MACCHINA ELEMENTARE A RILUTTANZA

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1 Sistemi magnetici con moto meccanico MACCHINA ELEMENTARE A RILUTTANZA Consiste in un nucleo magnetico con un avvolgimento a N spie e una pate mobile che uota con spostamento angolae θ e velocità angolae ω. Sia lo statoe sia il otoe sono anisotopi. θ ω N i - v + I

2 MACCHINA ELEMENTARE A RILUTTANZA Sistemi magnetici con moto meccanico dψ L equazione elettica è: v = i + dt Il flusso concatenato può essee espesso in temini di induttanza di dispesione e induttanza magnetizzante: N N ψ = ( L + L m )i con: L =, L m = R R m La iluttanza magnetizzante può essee divisa in: R m = R f 1 + R f + R t dove: R f1 = iluttanza del mateiale magnetico fisso R f = iluttanza del mateiale magnetico mobile R t = iluttanza totale del tafeo. II

3 MACCHINA ELEMENTARE A RILUTTANZA Sistemi magnetici con moto meccanico R f 1 = µ f l µ f 1 0 A f 1 R f = µ l f f µ ( θ ) 0 A f R t = l t µ 0 ( θ ) A t costante R f << R t peché µ f >> 1 (tascuiamo la vaiazione di A f e A t ) L induttanza magnetizzante è una funzione peiodica di θ : L m ( θ ) = R N m ( θ ) Pe θ = 0,,, ecc. la iluttanza magnetizzante è minima poiché è minima la lunghezza del tafeo quando il otoe è in posizione oizzontale. Di conseguenza, pe θ = 0,,, ecc l induttanza magnetizzante è massima. Invece pe θ = 1/, 3/, 5/, ecc. la iluttanza magnetizzante è massima e l induttanza magnetizzante è minima. III

4 MACCHINA ELEMENTARE A RILUTTANZA Sistemi magnetici con moto meccanico In paticolae: L induttanza magnetizzante vaia ta un valoe massimo e un valoe minimo positivi due volte pe ciascun gio dell elemento otante. Questa vaiazione può essee appossimata con una funzione sinusoidale: ( θ ) = + cos L L L θ m A B 1 Lm ( 0 ) = LA + LB, Lm = LA LB, L A > L B IV

5 MACCHINA ELEMENTARE A RILUTTANZA Sistemi magnetici con moto meccanico Induttanza magnetizzante : ( θ ) = + cos L L L θ m A B L ( θ ) = L + L cos θ m A B L A L B θ L auto-induttanza può essee espessa come: ( ) = + ( ) = + + = 1 + L θ L L θ L L L cos θ L L cos θ m A B V

6 MACCHINA A RILUTTANZA Si considei una macchina elementae avente le seguenti caatteistiche: otoe a poli salienti statoe cilindico un avvolgimento sullo statoe poli pp = 1 θ = θ m ω = ω m ω di otoe pe t = 0 θ = -δ δ θ d ω t di statoe di otoe all istante t 1

7 Macchina a iluttanza ESPRESSIONE DELL INDUTTANZA Pe la macchina con statoe a poli salienti e otoe cilindico, con un avvolgimento sul otoe, avevamo tovato che: L = L 1 + L cos θ dl dθ = L sin θ Statoe a poli salienti e otoe cilindico Analogamente, pe la macchina con otoe a poli salienti e statoe cilindico, con un avvolgimento sullo statoe, abbiamo: L s = L s1 + L s cos θ dl dθ s = L sin θ s Rotoe a poli salienti e statoe cilindico

8 Macchina a iluttanza COPPIA ISTANTANEA AL TRAFERRO 1 dl C e(t) = pp i d s s θ Nel caso di otoe a poli salienti e statoe cilindico: C (t) = pp i L sin θ COPPIA DI ANISOTROPIA e s s La coppia istantanea C e (t) è divesa da zeo se almeno una delle due stuttue è anisotopa e se l avvolgimento si tova sulla stuttua cilindica. È necessaio che l avvolgimento sia disposto su una stuttua che vede una stuttua anisotopa: avvolgimento sul otoe, con statoe anisotopo; avvolgimento sullo statoe, con otoe anisotopo; 3

9 COPPIA ISTANTANEA AL TRAFERRO Macchina a iluttanza 1 caso: i s (t) = costante = I : C (t) = pp I L sin θ e s Vediamo in che posizione si tova il otoe pe: 3 3 θ = 0,,,,, 4 4 di statoe θ = 0 di otoe di statoe θ = /4 di otoe 4

10 COPPIA ISTANTANEA AL TRAFERRO Macchina a iluttanza di statoe di statoe di otoe θ = / di otoe θ = 3 /4 di otoe di otoe di statoe di statoe θ = θ= 3 / 5

11 COPPIA ISTANTANEA AL TRAFERRO Macchina a iluttanza di otoe θ = - / Ovviamente la posizione θ = 3/ coincide con la posizione θ = - / : di statoe In geneale, in un sistema magnetico non statico, è pesente una foza che tende a minimizzae la iluttanza che il flusso magnetico deve pecoee. In questo caso, con i s = costante, il campo magnetico podotto dall avvolgimento di statoe è fisso nello spazio e nel tempo e isulta dietto come l di statoe. Petanto, la posizione di iposo, ossia quella a iluttanza minima, si ha pe θ = 0 o θ =, a seconda della posizione di patenza. 6

12 COPPIA ISTANTANEA AL TRAFERRO Macchina a iluttanza Vediamo oa l andamento della coppia istantanea al tafeo: C (t) = - K sin θ e t Se la posizione di patenza è 0 < θ < /, poiché in questa posizione la coppia è negativa, il otoe uoteà in veso antioaio fino a aggiungee la posizione θ = 0. In questa posizione la coppia istantanea è nulla. È un punto di equilibio stabile? Pe capilo, vediamo cosa succede se il otoe si sposta leggemente da questa posizione. 7

13 COPPIA ISTANTANEA AL TRAFERRO Macchina a iluttanza A) Se θ diminuisce leggemente, la coppia diventa positiva e quindi fa uotae in veso oaio il otoe che tona alla posizione θ = 0. B) Se θ aumenta leggemente, la coppia diventa negativa e quindi fa uotae in veso antioaio il otoe che tona alla posizione θ = 0. La posizione θ = 0 è di equilibio stabile (e così anche θ = ). C (t) = - K sin θ e t di statoe θ = 0 di otoe 8

14 COPPIA ISTANTANEA AL TRAFERRO Macchina a iluttanza Cosa succede invece se il otoe si tova nella posizione θ = /? Teoicamente è una posizione di equilibio, poiché la coppia è nulla. Tuttavia, cosa succede se il otoe si sposta leggemente da questa posizione? A) Se θ aumenta leggemente, la coppia diventa positiva e quindi fa uotae in veso oaio il otoe che va alla posizione θ =. B) Se θ diminuisce leggemente, la coppia diventa negativa e quindi fa uotae in veso antioaio il otoe che va alla posizione θ = 0. La posizione θ = / è di equilibio instabile (e così anche θ = 3/). C (t) = - K sin θ e di statoe t θ = / di otoe 9

15 Macchina a iluttanza COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Il valoe della coppia media C media dipende dall andamento della coente i s (t). 1 caso: i s (t) = costante = I : C (t) = pp I L sin θ e s 1 C = C (t)dt = C (t)dθ media e e pp I L s Cmedia = pp I Ls sinθdθ = sinθdθ =

16 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina a iluttanza caso: i (t) = I cosω t s M si dimosta che esiste una coppia media C media divesa da zeo se e solo se la coente ha pulsazione ω = ω e se δ 0. L angolo ta l asse magnetico di otoe all istante t e l asse magnetico di statoe d è dato da: θ = ω t δ ω δ θ di otoe pe t = 0 θ = -δ d ω t di statoe δ appesenta la posizione iniziale dell di otoe ispetto all asse avvolgimento di statoe d. di otoe all istante t 11

17 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina a iluttanza L avvolgimento di statoe è fisso, ma la coente i s pesenteà un massimo (pe t = 0). è vaiabile, e quindi Il otoe si muove peché va a aggiungee una posizione con iluttanza minoe di quella che pesenta nella posizione in cui si tova. Se δ = 0, il otoe si tova già nella posizione in cui la iluttanza è minima, ossia nella condizione di equilibio, dalla quale non potà più spostasi: petanto questa non può essee la posizione iniziale. 1

18 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina a iluttanza i (t) = I cosω t s M 1 i s (t) = IM cos ω t = IM 1+ cos ωt Supponiamo che pp = 1 e che ω = ω : ( ) C (t) = pp 1 i ( L sin θ ) = i L sin θ e s s s s 1 C e(t) = IM 1+ cos ωt L s sin ωt δ ( ) ( ) 1 C e(t) = IML s sin ( ωt δ ) + sin ( ωt δ) cos ωt θ 13

19 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina a iluttanza Ricodando che: 1 1 sin A cos B = sin A + B + sin A B ( ) ( ) C e(t) = IMLs sin t sin 4 t sin ω δ + ω δ + δ ( ) ( ) ( ) I temini e sono a valoe medio nullo e pulsanti a fequenza doppia e quadupla di quella di alimentazione. Il temine dipende solo da δ C media = IML s sin ( ) IML s sin δ = δ 4 14

20 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina a iluttanza caso: i (t) = I cosωt s M 1 C media = IML s sin δ 4 C media 0 pe δ 0 ± k C media è massima pe δ= ± k 4 OSSERVAZIONI: la macchina non può avviasi da sola (non è autoavviante). esiste una coppia media divesa da zeo solo se la macchina funziona alla velocità ω m = ω = ω (pp=1) e se esiste uno sfasamento ta l di statoe e l di otoe pe t = 0. (valgono gli stessi agionamenti fatti pe la macchina con statoe a poli salienti, otoe cilindico, un avvolgimento sul otoe) 15