Il magnetismo. Il Teorema di Ampere: la circuitazione del campo magnetico.

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1 Il magnetismo Il Teoema di Ampee: la cicuitazione del campo magnetico. Richiamiamo la definizione geneale di cicuitazione pe un campo vettoiale Definizione: si definisce cicuitazione di un campo vettoiale lungo una geneica linea chiusa oientata la somma dei podotti scalai ta il campo vettoiale e il elativo spostamento in cui viene suddivisa la linea consideata. onsideiamo un filo pecoso da coente, le linee di campo magnetico pe la situazione analizzata sono ciconfeenze concentiche al filo stesso. Esaminiamo una sezione di filo vista dall alto in cui il filo appae come un punto (assumiamo la coente uscente dal foglio). alcoliamo la cicuitazione del campo magnetico pe un cammino chiuso che coincida con una linea del campo magnetico. Le linee segnate lungo la ciconfeenza hanno un doppio significato: appesentano diezione e veso del campo magnetico nel punto consideato (se consideiamo al ciconfeenza come una linea di campo magnetico); appesentano gli spostamenti infinitesimi in cui viene suddivisa la linea chiusa che consideiamo pe calcolae la cicuitazione. Inolte pe la legge di Biot Savat abbiamo che il campo magnetico pe un filo ad una distanza vale: B = µ 0 i 2π Poiché la linea consideata è una ciconfeenza (in cui il aggio è costante) alloa il campo magnetico B pe il cammino consideato ha intensità costante.

2 Se chiamiamo gli spostamenti infinitesimi lungo al ciconfeenza s1, s2,..., sn la cicuitazione vale: Poiché pe ogni spostamento tangenziale ( B) = B s1 + B s B sn s s,..., s 1, 2 n il campo magnetico è sempe paallelo e concode, alloa si ha che il podotto scalae vale pe ogni spostamento: B s = B s cos 0 = B s i = 1,...,n i i ( ) i Alloa possiamo scivee: B = B s1 + B s B s = B s1 + s La somma d tutti gli incementi ( ) ( ) s s,..., s ciconfeenza, cioè il cammino chiuso consideato, quindi: B = B 2π n s n 1, 2 n peò non è alto che la lunghezza della ( ) Poiché il campo magnetico pe un filo ad una distanza è dato dalla legge di Biot Savat si ha: Semplificando si ottiene: µ 0 i ( B) = 2π 2π ( B) = µ i 0 Tale isultato è valido in geneale e non solo pe una ciconfeenza, petanto possiamo affemae che: Teoema di Ampee sula cicuitazione dl campo magnetico La cicuitazione del campo magnetico lungo una qualsiasi linea chiusa con la quale isulti concatenata una coente che genea il campo magnetico è sempe uguale al podotto della pemeabilità magnetica del vuoto pe l intensità di coente. Ossevazione Ricodiamo che una coente si dice concatenata ad una linea chiusa su essa attavesa la supeficie delimitata dalle cuva stessa. Ossevazione Un puntino pieno significa che al coente è uscente dal foglio, una coce invece significa che la coente è entante nel piano del foglio.

3 Ossevazione Nel caso in cui le coenti concatenate al cammino chiuso siano più di una alloa la cicuitazione del campo magnetico è data dal podotto di µ 0 pe la somma della coenti concatenate. Ossevazione alcoliamo la cicuitazione lungo la linea chiusa appesentata: Possiamo ossevae che: 1. la cicuitazione lungo la ciconfeenza intena vale ( B) = µ i 0 (in quanto la coente genea un campo magnetico che ha veso opposta al senso di pecoenza segnato pe il cammino) 2. la cicuitazione lungo la ciconfeenza estena vale ( B) = µ i 0 (in quanto la coente genea un campo magnetico che ha veso concode al senso di pecoenza segnato pe il cammino) 3. lungo i due tatti ettilinei il campo magnetico è pependicolae ai cammini petanto il podotto scalae ta B e gli spostamento è nullo (in questo caso essi sono infatti vettoi pependicolai). La cicuitazione alloa lungo l inteo il cammino chiuso è nullo, il contibuto della ciconfeenza estena è infatti annullato dal contibuto uguale ed opposto della ciconfeenza intena.

4 Si ossevi infatti che in questo caso il cammino chiuso non è concatenato con la coente uscente dal foglio. Diffeenza ta la cicuitazione del campo elettico e del campo magnetico. Abbiamo visto che la cicuitazione del campo elettico è nulla., infatti se i considea una caica(ad esempio positiva) contenuta in una supeficie chiusa: Le linee di campo elettico sono ette con diezione adiale ispetto al caica e avente veso uscente. La cicuitazione del campo elettico lungo la ciconfeenza è data dal podotto scalae ta il vettoe campo elettico (che ha intensità costante lungo tutti i punti della ciconfeenza, che sono equidistanti dalla caica che genea il campo) e gli spostamenti infinitesimi s in cui la ciconfeenza stessa viene scomposta. Poiché E e s sono in ogni punto pependicolai il loo podotto scalae è sempe nullo. Petanto la cicuitazione del campo elettico lungo un cammino chiuso è nulla. La diffeenza ta cicuitazione del campo elettico e del campo magnetico è dovuta popio alla divesa natua delle linee di campo: pe il campo elettico esse sono ette adiali uscenti o entanti dalle caiche; pe il campo magnetico esse sono linee chiuse che iniziano e teminano sul magnete stesso o ciconfeenza concentiche ad un filo pecoso da coente.

5 Flusso campo magnetico Il flusso magnetico è una gandezza scalae che misua la quantità di campo magnetico che attavesa una supeficie tenendo conto dell'angolo d'incidenza ta la diezione e il veso di B dell'aea della supeficie oientata stessa. Il valoe del flusso di B attaveso la supeficie oientata S con cui le linee di campo magnetico fomano un angolo α con la nomale alla supeficie stessa è dato dalla fomula: Φ B = BS cos Esempio aso 1: il flusso geneico ( ) α aso 2: flusso massimo (quando le linee di campo sono paallele alla nomale alla supeficie) Ossevazione il flusso è: nullo quando la supeficie è paallela alle linee di campo magnetico (infatti la nomale è pependicolae a B ); massimo positivo quando la supeficie è pependicolae alle linee di campo e la nomale è paallela e concode ispetto queste ultime; massimo negativo quando la supeficie è pependicolae alle linee di campo e la nomale è paallela e discode ispetto queste ultime. Il flusso magnetico è indicato nelle fomule con la lettea geca Φ e la ispettiva unità di misua SI è il webe che si indica con w.

6 T m [ w ] = 2 iò mi pemette di die che il Tesla, unità di misua deivata nel SI del campo magnetico è data dalla elazione: 2 [ T ] = [ w m ] Flusso del campo magnetico attaveso una supeficie chiusa Analizziamo oa il flusso geneato da un magnete contenuto in una supeficie chiusa, come illustato nella figua seguente: E immediato notae che il numeo delle linee di campo uscenti dalla supeficie è uguale al numeo delle linee di campo che entano nella supeficie. iò è dovuto al fatto che un magnete ha sempe polo positivo (da cui escono le linee di campo) e polo negativo (in cui entano le linee di campo), quindi le linee del campo magnetico sono linee chiuse e la conseguenza di questo fatto consiste popio che pe un magnete posto in una supeficie chiusa il numeo delle linee uscenti sia uguale a quello delle linee entanti. Il contibuto positivo, dato dalle linee uscenti è petanto annullato dal contibuto negativo delle linee entanti. Questo isultato costituisce il Teoema di Gauss pe il flusso del campo magnetico Il flusso del campo magnetico uscente da una supeficie chiusa è sempe nullo, qualunque sia il campo magnetico e pe qualunque supeficie.

7 Analogie e diffeenze ta i teoemi di Gauss pe il flusso del campo elettico e del campo magnetico. Un isultato analogo è stato individuato pe il campo elettico Teoema di Gauss pe il flusso del campo elettico Il flusso di un campo elettico E attaveso una supeficie chiusa S è dato dalla elazione Φ Dove Q indica la somma algebica delle caiche contenute nella supeficie chiusa. Analizziamo il caso di una sfea contenente una caica al cento. S ( E) = ε 0 Q Il campo elettico sul bodo è costante, in quanto tutti i punti della supeficie hanno distanza R dal cento, il flusso in ogni elemento supeficiale consideato è massimo peché il campo elettico è sempe pependicolae all elemento di aea consideato, inolte poiché le linee di campo sono ette ognuna si esse daà un contibuto dello stesso segno. Anche in questo caso, come pe la cicuitazione del campo elettico lungo un cammino chiuso, la diffeenza ta i isultati ottenuti è causata sempe dalla divesa natua delle linee di campo del campo elettico (adiali ispetto la caica, apete) e del campo magnetico (chiuse ispetto il magnete o l elettomagnete che le oigina).

8 Momento tocente onsideiamo oa una spia ettangolae pecosa da coente immesa in un campo magnetico unifome. Illustiamo innanzitutto la situazione con un disegno. Polo positivo Polo negativo B D A i asse di otazione Se la spia è libea di giae attono al popio asse, notiamo che essa quando si tovae disposta in cete posizioni uota sino a femasi, cioè sino a giungee ad una posizione di equilibio. Analizziamo quindi le foze che agiscono sui ami della spia che sono tutti pependicolai al campo magnetico. Foze veticali Dalla elazione F = bil possiamo stabilie diezione e veso delle foza agente sui fili pecosi da coente immesi in campo magnetico (la situazione descitta è analoga a quella dell espeienza di Oested). Utilizziamo la egola della mano desta applicata ai ami B e AD della spia. Polo positivo Polo negativo B D A i asse di otazione

9 Tutti i lati della spia sono pependicolai al campo e quindi essi sono sottoposti ad una foza magnetica massima. Sui lati B e AD (che sono fili pecosi da coente immesi in un campo magnetico) agisce una foza che è possibile deteminae utilizzando la egola della mano desta: sul lato supeioe della spia agisce una foza dietta veso il basso, la cui intensità è data dalla elazione F B = Bil sul lato infeioe della spia agisce una foza dietta veso l alto, la cui intensità è data dalla elazione F DA = Bil Poiché la coente che passa nei fili ha la stessa intensità, inolte la lunghezza l dei fili è la stessa (cioè assumiamo che si la stessa in quanto ciò compota un eoe tascuabile) ed infine dall essee il campo magnetico costante possiamo affemae che le due foze hanno intensità uguale con veso opposto. Petanto le foze veticali agenti sulla spia sono tali che: F y F B ioè sulla spia non agisce alcuna foze dietta veticalmente in quanto le due foze veticali sono opposte e si annullano. Foze oizzontali ome pima utilizziamo la elazione F = bil possiamo stabilie diezione e veso della foza agente sui fili. Utilizziamo la egola della mano desta applicata ai ami AB e D della spia. F AD = 0 Polo positivo Polo negativo B D A i asse di otazione

10 Tutti i lati della spia sono pependicolai al campo e quindi essi sono sottoposti ad una foza magnetica massima. Sui lati AB e D (che sono fili pecosi da coente immesi in un campo magnetico) agisce una foza che è possibile deteminae utilizzando la egola della mano desta: sul lato AB della spia agisce una foza dietta veso il lato D, la cui intensità è data dalla elazione F AB = Bil sul lato D della spia agisce una foza dietta veso il lato AB, la cui intensità è data dalla elazione F D = Bil Poiché la coente che passa nei fili ha la stessa intensità, inolte la lunghezza l dei fili è la stessa (cioè assumiamo che si la stessa in quanto ciò compota un eoe tascuabile) ed infine dall essee il campo magnetico costante possiamo affemae che le due foze hanno intensità uguale con veso opposto. Tuttavia a diffeenza del caso pecedente le foze oa si tovano disposte su ette paallele ma non coincidenti, quindi non si annullano. Illustiamo la situazione con un disegno che mosti una vista dall alto di quanto illustato. Polo positivo Polo negativo =D A=B Petanto le foze oizzontali non si tovano sulla stessa etta petanto queste due foze costituiscono una coppia di foze che fa uotae la spia attono al suo asse di otazione, abbiamo alloa un movimento otatoio pe la spia che viene detto momento tocente. Tale movimento otatoio tende a fa uotae la spia sino ad una posizione di equilibio. La coppia di foze si tova in equilibio quando le foze F AB e F D si tovano sua stessa ette, alloa la spia saà in equilibio. Tuttavia abbiamo due possibilità pe l equilibio (cioè vi sono due situazioni in cui le foze Ossevazione F AB e F D sono allineate). La posizione di equilibio della spia è quella in cui è massimo il flusso di campo magnetico attaveso la spia stessa.

11 Definizione: un punto pe un sistema si dice punto di equilibio stabile se il sistema itona allo stato di equilibio dopo una piccola petubazione. Definizione: un punto pe un sistema si dice punto di equilibio instabile se il sistema si allontana dallo stato di equilibio dopo una piccola petubazione. La spia immesa nel campo magnetico petanto tende ad allineae la linea di campo centale con la diezione del campo magnetico unifome in cui è immesa. La posizione con la linea di campo centale paallela e concode con il campo magnetico unifome è petanto una posizione di equilibio stabile. (infatti se in questa posizione la spia viene sollecitata tona alla posizione iniziale) La posizione con la linea di campo centale paallela e discode ispetto il campo magnetico unifome è petanto una posizione di equilibio instabile. (infatti se in questa posizione la spia viene sollecitata no tona alla posizione iniziale ma uota disponendosi in una posizione di equilibio stabile) Spia pecosa da coente e motoe elettico Il moto otatoio della spia è alla base del funzionamento dei motoi elettici: l'enegia elettica che attavesa la spia è utilizzata pe fa uotae la spia immesa nel campo magnetico e tasfomae quindi enegia elettica in enegia di meccanica di movimento. onsideiamo il seguente schema: Polo positivo Polo negativo B D A i elemento vaiabile che fa vaiae la esistenza + -

12 Desciviamo le componenti ed il funzionamento del motoe elettico. 1. La spia è collegata tamite un cicuito ad un geneatoe di fem; 2. la spia è pecosa da coente; 3. la linea di campo centale della spia (che si ottiene a causa della coente che la pecoe) fa uotae la spia affinché la linea di campo centale si allineata con le linee del campo magnetico in cui è immesa la spia stessa; 4. abbiamo alloa un movimento meccanico; 5. la spia alla base ha due spazzole che stisciano su due semianelli (divisi ta loo) collegati al cicuito, la spia petanto è un elemento che seve pe chiudee il cicuito; 6. quando la spia giunge alla posizione di equilibio stabile (linea di campo centale allineata con le linee del campo magnetico) le spazzole, che sono state disposte in maniea apposita, a causa del movimento otatoio invetono la loo polaità, cioè: la spazzola che ea contatto con il semianello di desta oa si itova a contatto con il semianello di sinista; la spazzola che ea contatto con il semianello di sinista oa si itova a contatto con il semianello di desta; 7. ciò invete il veso di pecoenza della coente nella spia che da una posizione di equilibio stabile si itoveà in una posizione di equilibio instabile; 8. petanto la spia ipeteà il pocedimento descitto pe potasi di nuovo in una posizione di equilibio stabile. 9. a causa della disposizione delle spazzole che uotano sui semianelli il movimento otatoio continueà finché la spia saà pecosa da coente. Inolte nella pate di desta del cicuito è pesente un amo vaiabile del cicuito stesso che scoe su una esistenza, tale dispositivo fa vaiae appunto la esistenza R del cicuito che pe la legge di Ohm: i = V R contolla il valoe dell intensità di coente che cicola nel cicuito e quindi anche nella spia, petanto da tale valoe dipende la velocità di otazione del dispositivo. Il dispositivo mobile funziona quindi come l acceleatoe: all aumentae della esistenza diminuisce l intensità di coente e quindi il moto otatoio è meno intenso; al diminuie della esistenza aumenta l intensità di coente e quindi il moto otatoio è più intenso.

13 Popietà magnetiche della mateia Sulla base delle popietà magnetiche, che vengono evidenziate quando esse vengono immese in un campo magnetico, i mateiali vengono classificati in te categoie: 1. diamagnetici; 2. paamagnetici; 3. feomagnetici. Le sostanze diamagnetiche in pesenza di un campo magnetico esteno, manifestano una debole magnetizzazione dietta in senso opposto ispetto al campo inducente; Le sostanze paamagnetiche in pesenza di un campo magnetico esteno manifestano una debole magnetizzazione concode al veso del campo indicente; Le sostanze feomagnetiche in pesenza di un campo magnetico esteno eagiscono invece con un intensa magnetizzazione di segno concode al campo inducente, magnetizzazione che consevano anche dopo l allontanamento dalla sogente del campo. Petanto: i mateiali diamagnetici fanno diminuie di poco l intensità del campo magnetico in cui sono immesi; i mateiali paamagnetici fanno aumentae di poco l intensità del campo magnetico in cui sono immesi; i mateiali feomagnetici fanno aumentae di molto l intensità del campo magnetico in cui sono immesi. Domini feo magneti o domini di Weiss: magnetizzazione della mateia Riguado la capacità delle sostanze feomagnetiche di mantenee popietà magnetiche anche dopo l allontanamento dal campo magnetico in cui sono state immese, possiamo ossevae ciò accade in quanto a livello atomico, il numeo e la disposizione degli elettoni negli obitali sono tali da ceae un effetto magnetico pemanente. Nelle sostanze feomagnetiche si osseva una tendenza degli atomi adiacenti ad accoppiae i ispettivi momenti magnetici, essi sono agguppati in piccoli guppi i cosiddetti domini di Weiss micoscopiche aee di mateiale all inteno delle quali i momenti magnetici sono oientati tutti nella stessa diezione. In assenza di un campo magnetico esteno, l oientazione dei domini di Weiss è casuale e tale da non podue alcun effetto magnetico macoscopico; quando, invece, il mateiale viene sottoposto all azione di un campo magnetico esteno, i domini oientati nella diezione del campo si espandono occupando gli alti domini povocando una magnetizzazione unifome del mateiale (detta condizione di satuazione).

14 Ossevazione Esempio di allineamento dei domini di Weiss pe un mateiale feomagnetico sottoposto ad un campo magnetico veticale dietta dal basso veso l alto. Quando i domini sono tutti allineati come nella teza figua, si ha la condizione di satuazione. Il ciclo di isteèsi Diamo innanzitutto il significato della paola isteesi: Isteesi: in fisica è un fenomeno pe cui la isposta di un sistema a uno stimolo esteno dipende anche da tutte le eazioni che il sistema aveva dato in pecedenza allo stesso stimolo. Si ottiene che le gandezze fisiche elative agli stimoli non isultano pefettamente evesibili e descivono delle cuve dette cuve d'isteesi. Questo fenomeno è deteminato dalla stuttua della mateia. Se si appesenta in un sistema di ifeimento catesiano la magnetizzazione di un mateiale feomagnetico in funzione del campo magnetico applicato, e quindi della coente utilizzata pe povocae al magnetizzazione, questo compotamento coisponde ad ben peciso gafica che oa andiamo ad analizzae. onsideiamo un mateiale feomagnetico che venga sottoposto ad un campo magnetico vaiabile dipendente dall intensità di coente i che lo genea. Supponiamo che allo stato iniziale il campo magnetico del mateiale sia nullo. Fase 1 Aumentiamo intensità di coente in cui è sottoposto il mateiale, aumenta quindi il campo magnetico, sino ad un valoe limite in coispondenza del quale pu aumentando l intensità di coente non aumenta il valoe di B pe il mateiale. Fase 2 Invetiamo il veso dell intensità di coente che oa diminuisce sino a zeo e continuiamo ad aumentae l intensità in veso opposto ispetto alla Fase 1, alloa il mateiale è sottoposto ad un

15 campo magnetico opposto al pimo che povoca una magnetizzazione della sostanza opposta alla pima, sino ad un valoe limite in coispondenza del quale pu aumentando l intensità di coente non aumenta il valoe attuale di B pe il mateiale. Fase 3 Invetiamo di nuovo il veso dell intensità di coente che oa cesce come nella Fase 1 sino a zeo e continuiamo ad aumentae l intensità, alloa il mateiale è sottoposto ad un campo magnetico come nella pima cuva peò la magnetizzazione che oa si ottiene un gafico che non è sovapposto alla pima cuva ma aumentando l intensità di coente si giunge al valoe massimo si magnetizzazione aggiunto al temine della fase 1. Facendo vaiae oa al coente il gafico ipecoe i ami tacciati nella Fase 2 e nella Fase 3. Ossevazioni Quando l intensità di coente nella fase 2 e nella 3 vale zeo il mateiale pesenta magnetizzazione esidua non nulla, in accodo con le popietà dei mateiali feomagnetici. I punti di satuazione pe il livello di magnetizzazione sono 2, non è possibile indue nel mateiale consideato valoi maggioi di magnetizzazione. La pima cuva di magnetizzazione non viene ipecosa poiché i mateiali feomagnetici consevano una capacità magnetica dopo che non sono più sottoposti al campo magnetico. Gafico del ciclo d isteesi