Grandezze cinematiche angolari (1)

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1 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. MOTO CIRCOLARE UNIFORME FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Genealità () Moto di un punto mateiale lungo una ciconfeenza (o un aco di ciconfeenza) di aggio a elocità costante (in modulo). y Si può osseae che: Il ettoe elocità istantanea, come detto pecedentemente, è tangente alla ciconfeenza (taiettoia pecosa dal punto). x Il ettoe posizione ha modulo sempe costante pai al aggio della ciconfeenza. FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai

2 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Genealità () Moto di un punto mateiale lungo una ciconfeenza (o un aco di ciconfeenza) di aggio a elocità costante (in modulo). y t 0 t t x Si può osseae che: Il ettoe elocità istantanea, come detto pecedentemente, è tangente alla ciconfeenza (taiettoia pecosa dal punto). Il ettoe posizione ha modulo sempe e costante pai al aggio della ciconfeenza. Il ettoe posizione uota anch esso alla medesima elocità del punto, aia la sua diezione (è otogonale alla elocotà). FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 3 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Gandezze cinematiche angolai () Dal momento che il ettoe posizione imane sempe costante nel tempo mente aia la sua diezione, cioè l angolo ispetto all asse x, alloa è coneniente studiae il moto cicolae ifeendosi alla aiazione nel tempo di tale angolo. Siconsideiilmotodiunpuntomateialesu un aco di ciconfeenza ta i punti P e Q duante un ceto inteallo di tempo Δt. Duante questo moto il punto pecoe una P s distanza s pai alla lunghezza dell aco descitto, mente il ettoe spostamento uota di un angolo θ. Q La lunghezza s dell aco da P a Q ale: θ s ϑ con θ espesso in adianti. FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 4

3 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Gandezze cinematiche angolai () Distanza angolae ta P e Q è l ampiezza dell angolo θ in adianti. ϑ Se si considea uno spostamento del punto mateiale su un aco di ciconfeenza molto piccolo, ossia il moto aiene in un inteallo di tempo Δt 0, alloa la distanza angolae si può sciee come: d ϑ s d s Velocità angolae è la aiazione della distanza angolae (ossia l angolo pecoso dal aggio ettoe) nel tempo. dϑ ad FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai dt s P θ s Q 5 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Gandezze cinematiche angolai (3) Le elazioni sino ad oa pesentate sono elatie al modulo della elocità angolae. Tattandosi di una elocità anche la elocità angolae è un ettoe occoe dunque definine la diezione ed il eso. La elocità angolae è un ettoe che ha diezione pependicolae al piano della ciconfeenza e eso dipendente dal senso di otazione. Rotazione in senso antioaio. Rotazione in senso oaio. FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 6 3

4 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Gandezze cinematiche angolai (4) La elocità istantanea del punto duante moto lungo l aco di ciconfeenza (detta elocità tangenziale o peifeica) può essee scitta come: Siccome d ϑ d s d s dt alloa: P s dϑ dt ds dt θ Q FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 7 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Acceleazione centipeta () Nel moto cicolae unifome il ettoe elocità pu aendo modulo costante cambia continuamente diezione duante il moto, dunque i è una aiazione di elocità nel tempo che implica l instauasi di una acceleazione. Pe definizione l acceleazione è espessa come: Δ f a Δ t Δ t 0 0 Quindi il ettoe acceleazione aà la stessa diezionei e lo stesso eso del ettoe Δ f 0 0 Δ 0 f P θ Q f FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 8 4

5 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Acceleazione centipeta () Nel moto cicolae unifome il punto mateiale è soggetto ad una acceleazione (detta acceleazione centipeta) con modulo costante dietta eso il cento della ciconfeenza che definisce la taiettoia. Il modulo dell acceleazione centipeta ale: 0 a c P a c θ a c Q f FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 9 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Legge oaia moto cicolae unifome Le gandezze cinematiche angolai sono state intodotte pe semplificae lo studio del moto cicolae: aiazione nel tempo della posizione angolae del aggio ettoe che indiidua il punto sulla ciconfeenza anziché aiazione nel tempo delle coodinate x ed y del medesimo. Lo studio del moto cicolae unifome aiene ifeendosi alle gandezze angolai. Nel moto cicolae unifome la elocità angolae è costante in modulo diezione e eso. Dunque la posizione angolae del punto mateiale aia lineamente nel tempo. ϑ ϑ 0 + t FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 0 5

6 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Moto peiodico () Si dice che un punto mateiale pocede con moto peiodico se, pecoendo una ceta taiettoia, ad intealli di tempo egolai (T) si toa nella medesima posizione con la stessa elocità e la stessa acceleazione. Il moto cicolae unifome è un moto peiodico in quanto, pecoendo con elocità costante una ciconfeenza, ad intealli egolai di tempo (ossia ad ogni gio) il punto tona nella posizione iniziale. Peiodo è il tempo che intecoe ta due successii passaggi nella stessa posizione, ii ossia a pecoee un gio (essendo un tempo si misua in secondi). Siccome: π ϑ t π T T π FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Moto peiodico () Fequenza è l ineso del peiodo ed indica il numeo di peiodi nell unità di tempo (un secondo), ossia il numeo di gii al secondo. Da cui [ s ] [ Hz ] f T π π π f NB. Le definizioni di peiodo e fequenza sono alide pe qualunque moto peiodico (es. il moto di un pendolo) e non solo quello cicolae unifome. In un moto peiodico qualunque è detta fequenza angolae. FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 6

7 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. MOTO CIRCOLARE UNIFORMEMENTE ACCELERATO (UNIFORMEMENTE VARIO) FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 3 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Genealità Moto di un punto mateiale lungo una ciconfeenza (o un aco di ciconfeenza) di aggio con acceleazione tangenziale costante (in modulo). y Si può osseae che: a c Il ettoe elocità tangenziale, tangente a alla ciconfeenza (taiettoia pecosa t dal punto), aia in modulo. Se aia la elocità tangenziale aia x anchelaelocitàangolae. Si ha un acceleazione angolae legata all acceleazione tangenziale e iceesa. Seaialaelocitàangolaeaiaanche il modulo dell acceleazione centipeta FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 4 7

8 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Acceleazione angolae () In modo del tutto analogo a quanto isto pe il moto ettilineo si definiscono: Acceleazione angolae media: Acceleazione angolae istantanea: Δ γ m Δt t f 0 f t 0 Δ d γ lim Δ t 0 Δt dt Legame ta acceleazione (istantanea) angolae e peifeica: d at d ( ) dt at dt d γ a dt t γ FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 5 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Acceleazione angolae () Il ettoe acceleazione angolae aà la stessa diezione del ettoe elocità angolae, mente il suo eso detemineà se i è una acceleazione o una deceleazione: Vesi concodi aumento di elocità angolae (acceleazione) Vesi opposti diminuzione di elocità angolae (deceleazione) Esempio: Rotazione in senso antioaio. γ a c a t γ a c a t FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 6 8

9 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Equazioni cinematiche del moto cicolae unifomemente acceleato ϑ ϑ γ t t + γ γ t ( ϑ ϑ ) 0 Velocità angolae in funzione del tempo Legge oaia (angolo funz. del tempo) Velocità angolae in funzione dello spostamento angolae ATTENZIONE!!! Se l acceleazione è opposta al ettoe elocità angolae, isulta essee negatia. FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 7 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. SISTEMI DI TRASMISSIONE DEL MOTO (Cicolae) FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 8 9

10 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Sistemi di tasmissione del moto Una pate consistente di sistemi di tasmissione del moto si basano sul moto cicolae, i più comuni sono: Cinghie e pulegge Ruote dentate Albei Catene Sistemi a fluido (pompe e motoi idaulici) I pimi due sistemi isultano essee i più semplici dal punto di ista dello studio fisico. FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 9 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Sistemi a cinghia () Puleggia motice Cinghia ideale: inestensibile (non c è slittamento ta le pulegge) e pia di massa. Le due elocità peifeiche sono uguali: t t FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 0 0

11 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Sistemi a cinghia (3) Puleggia motice Calcolo di : t t La elocità peifeica della puleggia motice ale: t t t FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Sistemi a cinghia (3) Puleggia motice Quindi: Se > Se < < < FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai > > Rappoto di iduzione

12 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Sistemi a uote dentate Ruota motice t t Anche in questo caso t t Peò il senso di otazione delle due uote è opposto FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 3 Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Esempio: laatice Il cestello di una laatice, duante la fase di centifuga, uota ad una elocità di 600 min -, deteminae la elocità angolae del motoe sapendo che la puleggia del cestello ha diameto 30 cm, mente quella del motoe 5 mm. Deteminae, inolte, l acceleazione centipeta a cui è soggetto un paio di calzini adagiato nel cestello sapendo che il diameto è di 70 cm. FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai 4