IL MOMENTO ANGOLARE E IL MOMENTO D INERZIA
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- Maurizio Fede
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1 . L'IMPULS 0 DI MT IL MMENT NGLRE E IL MMENT D INERZI Il momento angolae nalizziamo alcuni moti di otazione. Se gli attiti sono tascuabili, una uota di bicicletta messa in otazione può continuae a giae a lungo attono al popio asse. nche un satellite, in obita cicolae attono a un pianeta, continua a muovesi pe molti anni senza allentae. Pe descivee la otazione di un punto mateiale si intoduce una nuova gandezza fisica: il momento angolae L calcolato ispetto a un punto fisso. La consevazione di questa gandezza spiega come mai la uota di una bicicletta e il satellite tendano a non femasi. Consideiamo una paticella di massa m che ha una quantità di moto p = mv e che, a un ceto istante, si tova nel punto P; inolte indichiamo con il vettoe che congiunge con P e con = il vettoe componente di pependicolae a p. Pe definizione: il momento angolae di una paticella è uguale al podotto ta la lunghezza di = e il modulo della quantità di moto p della paticella: L = p = mv. () Il punto Come succede pe il momento di una foza, anche il momento angolae dipende dal punto ispetto al quale lo si calcola (figua ). P p Figua Il momento angolae è calcolato ispetto a un punto. = Negli esempi pecedenti della uota e del satellite è comodo scegliee come punto, ispetto al quale si calcola il momento angolae, il cento del sistema (cioè, ispettivamente, il mozzo della uota o il cento della Tea). In questi casi, come mosta la figua, il vettoe è uno dei aggi della taiettoia del moto; inolte si ha = e la fomula pecedente si semplifica: momento angolae (kg m /s) L mv aggio del moto (m) velocità (m/s) massa (kg) Nel Sistema Intenazionale il momento angolae si misua in (kg m /s). Copyight 0 Zanichelli editoe S.p.., ologna [593de] Questo file è un estensione online del coso maldi, Le taiettoie della fisica.azzuo Zanichelli 0 () Figua Nel caso dell'obita cicolae, il vettoe che fonisce la posizione del satellite ispetto al cento della taiettoia è sempe pependicolae alla quantità di moto del satellite.
2 La consevazione del momento angolae. L'IMPULS Consideiamo un sistema fisico e calcoliamo il suo momento angolae ispetto a un punto fissato. Si dimosta che 0 DI MT Il momento angolae di un sistema di copi si conseva nel tempo se è nullo il momento totale delle foze estene che agiscono su di esso. Nei due esempi consideati pima i momenti delle foze estene sono nulli e quindi i momenti angolai si consevano. Sulla uota agisce la sua foza-peso F p, applicata nel suo baicento, che è nel cento di otazione. Quindi il baccio del momento della foza-peso è nullo e si ha M 0. Sul satellite agisce la foza di gavità F dovuta al pianeta. nche il baccio di F ispetto al cento di otazione è uguale a zeo e, quindi, il momento della foza è nullo. distanza nulla ta e etta che contiene F F F p distanza nulla ta e F p lcune conseguenze della consevazione del momento angolae si possono ossevae facilmente. Una agazza che egge due manubi da palesta con le baccia apete siede su uno sgabello, gievole attono a un asse, e uota con una ceta velocità angolae. Se stinge le baccia, il suo momento angolae mv si conseva (se gli attiti sono tascuabili). Visto che diminuisce, la velocità v delle vaie pati aumenta. Copyight 0 Zanichelli editoe S.p.., ologna [593de] Questo file è un estensione online del coso maldi, Le taiettoie della fisica.azzuo Zanichelli 0
3 . L'IMPULS 0 DI MT In questo esempio, il momento angolae si conseva peché il momento totale delle foze estene ispetto a qualsiasi punto è nullo. In assenza di attiti, una volta messo in otazione lo sgabello, le uniche foze estene che agiscono sulla agazza sono la sua foza-peso e la eazione vincolae dello sgabello, che si annullano. Questo fenomeno è molto sfuttato negli spot: i pattinatoi aumentano la popia velocità di otazione attono a un asse veticale avvicinando le baccia al copo. I tuffatoi iescono a uotae velocemente attono a un asse oizzontale agguppando il copo il più possibile. La vaiazione del momento angolae Se sul sistema agisce un momento della foza M pe un intevallo di tempo t, si dimosta che la vaiazione L del suo momento angolae è data dalla fomula: momento della foza (N m) vaiazione del momento angolae (kg m /s) L = M t intevallo di tempo (s) (3) Pe esempio, consideiamo una povetta all'inteno di una centifuga da laboatoio: a un ceto istante, il suo momento angolae (ispetto al cento di otazione) vale L. Se il motoe della centifuga si accende pe un tempo t, sulla povetta agisce una foza (che, come mosta la figua 3, è pependicolae al vettoe ) e questa genea un momento della foza M. P F v Figua 3 Sulla povetta agisce pe un tempo t una foza F pependicolae al aggio. lloa su di essa si esecita un momento della foza M F e il momento angolae della povetta stessa (ispetto al cento di otazione) aumenta della quantità L M t. Copyight 0 Zanichelli editoe S.p.., ologna [593de] Questo file è un estensione online del coso maldi, Le taiettoie della fisica.azzuo Zanichelli 0 3
4 . L'IMPULS 0 DI MT Di conseguenza il momento angolae mv della povetta aumenta della quantità L M t; visto che le quantità e m sono fisse, il isultato finale è che il valoe v della velocità della povetta aumenta. l contaio, sulla pallina da oulette agisce la foza di attito, che si oppone al suo moto. In questo caso il momento della foza è negativo e, di conseguenza, anche L è negativo: la pallina allenta fino a femasi. Il momento d inezia Vogliamo oa calcolae il momento angolae di un copo igido. Iniziamo a studiae un caso paticolae, cioè: un copo igido molto semplice, composto da te paticelle di masse m, m, e m 3 collegate al cento di otazione mediante te sbaette di massa tascuabile. Le lunghezze delle aste sono,, 3 e indichiamo con v, v, v 3 i vettoi velocità delle te paticelle. Il copo igido uota attono a con fequenza f. m m v v ω 3 m 3 v 3 Il momento angolae totale L del copo igido ispetto a è la somma dei momenti delle te paticelle: L L L L 3. Questi sono tutti dati dalla fomula L m v : L L L L 3 m v m v m 3 v 3 3. Utilizzando la fomula v /T f del moto cicolae unifome calcoliamo, pe esempio, L m v m ( f) m ( f). (4) Nei moti cicolai la quantità f è detta velocità angolae e si indica T con il simbolo geco (omega minuscolo); con questa definizione la fomula (4) si scive come L m ; (5) così il movimento angolae totale L diventa L m m m 3 (m 3 m m 3 ). (6) 3 Unità di misua L unità di misua della velocità angolae è adianti/secondo (ad/s). Il adiante (che è un numeo puo) è l unità di misua degli angoli nel Sistema Intenazionale; esso è definito in modo tale che l angolo gio (di solito indicato come 360 ) ha un ampiezza di ad. Copyight 0 Zanichelli editoe S.p.., ologna [593de] Questo file è un estensione online del coso maldi, Le taiettoie della fisica.azzuo Zanichelli 0 4
5 . L'IMPULS 0 DI MT La quantità che compae ta paentesi nell ultima espessione viene chiamata momento d inezia I del copo igido. In questo modo il modulo del momento angolae può essee scitto come L I. (7) Dalla definizione, l unità di misua del momento d inezia è (kg m ). Il momento d inezia di un copo igido fomato da n masse puntifomi è definito come I m m m 3 3 m 4 4 m n n. In geneale, pe calcolae il momento d inezia di un solido è necessaio fae cescee n all infinito; in questo caso le masse m, m diventano infinitamente piccole. Inolte, quando il copo igido è tidimensionale (e non planae come quello fomato da te sole masse) i valoi, sono le distanze delle singole masse dall asse di otazione. La tabella seguente mosta i valoi dei momenti d inezia calcolati, sulla base della definizione pecedente, pe divesi copi igidi di foma comune. nalogia fomale La fomula L l, valida pe la otazione di un copo igido, è analoga alla fomula p mv, che iguada il moto taslatoio di un punto mateiale. L analogia si ottiene scambiando contempoaneamente p con L, m con l e v con. Momenti di inezia di alcuni copi igidi Guscio cilindico, ispetto all asse Guscio cilindico, ispetto a un diameto passante pe il cento I m I m ml l Cilindo pieno, ispetto all asse Cilindo pieno, ispetto a un diameto passante pe il cento I m I 4 m ml l Sfea piena, ispetto a un diameto sta sottile, ispetto a una etta pependicolae passante pe il suo cento I 5 m I l ml paità di massa totale il momento d inezia aumenta al cescee delle dimensioni del copo e diminuisce se esso diventa più piccolo. L enegia cinetica di un copo igido in otazione L intoduzione del momento d inezia pemette di espimee in maniea semplice l enegia cinetica di un copo igido in otazione. Toniamo di nuovo al copo igido Copyight 0 Zanichelli editoe S.p.., ologna [593de] Questo file è un estensione online del coso maldi, Le taiettoie della fisica.azzuo Zanichelli 0 5
6 . L'IMPULS 0 DI MT composto di te paticelle: se esso uota con velocità angolae, la sua enegia cinetica è K m v m v m3 v (m 3 m m 3 3 ) (m m m 3 3 ). Nell ultimo passaggio, la quantità che si tova ta paentesi è il momento d inezia del copo igido. Il calcolo può essee ipetuto nella stessa maniea qualunque sia il numeo di punti che fomano il copo, ottenendo sempe il isultato La dinamica otazionale di un copo igido K I. (8) Consideiamo un copo igido che uota attono a un asse con velocità angolae e che, quindi, ha un momento angolae L I. Esso viene poi acceleato fino alla velocità angolae, pe cui il suo momento angolae diventa L I. La vaiazione L del momento angolae del copo vale: Taslazione e otazione La fomula a fianco pe l enegia cinetica di otazione ha la stessa foma matematica dell enegia cinetica di taslazione K mv se si scambia, come visto in pecedenza, m con l e v con. L L L I I I( ) I. Dalla fomula L M t possiamo alloa scivee: L I M t. Dividendo pe t gli ultimi due temini della fomula pecedente otteniamo, infine: M I. t Il appoto / t espime la apidità con cui vaia la velocità angolae del copo ed è chiamato acceleazione angolae : acceleazione angolae (ad/s ) = t vaiazione della velocità angolae (ad/s) intevallo di tempo (s) vendo intodotto questa gandezza, la penultima fomula può essee iscitta come M I. Questa fomula, che descive la otazione di un copo igido, è analoga alla legge F ma che vale pe un moto di taslazione. Copyight 0 Zanichelli editoe S.p.., ologna [593de] Questo file è un estensione online del coso maldi, Le taiettoie della fisica.azzuo Zanichelli 0 6
7 . L'IMPULS 0 DI MT ESERCIZI DMNDE SUI CNCETTI Un cilindo pieno ha un aggio di 3, cm e una massa di 760 g. Quanto vale il suo momento d inezia ispetto all asse di simmetia? [3,9 0 4 kg m ] La pallina di una oulette di aggio 30 cm ha massa,0 g. Il coupie lancia la pallina facendola uotae alla velocità di 5 cm/s. Quanto vale il modulo del suo momento angolae calcolato ispetto al cento della oulette? [,5 0 4 kg m /s] 3 Duante l obita intono al Sole, la cometa di Halley passa da una distanza massima dal Sole di 5, 0 m a una distanza minima di 8,8 0 0 m. La sua velocità nel punto più lontano dal Sole vale 9, 0 m/s. Quanto vale la velocità della cometa nel punto più vicino al Sole, se il momento angolae della cometa si conseva? (Calcola il momento angolae ispetto al cento del Sole.) [5,4 0 4 m/s] 5 Un guscio cilindico, che ha un aggio di 7, cm e una massa di 54 g, sta uotando attono al suo asse di simmetia alla fequenza di,4 Hz. Calcola il momento d inezia del guscio cilindico. Calcola la sua velocità angolae e la sua enegia cinetica di otazione. [,8 0 4 kg m ; 8,8 ad/s,, 0 J] 6 Una sfea piena ha un aggio di 5,7 cm ed è fatta di bonzo (la densità del bonzo è 8,9 0 3 kg/m 3 ). Quanto vale il suo momento d inezia ispetto a un diameto? [9,0 0 3 kg m ] 7 Le caatteistiche del moto della Tea intono al Sole sono: all afelio, la sua velocità di ivoluzione è v, m/s, la distanza dal Sole è,5 0 m; al peielio la velocità di ivoluzione è v P 3, m/s, la distanza dal Sole è P,47 0 m. La massa della Tea è 5, kg. Veifica che il moto di ivoluzione della Tea soddisfa la legge di consevazione del momento angolae, calcolato ispetto al cento del Sole. 4 Una pattinatice fema in mezzo alla pista sta facendo una pioetta con le baccia distese e con velocità angolae di valoe 3,50 ad/s. un ceto punto accoglie le baccia intono al copo: così facendo, il suo momento d inezia si dimezza. Quanto vale oa il modulo della sua velocità angolae? Copyight 0 Zanichelli editoe S.p.., ologna [593de] Questo file è un estensione online del coso maldi, Le taiettoie della fisica.azzuo Zanichelli 0 7
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