomeni fisici coinvolti, della modalità con cui le foze che ne deivano sono applicate. È altesì impotante impostae il poblema coeentemente con i modelli meccanici scelti pe la appesentazione del fenomeno in esame.

13

14

15

16

17 I TE PINCIPI DELLA DINAMICA 1) Una paticella imane a iposo o continua a muovesi di moto ettilineo unifome se la isultante di tutte le foze agenti su di essa è nulla (detto anche pincipio d inezia) 2) L acceleazione di una paticella è popozionale alla isultante delle foze agenti su di essa ed è nella diezione e nel veso di tale isultante. La costante di popozionalità è pai alla massa della paticella. a 3) Le foze di azione e eazione ta copi che inteagiscono sono uguali in modulo hanno la stessa etta d azione e sono opposte in veso. m e Le leggi della dinamica sono la base della meccanica classica e possono essee applicate diettamente ad un enome dominio di sistemi meccanici. I limiti di applicabilità si incontano in quei poblemi in che coinvolgono i pincipi della meccanica quantistica o della fisica elativistica.

18 EQUAZIONI CADINALI DELLA DINAMICA Le azioni di inezia sono definite come: i m a G M ω ig I & G foza d inezia applicata al baicento coppia d inezia baicentica L intoduzione delle azioni di inezia è un atificio che consente di scivee delle equazioni di equilibio anche quando sono pesenti degli stati di moto acceleato e + i 0 M + M eg ig 0 La seconda equazione può essee estesa ad un caso più geneale di equilibio alla otazione intono ad un qualsiasi punto P consideando il momento ispetto a P di i. M i M ig + h i e M + i + M e i 0 0

19 EQUAZIONI CADINALI DELLA DINAMICA e M + i + M e i 0 0 appesentano l equazione del moto del copo o del sistema di copi (D Alembet, 1743) ed espimono l equilibio dinamico di un sistema meccanico: in ogni istante, la somma di tutte le foze agenti sul sistema più le foze d inezia è uguale a zeo, e la somma di tutti i momenti dovuti alle foze estene più il momento delle foze d inezia ispetto ad un punto qualsiasi è uguale a zeo. Le equazioni vettoiali hanno validità geneale. Nel caso di moto piano si taducono nelle te equazioni scalai: M ex ey e + + ix iy + M i 0 0 0

20 STATICA Poblema di equilibio statico: dato un copo o un sistema di copi ta loo collegati mediante deteminati vincoli, la soluzione di un poblema di equilibio statico consiste nel deteminae la elazione ta le foze agenti sul copo (o sistema di copi) tale pe cui il copo esta femo o in moto ettilineo unifome (acceleazione 0). In caso di moto acceleato, i metodi di isoluzione dei poblemi di equilibio statico possono essee ancoa impiegati a patto di intodue nel computo le azioni di inezia. La soluzione dei poblemi di equilibio statico pesenta aspetti divesi a seconda del gado di libetà del sistema in esame. Es a: sistema ad 1 gado di libetà. dato il valoe della foza o momento agente in un punto del sistema (es. la foza P) ed eventualmente di più foze, calcolae il valoe di un alta foza o momento in un alto punto del sistema (es. la coppia C) in modo che il sistema sia femo. Possono eventualmente essee ichieste le eazioni vincolai (es. in O, A, B)

21 STATICA Es b): sistema a più gadi di libetà. Se il sistema ha più gadi di libetà, il poblema di equilibio è analogo a quello pe un gado di libetà, con la diffeenza che la soluzione ichiede il calcolo di tante foze (o coppie) quanti sono i GdL del sistema. Ad esempio, con if. al cinematismo della figua b), noti i caichi P 1 e P 2, può essee ichiesto il calcolo di 2 e C 1 che gaantiscono l equilibio. Possono essee ichieste le eazioni in O ed A. Es c): sistema a zeo gadi di libetà (sistema isostatico). Non esiste possibilità di movimento, il poblema da isolvee, noti i caichi agenti sul sistema, è il calcolo delle eazioni vincolai. Es d): sistema a gadi di libetà negativi (sistema ipestatico). Se il calcolo dei GdL è infeioe a zeo, non è possibile deteminae il valoe delle eazioni vincolai dalle sole equazioni di equilibio (infinite soluzioni possibili), il modello del copo igido è inadeguato ed è necessaio intodue i modelli di defomabilità dei copi pe isolvee il poblema.

22 POCEDUA PE LA SOLUZIONE DI POBLEMI DI EQUILIBIO E DIAGAMMI DI COPO LIBEO 1. Definie il sistema al quale applicae le equazioni di equilibio 2. Diagamma di copo libeo: isolae il sistema da tutti gli alti copi, sostituendo i vincoli con le eazioni vincolai ed indicando tutte le foze (e coppie) agenti sul copo. Es: la figua ipota il diagamma di copo libeo del manovellismo in alto. 3. Confontae il numeo di incognite N in con il numeo di equazioni disponibili N eq. Se N in > N eq si dovà suddividee il sistema negli elementi igidi che lo compongono, e costuie il diagamma di copo libeo pe ognuno di essi. Occoe pestae attenzione alle foze intene: la foza applicata dal pimo copo al secondo è uguale e contaia alla foza applicata dal secondo al pimo 4. Scivee pe ciascun elemento le equazioni di equilibio. Se il sistema non è ipestatico si avà N in N eq 5. Veificae che il sistema di foze ottenuto come soluzione del sistema di equazioni soddisfi le condizioni di equilibio.

23 Consideando il manovellismo in figua, dato il caico oizzontale P applicato in B deteminae la coppia C applicata in O affinché il sistema sia in condizioni di equilibio statico, e le eazioni vincolai in O e B. Consideando il sistema complessivo si avebbe: Incognite : C, O, B ovveo C, Ox, Oy, By Equilibio alla taslazione oizzontale Equilibio alla taslazione veticale Ox Oy Equilibio alla otazione (intono al punto O) C- P 0 + By By 0 BA cos β + AO cosϑ 0 q β 4 incognite, 3 equazioni...il sistema non è isolvibile!

24 Incognite : C,,, ovveo C, Equilibio alla taslazione oizzontale Equilibio alla taslazione veticale Ox Ax Oy Ay C- O Ox, P 0 (copo 2) + Ax Ay By B Oy, A By Ax 0 (copo 1) 0 (copo 1) 0 (copo 2) Equilibio alla otazione Ax Ax AO sinϑ + AB sin β + Ay, Ay, Ay AO cosϑ 0 (copo1, intono a O) AB cos β 0 (copo 2, intono a B) q β 6 incognite, 6 equazioni...il sistema è isolvibile

25 EQUILIBIO STATICO: esempio Muscoli flessoi dell avambaccio stato supeficiale: bicipite bachiale Oigine scapola (capo lungo, tubecolo sopaglenoideo capo beve, pocesso coacoideo) Insezione tubeosità del adio stato pofondo: Bachiale Oigine: omeo (metà distale diafisi) Insezione (tubeosità dell ulna)

26 Consideando il baccio disposto nella configuazione in figua, si vuole deteminae la foza m che deve espimee il bicipite bachiale affinché il sistema sia in equilibio statico. L foza peso del copo soetto dalla mano W foza peso del avambaccio applicato al baicento Equilibio alla taslazione oizzontale H 0 Equilibio alla taslazione veticale V C C + W L 0 Equilibio alla otazione (intono all'aticolazione del m m sinϑ a Wsinϑ b Lsinϑ l 0 gomito C) Si tova V m c W b a W 1 + L b a l a + L 1 l a