Le equazioni di Maxwell.

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1 Le equazioni di Maxwell. Campi elettici indotti. Pe la legge di Faady, in una spia conduttice dove c è una vaiazione di Φ concatenato si osseva una coente indotta i. Ricodando che una coente è un flusso di caiche povocato da un campo, possiamo scivee le seguenti implicazioni (in blu) che possono potae all intoduzione di un campo elettico (campo elettico indotto) nasce una ε cicola una i si instaua un moto di caiche q È necessaia una foza elettica F q Nasce un campo elettico indotto Possiamo pensae ad una intepetazione divesa (dovuta a Maxwell) (in osso) pe spiegae l insogee di i nella spia. Questa intepetazione dice che se in una egione di spazio si ha, si cea una nuova popietà dello spazio che chiamiamo campo elettico indotto. Questa popietà dello spazio poi si manifesta, su una eventuale spia conduttice pesente nella egione, con una coente indotta i. L espessione del campo elettico indotto si può ottenee ossevando che le due intepetazioni devono potae a isultati compatibili: ad esempio il lavoo W fatto pe spostae una caica q lungo una spia deve essee lo stesso in entambe le intepetazioni. 1

2 spia ntepetazione di Faaday: ε W q ε ntepetazione di Maxwell: dw q W q q ε q ε Se intepetiamo l induzione elettomagnetica in temini di campo elettico indotto possiamo scivee la legge di Faaday come: (1) Si noti, popio gazie alla pecedente elazione, che il campo elettico indotto non è consevativo. nolte se ( t ) cost Φ ( t ) cost elettico è consevativo ma non è più un campo elettico indotto! ossia quando il campo Quindi l equazione (1) automaticamente include il caso stazionaio, ovveo il campo elettostatico, petanto possiamo scivee genealizzando: () d Φ (genealizzazione del teoema della cicuitazione) dove è il campo elettostatico pe casi stazionati e il campo elettico indotto pe casi non stazionai. L equazione di Ampee-Maxwell. L equazione, dice che in una egione di spazio dove c è un campo ( t ) si cea un campo ( t ). Questa intepetazione della legge di Faaday, fa sogee una natuale domanda: è veo anche la situazione simmetica? Se in una egione di spazio c è un campo ( t ) si cea un campo ( t )?

3 Dopo l intepetazione di Maxwell della legge di Faaday, si cecaono evidente speimentali diette cica la possibilità di ceae un campo ( t ) da un campo ( t ), ma i isultati sono stati tutti negativi. Maxwell, non si aese all evidenza speimentale e sviluppò una teoia, qui di seguito accennata, che pativa dalla evidenziae i limiti della legge di Ampee scitta come d l μ. nfatti questa espessione, valida in casi stazionai ( i i C cost linee di coenti chiuse), non è valida in casi non stazionai quando i i(t) e le linee di coenti sono apete (e quindi i C ). Se colleghiamo due punti a potenziale V(A) e V() (inizialmente V(A)>V()) con un filo conduttoe, in esso si instaua una coente non stazionaia i(t). i C ΔVV(A) V() ΔV(t) A (t) Fig. 1 i(t) (t) Se i(t) (t) scelta la cuva, si ha che val. Mente la linea di coente (essendo apeta) non isulta concatenata con e si ha i c. Quindi in casi non stazionai il teoema di Ampee ci pota ad un inconguenza: val ( ) μ i ( ) val C Pe isolvee questa inconguenza, dobbiamo pensae di aggiungee (potesi di Maxwell) al teoema di Ampee, così come scitto pe casi stazionai, un temine che tenga conto dei casi non stazionai, ovveo di aggiungee un temine di coente i S scivendo: μ + ( i ) C is tale che: i S e i C in casi stazionai i S e i C in casi non-stazionai Dobbiamo tovae l espessione di i S. Osseviamo (vedi fig. 1) che se i è non-stazionaia, ossia cicola su una linea apeta, nella zona dove la linea è inteotta deve esseci un campo elettico (t) in quanto esiste un ΔV(t) dove manca i(t) esiste un (t) e quindi vaiazioni di i(t) con tempo potebbeo essee equivalenti a vaiazioni di (t). Analizziamo meglio questa situazione, facendo ifeimento al pocesso di caica di un condensatoe piano C con amatue di aea S distanti d (fig. ). 3

4 Ad un istante t, sulla singola amatua del condensatoe abbiamo una caica q(t) e una diffeenza di potenziale fa le amatue V(t) con V(t) C q(t). Fig. Sappiamo che: εs εs V( t ) ( t )d e C q( t ) CV( t ) d d dq( t ) d( εs( t )) ds( t ) ( t ) ε ε ( t )d ε S( t ) q( t ) ε S( t ) dove Φ S è il flusso del campo attaveso una supeficie pai all aea delle amatue. ( ) ) l temine ( t C N C m ε ha le dimensioni di una coente ( m N s chiamato, pe motivi stoici, coente di spostamento indicato con i S. C N NCs C s A) ed è dq( t ) ) La vaiazione di caica sull amatua è quindi equivalente al temine ( t ε associato dq( t ) alla vaiazione di è la vaiazione di caica sull amatua duante il pocesso di caica, ma queste caiche tansitano sul filo poducendo la coente i(t) in esso dq( t ) i(t) ) ( t ε i S. n casi non stazionai, nelle zone dove (t) il temine i S nello spazio è equivalente a i(t) nei fili conduttoi. Possiamo quindi scivee l equazione di Ampee-Maxwell: μ i C + ε che nel caso di i C diviene: d Φ d l με. 4

5 L equazione di Ampee-Maxwell è completamente simmetica alla legge di Faaday a pate: il fattoe μ ε, che dipende dal sistema di unità di misua scelto, il segno meno, che indica che i vesi dei campi ed sono in questo caso legati dalla egola della mano desta. Ossevazione: μ ε 4π s m - e quindi il temine μ ε è estemamente piccolo e quindi i suoi effetti difficilmente misuabili diettamente in un espeimento! sempi 1): Campo indotto geneato da campo (t) a simmetia cilindica. Assumiamo un campo, pependicolae ed entante nel foglio, con modulo vaiabile nel tempo d confinato in una egione cilindica infinita di aggio R. Sia cost >. Pe la legge di Faaday, si ceeà un campo. Questo deve avee linee di campo chiuse e dovà consevae la simmetia cilindica: le linee di campo devono essee delle ciconfeenze concentiche con l asse del cilindo e punti equidistanti dall asse del cilindo devono avee lo stesso valoe del campo. l veso delle linee di campo è fissato dalla legge di Lentz. ( aumenta essendo cost > ) Applichiamo la legge di Faaday, scegliendo un linea di aggio coincidente con una linea di campo con: a) < R d l d( π ) cosθ π π π d d b) > R d l d( πr ) cosθ π π πr d R d c) R, R d 5

6 sempi ): Campo geneato da un campo (t) a simmetia cilindica. Assumiamo un campo, pependicolae ed entante nel foglio, con modulo vaiabile nel tempo d confinato in una egione cilindica infinita di aggio R. Sia cost >. Pe la legge di Ampee Maxwell, si ceeà un campo. Questo deve avee linee di campo chiuse e dovà consevae la simmetia cilindica e quindi valgono le consideazioni pecedente. l veso delle linee di campo è fissato dalla egola della mano desta. ( aumenta, essendo cost > ) Confontae i vesi dei campi nelle due figue! Applichiamo la suddetta legge, scegliendo un linea di aggio coincidente con una linea di campo con: a) < R με d με b) > R cos π μ ε d( π ) π μεπ d με μεr d cos d( πr ) π με π μεπr d c) R μ d ε R. 6

7 Le quatto equazioni di Maxwell. La teoia di Maxwell, pecedentemente descitta, pemise la sintesi di tutti i fenomeni elettici e magnetici, stazionai e non, con 4 equazioni note come le equazioni di Maxwell. 1) ds q int ε S Teoema di Gauss (L oigine di sono le caiche elettiche) ) Legge di Faaday ( è ceato anche da ( t )) 3) ds Teoema di Gauss pe (Non esistono caiche magnetiche) S 4) μ ic + ε Teoema di Ampee-Maxwell (l oigine di sono le coenti ma è ceato anche da ( t ) ) Questa teoia lasciò subito intavedee l esistenza di fenomeni non ancoa ossevati! Se sciviamo le quatto equazioni pecedenti pe uno spazio vuoto dove non ci sono nè caiche elettiche (q ) nè coenti (i ) otteniamo delle equazioni completamente simmetiche : 1) ds S ) S 3) ds 4) S d Φ d l με sse dicono che: a) un campo ( t ) genea, tamite l equazione, un campo ( t ) l equazione tamite 4, un campo ( t )) ecc, ecc, che genea, tamite Legge di Faaday (t) (t) campi si autogeneano e autosostengono Teoema di Ampee-Maxxwell b) campi e hanno entambi linee chiuse. 7

8 l segno è fondamentale pe il sostentamento dei campi (vedi fig.) (t) aumenta (t) aumenta (t) diminuisce (t) diminuisce (t) aumenta (t) aumenta (t) diminuisce (t) diminuisce Legge di Faaday Legge di Ampee-Maxwell i(t) cescente ecc,ecc,. (t) (t) (t) (t) Questo nuova ealtà fatta di campi e che esistono nello spazio vuoto, che si autogeneano e autosostengono sono le onde elettomagnetiche. L esistenza delle onde elettomagnetiche è la veifica speimentale della teoia di Maxwell. 8