Energia cinetica di un corpo rigido in rotazione. ogni elemento del corpo ha la stessa velocità angolare m 2

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1 Enegia cinetica di un copo igido in otazione z Copo igido con asse di otazione fisso (Z) 1 1 ogni eleento del copo ha la stessa velocità angolae K un eleento a distanza K dall asse di otazione ha velocità v ω K e dunque enegia cinetica v ω In un caso disceto, l enegia cinetica coplessiva vale: K 1 ω ω K 1 Iω oento d inezia

2 Moento d inezia Pe un copo esteso Si divide il copo in tanti eleentini infinitesii la soa diventa un integale z i I i i Moento d inezia [ I ] g dipende dalla distibuzione di assa ispetto all asse di otazione. Gandezza scalae, sepe positiva. coe vedeo fa poco, è l analogo otazionale della assa Esepi di oenti d inezia... Il oento d inezia dipende dall asse di otazione (v. Teoea degli assi paalleli)

3 Alcuni oenti d inezia ispetto ad un asse passante pe il cd z d 1 punto ateiale: I Z d sbaa di assa, lunghezza l, isp. asse otogonale passante pe il cd: I 1 l Z R I Z R Anello, ispetto al popio asse. R I Z R Cechio, ispetto al popio asse. Sfea. ispetto ad un asse. R Cilindo, ispetto al popio asse. I Z R 5 I Z R

4 Effetto otatoio di una foza. Moento di una foza Un copo igido con un asse di otazione fisso, può solo uotae intono al popio asse. L applicazione di una foza poduce una otazione, ovveo una acceleazione angolae α F a paità di diezione e punto di applicazione della foza, l effetto è popozionale a F P P α P con foze uguali l effetto è popozionale ad P P F 1 F 3 F α sinθ a paità di F e punto di applicazione l effetto dipende dall angolo fa F e P una foza paallela ad P (adiale) non poduce otazione una foza otogonale ad P (tangenziale) poduce otazione Tutto ciò si iassue nel concetto di Moento della foza F ispetto al punto (polo)

5 Effetto otatoio di una foza. Copo igido con asse fisso. Moento della foza F ispetto al punto (definizione povvisoia) asse di otazione F T P F θ F R τ P F sinθ τ P τ H F T F [ τ ] N H il segento H si chiaa baccio della foza Si suol die che il oento di una foza è dato da foza x baccio essendo il baccio la distanza del punto dalla etta di applicazione della foza Attenzione: il oento di una foza dipende dal punto, quindi la stessa foza con lo stesso punto di applicazione, ha oenti divesi ispetto a punti divesi.

6 il oto dipende anche dal copo: Effetto otatoio di una foza. Legge della otazione (asse di otazione fisso) dalla assa del copo da coe tale assa è distibuita ispetto all asse di otazione asse di otazione P F θ d P F θ H H se l asta ha assa tascuabile, e la sfea è piccola α 1 d in geneale, α 1 I τ I Zα Z τ a legge di Newton pe le otazioni τ e I calcolati ispetto allo stesso asse Z τ e α gandezze con segno

7 τ I Zα Z Esepi di otazione di un copo igido con asse fisso z è l asse di otazione Se F costante: oto cicolae unifoeente acceleato. R F Disco o cilindo, otante intono al popio asse: I M R M R T τ g T TR Iα a con a αr T a T R R + I I R + I g g g

8 Moento di una Foza (ispetto al polo ) Definizione geneale. Polo H τ P F θ F τ Piano definito da P e F F P F s [ τ ] N g diensionalente uguale al Joule a... Popietà del oento τ. τ otogonale al piano definito da e F. Veso: egola della ano desta. τ non ha un punto di applicazione τ τ τ F F F sin θ F H Fb baccio della foza

9 ssevazioni sul oento di una foza τ F F τ F Diezione e veso di τ sono dati dalla egola della ano desta: veso di otazione visto da Una stessa foza F, applicata in una deteinato punto, ha oenti angolai divesi a seconda del punto ispetto al quale si calcola. Alto gado di abitaietà. A F B C La edesia foza F ha oenti divesi ispetto ai punti A, B e C. Pe esepio, τ A e τ C hanno segno opposto, ente τ B 0.

10 Moento Angolae o Moento della quantità di oto di una paticella Definizione geneale. l P v p H P L v θ v Podotto vettoe: attenzione all odine. Popietà del oento angolae l. lotogonale al piano definito da e pv. veso: egola della ano desta. lnon ha un punto di applicazione l l l v v v sin θ v H vb [ l] g s baccio

11 Seconda legge di Newton in foa angolae (e vettoiale) oento angolae di una paticella (definizione) l v deivando ispetto al tepo: dl τ v dl d v + dv F τ a si chiaa anche Teoea del oento angolae

12 Seconda L. Newton in foa angolae. Moto di una paticella. y θ g d ( v ) g H x d ( v ) g θ T v Pendolo seplice dl Z τ Z v ω τ g sinθ l Z Z v ω gθ g dω d θ g θ Tipicaente, con un solo punto ateiale il teoea del oento angolae non dice nulla di nuovo. Un eccezione ipotante è costituita dalle foze centali, coe la foza gavitazionale.

13 l v Capo gavitazionale. Leggi di Kepleo F dl M 0 l La diezione del oento angolae definisce il piano dell obita. cost Consevazione della diezione di L: obita piana (pate della 1 a Legge Kepleo) Consevazione del odulo di L: velocità aeolae costante ( a Legge Kepleo): 1 da dssinθ da 1 vsinθ vsinθ L ( t ) + ( t ) d s ds sinθ

14 Capo Gavitazionale Siao in gado di ispondee alla doanda: peché i pianeti non «cadono» sul Sole? Foza consevativa: E M v G M cost Foza centale: L o vθ cost θ K v + v θ ovveo in ax K L v + o E M v Lo + G M

15 Capo Gavitazionale L o Enegia E M U G M L obita del pianeta è copesa fa un inio e un assio. Se l enegia eccanica coisponde al inio della cuva ossa in ax (ciconfeenza)

16 Estensione ad un sistea di paticelle Moento angolae di un sistea di paticelle: Deivando ispetto al tepo: L l + l + l l dl d l τ Seconda legge di Newton in foa angolae, detto anche Teoea del Moento Angolae τ ( EST ) dl è una legge fondaentale e del tutto geneale In paticolae, notae: la soiglianza con il teoea della quantità di oto che solo le foze estene al sistea hanno effetto L equazione del oto otazionale pe un copo igido con asse fisso si può icavae igoosaente a patie da questo teoea.

17 Moento angolae di un copo igido con asse fisso in tal caso basta la coponente di L lungo l asse z (L Z ). l v Es. punto ateiale in oto cicolae l l Z v v ω paallelo all asse di otazione (se..) cop. lungo l asse di otazione z Moento angolae lungo l asse di otazione (z) di un copo esteso. z Si divide il copo in tanti eleentini di assa gni eleento di assa si uove di oto cicolae intono all asse punto -esio v ω ω è la stessa pe tutti i punti l Z v ω oento angolae della assa -a (coponente lungo l asse z) L Z N l z 1 ω

18 Moento angolae di un copo igido con asse fisso L Z I Z ω In casi paticolai, ad esepio quando l asse di otazione è asse di sietia questa elazione si può scivee in foa vettoiale: L I ω se ω ω e la diezione è data dalla egola della ano desta questa foula ha una validità liitata, ente quella pe le coponenti z è di validità geneale

19 In un sistea isolato (o counque se il oento delle foze estene è nullo) il oento angolae è costante. dl Sistei isolati. Consevazione del oento angolae 0 L cost L in L fin La consevazione del oento angolae in un sistea isolato è una delle leggi di consevazione fondaentali. 1 a e a legge di Kepleo (quasi) costanza della velocità di otazione e dell oientaento dell asse di otazione.

20 Sistei isolati. Consevazione del oento angolae pe un copo igido ω L Z I Z cost I i ω i I f ω f uoo su una coda Pesona su pedana gievole

21 Sistei isolati. Consevazione del oento angolae v. anche tuffi dal tapolino Natue, v. 481, p Gennaio 01 Nota: questi non sono sistei isolati! Tuttavia il oento si conseva ispetto al cento di assa

22 Copo igido e foza peso. Un isultato fondaentale dello studio dei sistei di foze equivalenti iguada la foza peso In un copo esteso, la foza gavitazionale agisce su ognuna delle sue paticelle. E un sistea di foze paallele. In un copo igido, l insiee di queste foze è equivalente d g g d g alla foza peso totale g applicata nel cento di assa (*) (*) In ealtà, il punto di applicazione è il cento di gavità, che non necessaiaente coincide con il cento di assa. Coincidono se l acceleazione di gavità identica in ogni punto del copo, condizione senz alto veificata negli esepi odinai.

23 Equilibio di un copo igido. Risultante delle foze (estene) nulla. Moento isultante delle foze (estene) nullo τ F EXT EXT 0 0 F 1 F F g F 1 g Deteinazione epiica del cento assa (coincide con il cento di gavità o baicento) T c.d.g g

24 Equilibio di un copo igido. R V θ g T R R VX VY + T + T X Y 0 g l Tl sin θ g 0 N N 1 1 d + 1 N N g d N g 1 N R V d 1 d 1g b 1 b g 1 1 gb b 1 1 b gb «leggi della leva»